通用版高考数学大二轮复习专题突破练4从审题中寻找解题思路理

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高三数学二轮复习第二编考前冲刺攻略 4.3解答题的解题程序模板课件理

∴PBMP ＝MNBD＝12.又QQAB＝12.
∴QQBA＝PBMP .
∴在△MAB中，QP∥AM.
又QP⊄面AMD，AM⊂面AMD，
∴QP∥面AMD.
(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．
解 (2)以DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，
2sinA＋π6取最大值2. 综上可知， 3sinA－cosB＋π4的最大值为2，此时A＝π3，B＝51π2.
(3)若a2＋c2－b2＝ac，且c＝2.求△ABC的面积．
解 (3)由a2＋c2－b2＝ac及余弦定理，得
cosB＝a2＋2ca2c－b2＝2aacc＝12.
又0<B<34π，因此B＝π3.
(1)P是△ABM的一边BM上的点→在另一边AB上一定存在一点Q使PQ∥AM→
BQ QA
＝
BP PM
＝
MNBD＝12.
(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角．
构建解题程序第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线．
第二步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标．
第三步：求(或找)两个半平面的法向量．
第四步：求法向量n1，n2的夹角或cos〈n1，n2〉(若为锐二面角则求|cos〈n1，n2〉|)．第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．
第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．如本题求得cos〈n1，n2〉＝－
构建解题程序第一步：运用正弦定理，将边化为角的关系，进而由角的范围及tanC＝1，求角C. 第二步：化三角函数为 a2＋b2sin(x＋φ)的形式．第三步：根据三角函数性质，求出A，B. 第四步：利用余弦定理与面积公式求S△ABC. 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤．批阅笔记 1.①本题第(1)、(3)问的求解关键充分运用条件特征，灵活运用正余弦定理，完成边角的转化． ②第(2)问注意到A、B关系，逆用两角和的正弦公式． 2．本题易错点：①第(2)问中，忽视角的取值范围，推理计算不严谨； ②不会将cosB＋π4转化为cos(π－A)，导致求解复杂化，使得求错结论； ③抓不住第(3)问的条件特征，盲目代入，无果而终．

2021年高考数学二轮专题突破(新高考)-专题六第3讲母题突破4 探索性问题(解析版)

即－(m－1)· ＝－2k· ，解得m＝2，
∴存在定点Q(0,2)，使得＝恒成立．
2．在平面直角坐标系xOy中．
①已知点Q( ，0)，直线l：x＝2 ，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为 .
②已知点H(－，0)，G是圆E：x2＋y2－2 x－21＝0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.
假设在x轴上存在一点A(a,0)，使得x轴平分∠MAN，
∴kAM＋kAN＝0，∴ ＋＝0，
∴ ＝0，
又y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，
∴ ＝0，
把(*)式代入上式化简得4a＝－8，
∴a＝－2，∴点A(－2,0)，
综上所述，在x轴上存在一点A(－2,0)，使得x轴平分∠MAN.
规律方法探索性问题的求解策略
当切线方程为x＝时，M( ， )，N( ，－ )，
以MN为直径的圆的方程为(x－ )2＋y2＝2.①
当切线方程为x＝－时，M(－， )，N(－，－ )，
以MN为直径的圆的方程为(x＋ )2＋y2＝2.②
由①②联立，可解得交点为(0,0)．
当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋m，即＝，即m2＝2(k2＋1)．
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝＋ .
(1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
(2)设圆O：x2＋y2＝2上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】解设Q(x0，y0)，则P(－x0，－y0)，
可知0<x0<2,0<y0<1.

2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用高考解答题的审题与答题示范数列类(2页)

又由题设可得a1＝2，适合an＝ .③
从而{an}的通项公式an＝ (n∈N*)．④
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知＝＝－裂项求和．⑤
则Sn＝－＋－＋…＋－＝ .
⑥
第(1)问
第(2)问
得分点
1
②
③
④
⑤
⑥
2
1
1
2
3
3
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①写出n≥2时的递推关系式得2分.
②求得n≥2时的{an}的通项公式得1分.
③验证a1，得1分.
④写出通项公式得2分.
第(2)问踩点得分说明
⑤将裂项得3分.
⑥利用裂项求和得3分.
高考解答题的审题与答题示范数列类
[思பைடு நூலகம்流程]
,[审题方法]——审结构
结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．
典例
(本题满分12分)(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
审题路线
(1) ―→
(2) ―→ ＝＝－ ―→
标准答案
阅卷现场
(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．①
两式相减得(2n－1)an＝2.
所以an＝ (n≥2)求通项．②

(通用版)2020版高考数学大二轮复习第一部分第4讲从审题中寻找解题思路课件理

BP 延长线的垂线,垂足为 D.记∠PBA=θ,由
∠ABC=∠BPC=90°,得∠PCB=θ.
Rt△ADB 中,AD= 3sin θ,BD= 3cos θ.
Rt△BPC 中,BP=sin θ.又∠APB=150°,得∠APD=30°,Rt△ADP
中,PD= �� =3sin θ,由 BD=BP+PD,得 3cos θ=sin θ+3sin θ,所以
审题指导三)关于x=a对称,则满足f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.
-9-
(2)审题指导一利用Rt△ABC和Rt△BPC的边角关系,求得 ∠PCB=∠ABP=θ,进而推出PC=cos θ,同理根据 ∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC,推出∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC,由正弦定理及同角三角函数关系, 求得tan ∠PBA.
第4讲从审题中寻找解题思路
审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节, 透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.
tan30 °
tan θ= 3,即 tan ∠PBA= 3.
4
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高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训(四)课件理

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(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中 9
组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？
9
参考数据：∑
(ti－ t )(yi－－y )＝－1800；
i＝1
^^ ^
参考公式：回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
向，建立空间直角坐标系 Axyz，
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则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2，0,0)，P(1,1,2)，假设存在 M(a，b，c)满足要求，设CCMP ＝λ(0≤λ≤1)，即C→M＝λC→P， (a－2，b－4，c)＝λ(－1，－3,2)，得 a＝2－λ，b＝4－3λ，c＝2λ，则 M(2－λ，4－3λ，2λ)，
4．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xy＝＝2－t－4t1－，2 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝1－2cosθ.
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)设 M1 是曲线 C1 上的点，M2 是曲线 C2 上的点，求|M1M2|的最小值．
∴|M1M2|的最小值为3105.
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5．已知函数 f(x)＝|x－1|. (1)求不等式 f(2x)－f(x＋1)≥2 的解集； (2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝f(3)，求证： a＋1＋ b＋1≤2 2.
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解 (1)因为 f(x)＝|x－1|，所以 f(2x)－f(x＋1)＝|2x－1|－|x|

