广西玉林市容县高中北流高中2020-2021学年高一年级上学期数学试题

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2020-2021学年广西玉林市高三(上)期中数学试卷(理科)

2020-2021学年广西玉林市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，B＝{2，3}U B）＝（）A．{1}B．{0，2，4}C．{1，2，3}D．{0，1，2，4} 2．（5分）若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z＝（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）e x，则f（x）图象在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A．1B．2C．3+e D．3e4．（5分）若等差数列{a n}满足a2＝20，a5＝8，则a1＝（）A．24B．23C．17D．165．（5分）已知单位向量与的夹角为，则向量方向上的投影为（）A．B．C．D．6．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AD1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学；大学生的年龄比小张小；小王的年龄和大学生的年龄不一样．请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是（）A．士兵、商人、大学生B．士兵、大学生、商人C．商人、士兵、大学生D．商人、大学生、士兵11．（5分）点P为椭圆上任意一点，EF为圆N：（x﹣1）2+y2＝1的任意一条直径，则的取值范围是（）A．（8，24）B．[8，24]C．[5，21]D．（5，21）12．（5分）已知函数在R恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（e，+∞）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：x+by+2＝0互相垂直，那么b＝．14．（5分）若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为．15．（5分）若将函数的图象向左平移个单位后，则实数ω的最小值是．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知等差数列{a n}是递增数列，且a1a5＝9，a2+a4＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD⊥平面ABCD，CD＝2AB＝2AD，AD⊥CD．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（12分）某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次性消费达到400元，则可参加一次抽奖活动方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率．（2）若某顾客获得抽奖机会．①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望；②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券？20．（12分）已知圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）经过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线E的准线l相切．（1）求抛物线E的标准方程及r的值；（2）设经过点F的直线m交抛物线E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点C，求直线m的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为．（1）判断曲线C1与曲线C2的位置关系；（2）设点M（x，y）为曲线C2上任意一点，求2x+y的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|．（1）当a＝2，求不等式f（x）+|x|≤6的解集；（2）设f（x）+|x﹣1|+3x≤0对x∈[﹣2，﹣1]恒成立2020-2021学年广西玉林市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，B＝{2，3}U B）＝（）A．{1}B．{0，2，4}C．{1，2，3}D．{0，1，2，4}【分析】利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：∵U＝{0，1，8，3，4}，3}，3}，∴∁U B＝{0，2，4}，∴A∪（∁U B）＝{0，3，2，4}．故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交，并，补运算．2．（5分）若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z＝（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：z＝i（3﹣2i）＝5i﹣2i2＝8+3i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）e x，则f（x）图象在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A．1B．2C．3+e D．3e【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义，代入x＝1，计算可得所求切线的斜率．【解答】解：f（x）＝（x+1）e x，则f′（x）＝（x+2）e x，所以f（x）图象在点（2，f（1））处的切线斜率为f′（1）＝3e．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，以及直线的斜率的求法，考查运算能力，是一道基础题．4．（5分）若等差数列{a n}满足a2＝20，a5＝8，则a1＝（）A．24B．23C．17D．16【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，由d＝求出公差，又由a1＝a2﹣d可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若a2＝20，a5＝4，则d＝，则a1＝a6﹣d＝20﹣（﹣4）＝24，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质以及通项公式，关键是求出等差数列的公差，属于基础题．5．（5分）已知单位向量与的夹角为，则向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】根据向量数量积公式转化求解即可．【解答】解：因为单位向量与的夹角为在向量|cos＝；故选：A．【点评】本题考查了单位向量的性质；主要利用了平面向量的数量积公式．6．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣8＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣2＞0”；但是“2x8+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣6＞0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．当n＝10时，满足退出循环的条件，所以S＝0+cos+cos+cos+cos+cos+cos＝0++0+（﹣）+0++7＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AD1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为（）A．B．C．D．【分析】结合图象，平移BF到AG的位置，根据角的关系判断即可．【解答】解：作FG∥DC交DD1与G，连结AG，则AG∥BF，异面直线A1E与BF所的成角，即为AG与A4E所成的角，显然Rt△A1AE≌Rt△ADG，故∠GAD＝∠AA1E，故∠GAD+∠A3EA＝90°，∴AG⊥A1E．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成的角的问题，考查转化思想，属基础题．9．（5分）函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性及单调性即可得出结论．【解答】解：，为奇函数，又，当时，f′（x）＜0恒成立递减．故选：B．【点评】本题主要考查利用函数性质确定函数图象，涉及了利用导数判断函数的单调性，属于基础题．10．（5分）小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学；大学生的年龄比小张小；小王的年龄和大学生的年龄不一样．请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是（）A．士兵、商人、大学生B．士兵、大学生、商人C．商人、士兵、大学生D．商人、大学生、士兵【分析】由大学生的年龄比小张小，小王的年龄和大学生的年龄不一样，推出大学生为小赵，进而可知小王与小张的身份．【解答】解：因为大学生的年龄比小张小且小王的年龄和大学生的年龄不一样，故小赵为大学生；则小张只能是商人，小王是士兵，故小王、小张、商人．故选：A．【点评】本题考查学生合情推理的能力，属于基础题．11．（5分）点P为椭圆上任意一点，EF为圆N：（x﹣1）2+y2＝1的任意一条直径，则的取值范围是（）A．（8，24）B．[8，24]C．[5，21]D．（5，21）【分析】由向量的加减法运算结合化简可知，再由a﹣c≤||≤a+c，计算即得结论．【解答】解：P为椭圆上任意一点2+y2＝7的任意一条直径，＝＝＝，∵a﹣c≤≤a+c≤5，∴的范围是[6，故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，向量在几何中的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．12．（5分）已知函数在R恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（e，+∞）C．D．【分析】首先分析0不是函数的零点．然后利用导数求出x＞0时函数有零点的a的范围，然后对a分类并分析即可求得f（x）在R恰有两个零点的实数a的取值范围．【解答】解：当x＝0时，f（x）＝﹣1﹣e7≠0，故0不是函数的零点；当x∈（8，+∞）时．令g（x）＝，则g′（x）＝．当x＜2时，g′（x）＜8，g′（x）＝0，g′（x）＞0，∴g（x）≥e5，即2a≥e2，a．①当0＜a＜7时，f（x）在（﹣∞，则f（x）在（0，则a＜，∴0＜a＜1；②当a≤2或a＝1时，f（x）在（﹣∞，故f（x）在（0，此时不合题意；③当a＞3时，f（x）在（﹣∞，故f（x）在（0，则a＞．