2021年高三下学期综合测试理科数学试题
2021年高三综合能力测试数学试卷(理科)(3月份)含解析
2021年高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线C．线段D．圆3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log234．已知数列{an }满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若akak+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．95．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB．C．3π D．4π6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A．B．C．1 D．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．xx年北京市高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的除法化简求解复数，即可得到共轭复数．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2，可得z===1﹣i．则z的共轭复数=1+i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，是基础题．2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线 C．线段 D．圆【分析】A代入圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），∴（1﹣a）2+（0﹣b）2=1，∴（a﹣1）2+b2=1，∴圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log23【分析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=log2+log2+log2+log2的值，利用对数的运算法则计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=log2不满足条件n＞5，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件n＞5，n=5，M=，S=log2+log2+log2，不满足条件n＞5，n=6，M=，S=log2+log2+log2+log2，满足条件n＞5，退出循环，输出S=log2+log2+log2+log2=log2（×××）=log2．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基础题．4．已知数列{a n}满足a1=10，且2a n+1=2a n﹣3，若a k a k+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用2a n+1=2a n﹣3，判断数列{a n}是等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论【解答】解：因为2a n+1=2a n﹣3，所以a n+1﹣a n=﹣，所以数列{a n}是首项为10，公差为﹣的等差数列，所以a n=10﹣（n﹣1），由a n=10﹣（n﹣1）＞0，得n＜7，所以使a k a k+1＜0的k值为7，故选：B．【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB． C．3πD．4π【分析】由三视图可知：该几何体为一个球的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个球的．∴这个几何体的表面积=×4×π×12+π×12=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．【解答】解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．∴“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、空间位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A． B． C．1 D．【分析】由题意可得2=1，从而化简可得=x2+y2+xy，结合不等式组，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，从而利用二次函数求解即可．【解答】解：∵单位向量，满足2=2，∴2=1，∵，∴=x2+y2+2xy=x2+y2+xy，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，则=x2+y2+xy=x2+（a﹣x）2+x（a﹣x）=x2﹣ax+a2=（x﹣）2+a2，故当x=，此时y=时，有最小值a2，故||的最小值是=，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用及二次函数的综合应用，同时考查了不等式组的应用．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据屏幕解锁图案的设计规则即可得出结论．【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，∴得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据①，②，③的信息，可得①，②只有一种使其唯一确定，③有多种，故选：C．【点评】本题考查学生进行合情推理的能力，考查学生对新题型的解答能力，属于中档题．二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为200．【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距；利用频数等于频率乘以样本容量，求出应抽的人数．【解答】解：2月7日这个日期的客流量的频率0.20，因为从2月7日这个日期抽取了40人，所以一共抽取的人数为=200，故答案为：200．【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a＞1．【分析】根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：若0＜a＜1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为减函数，此时f（x）＜0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件．若a＞1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为增函数，此时f（x）＞0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件．综上a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．【分析】根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．【解答】解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r（x）10﹣2r（﹣）r=（﹣1）r C5r（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为2．【分析】由题意可得|OM|=ρ=，再根据正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|=ρ==，故当sinθ=0时，|OM|取得最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查极坐标方程中，极坐标的意义，求函数的最值，属于基础题．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为[0，3] ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，从而得到答案．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是3，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为1．【分析】（1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x）=﹣A，故a的最小值为f（x）的半周期．（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值．【解答】解：（1）∵f（x）的最大值为A，最小值为﹣A，f（x+a）﹣f（x）=2A，∴f（x+a）=A，f（x）=﹣A，∴a的最小值为f（x）的半周期．∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值为．（2）f（x+）=sin（2x++φ），f（x）=sin（2x+φ）．∴f（x+）﹣f（x）=sin（2x++φ）﹣sin（2x+φ）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x++φ）．∴f（x+）﹣f（x）的最大值为1．故答案为，1．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．【分析】（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB，代值计算可得；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系可得sinB，由正弦定理可得AC=，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB=32+72﹣2×3×7×=25，∴DC=5；（Ⅱ）在△ABC中，由cosB=可得sinB==，由正弦定理可得AC===【点评】本题考查正余弦定理解三角形，属基础题．