新高考数学二轮总复习专题突破练4 从审题中寻找解题思路(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题突破练4 从审题中寻找解题思路一、单项选择题 1.已知sin π4-2x =35,则sin 4x 的值为( )A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2020山东济南6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是( ) A.14B.516C.38D.123.已知△ABC 中,sin A+2sin B cos C=0,√3b=c ,则tan A 的值是( ) A.√33B.2√33C.√3D.4√334.(2020天津河东区检测,8)已知实数a ,b ,ab>0,则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为( ) A.16B.14C.17D.65.(2020广东江门4月模拟,理12)四棱锥P-ABCD ,AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分6.(2020湖北高三期末,12)已知函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4,若方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时,不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则实数k 的最小值为( ) A.98B.2516 C.2-√32 D.√3−12二、多项选择题7.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,如图,则下列等式成立的是( ) A.|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |28.函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,对不同x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)=√3,则( ) A.a+b=π B.b-a=π2 C.φ=π3D.f (a+b )=√39.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( )A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=110.(2020山东历城二中模拟四,12)已知函数f(x)=2sin(ωx-π6)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(0,1),则以下结论正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为3πB.将函数f(x)的图象向左平移π6所得图象关于原点对称C.函数f(x)在区间[-π6,π2]上单调递增D.函数f(x)在区间(0,100π)上有66个零点三、填空题11.若△ABC的面积为√34(a2+c2-b2),则∠B=.12.(2020天津河东区检测,15)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3,若存在x1,x2,…,x n∈[0,92],使得f(x1)+f(x2)+…+f(x n-1)+g(x n)=g(x1)+g(x2)+…+g(x n-1)+f(x n),n∈N*,则n的最大值为.四、解答题13.(2020山东青岛二模,19)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,2S n+n+1=a n+12,n∈N*.(1)证明:当n≥2时,a n+1=a n+1;(2)若a4是a2与a8的等比中项,求数列{2n·a n}的前n项和T n.专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C 解析由题意得cosπ2-4x =1-2sin 2π4-2x =1-2×925=725,sin4x=cosπ2-4x =725.故选C .2.B 解析在经过6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或者向右两种选择,共有26=64种可能;要回到初始位置,则只需6次中出现3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能有C 63=20种可能.故恰好回到初始位置的概率P=2064=516.故选B . 3.A 解析∵sin A+2sin B cos C=0,∴sin(B+C )+2sin B cos C=0. ∴3sin B cos C+cos B sin C=0. ∵cos B ≠0,cos C ≠0,∴3tan B=-tan C .∵√3b=c ,∴c>b ,∴C>B.∴B 为锐角,C 为钝角.∴tan A=-tan(B+C )=-tanB+tanC1-tanBtanC =2tanB 1+3tan 2B=21tanB+3tanB ≤2√3=√33, 当且仅当tan B=√33时取等号.∴tan A 的最大值是√33.故选A .4.A 解析由于a 2+b 2≥2ab>0,所以aba 2+b 2+a 2b 2+4≤ab2ab+a 2b 2+4,故ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab ·4ab=16,当且仅当a=b 时,等号成立,故其最大值为16.5.B 解析在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),则由题意可得A (-3,0),B (3,0).∵AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB , ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ,∴APBP =ADBC =48=12.即BP 2=4AP 2,故有(x-3)2+y 2=4[(x+3)2+y 2], 整理得(x+5)2+y 2=16,表示一个圆.由于点P 不能在直线AB 上,故点P 的轨迹是圆的一部分,故选B . 6.C 解析函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4的图象如下图所示:当方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时, |ln x 1|=|ln x 2|,即x 1•x 2=1,x 1+x 2>2√x 1x 2=2,|ln(4-x 3)|=|ln(4-x 4)|,即(4-x 3)·(4-x 4)=1,且x 1+x 2+x 3+x 4=8, 若不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则k ≥11-(x 12+x 22)x 3x 4-1恒成立,由11-(x 12+x 22)x 3·x 4-1=11-(x 1+x 2)2+2x 1x 24(x 3+x 4)-16=13-(x 1+x 2)216-4(x 1+x 2)=14[(x 1+x 2)-4+3(x 1+x 2)-4+8]≤2-√32,故k ≥2-√32,故实数k 的最小值为2-√32,故选C.7.ABD 解析由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 正确; 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项B 正确; 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-∠ACD )<0,又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>0,故选项C 错误; 由题图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ,所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 由选项A,B 可得|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故选项D 正确.故选ABD .8.BD 解析根据函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,所以函数的周期为2π2=π,即b-a=T2=π2,故B 正确.由图象知A=2,则f (x )=2sin(2x+φ),在区间[a ,b ]中的对称轴为x=a+b 2,由f (x 1)=f (x 2)得,x 1,x 2也关于x=a+b 2对称,则x 1+x 22=a+b 2,即x 1+x 2=a+b ,则f (a+b )=f (x 1+x 2)=√3,故D正确,故选BD .9.BD 解析因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,∠F 1PF 2=π3,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a',则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c23,所以(a')2=2c23,即e 2=√62,故e2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.故选BD .10.AC 解析由函数f (x )=2sin ωx-π6的图象的一条对称轴为x=π,得ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),因为ω∈(0,1),所以k=0,ω=23,则f (x )=2sin23x-π6,所以周期T=2π23=3π,A 正确;将函数f (x )的图象向左平移π6,得g (x )=f (x +π6)=2sin 23x+π6-π6=2sin (23x -π18),显然g (x )的图象不关于原点对称,B 错误;由2k π-π2≤23x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ),即k=0,得-π2≤x ≤π,即[-π2,π]是函数f (x )的一个单调递增区间,又[-π6,π2]⊆[-π2,π],所以函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增,C 正确;由f (x )=0,得23x-π6=k π(k ∈Z ),解得x=32(kπ+π6),由0<32k π+π6<100π,得-16<k<66.5,因为k ∈Z ,所以k=0,1,2,…,66,所以函数f (x )在区间(0,100π)上有67个零点,D 项错误.11.π3解析由三角形面积公式可得,S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b 22ac=√34cos B ,∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.12.8 解析函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3.f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),即为x 1+x 2+…+x n-1+x n 2-x n +3=x 12-x 1+3+x 22-x 2+3+…+x n -12-x n-1+3+x n ,化为x n 2-2x n +3=x 12-2x 1+3+x 22-2x 2+3+…+x n -12-2x n-1+3,设h (x )=x 2-2x+3,可得存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1),故h (x )在x=1处取得最小值2,在x=92处取得最大值574,即有574≥h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1)≥2(n-1),即为n ≤658,可得n 的最大值为8.13.解(1)因为2S n +n+1=a n+12,所以2S n-1+n=a n 2(n ≥2).两式相减得2a n +1=a n+12−a n 2(n ≥2), 所以a n 2+2a n +1=a n+12, 即(a n +1)2=a n+12(n ≥2).因为数列{a n }的各项均为正数, 所以当n ≥2时,a n+1=a n +1. (2)由(1)得a 4=a 2+2,a 8=a 2+6, 因为a 4是a 2与a 8的等比中项,所以a 42=a 2·a 8,即(a 2+2)2=a 2·(a 2+6),解得a 2=2.又2a 1+2=a 22,所以a 1=1.所以a 2-a 1=1,从而a n+1-a n =1对n ∈N *恒成立.所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n ,所以2n ·a n =n·2n ,所以T n =1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n ,2T n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以T n=(n-1)·2n+1+2.两式相减得-T n=2+22+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2。

