数学建模主成分分析详解演示文稿
大学生数学建模——主成分分析方法页PPT文档
从以上的分析可以看出，主成分分析的
实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ，…， p） 在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载 lij （ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。
从数学上容易知道，从数学上可以证明，
它们分别是的相关矩阵的m个较大的特征值所 对应的特征向量。
二、计算步骤
1540.29 926.35 1501.24 897.36 911.24 103.52 968.33 957.14 824.37 1255.42 1251.03 1246.47 814.21 1124.05 805.67 1313.11
216.39 291.52 225.25 196.37 226.51 217.09 181.38 194.04 188.09 211.55 220.91 242.16 193.46 228.44 175.23 236.29
65.601 1181.54 270.12 18.266 0.162 7.474 12.489
33.205 1436.12 354.26 17.486 11.805 1.892 17.534
16.607 1405.09 586.59 40.683 14.401 0.303 22.932
6 68.337 7 95.416 8 62.901 9 86.624 10 91.394 11 76.912 12 51.274 13 68.831 14 77.301 15 76.948 16 99.265 17 118.505 18 141.473 19 137.761 20 117.612 21 122.781
人) 295.34
x 6：经济 作物占农 作物面积 比例(％)
26.724
x 7：耕地 占土地面 积比率
《主成分分析》课件
投资组合优化
通过主成分分析，找到不同投 资标的之间的关系，优化投资 组合的效益。
主成分分析在市场调研中的应用
1
偏好分析
通过主成分分析，找到消费者的特征
产品定位
2
和偏好，精准制定相应的市场策略。
通过主成分分析，找到消费者对产品
的不同评价因素，合理确定产品的定
位。
3
竞品分析
通过主成分分析，评估竞争对手的优 势和劣势，为企业提供相应的决策依 据。
慕课在线学习行业民调
通过主成分分析，找到影响学 习者的因素，比如课程质量、 师资水平、学习难度等方面。
降水量分析和气候变化
通过主成分分析和时间序列分 析，找到影响气象预测和气候 变化的主要原因和特征。
食品市场调查分析
通过主成分分析，找到影响消 费者购买健康食品的因素，制 定相应的市场营销策略。
标准化数据
通过Z-score标准化数据，去除不同变 量的量纲影响。
提取主成分
根据协方差矩阵的特征值和特征向量， 提取主成分。
如何选择主成分数量
特征值
根据特征值大于1的原则，选择主成分的数量。
累计贡献率
当累计贡献率到达一定阈值后，选择主成分数量。
图形分析
通过屏幕图和贡献率图来选择主成分数量。
主成分分析的优点和缺点
应用
主成分分析适用于变量之间没有明确因果关系 的情况下，提取它们的主成分；而因子分析需 要基于理论或先验知识，对变量进行选择和定 量，发现变量间的潜在因子。
主成分分析在金融分析中的应用
股票指数分析
通过主成分分析，找到影响整 个股票市场的因素，快速判断 股票市场的健康状况。
信用卡违约风险评估
通过主成分分析，找到导致信 用卡违约的因素，提高信用卡 贷款的质量。
《主成分分析PCA》课件
1 PCA用于降维，而线
性回归用于预测
PCA帮助我们理解数据的 本质，而线性回归则是用 来预测未知的结果。
2 PCA通过寻找最大方
差方向来解释数据差 异
PCA通过找到能够解释数 据最大方差的方向来降低 数据的维度。
3 线性回归通过拟合一
个线性函数来解释数 据
线性回归则通过拟合一个 线性函数来解释数据之间 的关系。
到协方差矩阵。
3
计算协方差矩阵的特征值和特征
向量
通过对协方差矩阵进行特征值分解，得
选择前n个最大的特征值对应的 特征向量，构成特征向量矩阵
4
到特征值和特征向量。
根据特征值的大小，选取对应的特征向
量来构成特征向量矩阵。
5
将数据投影到特征向量上得到降 维后的数据
将数据乘以特征向量矩阵，得到在新的 低维空间中投影的数据。
《主成分分析PCA》PPT课件
# 主成分分析PCA ## 介绍 - 主成分分析（PCA）是一种常见的数据降维方法 - 通过将高维数据映射到低维空间，以发现数据中的主要变化 ...
PCA步骤
1
数据中心化
将数据减去数据平均值，以使数据中心
计算数据协方差矩阵
2
位于原点。
计算数据在不同维度之间的相关性，得
PCA应用
数据可视化
通过PCA降维，可以将高维数据可视化到二维或 三维空间。
特征选择
通过PCA可以找到数据中最能解释数据变异的特 征。
压缩数据和降噪
PCA可以用于将数据压缩到较低的维度，同时去 除数据中的噪声。
数据预处理
在机器学习中，使用PCA进行数据预处理可以提 高模型的性能。
