三角形中位线公开课
中位线公开课
D
E
B
C
二、自主学习、结构预习
• 完成导学案49页 • 知识点二
三角形中位线定理的证明
A
D
E
B
C
三、自学检测、发现问题
•完成导学案50页 •三角形三条中线所构成的三角形与原 三角形的周长比等于二分之一 •面积比等于四分之一
四、问题引领、合作学习
•题组一 •求证：三角形一条中位线与第三边上中线 互相平分 •题组二 •课本78页例2
总结归纳心 • 中点问题
中位线
基础知识： 1、掌握三角形中位线的概念和性 质定理， 2了解三角形重心及其性质 过程与方法： 灵活运用三角形中位线解决有关问 题，进一步理解三角形中位线的概 念及其性质 情感态度与价值观：培养学生数形 结合思想的应用
一、问题导学情景导入
• 已知，如图D、E分别是△ABC中AB、AC的中点，△ADE与△ABC相 似吗？如果相似，相似比是多少？线段DE与BC有怎样的关系？线 段DE是△ABC的中位线吗？ A
重心
• 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角 形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线
长的 1 3
题组三：
顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形； • 顺次连结平行四边形各边的中点所得的四边形是平行四边
形 • 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形 • 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 • 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形
三角形中位线公开课课件
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
《中位线》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (4)
AC
D
B
如图,在△ABC
中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于 G,H,求证:
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长不能确定
11．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝
3，则EF的长是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
12．顺次连接矩形各边中点，则所得图形是___菱__形_____． 13 ． 如 图 ， G 为 △ ABC 的 重 心 ， GE⊥BC ， AF⊥BC ， 则 GE∶AF ＝ ___1_∶__3___．
17．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点， DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE 的面积为S，试求四边形BOGC的面积．
解：根据点D，E分别是边AB，AC的中点，
可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC，相似比为
三角形的中位线定理公开课教案
三角形的中位线康园中学张瑜一、教材分析三角形的中位线选自华师大出版社出版的九年级数学上册第二十三章第四节。
这节课，教材对有关内容采用了边探索边证明这种“合二为一”的处理方式，更注重让学生经历“探索-猜想-验证”的过程，达到学生发现并掌握知识的结果。
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、相似三角形等知识内容的应用和深化，又是以后的几何推理、证明中不可或缺的知识财富。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它在今后的学习中有着重要的作用，并能拓展学生的数学思维。
二、学情分析本班学生基础都比较好，总体能较快的接受新知识，对于本章相似三角形的性质和判定掌握较好，但知识迁移能力处于弱势，数学思想方法的灵活运用也有待提高。
因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于相似三角形的有关知识进行探索和证明，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。
三、目标分析（一）根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标：（1）知识目标：①理解三角形中位线的概念；②掌握三角形中位线定理；③初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题。
（2）能力目标：①培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；②培养学生运用化归方法解决问题的能力。
（3）情感目标：①培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；②在探索过程中，体验成功的喜悦，树立学习的信心。
（二）重点和难点：根据以上教材分析，确立本节课重点是：三角形中位线定理及其应用；从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此确立本节教学难点是：添加辅助线构造含有中位线的三角形。
四、教学策略（一）教学组织形式由于我们的班级有小组模式，于是我将充分运用小组合作，并结合教师为主导，学生为主体的新课改教育理念进行教学。
三角形的中位线温州滨海学校市公开课一等奖省优质课获奖课件
求②平有行三四角形边而形无E中F位G线H,面要积连结？两边中点得中位线 第10页
第11页
1、对应作业本上题 2、分层作业：教材课后习题
第12页
B
DE//
1 2
BC
A
E
F
C
第5页
已知：如图，DE是△ABC中位线.
求证：DE// 1 BC
D
证实二：如图，2 延长DE到F，
使EF=DE，连接CF ∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEBF
∴⊿ADE≌⊿CFE
∴∠ADE=∠F，AD=CF， ∴AB∥CF 又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
已知：如图，DE是△ABC中位线. 求证：DE// 1 BC
证实：如图，以2点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，
按顺时针方向旋180゜，得到⊿CFE
得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE.
∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF
∴AB∥CF D
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
DF//BC
DF//BC
DE//
1 2
BC
A
E
F
C
第6页
三角形中位线平行且等于第三边二分之一.
A
几何语言表述：
D E ∵DE是△ABC中位线（或 AD=BD,AE=CE)
B
C
适用范围
DE//
1 2
BC
① 证实平行问题
② 证实一条线段是另一条线段两倍或二分之
第7页
A D
B E
C
第8页
2. D.E.F分别是△ABC上 AB,AC,BC三边中点,
A
合作学习
三角形中位线-全国优质课一等奖-课件
如图DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中 心，顺时针旋转180度，使点A与点C重合。 师友交流：
（1）△ADE和△CFE又怎样的关系？ A （2）由两个三角形的关系能得出那些
结论？
（3）CF与BD有怎样的关系？
D
EF
四边形DBCF是什么四边形?
