统计学教材课后答案 第三版 袁卫 庞皓 曾五一 贾俊平主编

第四章、参数估计
1．简述评价估计量好坏的标准
答：评价估计量好坏的标准主要有：无偏性、有效性和相合性。

设总体参数θ的
估计量有1ˆθ和2ˆθ，如果()1ˆE θθ=，称1ˆθ是无偏估计量；如果1ˆθ和2
ˆθ是无偏估计量，且()1ˆD θ小于()
2ˆD θ，则1ˆθ比2ˆθ更有效；如果当样本容量n →∞，1ˆθθ→，则1ˆθ是相合估计量。

2.说明区间估计的基本原理
答：总体参数的区间估计是在一定的置信水平下，根据样本统计量的抽样分布计算出用样本统计量加减抽样误差表示的估计区间，使该区间包含总体参数的概率为置信水平。

置信水平反映估计的可信度，而区间的长度反映估计的精确度。

3．解释置信水平为95％的置信区间的含义
答：总体参数是固定的，未知的，置信区间是一个随机区间。

置信水平为95％的置信区间的含义是指，在相同条件下多次抽样下，在所有构造的置信区间里大约有95％包含总体参数的真值。

4．简述样本容量与置信水平、总体方差、允许误差的关系
答：以估计总体均值时样本容量的确定公式为例：()22/22
z n E ασ= 样本容量与置信水平成正比、与总体方差成正比、与允许误差成反比。

练习题：
●1.
解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25，
（1）样本均值的抽样标准差
σ5=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
于是，允许误差是E =
α/2Z 6×0.7906=1.5496。

●2.
解：（1）已假定总体标准差为σ=15元，
则样本均值的抽样标准误差为
x σ15=2.1429
（2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
于是，允许误差是E
=α/2Z 6×2.1429=4.2000。

（3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
这时总体均值的置信区间为
±α/2x Z 0±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。

●3. 解：⑴计算样本均值x ：将上表数据复制到Excel 表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到x =3.316667，
⑵计算样本方差s ：删除Excel 表中的平均值，点击自动求值→其它函数→STDEV →选定计算数据列→确定→确定，得到s=1.6093
也可以利用Excel 进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“＝(a7-3.316667)^2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：
∑2
i
（x -x ）=90.65 再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值。

⑶计算样本均值的抽样标准误差：
已知样本容量 n =36，为大样本，
得样本均值的抽样标准误差为 x σ
s
1.6093⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间：
① 置信水平为90%时：
由双侧正态分布的置信水平1－α=90%，通过2β－1=0.9换算为单侧正态分
布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得 α/2Z =1.64，
计算得此时总体均值的置信区间为
±α/2s x Z 7±1.64×0.2682= 3.75652.8769 可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87，3.76）小时；
② 置信水平为95%时：
由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
计算得此时总体均值的置信区间为
±α/2s x Z 7±1.96×0.2682= 3.84232.7910 可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79，3.84）小时；
③ 置信水平为99%时：
若双侧正态分布的置信水平1－α=99%，通过2β－1=0.99换算为单侧正态分布的置信水平β=0.995，查单侧正态分布表得 α/2Z =2.58，
计算得此时总体均值的置信区间为
±α/2s x Z 7±2.58×0.2682= 4.00872.6247 可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62，4.01）小时。

●5解：假设距离服从正态分布，16,9.375, 4.113n x s ===
平均距离的95％的置信区间为((
0.0250.0251515x t x t ⎛-+ ⎝
＝（7.18,11.57）
●6.
解：已知样本容量n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p =23%，
拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为
p σ⑴双侧置信水平为90%时，通过2β－1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得 α/2Z =1.64，
此时的置信区间为 p ±αZ %±1.64×2.98%=27.89%18.11% 可知，当置信水平为90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为（18.11%，27.89%）。

⑵双侧置信水平为95%时，得 α/2Z =1.96，
此时的置信区间为 p ±αZ %±1.96×2.98%=28.8408%17.1592%
可知，当置信水平为95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为 ；（17.16%，28.84%）。

●7.
解： 已知总体单位数N =500，重复抽样，样本容量n =50，为大样本，
样本中，赞成的人数为n 1=32，得到赞成的比率为 p = n 1n =3250
=64%
（1）赞成比率的抽样标准误差为 =6.788% 由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为
p ±αZ 64%±1.96×6.788%=77.304%50.696% 可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为（50.70%,77.30%）。

（2）如预计赞成的比率能达到80%，即 p =80%，
由 得样本容量为 n =
20.80.2(6.788%)⨯= 34.72 取整为35， 即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。

●8.此题需先检验两总体的方差是否相等：
2222012112
:,:H H σσσσ=≠ 在5%的显著性水平下，2212/96.8/102.00.949F s s ===
0.0250.9750.025(13,6) 5.37,(13,6)1/(6,13)1/3.60.28F F F ====,不拒绝原假设 认为两总体方差是相同的。

（1）
()(
120.05190%,199.89.8 1.729*4.55x x t α-=-±=±±即（1.93，17.669）
（2）
()(
120.025195%,199.89.8 2.093*4.55x x t α-=-±=±±即（0.27，19.32）
●11.大样本的情况 ()
12p p z α-±（1）90%
置信度下
()40%30%10% 6.979%-±=±（3.021%，16.979） （2）95%
置信度下 ()40%30%10%8.316%-±=±（1.684%，18.316%） ●12．解：由题可计算：2222120.242,0.076s s ==
两个总体方差比2212/σσ在95％的置信区间为：
()()()22221212/21
21/212//, 4.06,14.351,11,1s s s s F n n F n n αα-⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭ ●13.
解：已知总体比率π=2%=0.02，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z =1.96，允许误差E ≤
4%
即由允许误差公式 E=/2Z ασ整理得到样本容量n 的计算公式：
n=2()E α
/2P Z σ=2=2E 2α/2Z π(1-π)≥20.020.980.04⨯⨯21.96=47.0596 由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取48个单位的样本。

●14. ？
解：已知总体标准差x σ=120，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z =1.96，允许误差E ≤ 20 即由允许误差公式 E=/2Z x ασ整理得到样本容量n 的计算公式：
n=2()E α/2x
Z σ≥2()20
⨯1.96120=138.2976 由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取139个顾客作为样本。