新高考数学二轮总复习学案设计从审题中寻找解题思路

第4讲从审题中寻找解题思路审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.审题与解题的关系审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.审题典例示范一、审清条件信息审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.【例1】(1)(2019广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是()A.-2B.-1C.0D.1(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,则tan ∠PBA=()A.√32B.-√32C.√34D.-√34x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值.f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f'(-1)=0,联立得,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.Rt △ABC 和Rt △BPC 的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,进而推出∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC ,推出∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC ,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tan ∠PBA.,过A 点作BP 延长线的垂线,构造Rt △ADB ,利用Rt △ABC 和Rt △BPC 的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,解Rt △ADB 、Rt △BPC 、Rt △ADP ,找出AD 、BD 、PD 、BP 之间的关系,并用与θ有关的正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD 建立等量关系求解tan ∠PBA.二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.【例2】(1)已知函数f (x )=√2sin (2ωx +π4)+1的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为( )A.[3π8,5π8)B.(3π8,5π8]C.[3π4,5π4)D.[3π4,5π4] (2)(2020浙江考前模拟,10)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P (x ,y ),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x ,y 无关,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4]B.[-4,6]C.(-∞,4]∪[6,+∞)D.[6,+∞)f (x )的图象在[0,12]上”是指x ∈[0,12],∴2ωx+π4∈[π4,ω+π4],设t=2ωx+π4,函数y=sin t 在[π4,ω+π4]上的对称轴为t=π2,t=3π2,…,对称中心为(π,0),(2π,0),…,f (x )的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,隐含着π2∈[π4,ω+π4],π∈[π4,ω+π4],但3π2∉[π4,ω+π4].|3x-4y+a|+|3x-4y-9|联想点到直线的距离公式,能审出其表示的是点3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和;x ,y 无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧,从而圆心1,由此得到a 的取值范围是a ≥6或a ≤-4;3x-4y-9=0的表达式,能审出该直线在圆的下方,所以另一直线必须在圆的上方,从而舍去a ≤-4.三、审条件中的结构特征高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.【例3】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=5,△ABC 的面积S △ABC =25√34,且b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,则sin B+sin C=( )A.3B.9√32C.√3D.3√33个.由a=5和S△ABC=25√34得不出结果,所以突破口为b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,该条件是关于三边两角的关系式,等式左边的结构与余弦定理的变式2bc cos A相等,代换后进行化简得结论A=π3,此为解法一;观察该等式的右边,为减少变量进行角边的转换,利用边表示角,得第二种解法.四、审图形特点寻简捷在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.【例4】(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.W与时间t的函数关系图象,能审出两函数图象在不同的时间段的变化特征,但企业污水治理能力的强弱是用-f(b)-f(a)b-a来表示的,所以-f(b)-f(a)b-a 的几何意义是解题的关键所在,若能审出-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的负数,问题迎刃而解.五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.【例5】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购19个还是20个易损零件?,有综合性但难度不大.时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x≤19与x>19,分别探求y与x的函数解析式;(2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图;(3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,在求解其平均数时自然需要借助于柱状图.六、审结论善转换结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.(a>0).若直线y=2x-b与【例6】(2020山东济南三模,16)已知函数f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x-12函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的值为;若总存在直线与函数的图象均相切,则a的取值范围是.f(x)与g(x)的图象都与直线相切,转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率,从而得到方程组,解出参数a的值.y=f(x),y=g(x)的图象均相切,首先转换成函数f(x)的g(x)的图象相切,其次再转换成由f(x)的图象的切线方程与函数g(x)的解析式组成的方程有两相等实根,然后将有两相等实根转换成判别式等于0,从而得出关于参数a的表达式,最后转换成求a的最小值.七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.【例7】(2020山东济南6月模拟,8)在△ABC中,cos A+cos B=√3,AB=2√3.当sin A+sin B 取最大值时,△ABC内切圆的半径为()A.2√3-3B.2√2-2C.13sin A+sin B取最大值时,△ABC内切圆的半径,首先要求出sin A+sin B取最大.cos A+cos B=√3是解决问题的突破口,条件是两角的余弦,要求的最大值是两角的正弦,同角三角函数的平方公式能够将条件和要求的结论联系起来,从而找到解决问题的思路.审题策略归纳1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练.2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.第4讲从审题中寻找解题思路审题典例示范【例1】(1)C(2)C解析(1)(方法一)∵f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,∴f(x)=-x2(x+2)2=-(x2+2x)2.所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法二)由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4, ①由f(x)关于x=-1对称,可知f'(-1)=0,得3a=2b+4, ②联立①②解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)≤0,所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法三)因为f (x )=-x 2(x 2+ax+b )的图象关于直线x=-1对称,则满足f (x-1)=f (-1-x ).运用特殊值法.取x=1,x=2,代入上式,则{f (0)=f (-2),f (1)=f (-3),{4-2a +b =0,7a -2b -20=0,解得{a =4,b =4.当a=b=4时,f (x )=f (-2-x )恒成立,即a=b=4满足题意.即f (x )=-x 2(x+2)2.当x=0时,f (x )取最大值0,故选C .(2)(方法一)设∠ABP=θ,则∠PCB=θ,∴PC=cos θ.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,∴AC=2,∠ACB=π3.在△PAC 中,∠APC=120°,∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC ,∴∠PAC=θ.由正弦定理,得AC sin∠APC =PC sin∠PAC ,即2sin120°=cosθsinθ,tan θ=sin120°2=√34.(方法二)借助平面几何知识,寻找到线段长度关系.延长BP ,过A 点作BP 延长线的垂线,垂足为D.记∠PBA=θ,由∠ABC=∠BPC=90°,得∠PCB=θ.Rt △ADB 中,AD=√3sin θ,BD=√3cos θ.Rt △BPC 中,BP=sin θ.又∠APB=150°,得∠APD=30°,Rt △ADP中,PD=AD tan30°=3sin θ,由BD=BP+PD ,得√3cos θ=sin θ+3sin θ,所以tan θ=√34,即tan ∠PBA=√34.【例2】(1)C (2)D 解析(1)由题意,x ∈[0,12],2ωx+π4∈[π4,ω+π4],在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,∴π2∈[π4,ω+π4],π∈[π4,ω+π4],3π2∉[π4,ω+π4],∴{ω+π4≥π2,ω+π≥π,ω+π4<3π2,即π≤ω+π4<3π2,即3π4≤f <5π4.故选C . (2)依题意|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=|3x -4y+a |5+|3x -4y -9|5, 表示P (x ,y )到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和,由距离之和与圆上任意一点的坐标x ,y 无关,故两条平行直线在圆的两侧,又直线3x-4y-9=0在圆的下方,所以直线3x-4y+a=0应该在圆的上方,故圆心(1,1)到直线3x-4y+a=0的距离d=|3-4+a |5≥1,解得a ≥6或a ≤-4(舍去),故选D . 【例3】C 解析(方法一)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c2cos A ,∴cos A=accosC+c 2cosA 2bc =acosC+ccosA 2b . ∴cos A=sinAcosC+cosAsinC 2sinB =sin (A+C )2sinB =12,又A ∈(0,π),∴A=π3.∵S △ABC =12bc sin A=25√34,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,∴b+c=10.∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形.∴sin B+sin C=√3.(方法二)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴b 2+c 2-a2=ac ·a 2+b 2-c 22ab +c 2·b 2+c 2-a 22bc =c (a 2+b 2-c 2+b 2+c 2-a 2)2b=2b 2c 2b =bc.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =12,又A ∈(0,π),∴A=π3.∵S △ABC =12bc sin A=25√34, ∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50.则(b+c )2=100,∴b+c=10,∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形.∴sin B+sin C=√3.【例4】①②③ 解析-f (b )-f (a )b -a表示区间端点连线斜率的负数,在[t 1,t 2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;在t 2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确;甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,甲企业在[t 1,t 2]这段时间内斜率最小,则其相反数最大,即在[t 1,t 2]的污水治理能力最强,④错误.故正确的结论为①②③.【例5】解(1)当x ≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y 与x 的函数解析式为y={3800,x ≤19,500x -5700,x >19(x ∈N ). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000元.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元,10台的费用为4500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050元.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【例6】23 [32,+∞) 解析由题意,f'(x )=2x ,g'(x )=2ax-1,因直线y=2x-b 与函数y=f (x ),y=g (x )的图象均相切,所以{2x =2,2ax -1=2,解得x=1,a=32;设直线l 与y=f (x )的图象相切于点P 1(x 1,y 1),x 1>0,则切线方程为y-2ln x 1=2x 1(x-x 1),代入g (x )=ax 2-x-12(a>0),得2x 1x-2+2ln x 1=ax 2-x-12,即ax 2-(1+2x 1)x+(32-2lnx 1)=0,所以Δ=(1+2x 1)2-4a ×(32-2lnx 1)=0, 所以a=(x 1+2)22x 12(3-4lnx 1)(x 1>0). 令y=(x 1+2)212(3-4lnx 1)(x 1>0), 则y'=2(x 1+2)(4lnx 1+x 1-1)x 1(3-4lnx 1)2,所以y'=0,解得x 1=1. 当x 1>1时,y'>0,y 单调递增,当0<x 1<1时,y'<0,y 单调递减,因此y ≥(1+2)22×12(3-4ln1)=32,即a ≥32. 【例7】A 解析令t=sin A+sin B ,t>0,cos A+cos B=√3,平方相加得t 2+3=2+2cos A cos B+2sin A sin B ,得t 2=2cos(A-B )-1,显然,当A=B 时,t 有最大值,t max =1,则cos A=cos B=√32.又A ,B ∈(0,π),得A=B=π6,则C=2π3,设D 为AB 的中点,如图所示,则CD=1,AC=BC=2,设内切圆的半径为r ,则S △ABC =12×2√3×1=12(2+2+2√3)r ,解得r=2√3-3.故选A .。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版考前强化练4 客观题12+4标准练D Word版含解析