（4）DF与BC有怎样的位置关系B和数量关系？ C
课题 §22.3
一、回顾交流
什么叫三角形的中线？ 你还能画出几条三角形的中位线？
A 连接三角形一个顶点和对边中点的线 段叫三角形的中线。
D
如图: △ABC中CD是一条中线
B
C
二、合作探究一 (三角形的中位线定义)
连结三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线 A
如图 DE是三角形的中位线
.
D
.E
B
C
二、合作探究一 （三角形的中位线的定义）
用符号语言表示
① ∵D.E分别为AB、AC的中点
∴ DE为△ABC的 中位线 D
B
② ∵ DE为△ABC的中位线
∴ D.E分别为AB、AC的 中点
A
E
C
三角形中共有几条中
A
位线？
E.
.F
B
.
D
C
D 中线DC
中位线DE
（1）B相同之处—C—都和边B中的点 有关C
（2）不同之处:
三角形中位线两的个端点 都边的是中__点_____
三角形中线只一有个端点 边是的中点
，
另一三端角点形的是顶点
。
二、合作探究二 三角形中位线性质（师友互助）
如图DE是△ABC的中位线, 将△ADE以点E为 中心, 顺时针旋转180度, 使点A与点C重合。
人教版数学八年级下册《三角形的中位线定理》公开课教学设计
人教版数学八年级下册《三角形的中位线定理》教学设计【学情分析】从学生的年龄特点和认知水平来看，初二的学生已经具有了较强的逻辑思维能力，能静下来思考几何问题，比较喜欢一些更有深度的严格的推理证明。
【教学目标】知识目标：1.理解三角形中位线的定义；2.掌握三角形中位线定理证明及其应用，培养学生的转化与化归思想；3.通过动手操作与合作交流，发展学生的合作交流、实践操作及推理能力。
能力目标：1.通过动手操作与合作交流，发展学生的合作交流、实践操作推理能力。
2.通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高学生分析问题及解决问题的能力。
情感态度和价值观目标：鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“观察、归纳、猜想、推理及应用”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥作用，同时渗透化归思想。
【教学重难点】重点：三角形中位线定理及其应用，培养学生的转化与化归思想。
难点：利用三角形中位定理证明几何问题，培养学生适当添加辅助线的能力。
【教学工具】多媒体、剪刀、硬纸、三角板【教学方法】情景教学与过程学习法、讲授法、小组合作【教学过程】一.知识回顾与导入知识回顾1.平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）创设情境：实验（剪纸小游戏）：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？二.新知探究例1 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=1/2BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD ∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=1/2BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）三.新知讲授1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）2.三角形中位线的性质（定理）：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．【拓展】利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵ AH=HD，CG=GD，∴ HG∥AC，HG=1/2AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=1/2AC．∴ HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．（如图2所示）四、课堂练习1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．五、课后作业1.布置作业：教材P50,“习题18.1”第5题.2.完成《学法大视野》中本课时前半部分练习.六、师生互动，共同小结1.三角形的中位线具有什么性质？（文字语言和符号语言分别是什么？）2.三角形的中位线定理怎么去运用？。
《三角形的中位线》PPT课件 (公开课)2022年浙教版 (3)
学
练
（1） t=-2 （2） t＝1 (3) t=2
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和
小明各投进多少个
2x 12 14
设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为_____3______
列出方程后，还必须找出符合方程的未知数的值．
大气压.问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下
潜了多少米？
倍 速
设它又继续下潜了x米 ,可列出方程
340 1 x500 _______1_0_._3_3_________
课3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
时球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和
4.5 三 角 形 的 中 位 线
• （二）探究新知 图4-119中，D，E分别 是AD， AC的中点，所以DE是ΔABC的 中位线。注意：三角形的中位线和三角形的中线不同
• 如图4-120，DE是ΔABC的一条中位线， 如果过D作DE`//BC，交AC于DE,那么，DE 和DE`会有怎样的关系？为什么？
时学则k= _____-。6
练
5 如图4-123，已知：在ΔABC中，AD⊥BC，M， N，P分别是AB，BC，CA的中点。
求证：∠MNP=∠MDP
M
A
12 P 3
DC
B
N （图4-123）
• (四）总结
• 1 三角形中位线的定义。
• 2 三角形中位线定理。
• 3 三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线，证明的 方法很多，如下面几种添加辅助线方法也可以证明三角形中位线 位置。
九年级数学三角形的中位线市公开课一等奖省优质课获奖课件
华师大九年级数学（上）
练一练: (1)若△ABC三边AB、AC、BC长分别为8、6、 4，它三条中位线围成△DEF周长_____。