综上，实数a的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，属难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：x+by+2＝0互相垂直，那么b＝2．【分析】利用直线与直线垂直的性质能求出b．【解答】解：∵直线l1：2x﹣y+7＝0与直线l2：x+by+7＝0互相垂直，∴2×5+（﹣1）×b＝0，解得b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为．【分析】通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．【解答】解：双曲线的焦距为6，可得，解得m＝．所以双曲线的虚轴长为：8．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．15．（5分）若将函数的图象向左平移个单位后，则实数ω的最小值是3．【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可得f（x）＝|sin[ωx+（+）]|，由三角函数的性质从而可求实数ω的最小值．【解答】解：f（x）＝|sin[ω（x+）++）]|∵当+＝kπ时时，或+＝kπ+时，k∈Z．∴正数ω有最小值8．故答案为：3．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y＝A sin （ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为80π．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为O1，连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．推导出AH⊥BC，PH⊥平面ABC，设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，外接球半径R满足，由此能求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O1连接O1C，O8A，BC∩O1A＝H，连接PH．由题意可得AH⊥BC，且，．因为平面PBC⊥平面ABC，且PB＝PC，所以PH⊥平面ABC，且．设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，垂足为D，则外接球的半径R满足，即，解得OO1＝2，从而R7＝20，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝80π．故答案为：80π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知等差数列{a n}是递增数列，且a1a5＝9，a2+a4＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}是递增数列，且a1a7＝9，a2+a3＝10．则：，解得：a1＝7或9，a5＝6或1，由于数列为递增数列，则：a1＝2，a5＝9．故：d＝7则：a n＝1+2（n﹣7）＝2n﹣1．（2）由于a n＝7n﹣1，则：b n＝＝，＝，＝．所以：S n＝b1+b6+…+b n，＝，＝，＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD⊥平面ABCD，CD＝2AB＝2AD，AD⊥CD．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连接AE，BE，BD．推导出四边形ABED为正方形，则AE⊥BD．推导出PD⊥AE．从而PE⊥平面PBD．推导出四边形ABCE为平行四边形，从而BC∥AE，进而BC⊥平面PBD．由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）推导出∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，∠PBD＝45°，PD＝BD．以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接AE，BD．∵CD＝2AB，∴AB＝DE．又∵AB＝AD，AD⊥DC，则AE⊥BD．∵PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD．∵PD∩BD＝D，∴PE⊥平面PBD．∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴BC∥AE．又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD＝45°，则PD＝BD．设AD＝1，则AB＝4，．以点D为坐标原点，分别以DA，DP所在直线为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，4，0），0，6），，1，0），6，0）．∵DA⊥平面PDC，∴平面PDC的一个法向量，0，6）．设平面PBC的法向量＝（x，y，∵＝（1，1，﹣），，1，0），则，取x＝8，则，1，）．设二面角D﹣PC﹣B的平面角为θ，∴cosθ＝＝＝．由图可知二面角D﹣PC﹣B为锐角，故二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次性消费达到400元，则可参加一次抽奖活动方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率．（2）若某顾客获得抽奖机会．①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望；②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券？【分析】（1）选择方案一，求出每一次摸到红球的概率P＝＝．设“每位顾客获得240元返金券”为事件A，然后求解概率即可．（2）①若选择抽奖方案一，判断则X可能的取值为60，120，180，240，求出概率，然后求解期望．若选择抽奖方案二，设在三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，说明Y～B（3，），求出期望．然后判断抽奖方案．【解答】解：（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率P＝＝．设“每位顾客获得240元返金券”为事件A，则P（A）＝（）3＝，所以两位顾客均获得240元返金券的概率P＝P（A）•P（A）＝．（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为．设获得返金券的金额为X元，则X可能的取值为60，180，则P（X＝60）＝（）3＝，P（X＝120）＝（）1（）2＝，P（X＝180）＝（）2×＝，P（X＝240）＝（）3＝，所以若选择抽奖方案一，该顾客获得返金券金额的数学期望为E（X）＝60×+120×+240×．若选择抽奖方案二，设在三次摸球的过程中，最终获得返金券的金额为Z元，则Y～B（3，），故E（Y）＝3×，所以若选择抽奖方案二，该顾客获得返金券金额的数学期望为E（Z）＝E（100Y）＝100（元）．②因为E（X）＞E（Z），所以应选择第一种抽奖方案．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复实验概率的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）经过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线E的准线l相切．（1）求抛物线E的标准方程及r的值；（2）设经过点F的直线m交抛物线E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点C，求直线m的方程．【分析】（1）利用抛物线的定义说明点（4，4）在抛物线E上，求出p，得到抛物线方程，然后求解r即可．（2）直线m的斜率存在，否则点C与点A重合，设直线m的斜率为k（k≠0），则直线AB的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立利用韦达定理，求出C（x2，﹣y2），设直线m的倾斜角为α，则tan α＝k，结合三角形的面积转化求解即可．【解答】解：（1）由已知可得，圆心（4，即点（4，4）在抛物线E上，则16＝8p，解得p＝27＝4x，由r＝4+，得r＝4+．（2）由已知可得，直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k（k≠0），则直线AB的方程为y＝k（x﹣1），设A（x8，y1），B（x2，y5），联立消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k4＝0，则x1+x8＝2+，x1x2＝7，由对称性可知，C（x2，﹣y2），所以|AF|＝x8+1，|CF|＝x2+3，设直线m的倾斜角为α，则tan ，所以sin∠AFC＝|sin（π﹣2α）|＝|sin 2α|＝|8sin  α|＝＝＝，所以S△AFC＝（x7+1）（x2+4）|sin 2α|＝[x1x5+（x1+x2）+2]•＝，由已知可得＝6，故直线m的方程为y＝±（x﹣1）．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+∞），可构造函数g（x）＝xe x﹣1﹣a，通过求导及分类讨论，即可求得a的取值范围．（2）由（1）令﹣a＝0，通过分离参数得a＝，同时求对数，根据函数f（x0）≥0，可得1﹣x0﹣lnx0≥0．构造函数g（x）＝1﹣x﹣lnx及H（x）＝x﹣lnx﹣1，由导数即可判断H（x）的单调情况，进而求得H（x）的最小值，结合f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）即可证明不等式成立．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．∴．令g（x）＝xe x﹣1﹣a，则g′（x）＝（x+3）e x﹣1＞0，∴g（x）在（3，+∞）上是增函数．又∵当x→0时，g（x）→﹣a，g（x）→+∞．∴当a≤0时，g（x）＞5，函数f（x）在区间（0，不存在极值点；当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，必存在x4＞0，使g（x0）＝3．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜3，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）存在极小值点．综上可知实数a的取值范围是（7，+∞）．证明：（2）由（1）知﹣a＝0．∴lna＝lnx0+x7﹣1，f（x0）＝（2﹣x0﹣lnx0）．由f（x8）≥0，得1﹣x2﹣lnx0≥0．令g（x）＝2﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0．