PCA与线性回归的比较
主成分分析PPT
p
1
a1 u1,u2 ,
,
up
2
p
p
ia1uiuia1 1 a1uiuia1
i 1
i 1
1a1UUa1 1a1a1 1
u1
u2
a1
p
up
下面证明，由U的第一列元素所构成的原始变量的 线性组合有最大的方差。
设有P维单位向量 a1 a11, a21,
, a p1
y1 a11 x1 a21 x2 a p1 x p a1 x
1
D(
y1 )
a1a1
a1U
2
Ua1
主成分分析通常的做法，是寻求原指标的 线性组合yi：
y1 u11 x1 u21 x2 up1 x p y2 u12 x1 u22 x2 up2 x p
y p u1 p x1 u2 p x2
满足如下的条件：
upp x p
(1) 每个主成分的系数平方和为1（否则其方差可 能为无穷大），即
标。在实际工作中，主成分个数的选取通常有两个标准 一个是按累积贡献率达到一定的程度（如 70%或 80%
以上）来确定 m；另一个先计算协方差矩阵或相关矩阵
的特征值的均值 ，取大于 的特征值的个数作为 m.
大量实践表明，当 p 20时，第一个标准容易取太 多的主成分，第二个标准容易取太少的主成分，故最好 将两者结合起来使用，并考虑m 个主成分对 xi 的贡献率。
数学建模优秀课件之主成分分析
1 2 , p 0
2.求出的特征向量：每一个特征值对应的特征向量，由此可 以得出第一，二，第三主成分表达式
四、计算主成分贡献率及累计贡献率
1.贡献率：
i
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
2.累计贡献率:
i
k
k 1
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
如果累计贡献率超过了0.85，则说明前k个主成分基本包括了全部指标具 有的信息，因此可以只选前k个成分来分析
X
(X1, X 2,...,X P )
x21
...
x22 ...
... x2p
...
...
xn1 xn2 ... xnp
定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m≤p） 为新变量指标
z1 l11x1 l12 x2 l1p xp
z2
l21x1
l22 x2
将“成分矩阵”表中每一列值分别除以特征值的开方，就得 z
出了每一个特征值对应的特征向量，由此可以得出第一，第二， 第三主成分表达式（令各因素为X1，X2……X8）
z1=0.4567*X1+0.4095*X2+0.8274*X3+0.735*X4+1.053*X51.37*X6-2.4318*X7+6.72*X8
rpp
rij（i，j=1，2，…，p）为原变量xi与xj的相关系数， rij=rji，其计算公式为：
rij
n
( xki xi )(xkj x j )
k 1
n
n
( xki xi )2 ( xkj x j )2
数模第16讲主成分分析
Y 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
X1 2297.86 2262.19 2303.29 2308.70 2337.65 2418.96 2702.34 3015.32 3135.65 3415.92
X2 589.62 571.69 589.99 551.14 589.28 618.60 735.01 779.68 849.53 1038.98
二、主成分分析法
设有 p 项指标 X1 ， X 2 ，……， X p ，每个指标有 n 个观
测数据，得到原始数据资料矩阵
x11 x12 x1p
X
x21x22 ຫໍສະໝຸດ x2 p(
X1
,
X 2 ,,
Xp)
xn1 xn2 xnp
x1i
Xi
x2i
xni
i 1, 2,, p
用矩阵 X 的 p 个向量 X1, X 2 ,, X p 作线性组合为：
主成分分析过程
（1）录入原始数据
X=[2297.86 589.62 474.74 2262.19 571.69 461.25 2303.29 589.99 516.21 2308.70 551.14 476.45 2337.65 589.28 509.82 2418.96 618.60 454.20 2702.34 735.01 475.36 3015.32 779.68 474.15 3135.65 849.53 583.50 3415.92 1038.98 615.74
164.19 185.90 236.55 293.23 334.05 429.60 459.69 537.95 629.32 705.72
《主成分分析模型》课件
主成分分析在实际生活中的应 用
主成分分析在股票价格预测、商品定价、产品优化和质量控制等领域应用广 泛。
主成分分析的局限性和应用前 景
主成分分析模型对输入变量的假定比较苛刻，且容易受到极端值和噪声干扰。 未来，随着数据科学技术的不断发展，这些限制有望得到缓解，主成分分析 模型的应用将更加广泛。
如何使用主成分分析模型？
进行调整。
3
建立回归模型
使用主成分建立回归模型，选择最优 变量。
预测结果分析
对模型预测结果进行分析，了解其背 后的原因。