姓名，年级：时间：考前强化练4客观题12+4标准练D一、选择题的共轭1.（2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数2+i1+i复数z在复平面内对应的点位于(）A.第一象限B。

第二象限C。

第三象限 D.第四象限2。

(2019河北邢台二中二模,理1）已知集合A={(x,y）|x2+y2=1｝,B=｛（x,y)｜y=x｝，则A∩B的真子集个数为（)A。

0 B.1 C。

2 D.33。

若实数x，y满足｜x—1｜-ln y=0,则y关于x的函数图象的大致形状是（）4.（2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器-—商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸）,其体积为12.6立方寸。

若取圆周率π=3,则图中的x值为（)A。

1.5 B。

2 C.3 D。

3。

15。

若数列{a n｝是正项数列,且√a1+√a2+…+√a n=n2+n,则a1+a22+…+a nn等于(）A。

2n2+2n B。

n2+2n C。

2n2+n D.2（n2+2n）6.将函数f（x)=cosωx22sinωx2—2√3cosωx2+√3（ω〉0）的图象向左平移π3ω个单位长度,得到函数y=g(x）的图象,若y=g(x）在0,π12上为增函数,则ω的最大值为（)A。

2 B。

4 C.6 D.87。

(2019黑龙江齐齐哈尔高三二模，理7)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a〉b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点，点A在x轴上方.若｜AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16，则直线AF2的方程是（)A.2x+3y-5=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y—4=0D.3x+4y-3=08.如图是计算函数y={-x,x≤-1,0,-1<x≤2,x2,x>2的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是（）A.y=-x，y=0，y=x2B.y=-x，y=x2，y=0C.y=0，y=x2,y=-xD。

【高考数学】高三二轮复习专题案之解答题解题策略-透视高考,解题模板示范,

PN＝
14 2x
等.
2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，在第(2)问的求解过程
中，证明 CM⊥AD 时，利用第(1)问证明的结果 B：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分.所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第 (1)问中一定要写出 BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD 两个条件，否则不能得全分.在第(2)问中，证明 PM⊥平面 ABCD 时，一定写全三个条件，如平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PM⊥AD 一定要有，否则要扣分.再如第(2)问中，一定要分别求出 BC，AD 及 PM，再计算几何体的体积.
2019届高三二轮复习专题案之解答题解题策略
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题型概述 1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写. 2.不求巧妙用通法，通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.
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规范解答 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13， ∴a1＝2，3 分得分点① 0 所以数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 4 分得分点② 因此{an}的通项公式 an＝2＋3(n－1)＝3n－1. 6 分得分点③
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(2)由(1)和 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得 bn＋1＝1n＋bnan＝b3n≠0，则bbn＋n 1＝13，9 分得分点④ 因此数列{bn}是首项为 1，公比为13的等比数列， 10 分得分点⑤ 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝1－1－1313n＝32－2×13n－1.12 分得分点⑥

2021-2022年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破一数学思想方法的贯通应用专项突破训练4