又g（1）＝0，∴由f（x2）≥0，得0＜x5≤1，令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞5）＝，当x＞2时，H′（x）＞0；当0＜x＜8时，H′（x）＜0；∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝5，∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣6≥lnx x﹣1≥x，∴，5﹣x0﹣lnx0≥3﹣x0﹣（x0﹣4）＝2（1﹣x5）≥0，∴f（x0）＝（6﹣x0﹣lnx0）≥•2（6﹣x0）＝2（﹣），∴f（x0）≥2（x52﹣x08）．【点评】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为．（1）判断曲线C1与曲线C2的位置关系；（2）设点M（x，y）为曲线C2上任意一点，求2x+y的最大值．【分析】（1）将参数方程曲线C1与曲线C2化为普通方程，利用两点间的距离公式即可判断．（2）利用参数方程转化成三角函数的有界限求其最大值．【解答】解：（1）将C1消去参数t，即×﹣1＝y2的方程为x+y﹣1＝0．由ρ＝7cos（θ+），得ρ＝sinθ，∴ρ2＝ρcosθ﹣，即x2﹣x+y3+y＝0）2+（y+）2＝6．圆心到直线的距离d：∵d＝＝＜7．故曲线C1与曲线C2相交．（2）由题意：M（x，y）为曲线C5上任意一点，可设+2cosθ+sinθ＝+，∵sin（θ+φ）的最大值为1．∴8x+y的最大值是+．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程的能力以及利用参数方程转化成三角函数的有界限求其最大值的问题，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|．（1）当a＝2，求不等式f（x）+|x|≤6的解集；（2）设f（x）+|x﹣1|+3x≤0对x∈[﹣2，﹣1]恒成立【分析】（1）将a＝2代入，利用零点分段讨论即可得解；（2）原题转化为4x+1≤a≤﹣1对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，进而得解．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）+|x|≤6，当x≤4时，原不等式化为2﹣2x﹣x≤3，得，即；当5＜x≤1时，原不等式化为2﹣7x+x≤6，即0＜x≤4；当x＞1时，原不等式化为2x﹣7+x≤6，得，即．综上，原不等式的解集为．（2）因为x∈[﹣2，﹣2]，可化为|2x﹣a|≤﹣2x﹣8，所以2x+1≤6x﹣a≤﹣2x﹣1，即5x+1≤a≤﹣1对x∈[﹣6，则﹣3≤a≤﹣1，所以a的取值范围是[﹣3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．第21页（共21页）。

广西玉林市容县2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题及答案

广西玉林市容县2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．命题"x R ∃∈，使x 2+x -1=0”的否定是（） A ．x R ∃∈，使x 2+x -1≠0 B ．不存在x ∈R ，使x 2+x -1≠0 C ．x R ∀∉，使x 2+x -1≠0D ．x R ∀∈，使x 2+x -1≠02．已知集合{2,1,0,1,2,3,4}A =--，{}213B xx =+<∣，则A B =（） A ．{0,1,2} B ．{2,1,0}-- C ．{2,1,0,1}--D ．{2,1,0,1,2}-3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()f x =()g x x =B ．()f x x =，2()x g x x=C ．()f x =2()x g x x=D ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩4．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取12，2，2-，12-这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（）A ．2，12，12-，2-B ．2-，12-，12，2C ．12-，2，2-，12D ．2，12，2-，12-5．已知130.5a =，130.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．函数()043y x -的定义域为（）A ．133,,244⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．133,,244⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．33,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知函数2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．229B ．4C ．72D ．97368．设函数()f x 是奇函数，在()0,∞+内是增函数，又()30f -=，则()0xf x <的解集是（）A ．{30x x -<<或}3x >B ．{3x x <-或}03x <<C ．{3x x <-或}3x >D ．{30x x -<<或}03x <<9．一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．2a <二、多选题10．已知0a b >>，0c <，则下列不等式一定成立的是（） A ．c c a b< B ．2a bb a+>C ．c c a b <D ．11b ba a+<+ 11．下列选项正确的是（）A ．()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．函数()224f x x x =-+在[]2,0-的值域为[]4,12D ．函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞12．已知函数21123x x y x x ++⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，则该函数（）A ．最小值为3B ．最大值为72C ．没有最小值D ．在区间1,2上是增函数三、填空题13．设函数f (x )＝212,02,0x x x x x -≤⎧⎨+->⎩，则f (f （1）)＝___________．14．计算：31142648168()8()497---⨯-⨯= ________.15．如果函数f (x )＝(2)1,1,1x a x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是________．16．已知0,0x y >>,且121x y+=,若2x y m +≥ 恒成立，则实数m 的取值范围是．当m 取到最大值时x = ．四、解答题17．已知集合13{|}A x x =≤≤，2{|320}B x x x =-+≤. (1)求集合B ； (2)求A B .18．已知函数1()x f x a -=(a >0，且a ≠1)的图象经过点(2)13，.（1）求a 的值；（2）设不等式()3f x ≤的解集为A ，求函数()()y f x x A =∈的值域.19．已知幂函数()()21265m f x m m x +=-+为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()211y f x a x =--+在区间(2,3)上为单调函数，求实数a 的取值范围. 20．某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x （x 是正整数）成二次函数关系，其中第3年总利润为2，且投入运营第6年总利润最大达到11.(1)请求出y 关于x 的函数关系式；(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=营运的总利润营运年数）.21．已知定义域为R 的函数()221xx b f x -=+是奇函数.(1)求b 的值；(2)判断()f x 在定义域R 上单调性并证明(3)若对于任意x ∈R ，不等式()()22220f x x f x k -+-<恒成立，求k 的范围.22．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[]4,a -()4a >-上的最小值.参考答案：1．D 【解析】【分析】根据存在命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题"x R ∃∈，使x 2+x -1=0”的否定为：x R ∀∈，有210x x +-≠，故选：D. 2．B 【解析】【分析】解一次不等式求得集合B ,进而利用交集定义求得. 【详解】解不等式213x +<得，1x <，即{}1B x x =<，所以{2,1,0}A B =--. 故选:B. 3．D 【解析】【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可. 【详解】对A ，()f x x ，对应关系不一致，故A 错误；对B ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≠，定义域不同，故B 错误；对C ，()f x 和()g x 的对应关系不一致，故C 错误；对D ，()f x 和()g x 的定义域都为R ，且()1,111,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，对应关系一致，故D 正确. 故选：D. 4．A 【解析】【分析】由幂函数的图象性质进行判定. 【详解】因为在直线1x =右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，所以曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为2，12，12-，2-.故选：A. 5．A 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】因为13y x =在()0,∞+上递增，所以a b >，又因为 0.5x y =在R 上递减，所以a c <，所以b a c <<，故选：A 6．B 【解析】【分析】由偶次根式和零次幂有意义的基本要求可构造不等式求得结果. 【详解】要使函数有意义，则210430x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：1234x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，∴函数的定义域为133,,244⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B ． 7．