主成分分析案例分析的结果解读
数据分析
通过主成分分析，我们得出该 公司的收入、成本和利润三个 主成分。
主成分解释
根据主成分系数矩阵，得出每 个主成分与原始数据的权重。
结果解读
解读主成分分析的结果，并提 出下一步优化的方向。
明确目的
确定主成分分析的目的和研 究对象。
选择变量
选择数据集中的相关变量， 并进行处理和标准化。
计算主成分
通过特征分解计算出主成分， 确定最具影响力的成分。
主成分分析的发展趋势
主成分分析在跨领域的交叉应用中将发挥越来越大的作用。未来，主成分分析模型将更加注重真实数据 的建模，有望成为精准数据科学的重要组成部分。
主成分分析的应用领域
金融
主成分分析可用于投资组合的优化、风险控制和股票价格预测。
医学
主成分分析可用于诊断和治疗疾病、分析药物疗效和评估病人风险。
工业
主成分分析可用于制造过程控制和质量管理。
主成分分析的优缺点
1 优点
降低数据维度、简化模型和提高模型准确性。
2 缺点
要求输入变量服从标准正态分布，可能会引入信息损失。
主成分分析PCA(含有详细推导过程以和案例分析matlab版)
主成分分析法(PCA)在实际问题中.我们经常会遇到研究多个变量的问题.而且在多数情况下.多个变量之间常常存在一定的相关性。
由于变量个数较多再加上变量之间的相关性.势必增加了分析问题的复杂性。
如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量.既能够代表原始变量的绝大多数信息.又互不相关.并且在新的综合变量基础上.可以进一步的统计分析.这时就需要进行主成分分析。
I. 主成分分析法(PCA)模型（一）主成分分析的基本思想主成分分析是采取一种数学降维的方法.找出几个综合变量来代替原来众多的变量.使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量.而且彼此之间互不相关。
这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。
主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量.重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。
通常.数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合.作为新的综合变量.但是这种组合如果不加以限制.则可以有很多.应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F .自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息.这里“信息”用方差来测量.即希望)(1F Var 越大.表示1F 包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的.故称1F 为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息.再考虑选取2F 即第二个线性组合.为了有效地反映原来信息.1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中.用数学语言表达就是要求0),(21 F F Cov .称2F 为第二主成分.依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。
（二）主成分分析的数学模型 对于一个样本资料.观测p 个变量p x x x ,,21.n 个样品的数据资料阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211()p x x x ,,21=其中：p j x x x x nj j j j ,2,1,21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=主成分分析就是将p 个观测变量综合成为p 个新的变量（综合变量）.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=ppp p p p pp p p x a x a x a F x a x a x a F x a x a x a F 22112222121212121111 简写为：p jp j j j x x x F ααα+++= 2211p j ,,2,1 =要求模型满足以下条件：①j i F F ,互不相关（j i ≠.p j i ,,2,1, =） ②1F 的方差大于2F 的方差大于3F 的方差.依次类推 ③.,2,1122221p k a a a kp k k ==+++于是.称1F 为第一主成分.2F 为第二主成分.依此类推.有第p 个主成分。
主成分分析数学建模PPT课件
则一定可以找到正交阵U，使
1 0
UAU
0
2
0
0
0
0
p
PP
第22页/共52页
上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量为 u1,,up
则U为
u11 u12 u1p