2021年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破一数学思想方法的贯通应用专项突破训练4 文一、选择题(每小题5分，共30分)1．(xx·广东广州测试)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] 答案：D解析：由函数f (x )的定义域为R ，得不等式x 2＋ax ＋1≥0在R 上恒成立，于是Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2.故选D.2．(xx·马鞍山质检)在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A ．4－2 3 B.3＋1 C.3－1 D.3 答案：C解析：设点P (x ，y )，则由动点P 满足|CP →|＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1.根据OA →＋OB →＋OP →的坐标为(2＋x ，y ＋1)，可得|OA →＋OB →＋OP →|＝x ＋22＋y ＋12，表示点P (x ，y )与点M (－2，－1)之间的距离．又点M 在圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1的外部，求得|MC |＝3，|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为|MC |－1＝3－1.故选C.3．(xx·开封二模)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )< 0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b ＞cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案：B解析：由函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，得函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数y ＝f (x )是奇函数．设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0，得F (x )在(－∞，0)上是减函数，则F (x )在(0，＋∞)上也是减函数，又F (x )在原点有定义，则F (x )在R 上也是减函数．∵30.3＞1,0＜log π3＜1，log 319＝－2，∴F (－2)＞F (log π3)＞F (30.3)，即c >a >b .故选B.4. (xx·上海六校联考)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝AC ，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1；②A 1B ⊥AM ；③平面AMC 1∥平面CNB 1，其中正确的结论个数为( )A.0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D解析：如题图所示，由于ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，BC ＝AC ，AC 1⊥A 1B ，M 分别为A 1B 1的中点，得C 1M ⊥A 1B 1 ，所以C 1M ⊥平面A 1ABB 1，①正确；又因为AC 1⊥A 1B ，且C 1M ⊥平面A 1ABB 1，所以可证得AM ⊥A 1B ，所以②正确；因为M ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点．所以由AM ∥B 1N ，C 1M ∥CN 得平面AMC 1∥平面CNB 1，所以③正确．故选D.5．(xx·福建厦门质检)已知函数f (x )＝13x 2＋mx 2＋(2m ＋3)x (m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，记圆(x ＋1)2＋y 2＝15上的点到直线l 的最短距离为g (m )，g (m )的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，355答案：C解析：函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2＋2mx ＋(2m ＋3)，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两根，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m ＋3，Δ＝(2m 2)－4(2m ＋3)＞0，解得m ＜－1或m ＞3.由直线l 经过点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则直线l 的方程为y －x 21x 22－x 21＝x －x 1x 2－x 1，化简得(x 1＋x 2)x －y －x 1x 2＝0，即2mx ＋y ＋(2m ＋3)＝0.圆心C (－1,0)到直线l 的距离d ＝|－2m ＋0＋2m ＋3|2m 2＋12＝34m 2＋1＜355，圆(x ＋1)2＋y 2＝15上的点到直线l 的最短距离g (m )＝d －55，故g (m )的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.故选C.6．(xx·甘肃兰州诊断)己知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)答案：B解析：∵f (x ＋2)为偶函数， ∴f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， ∴f (x )的图象关于x ＝2对称，∴f (4)＝f (0)＝1，设g (x )＝f xe x(x ∈R )，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x e x2＝f ′x －f xe x.又∵f ′(x )<f (x )， ∴g ′(x )<0(x ∈R )，∴函数g (x )在定义域上单调递减．∵f (x )<e x⇔g (x )＝f xe x<1，而g (0)＝f 0e 0＝1，∴f (x )<e x ⇔g (x )<g (0)，∴x >0.故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)7．(xx·安徽江南十校联考)命题存在x >1，x 2＋(m －3)x ＋3－m <0为假命题，则m 的取值范围是________．答案：[－1，＋∞)解析：由题意知，对任意的x >1，x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0 为真命题，而由x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0变形得(x －1)2－(x －1)＋1＋(x －1)m ≥0.由于x －1>0则m ≥ －⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1＋1对任意x >1恒成立，而－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1＋1≤－2x －1·1x －1＋1＝－1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，因此m ≥ －1.8．(xx·河北石家庄二模)已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案：{m |m ≤－4或m ≥4}解析：∵綈q 是綈p 的充分不必要条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，∴{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意，当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎨⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4，解得m ≤－4.当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎨⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4，解得m ≥4.综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．9. (xx·辽宁沈阳质检)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案：323(1－4－n )解析：因为数列{a n }的公比q ＝3a 5a 2＝12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝23－n .所以a n a n ＋1＝23－n ·22－n ＝25－2n .所以数列{}a n a n ＋1的公比q ′＝25－2n ＋125－2n ＝14.又a 1a 2＝22×2＝8，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323()1－4－n.10．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PA →·PB →的最小值为________．答案：22－3解析：如图，连接OP ，OA ，OB ，设∠APB ＝θ，0＜θ＜π，则PA →·PB →＝|PA ||PB |cos θ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1tan θ22cos θ ＝cos 2θ2sin2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin2θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2sin2θ2.换元：令x ＝sin 2θ2，则0＜x ＜1，则PA →·PB →＝1－x 1－2xx＝2x ＋1x －3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22∈(0,1)时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3.三、解答题(每题10分，共30分)11．(xx·甘肃兰州诊断)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C .(1)求证：AD 1⊥BC ；(2)在AB 上是否存在点M ，使得C 1M ∥平面ADD 1A 1？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．解： (1)证明：连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ， ∴D 1C ⊥BC ，在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，∴BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AD 1C ，∴AD 1⊥BC ，(2)设M 是AB 上的点 .证明如下：∵AB ∥CD ， ∴AM ∥D 1C 1.因经过AM ，D 1C 1的平面与平面ADD 1A 1相交与AD 1，要是C 1M ∥平面ADD 1A 1，则C 1M ∥AD 1，即四边形AD 1C 1M 为平行四边形，此时D 1C 1＝DC ＝AM ＝12AB ，即点M 为AB 的中点．所以在AB 上存在点M ，使得C 1M ∥平面ADD 1A 1，此时点M 为AB 的中点．12.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3.又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝18，∴cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，∴a ＝3 2.13．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x＋2ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)当a ＜0时，求f (x )的单调区间；(3)若对任意a ∈(－3，－2)及任意x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3＞|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x (x ＞0)，f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增，所以f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，无极大值．(2)因为f ′(x )＝2－ax －1x2＋2a ＝2ax 2＋2－ax －1x2＝2x －1ax ＋1x2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x 2，当－1a ＜12，即a ＜－2时，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜－1a 或x ＞12.令f ′(x )＞0得－1a ＜x ＜12；当－1a ＞12，即－2＜a ＜0时，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12或x ＞－1a ，令f ′(x )＞0, 得12＜x ＜－1a ；当a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －12x 2≤0. 综上所述，当a ＜－2时，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12；当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a . (3)由(2)可知，当a ∈(－3，－2)时，f (x )在区间[1,3]上单调递减．当x ＝1时，f (x )取得最大值；当x ＝3时，f (x )取得最小值． |f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (3)＝(1＋2a )－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ln 3＋f(13＋6a )＝23－4a ＋(a －2)ln 3.因为(m ＋ln 3)a －2ln 3＞|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，即(m ＋ln 3)a －2ln 3＞23－4a ＋(a －2)ln 3，整理得ma ＞23－4a ，又a ＜0，所以m ＜23a －4恒成立.由－3＜a ＜－2，得－133＜23a －4＜－389，所以m ≤－133.即m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪ m ≤－133.。

高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练4 从审题中寻找解题思路

专题突破练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.(2019山东栖霞高三模拟,文7)已知sinπ4-2x=35,则sin 4x的值为()A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2019安徽黄山高三质检,文5)函数y=x3+ln(√x2+1-x)的图象大致为()3.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t<23B.t>23C.t<2且t≠-6D.t<-64.已知△ABC中,sin A+2sin B cos C=0,√3b=c,则tan A的值是()A.√33B.2√33C.√3D.4√335.设双曲线x 22−y2b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为√3c,则双曲线的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√336.(2019湖南桃江一中高三模拟,理9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),若B1P∥平面A1BM,则C1P的最小值是()A.√305B.2√305C.2√75D.4√757.(2019江西临川一中高三模拟,文12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过两点A0,√22,Bπ4,0,f(x)在0,π4内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则f(x)=()A.sin3x+π4B.sin5x+3π4C.sin7x+π4D.sin9x+3π4二、填空题8.(2019山东栖霞高三模拟)若△ABC的面积为√34(a2+c2-b2),则∠B=.9.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为a i,j(i,j ∈N*),则(1)a9,9=;(2)表中的数82共出现次.和2的等比中项,c是1和5 10.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b是12的等差中项,则a的取值范围是.11.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项;(2)设{b n-(-1)n a n}是等比数列,且b2=7,b5=71.求数列{b n}的前n项和T n.12.(2019河南八市重点高中高三五模,文21)已知函数f(x)=x(ln x+a)+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为2x-y-1=0.(1)求a,b的值;(2)若对任意的x∈(1,+∞),f(x)≥m(x-1)恒成立,求正整数m的最大值.13.(2019河南八市重点高中高三五模,理21)已知函数f(x)=e x-ax2,且曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:x>0时,e x-e x-1≥x(ln x-1).参考答案专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析由题意得cosπ2-4x=1-2sin2π4-2x=1-2×925=725,sin 4x=cosπ2-4x=725.故选C.2.C解析当x=1时,y=1+ln(√2-1)=1-ln(√2+1)>0;当x=-1时,y=-1+ln(√2+1)<0.观察各选项,可得C选项符合.故选C.3.C解析若a,b的夹角为钝角,则a·b<0且不反向共线,a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共线时,2×3=-t,得t=-6,此时a=-2b.所以t<23且t≠-6.故选C.4.A解析∵sin A+2sin B cos C=0,∴sin(B+C)+2sin B cos C=0.∴3sin B cos C+cos B sin C=0.∵cos B≠0,cos C≠0,∴3tan B=-tan C.∵√3b=c,∴c>b.∴C>B.∴B为锐角,C为钝角.∴tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC =2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤2√3=√33,当且仅当tan B=√33时取等号.∴tan A的最大值是√33.故选A.5.A 解析 ∵直线l 过(a ,0),(0,b )两点,∴直线l 的方程为x a +y b =1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l 的距离为√34c , ∴√22=√34c ,即a 2b 2a 2+b 2=316c 2,又c 2=a 2+b 2,∴a 2(c 2-a 2)=316c 4, 即316c 4-a 2c 2+a 4=0,化简得(e 2-4)(3e 2-4)=0,∴e 2=4或e 2=43.又∵0<a<b ,∴e 2=c 2a 2=1+b 2a 2>2,∴e 2=4,即e=2,故选A .6.B 解析如图,在A 1D 1上取中点Q ,在BC 上取中点N ,连接DN ,NB 1,B 1Q ,QD.∵DN ∥BM ,DQ ∥A 1M 且DN ∩DQ=D ,BM ∩A 1M=M ,∴平面B 1QDN ∥平面A 1BM ,则动点P 的轨迹是DN (不含D ,N 两点), 又CC 1⊥平面ABCD ,则当CP ⊥DN 时,C 1P 取得最小值. 此时,CP=√22=√5,∴C 1P ≥√(√5)2+22=2√305.故选B.7.D 解析根据题意画出函数f (x )的大致图象如下,因为f (0)=sin φ=√22,由图可知,φ=3π4+2k π(k ∈Z ).又因为0<φ<π,所以φ=3π4.所以f (x )=sin ωx+3π4.因为fπ4=sinπ4ω+3π4=0,由图可知,π4ω+3π4=π+2k π,k ∈Z ,解得ω=1+8k ,k ∈Z .又因为2πω=T<π4,可得ω>8.所以当k=1时,ω=9,所以f (x )=sin 9x+3π4.故选D. 8.π3 解析由三角形面积公式可得:S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b 22ac=√34cos B , ∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.9.(1)82 (2)5 解析 (1)a 9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2……第9行的公差为9,第9行的首项b 1=10,则b 9=10+8×9=82.(2)第1行数组成的数列a 1,j (j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a 1,j =2+(j-1)·1=j+1;第i 行数组成的数列a i ,j (j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i 的等差数列,所以a i ,j =(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得a i ,j =ij+1=82,即ij=81,且i ,j ∈N *,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.10.(2√2,√10) 解析因为b 是12和2的等比中项,所以b=√12×2=1;因为c 是1和5的等差中项,所以c=1+52=3.又因为△ABC 为锐角三角形,①当a 为最大边时, 有{12+32-a 2>0,a ≥3,1+3>a ,解得3≤a<√10;②当c 为最大边时,有{12+a 2-32>0,a +1>3,a ≤3,解得2√2<a ≤3. 由①②得2√2<a<√10, 所以a 的取值范围是(2√2,√10). 11.解 (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0),∵a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列,∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故a n =a 1+(n-1)d=2n. (2)令c n =b n -(-1)n a n ,设{c n }的公比为q.∵b 2=7,b 5=71,a n =2n , ∴c 2=b 2-a 2=3,c 5=81, ∴q 3=c5c 2=27,q=3,∴c n =c 2q n -2=3n-1. 从而b n =3n-1+(-1)n 2n.T n =b 1+b 2+…+b n =(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n2n ],当n 为偶数时,T n =3n +2n -12,当n为奇数时,T n =3n -2n -32.12.解 (1)由f (x )=x (ln x+a )+b ,得 f'(x )=ln x+a+1,由切线方程可知:f (1)=2-1=1,∴{f '(1)=a +1=2,f (1)=a +b =1,解得{a =1,b =0.(2)由(1)知f (x )=x (ln x+1),则x ∈(1,+∞)时,f (x )≥m (x-1)恒成立等价于x ∈(1,+∞)时,m ≤x (lnx+1)x -1恒成立.令g (x )=x (lnx+1)x -1,x>1,则g'(x )=x -lnx -2(x -1)2.令h (x )=x-ln x-2,则h'(x )=1-1x =x -1x,∴当x ∈(1,+∞)时,h'(x )>0,则h (x )单调递增,∵h (3)=1-ln 3<0,h (4)=2-2ln 2>0, ∴∃x 0∈(3,4),使得h (x 0)=0.当x ∈(1,x 0)时,g'(x )<0;x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,∴g (x )min =g (x 0)=x 0(ln x 0+1)x 0-1.∵h (x 0)=x 0-ln x 0-2=0, ∴ln x 0=x 0-2. ∴g (x )min =g (x 0)=x 0(x 0-2+1)x 0-1=x 0∈(3,4).∴m ≤x 0∈(3,4),即正整数m 的最大值为3. 13.(1)解由f (x )=e x -ax 2,得f'(x )=e x -2ax.因为曲线y=f (x )在点x=1处的切线与直线x+(e -2)y=0垂直, 所以f'(1)=e -2a=e -2,所以a=1, 即f (x )=e x -x 2,f'(x )=e x -2x. 令g (x )=e x -2x ,则g'(x )=e x -2.所以x∈(-∞,ln 2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;x∈(ln 2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 2>0.所以f'(x)>0,f(x)单调递增.即f(x)的单调增区间为(-∞,+∞),无减区间.(2)证明由(1)知f(x)=e x-x2,f(1)=e-1,所以y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),即y=(e-2)x+1.令h(x)=e x-x2-(e-2)x-1,则h'(x)=e x-2x-(e-2)=e x-e-2(x-1),且h'(1)=0,h″(x)=e x-2.x∈(-∞,ln 2)时,h″(x)<0,h'(x)单调递减;x∈(ln 2,+∞)时,h″(x)>0,h'(x)单调递增.因为h'(1)=0,所以h'(x)min=h'(ln 2)=4-e-2ln 2<0.因为h'(0)=3-e>0,所以存在x0∈(0,1),使x∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;x∈(x0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.又h(0)=h(1)=0,所以x>0时,h(x)≥0,即e x-x2-(e-2)x-1≥0,所以e x-(e-2)x-1≥x2.令φ(x)=ln x-x,则φ'(x)=1x -1=1-xx.所以x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增; x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,所以φ(x)≤φ(1)=-1,即ln x+1≤x.因为x>0,所以x(ln x+1)≤x2.所以x>0时,e x-(e-2)x-1≥x(ln x+1),即x>0时,e x-e x-1≥x(ln x-1).由Ruize收集整理。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练：4 从审题中寻找解题思路

��5
∴q3=��2=27,q=3,
∴cn=c2�� - 2=3n-1.
从而 bn=3n-1+(-1)n2n.
3�� + 2�� - 1
Tn=b1+b2+…+bn=(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n2n],当 n 为偶数时,Tn= 2 ,当 n
10.(2
2,
1
10) 解析因为 b 是2和 2 的等比中项,所以 b=
1 2
×
2 =1;因为
c
是
1
和
5
的等
1+5
差中项,所以 c= 2 =3.
又因为△ABC 为锐角三角形, ①当 a 为最大边时,
{12 + 32 - ��2 > 0, �� ≥ 3, 有 1 + 3 > ��, 解得 3≤a< 10; ②当 c 为最大边时,有
(2)第 1 行数组成的数列 a1,j(j=1,2,…)是以 2 为首项,公差为 1 的等差数列,所以 a1,j=2+(j1)·1=j+1;第 i 行数组成的数列 ai,j(j=1,2,…)是以 i+1 为首项,公差为 i 的等差数列,所以 ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得 ai,j=ij+1=82,即 ij=81,且 i,j∈N*,所以 81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中 82 共出现 5 次.
3
A. 3
23
B. 3