A 【解析】【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】函数2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22f x x =+，42229923f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：A ． 8．D 【解析】【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得()f x 在(),0-∞内也是增函数，()30f =，然后分0x >，0x <和0x =三种情况求解即可【详解】∈函数()f x 是奇函数，在()0,∞+内是增函数， ∈()f x 在(),0-∞内也是增函数．又()30f -=，∈()30f =． ∈()0xf x <，∈∈当0x >时，()()03f x f <=，∈03x <<； ∈当0x <时，()()03f x f >=-，∈30x -<<； ∈当0x =时，不等式的解集为∅．综上，()0xf x <的解集为{30x x -<<或}03x <<．故选：D ． 9．C 【解析】【分析】根据题意首先求出a 的取值范围，再根据充分不必要的含义求解即可. 【详解】由题意，不妨设2()21f x ax x =++，因为(0)10=>f ，且()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根，所以2()21f x ax x =++的图像开口向下，即0a <，故对于选项ABCD ，只有C 选项：1a <-是0a <的充分不必要条件. 故选：C. 10．BC 【解析】【分析】利用不等式的性质可判断A ，由基本不等式可判断B ，利用指数函数的单调性判断C ，由作差法判断D. 【详解】对于A 项：因为0a b >>，所以11a b <，又0c <，所以c ca b>，A 错；对于B 项：因为1a b >，所以2a b b a +>，B 对；对于C 项：cc c a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1a b >，0c <，所以1ca b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又因为0c b >，所以c c a b <，C对；对于D 项：()()()()10111ab a ab b b b a b a a a a a a +-++--==>+++，所以11b ba a +>+，D 错.故选：BC ． 11．ABC 【解析】【分析】利用抽象函数求定义域的原则可判断A 选项的正误；利用换元法结合二次函数的基本性质求得函数2y x =+B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用反比例函数的值域可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于函数()f x 的定义域为[]22-,，对于函数()21f x -，2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤，所以，函数()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，A 选项正确；对于B选项，令0t =，则21x t =-，()2211717212488y t t t ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以，函数2y x =+17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B 选项正确；对于C 选项，当[]2,0x ∈-时，()()[]2224134,12f x x x x =-+=-+∈，所以，函数()224f x x x =-+在[]2,0-的值域为[]4,12，C 选项正确；对于D 选项，()11111111x x y x x x --===-≠----，所以，函数1xy x=-的值域为()(),11,-∞--+∞，D 选项错误.故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的值域与抽象函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题. 12．AD 【解析】由对勾函数11y x x=++，定义法确定函数单调性，结合基本不等式求值域，进而判断选项的正误. 【详解】211113x x y x x x ++==++≥+=当且仅当1x =是等号成立，若12x x <，有2112121212121()()()()(1)x x f x f x x x x x x x x x --=-+=--，120x x -<， 1、当12113x x ≤<<时，有12110x x -<，故12()()f x f x >，即y 在1[,1)3上递减且值域为13[,3)3； 2、当1212x x <<<时，有12110x x ->，故12()()f x f x <，即y 在(1,2)上递增且值域为7(3,)2. ∈最大值为133. 故选：AD13．1 【解析】【分析】先求()1f 再求()()1f f . 【详解】()()()()21120,1012011f f f f +-=∴==-⨯== 故答案为：1 14．6- 【解析】【分析】结合指数幂的运算性质，计算即可. 【详解】由题意，31142648168()8()497---⨯-⨯=()1232448728878-⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1387287887877678-⎛⎫-⨯-=-⨯-=--=- ⎪⎝⎭.故答案为：6-. 15．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先由条件判断出()y f x =在R 上是增函数，所以需要满足(2)1y a x =-+和x y a = 单调递增，并且在1x =处x y a =对应的值大于等于(2)1y a x =-+对应的值，解出不等式组即可. 【详解】对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0，所以()y f x =在R 上是增函数，所以201(2)11a a a a->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<，故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题. 16．8m ≤，2x = 【解析】【详解】试题分析：1242(2)()448y x x y x y x y x y +=++=++≥+，当且仅当24,2y x x ===时取等号，因为2x y m +≥恒成立，所以min (2)8.x y m m +≥⇒≤ 考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 17．(1){|12}x x ≤≤ (2){|12}x x ≤≤ 【解析】【分析】（1）按一元二次不等式解法化简集合B ；（2）按交集定义去取交集即可. (1)方程2320x x -+=有二根，1212x x ==，故由2320x x -+≤可得12x ≤≤，则2{|320}{|12}B x x x x x =-+≤=≤≤(2){}{}{}131212A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂≤≤=≤≤18．（1）13；（2）(]0,3. 【解析】（1）根据函数1()x f x a -=的图象经过点(2)13，，由a 2-1=13求解. （2）由f (x )=1111()3()33x --≤=，利用指数函数的单调性求得0x ≥，再利用指数函数的单调性求解.【详解】（1）因为函数图象过点(2)13，，所以a 2-1=13，解得a =13. （2）f (x )=1111()3()33x --≤=，所以11x -≥-，解得0x ≥，故[0)A =+∞，，因为x ≥0，所以x -1≥-1，所以0<1111()()33x --≤=3. 所以函数的值域为(0，3].19．（1）()2f x x =；（2）3a ≤或4a ≥.【解析】【分析】（1）根据幂函数的概念和性质即可求()f x 的解析式；（2）化简函数()2(1)1y f x a x =--+，根据()f x 在区间(2,3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可求实数a 的取值范围.【详解】（1）由f (x )为幂函数知，2m 2-6m+5=1，即m 2-3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，f (x )=x 2，是偶函数，符合题意；当m=2时，f (x )=3x ，为奇函数，不合题意，舍去.故f (x )=2x ；（2）由（1）得2()2(1)12(1)1y f x a x x a x =--+=--+，函数()f x 的对称轴为x=a-1，由题意知函数()f x 在(2,3)上为单调函数，∈a-1≤2或a-1≥3，分别解得a ≤3或a ≥4.即实数a 的取值范围为：a ≤3或a ≥4.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质，属中档题.20．(1)()21225N y x x x *=-+-∈；(2)最大值20万元.【解析】【分析】（1）由题意知：二次函数的顶点坐标为()6,11，设()2611y a x =-+，将点()3,2代入求出a 的值即可求解；（2）由（1）可得y 与x 关系式，进而可得年平均总利润表达式，根据基本不等式，即可得年平均总利润的最大值.(1)由题意得投入运营第6年总利润最大达到11.，所以二次函数开口向下，且顶点坐标为()6,11，所以设二次函数为()2611y a x =-+ ()0a <，又因为第3年总利润为2，所以函数过点()3,2，所以()223611a =-+，解得：1a =-，所以()226111225y x x x =--+=-+-()N x *∈. (2)年平均总利润为212252512y x x x x x x -+-⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭()N x *∈，因为2510x x +≥=，当且仅当25x x =即5x =时等号成立，所以10122y x≤-+=，所以营运5年时，年平均总利润的最大值为20万元.21．(1)1(2)()f x 是R 上的减函数，证明见解析 (3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据()f x 为R 上的奇函数，列等式()00f =，从而确定参数b 的值；（2）运用定义法判断函数的单调性即可得出结果；（3）根据（2）中得出的单调性化简不等式，再运用分离变量法求解参数的值.【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数，()001f b ∴=∴=.1b =时，()1221x x f x -=+，此时()()11222121x x x x f x f x -----===-++所以()f x 为奇函数时，b 的值为1.