(2)若△ABC三条中位线围成三角形周长为1N5cm，
△ABC周长是____。
(3)若△ABC三条中位线长分别为3、4、5，则
△ABC周长为
面积为。第7页华师例大九1已年级知数学：（如上）图所表示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝ EC，AF＝FC． （1）四边形ADEF是什么形状四边形？并加以证实。 （2）DE与AF有什么关系？
华师大九年级数学（上）
A
连接三角形两边中点线段,
叫做三角形中位线
D
E
思索：三角形中位线有几条
B
C
第2页
华师大九年级数学（上）
课题 §24.4
第3页
华师大九年级数学（上）
判断：
如图，因为AM=BM，DN=CN。 所以MN为三角形中位线。
如图，因为AE=CE，BD=CD。 所以AD、BD为三角形中位线。
(1)四边形ADEF是平行四边形. 证实 : ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形中位线平行于 第三边而且等于第三边二分之 一）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
∴ AE、DF相互平分（平行四边形
对角线相互平分）．
第8页
华师大九年级数学（上）
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、 F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
（第 4 题）
第11页
华师大九年级数学（上）
1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题
第12页
华师大九年级数学（上）
三角形的中位线定理 公开课一等奖课件
三角形的中位线定理
A、B两点被池塘隔开，现在要 测量出A、B两点间的距离，但 有无法直接去测量，怎么办呢？
A
B
如图，在A、B外选一点C，连接AC和BC，
并分别找出AC和BC的中点M、N，如果能
测量出MN的长度，也就能知道AB的距离
了。
A
今天这节课 我们就要探 究其中的学
问了
M
2
A
E B
D
F
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
B
C
DE/题。
②证明一条线段是另一条线段的两倍或一半。
学以致用
1.已知：如图, E、F分别为AB、AC的中点。
(1)∵ E、F分别为AB、AC的中点。
A
∴ _E_F___∥_B_C__ ,
C
B
N
A 概念对 A 比
D
中位线DE
B
定义：连接三角形 两边中点的线段叫
做三角形的中位 线
E
D
中线DC
C
B
C
注意
三角形的中位线和三角形的 中线不同
区分三角形的中位线和中线
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线是连接三角形两边的中
点的线段；
三角形中线是连接一个顶点和它对边
❖任意四边形四边中点连线所组成的四边形 是：平行四边行
学习 名言
构成我们学习最大障碍的是已 知的东西，而不是未知的东西。
—贝尔纳
1
___E_F__=___2_B_C__ 或__B_C___= _2_E_F___
《三角形中位线定理》PPT课件 (公开课获奖)2022年北京课改版 (1)
定理证明方法的探索：
作CF∥AB，与DE的延长线交于点F
A
△ADE≌△CFE
D
E
F
四边形BCF的探索：
延长中位线到点F，使得EF=DE，联结DC、AF、CF 根据对角线互相平分
A
∴四边形ADCF是平行四边形
D
E
F
∴AD∥=CF
B
以下同例
C
当一个命题有几种证法时，选取较简捷的方法。
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依 题 意 得 ： 6 0 -2 x 4 0 -2 x 8 0 0
解 得 ： x1 1 0 , x24 0 经 检 验 , x240不 合 题 意 ,应 舍 去 .
x10
答：截去正方形的边长为10厘米。
解得：
x 55 37
但
不合题意，舍去．
x 10 55 37
例题
例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个 相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水 槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正 方形的边长。
例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要 在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽， 使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。
米
x(x＋10)＝900
依题整意理得得： x2＋10x－900＝0
解得： x1 55 37 x2 55 37
所求的 x 1 ， x
都是所列方程
2
的解吗？
所都求符的合题x意1 吗，？x 2
x1解：设5宽为5x米3，7那么长为x〔2x+10〕5米5 37 依题意得：x(x＋10)＝900
三角形的中位线及性质PPT课件
例如，如果中位线连接顶点A和顶点C 的中点，则表示为AC。
三角形中位线的性质
中位线平行于第三边
中位线与第三边平行，这是中位线的基本性质。
中位线长度是第三边的一半
中位线的长度等于第三边长度的一半。
中位线与第三边平行且等长
中位线与第三边平行且长度相等。
线的长度性质。
三角形中位线与第三边之间的角度相等
03
三角形的中位线与第三边之间的角度相等，这是三角形中位线
的角度性质。
三角形中位线的定理
三角形中位线定理
三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即ME=1/2EB，其中ME是中位 线，EB是第三边。
三角形中位线定理的推论
如果一个线段与三角形的两边平行，则该线段被三角形的另一边平分。
过程。
03
三角形中位线的证明
三角形中位线定理的证明方法
位线与底边平行且等于底 边一半的性质，证明中位 线定理。
平行四边形法
构造一个平行四边形，利 用平行四边形的性质，证 明中位线定理。
相似三角形法
通过构造相似三角形，利 用相似三角形的性质，证 明中位线定理。
三角形中位线定理证明的实例
实例一
利用定义法证明中位线定 理
实例二
利用平行四边形法证明中 位线定理
实例三
利用相似三角形法证明中 位线定理
三角形中位线定理证明的注意事项
注意中位线的定义和性质
注意证明方法的选取
在证明过程中，要明确中位线的定义 和性质，确保正确使用。
根据具体的情况，选取适当的证明方 法，以达到简洁明了的证明效果。
05