高考理科数学通用版练酷专题二轮复习教学案：第四板块拓视野巧迁移 Word版含解析

第一讲创新应用问题一、实际应用问题(1)应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化.(2)建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决).[典例] (1)一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x 的值应为( )A ．6B ．3C ．1 D.16[解析] 无盖方盒的底面边长为6－2x ，高为x ，其容积V (x )＝(6－2x )2x ＝4x 3－24x 2＋36x (0＜x ＜3)，则V ′(x )＝12x 2－48x ＋36＝12(x －1)(x －3)，当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，函数V (x )单调递增；当x ∈(1,3)时，V ′(x )＜0，函数V (x )单调递减．故当x ＝1时，无盖方盒的容积最大．[答案] C(2)(·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．B ．C ．D ．[解析] 设后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．[答案] B[反思领悟] 解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．[创新预测]为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育．为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表：(1)(2)根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为320人，每人闯红灯的可能性相同，且相互独立，在处罚金额为0元的情况下，记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y∑i ＝1n x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x . 解：(1)由题意得x ＝15(0＋5＋10＋15＋20)＝10， y ＝15(80＋50＋40＋20＋10)＝40， ∑i ＝15x i y i ＝0×80＋5×50＋10×40＋15×20＋20×10＝1 150，∑i ＝15x 2i ＝0＋25＋100＋225＋400＝750，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 150－5×10×40750－5×102＝－3.4， a ^＝y －b ^x ＝40＋3.4×10＝74，所以当天闯红灯人数y 关于当天处罚金额x 的回归直线方程为y ^＝－3.4x ＋74.(2)上述路口每天经过的行人约为320人，在处罚金额为0元的情况下，闯红灯的人数为80，故每人闯红灯的概率为14. 易知X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－143＝2764， P (X ＝1)＝C 13·14·⎝⎛⎭⎫1－142＝2764， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫1－14＝964，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫143＝164，所以X 的分布列为：故E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝4864＝34.二、创新性问题(1)以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. (2)以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力. (3)以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.[典例] 设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”．若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎦⎤－∞，12D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ [解析] 由题意，方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间[1,4]上有解，显然x ≠1，所以方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间(1,4]上有解，即求函数a ＝2x －52x 2－1在区间(1,4]上的值域，令t ＝4x －5，则t ∈(－1,11]，a ＝8t t 2＋10t ＋9，当t ∈(－1,0]时，a ≤0；当t ∈(0,11]时，0＜a ＝8t ＋9t ＋10≤82t ×9t ＋10＝12，当且仅当t ＝3时取等号．综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. [答案] C[反思领悟] 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．[创新预测]1．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{a n }是以a 1＝(1,3)为首项，公差为d ＝(1,0)的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *)垂直，则x 10x 1＝________. 解析：易知a n ＝(1,3)＋(n －1,0)＝(n,3)，因为向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *)垂直，所以x n ＋1x n＝－n 3，所以x 10x 1＝x 2x 1·x 3x 2·x 4x 3·x 5x 4·x 6x 5·x 7x 6·x 8x 7·x 9x 8·x 10x 9＝⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－23×⎝⎛⎭⎫－33×⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－63×⎝⎛⎭⎫－73×⎝⎛⎭⎫－83×⎝⎛⎭⎫－93＝－4 480243. 答案：－4 4802432．(·青岛一模)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x ＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________．解析：由不等式x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，得x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]＞0，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0.所以函数f (x )为定义域R 上的单调增函数．①y ＝x 2在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不合题意；②因为y ＝e x ＋1，所以y ′＝e x ＞0，故该函数在R 上为单调增函数，满足题意；③因为y ＝2x －sin x ，所以y ′＝2－cos x ＞0，故该函数在R 上为单调增函数，满足题意；④显然，函数f (x )为偶函数，而偶函数在y 轴两侧的单调性相反，故不合题意．综上，②③为“H 函数”．答案：②③3.如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP ―→＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )，向量OP―→的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若θ＝60°，P (2，－1)，则|OP ―→|＝3；②若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP ―→＋OQ ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；③若OP ―→＝(x 1，y 1)，OQ ―→＝(x 2，y 2)，则OP ―→·OQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2；④若θ＝60°，以O 为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.其中所有正确结论的序号是________．解析：对于①，OP 是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|OP ―→|＝3，故①正确；对于②，若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP ―→＋OQ ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，故②正确；对于③，OP ―→＝(x 1，y 1)，OQ ―→＝(x 2，y 2)，所以OP ―→·OQ ―→＝(x 1e 1＋y 1e 2)·(x 2e 1＋y 2e 2)，因为e 1·e 2≠0，所以OP ―→·OQ ―→≠x 1x 2＋y 1y 2，故③错误；对于④，设圆O上任意一点为P (x ，y )，因为|OP |＝1，所以(xe 1＋ye 2)2＝1，所以x 2＋y 2＋xy －1＝0，故④正确．故填①②④.答案：①②④三、数学文化问题高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如《九章算术》《数书九章》《算数书》等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值.1．三角函数中的数学文化[典例] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. [思路分析] 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．[解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，即有sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7.[答案] －7[相关链接] 1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等．[创新预测]欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数ei 4π·e 3i 4π＋(1＋i)2的虚部是( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析：选D 依题意得，ei 4π·e 3i 4π＋(1＋i)2＝⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4⎝⎛⎭⎫cos 3π4＋isin 3π4＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2.2．数列中的数学文化[典例] (·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 [思路分析] 此问题实质是等比数列问题，相当于已知S 7，求a 1.[解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3. [答案] B[相关链接] 我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式求解．[创新预测]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里解析：选B 依题意，每天走的路程成公比为12等比数列，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．3．立体几何中的数学文化[典例] (1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d[思路分析] 观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答．[解析] 当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.[答案] A[相关链接] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π[思路分析] 根据题设所给的三视图，可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．[解析] 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π. [答案] C[相关链接] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A 版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．[创新预测](·武汉模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x,3，1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝⎛⎭⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.4．算法中的数学文化[典例] (1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为( )A ．9B ．18C ．20D ．35[思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．[解析] 由程序框图知，初始值：n ＝3，x ＝2，v ＝1，i ＝2，第一次循环：v ＝4，i ＝1；第二次循环：v ＝9，i ＝0；第三次循环：v ＝18，i ＝－1.结束循环，输出当前v 的值18.故选B.[答案] B[相关链接] 《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．(2)(·安徽二校联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90[解析] 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45.[答案] C[创新预测]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)解析：n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598 1＜3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.答案：241．(·大连二模)定义运算：xy ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＞2或x ＜0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x ＞2或x ＜0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4.2．朱载堉(1536—1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f 1，第七个音的频率为f 2.则f 2f 1＝( ) A.32 B.1116 C ．