（2）()f x 是R 上的减函数.证明：任取12x x R ∈，，且12x x <()()()()()21121212122?221212212121?21x x x x x x x x f x f x ----=-=++++ 12x x <，12022x x ∴<<，21220x x ∴->又()()1221?21x x ++()()120f x f x ∴-> ，故()()12f x f x > 所以()f x 是R 上的减函数.（3）x R ∀∈，不等式()()22220f x x f x k -+-<恒成立，()()2222f x x f x k ∴-<--在R 上恒成立，又()f x 为奇函数，()()()2222f x x f k x f x ∴-<-为减函数2222x x k x ∴->-在R 上恒成立即232k x x <- 在R 上恒成立，而2211113233333x x x k ⎛⎫-=---∴<- ⎪⎝⎭. 所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 22．（1）()()()224040x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义即可求函数()f x 的解析式．（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对a 进行分类讨论即可求出函数的值域．【详解】（1）∈ 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∈()00f =，且()()f x f x -=-，∈()()f x f x =--，设0x <，则0x ->，∈()24f x x x -=--，∈()()()2244f x f x x x x x =--=---=+()()()224040x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩（2）可画出分段函数的图象如图所示，令()4f x =-，可解得122,2x x =-=+结合图象可知：（1）当42a -<≤-时，()()2min 4f x f a a a ==+（2）当22a -<≤+()()min 24f x f =-=-（3）当2a >+()()2min 4f x f a a a ==+。

广西壮族自治区玉林市北流高级中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析

广西壮族自治区玉林市北流高级中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 已知角的顶点在原点, 始边与轴非负半轴重合, 终边过, 则A. B. C. D.参考答案：B3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．4. 如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A． B． C．D．参考答案：C5. 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．6. 执行如图所示的程序框图，若输出结果是9，则判断框内m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略7. 设偶函数满足，则( )A. B. C. D.参考答案：B略8. 已知球的直径SC=4，A,B是球面上的两点AB=2,∠BSC=∠ASC= 45则棱锥S-ABC的体积是（）A B CD参考答案：C9. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形,侧面均是等腰直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积为A B C D参考答案：D10. 三角形ABC中A，B，C的对边分别为,且成等差数列，则B等于（）A.30°B.60°C.90°D.120°参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数,等比数列{a n}的前n项和为,的图象经过点,则= 参考答案：C.∵函数f(x)=1-2x 经过点(n,Sn),∴Sn=1-2n,∴数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列，∴{an}的通项公式为an=-2n-112. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为___________.参考答案：略13. 观察下列不等式:，，，……由以上不等式推测到一个一般的结论：对于，；参考答案：14. (几何证明) 如图 ,是圆的切线, 切点为, 点、在圆上，，则圆的面积为 .参考答案：略15. 设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．参考答案：解：Ⅰ）在中，由正弦定理及可得…3分即，则；……6分（Ⅱ）由得………9分当且仅当时，等号成立，………………11分故当时，的最大值为.………………12分略16. 已知，则的最大值为 .参考答案：【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6【答案解析】解析：由题意得，x ，y ∈R +，x 2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos 2θ=1+2sin 2θ时取等号，此时sin θ=，所以x 的最大值为：，故答案为：．【思路点拨】根据椭圆的方程可设 x=cos θ、y=2sin θ，代入式子x 化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．17. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

陕西省榆林市北流高级中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析

陕西省榆林市北流高级中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选B．【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．2. 设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩?U N=﹛2，4﹜，则N=（）A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．【解答】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B【点评】本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．3. 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，则直线PB与平面PAC所成角为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.4. 函数的定义域为（）A．（﹣5，+∞）B．[﹣5，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣2，0）参考答案：A【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】计算题．【分析】列出使得原函数有意义的条件，解不等式组即可【解答】解：由题意得：，解得x＞﹣5∴原函数的定义域为（﹣5，+∞）故选A【点评】本题考查函数定义域，求函数的定义域，需满足分式的分母不为0、偶次根式的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，0次幂的底数不为0．属简单题5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A．B． C. D．参考答案：B结合“同族函数”的定义可得：当函数为“同族函数”时，函数肯定不是单调函数，选项中所给的函数都是单调函数，不合题意，本题选择B选项.6. 集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q B．P Q C． D．参考答案：C7. 如图所示，函数的图像大致为A B CD参考答案：C略8. 设一随机试验的结果只有A和,且A发生的概率为m，令随机变量，则（）A.1B.C.D.参考答案：C9. 若，，则sin=A． B． C． D．参考答案：B10. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法( )A、S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播B、S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播C、S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D、S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则参考答案：212. 设是公比为的等比数列，其前项积为，且满足，，．下列判断：①； ②；③；④使成立的最小整数为199．其中成立的是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽．参考答案：①③④：对于①，若，则，此时，与已知矛盾；若，则与矛盾，故，∴①成立．对于②，由得，而，∴②错误．对于③，由于，且，故，而，∴③成立．对于④，∵，∴，且，故使成立的最小整数为199，∴④成立．13. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数f （x ）的奇偶性及在[0，+∞）上的单调性，可把f （x ﹣1）＞f （3﹣2x ）转化为关于x ﹣1与3﹣2x 的不等式，从而可以求解．【解答】解：因为偶函数f （x ）在[0，+∞）上为增函数，所以f （x ﹣1）＞f （3﹣2x ）?f （|x ﹣1|）＞f （|3﹣2x|）?|x ﹣1|＞|3﹣2x|，两边平方并化简得3x 2﹣10x+8＜0，解得，所以x 的取值范围为（）．故答案为：（）．【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查．解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”，转化为关于x ﹣1与3﹣2x 的不等式求解．14. 已知数列的通项公式为，则此数列的前项和取最小时，= ▲ ．参考答案：．11或12 略15. 已知则与共线的单位向量为 .参考答案：或略16. 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的六个面中，与棱AB 平行的面共有个．参考答案：2【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】首先利用线线垂直，进一步转化成线面平行，求出结果．【解答】解：如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的六个面中，与棱AB 平行的面为平面A 1B 1C 1D 1与平面CC 1D 1D ．故答案为2．17. 若角与角的终边互为反向延长线，则与的关系是___________。