U
(u1
,,
up
)
u21
u22
u2
p
u p1
up2
u
pp
实对称阵A属于不同特征根所对应的特征向量是正交的，即有
UU UU I
2
•
• •• •
• • ••• ••• • •• •••••••••••••••• ••••
•• •
•
• • •• •
•• • •
•
•
•• •
•• •
•• • • • • •
•• •
•
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•
•
• ••
• • ••
•
••
• •
•
•• •
•• •
•
x1
•
••
• •
•
第15页/共52页
上面的四张图中，哪一种有更高 的精度？原始变量的信息损失最少？
COV(X，X)=D(X)， COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，
COV(X1+X2，Y)=COV(X1,Y)+COV(X2，Y)
第35页/共52页
§4 主成分的性质
一、均值 E(Ux) U
二、方差为所有特征根之和
p
Var
i 1
(
Fi
)
1
2
p
2 1
2 2
2 p
数学建模案例分析—主成分分析的应用--概率统计方法建模
§8 主成分分析的应用主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。
即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。
设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵(1)11121(2)21222()12m m n mn n n nm x x x x x x x x X x x x x ⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关这便是主成分分析。
主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。
可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。
称1/mi jj λλ=∑为主成分(1,2,,)Ti i y u x i m == 的贡献率，11/k mj jj j λλ==∑∑为主成分12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。
当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。
主成分分析讲解PPT演示课件
6 .130 -.119 -.003 .002 .016 -.016
c1
c2
c3
c4
c5
c6
3 -.184 -.162 .718 -.455 .379 -.101
4 -.164 -.252 .296 .323 -.302 .217
Extraction Method: Principal Component Analysis.
a. 6 components extracted.
5 .079 .106 .121 .088 -.109 -.264
7
A1 A2 A3
B1 B2 B3
2019/9/6
Correlations
A1 1
.335 .046
A2 .335
1 .056
A3 .046 .056
1
Correlations
B1
B2
B3
1
.996
.249
.996
1
.258
.249
.258
1
8
协方差矩阵
样本的方差-协方差矩阵（variance-covariance matrix)
sik
ski
1 n 1
j
( xij xi )(xkj xk )
i k; i 1,2,, p; k 1,2,, p
2019/9/6
9
相关矩阵
如果有p个观测变量 x1, x2 ,, x p ，其相 关阵（correlation matrix）记为
1 r12 r1 p
身高 坐高 胸围 肩宽 骨盆宽 体重
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优选数学建模主成分分析
近几年赛题 为例
❖2009年A题 制动器试验台的控制方法分析 B题 眼科病床的合理安排
近几年全国数学建 ❖2010年A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 模竞赛题 B题 上海世博会影响力的定量评估
❖2011年A题 城市表层土壤重金属污染分析 B题 交巡警服务平台的设置与调度
综合评价基本方法 综合指数法
简易的方法有：
功效评分法
T OP S I S法
最优权法
层次分析法
主成份分析法
常用的方法有：
熵权法
模数糊据综包合络评分价析法法
灰色理论评价方法
测试分析法
❖回归分析 ❖曲线拟合 ❖计算机模拟与仿真
专题建模法
❖数学规划（线性规划与非线性规划） ❖概率论与数理统计 ❖图论 ❖微分方程 ❖各学科实际问题
信息合理运用法
❖将与问题相关的论文合理运用 07年选区的重新划分与统计物理 ❖将其他问题的论文合理运用
❖问题实际背景，在众多评价问题中，人们往往
