2021年高三下学期综合测试理科数学试题

2021年高三下学期综合测试理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．

第一部分选择题（共40分）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和关系的韦恩

（Venn）图是：

2．已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则满足的x取值范围

是：

A． B. C. D.

3.设a=lge，b=(lge)2，,则：

A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a

4．若函数y=f(x)的导函数

．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象可能是：

5．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为：

A． B.

C. D.

6．函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0，)的图

象如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图像，则只要

将f(x)的图像:

A.向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

7．定义在R上的函数f(x)满足，则f(2011)的值为：

A.-1

B.0

C.1

D.2

8．若定义在R上的减函数y=f(x)，对任意的a，b∈R，不等式

成立，则当1≤a≤4时，的取值范围是：

A． B. C. D.

第二部分非选择题(110分)

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．=____.

10.已知则tanα=____．

11．在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，，，则角B=____．

12.对a，b∈R，记，函数的最小值

是___．

13.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx的零点分别为x1，x2，则x1,x2的大小关系是_____.

14.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是_________.

三、解答题（共6大题，共80分）

15. （本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数

g(x)=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B．

(1)求集合A、B;

(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．

16.（本小题满分12分）已知函数.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；

(2)求函数f(x)的单调递减区间．

17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求:

(1)y关于x的函数表达式：

(2)总利润的最大值．

18.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，

，BC边上中线AM的长为.

(I)求角A和角B的大小； (II)求△ABC的面积．

19.（本小题满分14分）已知函数，其中a∈R.

(1)求f(x)在[-1，e](e为自然对数的底数）上的最大值；

(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得△POQ是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

20．（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(x∈R)．

(I)证明：，其中为k为整数；

(II)设x0为f(x)的一个极值点，证明：.

(III)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，a n，…，

证明：.

参考答案

一、选择题：BABA CDAC

二、填空题：9． 10． 11． 12.0 13.x1

三、解答题

15．（本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数

g（x）=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B．

(1)求集合A、B;

(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围．

解:(1)由或x≥2,所以.

由(x-a)(x-a-1)>0得xa+1，所以

(2)由A∩B=A，得

所以-1

16．（本小题满分12分）已知函数.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；

(2)求函数f(x)的单调递减区间．

解：(1)

当即时，f(x)取最大值2；

当即时，f(x)取最小值-2.

(2)由，得

∴单调递减区间为.

17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元）.

求：(1)y关于x的函数表达式：

(2)总利润的最大值．

解：(1)根据题意，得， x∈[0，5]．

(2)令，，则.

因为，所以当时，即x=2时，y最大值=0.875．

答：总利润的最大值是0.875亿元．

18.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2-(b-c)2

，，BC边上中线AM的长为.

(I)求角A和角B的大小； (Ⅱ)求△ABC的面积.

解:(I)由得，

，而A∈(0，π),.

由，得即 sinB=1+cosC

则cosC<0，即C为钝角，故B为锐角，且

则故.

(II)设AC=x，由余弦定理得

解得x=2故.

19．（本小题满分14分）已知函数，其中a∈R．

(I)求f(x)在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；

(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得△POQ是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

解：(I)因为

①-1≤x≤1时，f'(x)=-x(3x-2)，

解f'(x)>0得到;解f'(x)<0得到-1

所以f(x)在(-1，0)和上单调递减，在上单调递增，从而f(x)在处取得

极大值

.

又f(-1)=2,f(1)=0,所以f(x)在[-1,1)的最大值为2.

②当1≤x≤e时，f(x)=alnx，

当a≤0时，f(x)≤0；

当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最大值为a.

综上得：当a≥2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为2．

(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，因为三角形斜边中点在y轴上，则P，Q只能在y轴的两侧。

不妨设P(t，f(t))(t>0)，则Q(-t，t3+t2)，且t≠1．