2020-2021学年广西玉林市高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|2x +3>7}，B ={x|1−x >3}，则A ∪B =( )A. {x|x <−2或x >2}B. {x|−2<x <2}C. {x|x >−2}D. {x|x <2}2. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=2x +x 3−1，则f(−2)=( )A. 13B. 11C. −13D. −113. 已知α为第二象限角，则α−3π2为( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4. 函数f(x)=5x +x −19的零点所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 为了得到函数f(x)=2tan(2x +π3)的图象，只需将函数g(x)=2tan2x 的图象( )A. 向上移动π3个单位长度 B. 向上移动π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向左平移π6个单位长度6. 已知函数f(x)=a x−3+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m,n)，则( )A. log m n >log n mB. 2m <3nC. 2log 2m <3log 3nD. m m <n n7. 在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 函数f(x)=sinx ⋅ln|x|的部分图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为π3，且|m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ |=√3，|m⃗⃗⃗ |=1，则|n ⃗ |=( ) A. 13B. 1C. 12D. 210. 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数H(t)与传染源感染后至隔离前时长t(单位：天)的模型：H(t)=e kt+λ.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.打某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为( )A. 44B. 48C. 80D. 12511. 若函数f(x)=log 2(ax 2+4x +2)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. [0,2]B. (0,2]C. [0,+∞)D. [2,+∞)12. 已知A ，B 为圆O 上不重合的两个点，C 为圆O 上任意一点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则k 2的取值范围是( ) A. [1,5) B. [1,25) C. [4,25) D. [5,25)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(15,x)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x = ______ ． 14. 幂函数y =f(x)的图象经过点P(9,3)，则f(36)= ______ ．15. 已知α,β∈(0,π2)，且sinα=2√23,sin(α+β)=23，则cosβ= ______ ．16. 已知f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，当1<x ≤2时，f(x)=−2x +4.若直线y =a 与f(x)的图象在[−4,5]内的交点个数为m ，直线y =a +12与f(x)的图象在[−4,5]内的交点个数为n ，且m +n =9，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,3)，n ⃗ =(3,2)． (1)求m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ )的值；(2)若(m ⃗⃗⃗ +λn ⃗ )//(λm ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，求实数λ的值．18. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)+b(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在区间[π6,7π6]上的最大值．19.已知α为锐角，cos(α+π4)=−35．(1)求tanα的值；(2)求sin2α−cos2α+cos2α的值．20.已知函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)在区间[1,4]的最小值为−2．(1)求a的值；(2)若函数g(x)=f(3x+18)+m存在零点，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=√32cos(2ωx+π6)+sin2(ωx+π3)−12(0<ω<2)，且f(π4)=0．(1)求f(x)的解析式；(2)先将函数y=f(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=g(x)的图象.若g(x)在区间(π4−α,π4+α)有且只有一个x0，使得g(x0)取得最大值，求α的取值范围．22.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2e x．(1)求f(x)的解析式；(2)求关于x的不等式f(3x−1)+f(5−ax)−(a−3)x+4>0的解集．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合A={x|2x+3>7}={x|x>2}，B={x|1−x>3}={x|x<−2}，所以A∪B={x|x<−2或x>2}．故选：A．先求出集合A，B，然后利用集合并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=2x+x3−1，则f(2)=4+8−1=11，又由f(x)为奇函数，则f(−2)=−f(2)=−11，故选：D．根据题意，求出f(2)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵a是第二象限角，∴π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，∴−π+2kπ<α−3π2<−π2+2kπ，k∈Z．∴α−3π2为第三象限角．故选：C．由a是第二象限角，推导出α−3π2为第三象限角．本题考查象限角、轴线角，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=5x+x−19是连续函数且单调递增，∵f(1)=5+1−19=−13<0，f(2)=25+2−19=8>0∴f(1)f(2)<0，由零点判定定理可知函数的零点在(1,2)．故选：B ．判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：只需将函数g(x)=2tan2x 的图象向左平移π6个单位长度，即可得到函数f(x)=2tan(2x +π3)的图象，故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：函数f(x)=a x−3+1中，令x −3=0，解得x =3，所以y =f(3)=a 0+1=2，所以f(x)的图象恒过定点(3,2)，所以m =3，n =2，对于A ，log m n =log 32<log 23=log n m ，所以A 错误；对于B ，2m =8，3n =9，所以2m <3n ，选项B 正确；对于C ，2log 2m =2log 23=log 29>3log 3n =log 323，所以C 错误；对于D ，m m =33>22=n n ，所以D 错误．故选：B ．根据指数函数的图象与性质求出f(x)的图象所过定点坐标，得出m 、n 的值，再判断选项中的命题是否正确即可．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ，即6AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：A ．根据平面向量基本定理，结合向量运算法则进行化简即可．本题主要考查向量的基本定理的应用，结合向量的运算法则是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】D【解析】解：函数的定义域是{x|x≠0}，f(−x)=sin(−x)ln|−x|=−sinxln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除AC，当0<x<1时，f(x)<0，排除B，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，设|n⃗|=t，若向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为π3，且|m⃗⃗⃗ |=1，则|m⃗⃗⃗ +2n⃗|2=1+4t2+4tcosπ3=3，解可得：t=12或−1(舍)，故t=12，故选：C．根据题意，设|n⃗|=t，由数量积的计算公式可得|m⃗⃗⃗ +2n⃗|2=1+4t2+4tcosπ3=3，解可得t的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：依题意得，H(5)=e5k+λ=8，H(8)=e8k+λ=20，H(8) H(5)=e8k+λe5k+λ=e3k=208=52，∴H(14)=e14k+λ=e5k+λ⋅(e3k)3=8×(52)3=125．故某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为125人．故选：D．由已知可得H(5)=8，H(8)=20，联立求得e3k，采用整体运算求解H(14)得答案．本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．11.【答案】A【解析】解：若f(x)的值域为R ，则y =ax 2+4x +2能取所有的正数，设y =ax 2+4x +2的值域为A ，则(0,+∞)⊆A ，当a =0时，y =4x +2的值域为R ，满足条件(0,+∞)⊆A ，当a ≠0时，要使(0,+∞)⊆A ，则满足{a >0△=16−8a ≥0，即{a >0a ≤2，即0<a ≤2，综上0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[0,2]，故选：A ．