4122 D.82解析：选A 设13个音的频率所成的等比数列{a n }的公比为q ，则依题意，有a 13＝a 1·q 12＝2a 1，所以q ＝2112，所以f 2f 1＝a 7a 3＝q 4＝213＝32. 3．(·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间4月份月产值的大小，则( )A ．甲车间大于乙车间B ．甲车间等于乙车间C ．甲车间小于乙车间D ．不确定解析：选A 设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a ，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x ，甲、乙两车间的月产值在1月份均为m ，则由题意得m ＋6a ＝m ×(1＋x )6.①4月份甲车间的月产值为m ＋3a,4月份乙车间的月产值为m ×(1＋x )3，由①知，(1＋x )6＝1＋6a m ，即4月份乙车间的月产值为m 1＋6a m＝m 2＋6ma ，∵(m ＋3a )2－(m 2＋6ma )＝9a 2＞0，∴m ＋3a ＞m 2＋6ma ，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．4.如图，某广场要规划一矩形区域ABCD ，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m 宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m 2，则该矩形区域ABCD 占地面积的最小值为( )A ．248 m 2B ．288 m 2C ．328 m 2D ．368 m 2解析：选B 设绿化区域小矩形的宽为x ，长为y ，则3xy ＝200，∴y ＝2003x，故矩形区域ABCD 的面积S ＝(3x ＋4)(y ＋2)＝(3x ＋4)⎝⎛⎭⎫2003x ＋2＝208＋6x ＋8003x≥208＋2 1 600＝288，当且仅当6x ＝8003x ，即x ＝203时取“＝”， ∴矩形区域ABCD 的面积的最小值为288 m 2.5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)，对函数y ＝g (x )(x ∈R)，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈R)，y ＝h (x )满足：对任意的x ∈R ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析：根据“对称函数”的定义可知，h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，即h (x )＝6x ＋2b －4－x 2，h (x )＞g (x )恒成立，等价于6x ＋2b －4－x 2＞4－x 2，即3x ＋b ＞4－x 2恒成立，设F (x )＝3x ＋b ，m (x )＝4－x 2，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|b |(－1)2＋32＝|b |10＝2，即|b |＝210，∴b ＝210或b ＝－210(舍去)，即要使h (x )＞g (x )恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．答案：(210，＋∞)6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A ，C ，F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A ，E ，G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)解析：如图所示，由题意知BC ＝DE ＝5步，BF ＝123步，DG＝127步，设AH ＝h 步，因为BC ∥AH ，所以△BCF ∽△HAF ，所以BC AH ＝BF HF ，所以5h ＝123HF ，即HF ＝123h 5.因为DE ∥AH ，所以△GDE ∽△GHA ，所以DE AH ＝DG HG ，所以5h ＝127HG ，即HG ＝127h 5，由题意(HG －127)－(HF －123)＝1 000，即127h 5－123h 5－4＝1 000，h ＝1 255，即AH ＝1 255步．答案：1 2557．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＜c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平顶型”函数．给出下列结论：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f (x )＝x －|x －2|为R 上的“平顶型”函数；③函数f (x )＝sin x －|sin x |为R 上的“平顶型”函数；④当t ≤34时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ≤1，log 12(x －t )，x ＞1是区间[0，＋∞)上的“平顶型”函数．其中正确的结论是________．(填序号)解析：由于“平顶型”函数在区间D 上对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＜c 恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c ，①正确；对于函数f (x )＝x －|x －2|，当x ≥2时，f (x )＝2，当x ＜2时，f (x )＝2x －2＜2，所以②正确；函数f (x )＝sin x －|sin x |是周期为2π的函数，所以③不正确；对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ≤1，log 12(x －t )，x ＞1⎝⎛⎭⎫t ≤34，当x ≤1时，f (x )＝2，当x ＞1时，f (x )＜2，所以④正确．答案：①②④8．(高三·兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间近似满足函数关系y ＝⎩⎨⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损．(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目所获利润为S ，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此该项目不能获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以政府每个月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为f (x )＝y x ＝⎩⎨⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，f (x )＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，f (x )取得最小值240；当x ∈[144,500]时，f (x )＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，f (x )取得最小值200，因为200＜240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低．9．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且6≤a ≤8.另外，当年销售x 件乙产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N *)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解：(1)y 1＝(10－a )x －20(1≤x ≤200，x ∈N *)，y 2＝－0.05x 2＋10x －40(1≤x ≤120，x ∈N *)．(2)∵10－a ＞0，故y 1为增函数，∴当x ＝200时，y 1取得最大值1 980－200a ，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a )万美元．y 2＝－0.05(x －100)2＋460(1≤x ≤120，x ∈N *)，∴当x ＝100时，y 2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a )万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1 980－200a)－460＝1 520－200a，且6≤a≤8，当1 520－200a＞0，即6≤a＜7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1 520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1 520－200a＜0，即7.6＜a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．10．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩(单位：分)评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，对应的频率分布直方图如图所示.等级不合格合格成绩[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数6 a 24b(1)求a，b，c的值；(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈，现从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；(3)某评估机构以指标MM＝E(ξ)D(ξ)，其中D(ξ)表示ξ的方差来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？解：(1)由频率分布直方图，可知成绩在[20,40)内的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为60.1＝60，由频率分布直方图可知，得分在[80,100]内的频率为0.01×20＝0.2，所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋12＝60，所以a＝18，所以c＝1860×20＝0.015.(2)“不合格”与“合格”的人数之比为24∶36＝2∶3，因此抽取的10人中“不合格”的学生有4人，“合格”的学生有6人，所以ξ的所有可能取值为20,15,10,5,0.所以P(ξ＝20)＝C46C410＝114，P(ξ＝15)＝C36C14C410＝821，P(ξ＝10)＝C26C24C410＝37，P(ξ＝5)＝C16C34C410＝435，P(ξ＝0)＝C44C410＝1 210.所以ξ的分布列为：E(ξ)＝20×114＋15×821＋10×37＋5×435＋0×1210＝12.(3)由(2)可得D(ξ)＝(20－12)2×114＋(15－12)2×821＋(10－12)2×37＋(5－12)2×435＋(0－12)2×1210＝16，所以M＝E(ξ)D(ξ)＝1216＝0.75＞0.7，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案．第二讲临界知识问题一、定义新知型临界问题从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力.多与函数、平面向量、数列联系考查.[典例](1)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2[解析]根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A 正确；因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不一定相等，所以B错误；对任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)，所以C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n 2p 2－2mnpq ＋m 2p 2＋n 2q 2＋2mnpq ＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，所以D 正确．故选B .[答案] B[点评] 本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．(2)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2，3，…，n ，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝______，((a n )*)*＝______.[解析] 因为a m ＜5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2.因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3，所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16，猜想((a n )*)*＝n 2.[答案] 2 n 2[点评] 本题以数列为背景，通过新定义考查学生的自学能力、创新能力、探究能力．[创新预测]在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则ka (k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期；②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期；④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④.答案：②③④二、高等数学背景型临界问题以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一.常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.1．取整函数[x ]设x ∈R ，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则[x ]称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引入，故得名)．[典例] 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ][思路分析] 解读取整函数的定义，取特殊值进行判断即可．[解析] 取特殊值进行判断．当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故B 错；当x ＝1.1，y ＝1.9时，[x ＋y ]＝3，[x ]＋[y ]＝2，故C 错．选D.[答案] D[点评] 本题是以取整函数y ＝[x ]为背景的新定义题型，解题的关键是理解[x ]的定义．考查学生对信息的理解和运用能力．[创新预测]设集合A ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫12 017 ＜8x ＜2 017和B ＝{x |log 2(x 2－[x ])＝2}，其中符号[x ]表示不大于x 的最大整数，则A ∩B ＝________.解析：因为12 017＜8x ＜2 017，[x ]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3. 当[x ]＝－3，则x 2＝1，无解；当[x ]＝－2，则x 2＝2，解得x ＝－2；当[x ]＝－1，则x 2＝3，无解；当[x ]＝0，则x 2＝4，无解．当[x ]＝1，则x 2＝5，无解；当[x ]＝2，则x 2＝6，解得x ＝6；当[x ]＝3，则x 2＝7，无解．。

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