会对评价样品收集尽可能多的指标，例如人口普 查往往要调查每个人的姓名、年龄、性别、文化 程度、住房、职业、收入、消费等几十项指标； 再如，2012年葡萄评价有24指标。
21
22
2n
,
ij
c ov(X i ,
X
j)
cov(X
j,
Xi)
ji
n1
n2
nn
所以协方差矩阵是对称矩阵，且为非负定的！
第一主成分求法
利用拉格朗日乘数法构造目标函数为：
T＝T 1(T1,) T1ΣT1 (T1T1 1)
1
1
对目标函数1(T1, ) 求导数有：
1
T1
2ΣT1
2T1
❖2012年A题 葡萄酒的评价 B题 太阳能小屋的设计
❖2010年B题 上海世博会影响力的 定量评估
❖2009年B题 眼科病床的合理安排 ❖2011年A题 城市表层土壤重金属
污染分析 ❖2012年A题 葡萄酒的评价 均可归属为-
基于数据分析的综合评价模型 Nhomakorabea类模型常用建模方法
➢综合评价法 ➢测试分析法 ➢专题建模法 ➢信息合理运用法
主成分的方差及它们的协方差
这里如果我们就取 m 个主成分，应该注意到，对于 Y1, ,Ym 有：
D(Yi ) D(TiX) TiD(X)Ti TiΣTi i 1, 2, , m
Cov(Yi ,Yk ) Cov(TiX,TkX) TiCov(X, X)Tk TiΣTk i,k 1,2, ,m
例：
指标（X1，X2），在坐标系
察散点的分布， x2
x1
o
x
2
中，观
o x1
单独看这n个点的分量 x1 x2 ，它们沿着x1 方 向和 x2 方向都具有相近的离散性，如果仅考
虑其中的任何一个分x1 量，那x么2 包含在另一分
量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个 分量不是“确定主成分”的有效办法。
得的数学Y模2 型
Y2
结论：Y1 为第一主成分，Y2 为第二主成分。
确定主成分的数学模型：
由坐标转换公式得
YY21XX11csoisn
X2 sin X2 cos
我们看到新变量Y1 和Y2 是原变量 X1 和 X 2 的线性组合，它的
矩阵表示形
式为：
Y1 Y2
cos sin
sin cos
X1 X2
TX
其中， T 为旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有 T T1 或 TT I 。故由 X 到Y 用的是正交变换。
推广一般主成分确定的模型
Y1
t11 X1
t12 X 2
t1p X p T1X
Y2
t21 X1
t22 X 2
t2 p X p T2X
Yp t p1 X1 t p2 X 2
t pp X p TpX
Y1 t11 t12 t1p X1
Y2
t21
t 22
t2
p
X
2
Yp
t p1
t p2
t
pp
X
p
或 Y TX
其中T是正交矩阵
主成分满足的约束
要求：①Y的各分量是不相关的；②并且Y的 第一个分量的方差是最大的；第二个分量 的方差次之，……，等等。③为了保持信 息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分 量方差和相等。
x2
x1
o
引例：
事换实个上角，度散观点察的分布总有可能沿着某一个 方向略显扩张，这里沿椭圆的长轴方向数 据变化跨度就明显大于椭圆的短轴方向。
Y1
Y2
Y2
结换论个：角长度轴观方察向变量为第一主成分；短轴 方向变量为第二主成分。
Y1
Y2
Y2
当 新旧变量间夹角
为 时，由坐标变
换公式可得主成分获
Y1
❖ 从收集资料的角度来看，收集较多的数据有利于 完整反映样品的特征，但是这些指标从统计角度 来看相互之间具有一定的依赖关系，从而使所观 测的数据在反映信息上有一定重叠，同时又使得 问题变得复杂。
思考：如何减少变量，但信息量保留得较多。
由此产生了主成分分析法。
主成分分析也称主分量分析（principal components analysis,PCA）是由美国 的科学家哈罗德·霍特林（Harold otelling）于1933年首先提出的。
0
即Y1(Σ的方差I)T1 0
其中 D(Yi ) 表示方差，Cov表示协方差， 这里X是多维随机向量，D（X）则表述
的是X的协方差阵，一般用
复习：关于随机向量的协方差矩阵
X (X1, X 2 , X 3,, X n ) X的协方差矩阵为
11 12 1n
cov(X i , X j ) E[( X i E(X i )( X j E(X j ))
一、降维的两个准则 准则1：信息量损失尽可能少。 准则2：新主成分之间相关性低、重叠少。
二、明确信息量的数学意义
我们知道，当一个变量所取数据相近时，这 个变量（数据）提供的信息量较为单一，当这 个变量取数据差异较大时，说明它对各种场景 的“遍历性”越强，提供的信息就更加充分， 从数学角度来论，变量的标准差或方差越大， 变量涵盖的信息越足。
三、明确重叠少数学意义
我们知道，当一个变量与有关联时 难免表达信息有重复，没关联反映在数 学上最好是两变量独立，而这一要求过 强，较难满足，这里我们就要求新主成 分之间无线性关系就好，反映在概率理 论上就是每两个主成分之间的协方差为 “0”或相关系数为“0” 。
引 假设共有n个样品，每个样品都测量了两个