根据对数函数的性质，结合函数值域转化为不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数值域的求解和应用，结合对数函数的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．12.【答案】B【解析】解：设圆的半径为1，<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ，∵A ，B 为圆O 上不重合的两个点， ∴0<θ≤π，由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得−k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，平方得k 2=4+9+12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13+12cosθ， ∵0<θ≤π，∴−1≤cosθ<1，即，−12≤12cosθ<12，则，∴1≤13+12cosθ<25，即1≤k 2<25，即k 2的取值范围是[1,25)，故选：B ．设圆的半径为1，<OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ，利用平方法，结合向量数量积的公式进行计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，利用平方法进行转化结合三角函数的有界性进行求解是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】−10【解析】解：∵平面向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(15,x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2×15+3x =0，求得x =−10，故答案为：−10．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】6【解析】解：设幂函数y =f(x)=x α，因为函数图象过点P(9,3)，所以9α=3，解得α=12，所以f(x)=x 12，所以f(36)=3612=6．故答案为：6．利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算f(36)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．15.【答案】4√2−√59【解析】解：∵α,β∈(0,π2)， ∴α+β∈(0,π)，又∵sin(α+β)=23<sinα=2√23， ∴α+β∈(π2,π)， ∵sinα=2√23，sin(α+β)=23，∴cosα=√1−sin 2α=√1−(2√23)2=13，cos(α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−√1−(23)2=−√53． ∴cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√53×13+23×2√23=4√2−√59．故答案是：4√2−√59．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cos(α+β)的值，进而根据β=(α+β)−α，利用两角差的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】[−12,0)【解析】解：依题意可作出f(x)在[−4,5]上的图象，如图所示．因为a<a+12，由图可知{−1≤a<00≤a+12≤1，解得−12≤a<0，故a的取值范围是[−12,0)．故答案为：[−12,0)．利用函数的解析式以及奇偶性和周期性，作出函数f(x)的图象，由图象分析得到关于a的不等关系，求解即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数奇偶性、周期性的应用，解题的关键是正确作出函数的图象，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(1,3)，n⃗=(3,2)，∴m⃗⃗⃗ +2n⃗=(7,7)，则m⃗⃗⃗ ⋅(m⃗⃗⃗ +2n⃗ )=(1,3)⋅(7,7)=1×7+3×7=28；(2)(m⃗⃗⃗ +λn⃗ )=(1+3λ,3+2λ)，(λm⃗⃗⃗ +n⃗ )=(λ+3,3λ+2)，∵(m⃗⃗⃗ +λn⃗ )//(λm⃗⃗⃗ +n⃗ )，∴(1+3λ)(3λ+2)−(3+2λ)(λ+3)=0，整理得：λ2=1，即λ=±1．【解析】(1)由已知求得(m⃗⃗⃗ +2n⃗ )的坐标，再由数量积求解；(2)由已知求得(m⃗⃗⃗ +λn⃗ )与(λm⃗⃗⃗ +n⃗ )的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求得实数λ的值．本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得b+A=1，b−A=−3，求得A=2，b=−1．1 2×2πω=5π6+π6，∴ω=1．再根据五点法作图可得1×(−π6)+φ=π2，∴φ=2π3，∴f(x)=2sin(x+2π3)−1．(2)当x∈[π6,7π6]，x+2π3∈[5π6,11π6]，故当x+2π3=5π6时，函数f(x)取得最大值为2×12−1=0．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 19.【答案】解：(1)因为α为锐角，所以α+π4∈(π4,3π4)．又cos(α+π4)=−35，所以sin(α+π4)=√1−cos 2(α+π4)=45，所以tan(α+π4)=−43．tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanα⋅tan π4=tanα+11−tanα=−43，解得tanα=7．(2)sin2α−cos2α+cos 2α=2sinαcosα−cos 2α+sin 2α+cos 2α=2sinαcosα+sin 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+tan 2αtan 2α+1=2×7+7272+1=6350．【解析】(1)直接根据同角三角函数基本关系式求解即可，(2)直接根据二倍角公式以及同角三角函数关系式即可求解．本题考查的知识点是二倍角公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式，难度不大，属于中档题． 20.【答案】解：(1)若a >1，则f(x)=log a x 在区间[1,4]上单调递增，f(x)min =f(1)=0，不符合条件；若0<a <1，则f(x)=log a x 在区间[1,4]上单调递减，f(x)min =f(4)=log a 4=−2，解得a =12．综上，a =12．(2)由题意可知，g(x)=f(3x +18)+m =log 12(3x +18)+m ， ∵3x +18>18，∴log 12(3x +18)<log 1218=3． ∵函数g(x)=f(3x +18)+m 存在零点，∴3+m >0，即m >−3．故m 的取值范围为(−3,+∞)．【解析】(1)直接对a 分类讨论，利用函数的单调性求最值，即可得到满足条件的a 值；(2)利用函数的单调性求出函数g(x)的范围，再由题意可得关于m 的不等式，求解得答案．本题考查函数的最值及其几何意义，考查对数型函数最值的求法，训练了函数零点的判定及其应用，是中档题．21.【答案】解：(1)函数函数f(x)=√32cos(2ωx +π6)+sin 2(ωx +π3)−12(0<ω<2)， =√32cos(2ωx +π6)−12cos(2ωx +2π3)=√32cos(2ωx +π6)+12sin(2ωx +π6) =cos2ωx ，且f(π4)=0，解得ω=1，所以f(x)=cos2x ； (2)由题意可知：g(x)=2cos2(x −π6)=2cos(2x −π3).由于g(x)在区间(π4−α,π4+α)有且只有一个x 0，使得g(x 0)取得最大值，所以0<2α≤2π，即0<α≤π．由于x ∈(π4−α,π4+α)，所以2x −π3∈(π6−2α,π6+2α)，当π6−2α<0，即α>π12时，π6+2α≤2π，故π12<α≤11π12．当π6−2α≥0，即α≤π12，2π<π6+2α≤13π6，此时α∈⌀．综上，故α∈(π12,11π12]．综上所述：α的取值范围为(π12,11π12]．【解析】(1)利用三角函数关系式的变换和f(π4)=0，进一步求出函数的关系式；(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用及函数的取值范围的讨论，求出α的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2e x ，所以当x <0，即−x >0时，有f(−x)=(−x)2e −x =−f(x)，故f(x)=−x 2e −x ，则f(x)={−x 2e −x ,x <0x 2e x ,x ≥0． (2)当x >0时，f(x)>0，任取x 1>x 2>0，则f(x 1)f(x 2)=x 12e x 1x 22e x 2=(x 1x 2)2e x 1−x 2， ∵x 1>x 2>0，∴x 1x 2>1，e x 1−x 2>1，则f(x 1)f(x 2)>1，即f(x 1)>f(x 2)，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)是R 上的增函数．原不等式等价于f(3x −1)+3x −1>−f(5−ax)+ax −5=f(ax −5)+ax −5，构造函数ℎ(x)=f(x)+x ，易知ℎ(x)也是R 上的增函数，原不等式等价于3x−1>ax−5，即(a−3)x<4，)，当a>3时，不等式的解集为(−∞,4a−3当a=3时，不等式的解集为R；,+∞)．当a<3时，不等式的解集为(4a−3【解析】(1)根据奇函数的性质进行转化求解即可．(2)利用作商法判断函数的单调性，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，利用函数奇偶性的性质以及单调性的定义进行转化是解决本题的关键，是中档题．。

2020-2021学年广西北流高中、容县高中、岑溪中学三校高一下学期3月联考数学试题(解析版)

2021年3月岑溪中学、容县高中、北流高中三校联考高一数学试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．选择题答案用2B 铅笔填涂在答题卷选择题方框内：非选择题用0.5mm 黑色签字笔写在答题卷上各题的答题区域内． 3．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意项见答题卡），在本试题上作答无效．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等比数列{}n a 中，145,40a a ==，则3a =（） A ．10 B ．13 C ．18 D ．20 2．在ABC 中，534,,cos 25a b A ===，则B 的大小为（） A ．6π或56π B ．56π C ．3π D ．6π3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足131326a S ==，则1a =（） A ．24- B ．23- C ．22- D.21-4．一金字塔位于某人的正东方向上，某人在点A 测得金字塔顶端C 的仰角为30︒，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端C 的仰角为60︒，则金字塔CD 的高度为（）米．（忽略人的身高）A ．3B ．402C ．40D ．8035．等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，37S =，且1238,3,6a a a ++依次成等差数列，则13a a ⋅等于（）A．4 B．9 C．16 D．256．钝角三角形ABC 的面积是12，1,2AB BC==，则AC=（）A．5 B．5C．2 D．17．等比数列{}n a的前n项和为n S，已知321510,9S a a a=+=，则42SS=（）A．110B ．19C．10 D．98．在ABC中，B为锐角且2sin2B=，2c a=，则此三角形为（）三角形A．等腰B．直角C．等腰或直角D．等腰直角9．在数列{}n a中，已知11(1)1,sin2n nna a aπ++=-=，记nS为数列{}n a的前n项和，则2014S=（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100910．如图，在ABC中，D是边AC上的点，且,23,2AB AD AB BD BC BD===，则sin C的值为（）A．66B．36C．63D．3311．已知数列{}n a满足条件123231111252222nna a a a n++++=+，则数列{}n a的通现公式为（）A．12nna+=B．114(1)2(2)n nnan+=⎧=⎨≥⎩C．14(1)2(2)n nnan=⎧=⎨≥⎩D．22nna+=12．在ABC中，丙角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，已知3a=2223a b c bc=++，则3cos cosS B C+的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且283a a +=，则9S =_________．14．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(sin sin )()(sin sin )0a C A b c C B --+-=，则角B 的大小为________________．15．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =__________． 16．ABC 的各边均不相等，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且cos cos a A b B =，则a bc+的取值范围是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且60a b B ===︒，求角A ．（2）ABC 中内角A ，B ，C 对的边分别a ，b ，c ，1,a b c ===cos A 的值．18．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求通项n a ；（2）求n S 的最小值；19．（12分）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，向量(,3)m a b =，(cos ,sin )n A B = 共线向量．（1）求A ．（2）若2,a ABC =，求b ，c 的值．20．（12分）等差数列{}n a 满足5714,20a a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明数列{}n b 是等比数列．21．（12分）在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且1a 、3a 、7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记12n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且1cos 2A =，（1）求2sincos22B CA ++的值．（2）若a =bc 的最大值．高一下学期3月三校联考数学试题参考答案一、选择题：DDCA BBCD CABB 二、填空题 13．27 14．3π15．4 16． 1．【答案】D 由题意得38,2q q ==，所以23120a a q ==．2．【解析】选D ．3cos 5A =，∴0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5A ==．由正弦定理得54sin 125sin 42b A B a ⨯===，又∵b a <．∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴．3．【答案】C 在等差数列{}n a 中，()1131313262a a S +==，所以1134a a +=，则113442622a a =-=-=-，故选C ．4．【解析】选A ．5．【答案】B ∵31237S a a a =++=，132866a a a +++=，∴2721a =，即23a =，∴21329a a a ⋅==． 6．【答案】B 由三角形面积公式可知，11sin 22S AB BC B =⋅⋅=．又∵1,AB BC ==，∴sin 2B =，∴4B π=或34B π=．由余弦定理可知，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅．当4B π=时，得1AC =，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当34B π=时，得到AC =B ． 7．【答案】C 由已知条件及3123S a a a =++得319a a =，设数列{}n a 的公比为q ，则29q =故选C ．8．【解析】选D ，易知45B =︒，由c =得sin C A =，()sin 135A A ︒-=，即()sin135cos cos135sin A A A ︒-︒=．∴22A A A +=∴cos sin ,tan 1A A A ==，∴45A =︒ 又∵45B =︒，得90C =︒．从而ABC 是等腰直角三角形． 9．【答案】C 由1(1)sin2n n n a a π++-=，得1(1)sin 2n n n a a π++=+，所以21sin 101a a π=+=+=，323sin1(1)02a a π=+=+-=，43sin 2000a a π=+=+=，545sin 0112a a π=+=+=，所以51a a =．如此继续可得()*4n n a a n +=∈N ，数列{}n a 是一个以4为周期的周期数列，而201445032=⨯+，因此()2014123412503503(1100)111008S a a a a a a =⨯+++++=⨯+++++=，故选C ．10．【答案】A 设1BD =，则2AB AD BC ===．在ABD 中，由余弦定理得1cos 3A =-，所以sin 3A =，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC C A=，得sin 6C =，故选A11．【答案】B 由题意可知，数列{}n a 满足条件123231111252222n n a a a a n ++++=+，则123123111112(1)5,12222n n a a a a n n --++++=-+>，两式相减可得，252(1)522n na n n =+---=，∴12,1,N n n a n n +*=>∈．当1n =时，172a =，∴114a =，综上可知，数列{}n a 的通项公式为：114(1),2(2).n n n a n +=⎧=⎨⎩故选B ．12．【解析】选B ．由余弦定理得222cos 222b c a A bc bc +-===-．又因为0A π<<，所以56A π=．∴1sin?2A =，又a =∴,sin sin sin a b cb Bc C A B C===== 11sin 3sin sin 24S bc A bc B C ===因此，3cos cos 3(sin sin cos cos )3cos()S B C B C B C B C +=+=-．所以，当B C =，即212AB ππ-==时，3cos cos S B C +取最大值3．17．（1= 3∴sin 2A =，∵a b < 5 ∴45A =︒ 6（2）∵1,a b c ===由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 8∴22212A =+- 10∴cos A =12 18．解：（1）因为数列{}n a 为等差数列，所以342522a a a a +=+=． 1 又34117a a ⋅=，所以34,a a 是方程2221170x x -+=的两实根， 2 又公差0d >，所以34a a <， 3分所以349,13a a ==， 4分所以1129,313,a d a d +=⎧⎨+=⎩所以11,4.a d =⎧⎨=⎩所以通项43n a n =-． 6（2）由（1）知11,4a d ==， 7 所以1(1)2n n n S na d -=+⨯ 9 22112248n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭． 10所以当1n =时，n S 最小，最小值为111S a ==． 12分 19．（1）∵m n ∥∴sin cos a B A = 1∴sin sin cos A B B A =3∵sin 0B ≠∴sin tan A A A =⇒= 5∵(0,)A π∈∵3A π=6（2）11sin sin 223ABCSbc A bc π===∴4bc = 9 ∵22222cos3b c bc π=+- 10∴22428bc b c b c =⎧==⎨+=⎩12 20．（Ⅰ）解：数列{}n a 为等差数列，公差()75132d a a =-= 2， 12a = 4，所以31n a n =-． 6分（Ⅱ）由22n n b S =-，当2n ≥时，有1122n n b S --=- 7，可得()1122n n n n n b b S S b ---=--=- 9．即113n n b b -= 11．所以{}n b 是等比数列． 12分 21．答案：①设{}n a 的公差为d ，依题意得()()121113260a d a d a a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩2 解得121a d =⎧⎨=⎩4，∴2(1)11n a n n =+-⨯=+ 6 ②(3)2n n n S +=7， 1211122(3)(3)3n n b S n n n n n n ====+++ 8。