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．【分析】（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能出该月群氛围不合理的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【解答】解：（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X=2）=，P（X=1）=，P（X=0）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==1．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意图表的合理运用．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【分析】（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（Ⅱ）利用已知条件先证明BD⊥AC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（Ⅲ）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．【点评】熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．【分析】（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2，x∈（0，+∞）时，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，g′（x）=e x﹣2﹣，根据函数单调性及零点定理可知存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，在x=x0取极小值也是最小值，即g（x）≥g（x0），lnx0=2﹣x0，根据函数的单调性可知g（x0）=0，即可证明f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域（0，+∞），因为f′（x）=e x﹣t﹣，x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=e1﹣t﹣1=0，所以t=1，所以f′（x）=e x﹣1﹣，因为y=e x﹣1和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），（Ⅱ）证明：当t≤2时，f（x）=e x﹣t﹣lnx≥e x﹣2﹣lnx，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，则g′（x）=e x﹣2﹣，因为y=e x﹣2和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g′（1）=﹣1＜0，g′（2）=1﹣=＞0，所以存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，所以在（0，x0）上使得g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，所以g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0），因为g′（x0）=0，即e x0﹣2=，所以lnx0=2﹣x0，所以g（x0）=e x0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2，因为x0∈（1，2），所以g（x0）=+x0﹣2＞2﹣2=0，所以f（x）＞0．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．【分析】（Ⅰ）由点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标．（Ⅱ）由，得2﹣6=0，由此利用韦达定理能推导出y1=﹣y2，从而能证明B、C、O三点共线．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，∴m=4+2=6，∴椭圆的标准方程为，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（﹣，0）和（，0）．（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），由，消去y，化简，得：2﹣6=0，∴，同理得，∵2k1k2=﹣1，∴====﹣x1，∴2k1k2==2×===﹣1，∴y1=﹣y2，∴B、C、O三点共线．【点评】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．【分析】（Ⅰ）利用新定义之间通过=636时，求解，及d2的值；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，推出f（）=d n×99，若d1=6，得到=f（）=6×99=495，可得d2=5，然后利用数学归纳法证明当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d1=，d n+1=，d n∈{5，6，7，8，9}，证明对任意三位数，n≥6时，=495．【解答】解：（Ⅰ）当=636时，=663﹣366﹣297，=972﹣279﹣693d2=6；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，则f（）=（a n×100+b n×10+c n）﹣（c n×100+b n×10+a n）=（a n﹣c n）×99=d n×99，若d1=6，则=f（）=6×99=495，可得d2=9﹣4=5，所以n=2时成立，假设n=k（k＞1）时成立，即d k=5，则=f（）=d k×99=495，d k+1=9﹣4=5．综上：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，则d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，=f（）=，所以a1=d﹣1，b1=9，c1=10﹣d，所以d1=，所以d1∈{5，6，7，8，9}，同理：=f（）=d k×99=，所以a n+1=d n﹣1，b n+1=9，c n+1=10﹣d n，所以d n+1=，dn∈{5，6，7，8，9}，当n≤5时，d n=5，所以n≥6时，n≥6时，=d n+1×99=5×99=495．【点评】本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力．35187 8973 襳32231 7DE7 緧38928 9810 預21153 52A1 务33932 848C 蒌29998 752E 甮39737 9B39 鬹32677 7FA5 羥W36973 906D 遭27404 6B0C 欌T。
2021-2022年高三下学期理科数学测试题(5)
2021年高三下学期理科数学测试题（5）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，1、已知全集，集合1|{},0)1)(2(|{-=>-+=x B x x x A ≤则（C U B ）为A ．B ．≥C ．D ．≥2、已知直线平面，直线平面，给出下列命题:（1）（2） （3） （4）其中正确命题的序号是A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（4）C 、（2）（4）D 、（1）（3）3、将函数的图象按向量平移后，得到的图象，则 （ ）A ．=（1，2）B ．=（1，－2）C ．=（－1，2）D ．=（－1，－2）4、等差数列的公差，若与的等比中项，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85、设随机变量～B(2,p), ～B(4,p),若，则的值为A .B . C. D .6、设命题P ：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；命题Q ：在中是22cos ()cos ()2424A B ππ+<+成立的必要非充分条件, 则（ ） A ．P 真Q 假 B ．P 且Q 为真 C ．P 或Q 为假 D ．P 假Q 真7、设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A 与中的任意一点B, 的最小值等于( )A ．B ．4C ．D ．28、半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是（ ）A. B C D9、设,.定义一种向量积：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=.已知,点在的图象上运动,点在的图象上运动,且满足 (其中为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别为（ ）A ．，B ．，C ．， Ｄ．，10、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）（A ）1 （B ） （C ） （D ）2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2022年高三下学期理科数学测试题(10)
2021年高三下学期理科数学测试题（10）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分 1．设（是虚数单位），则 ( )A ．B ．C ．D ． 2．已知函数，则的值是A ． 9B ．C ．－9D ．－3．若为实数，则“”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 不充分不必要条件4．锐角三角形中，边长是方程的两个根，且，则边的长是（ ）A.4B.C.D.5．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线＝1的左焦点为F 1，左、右顶占为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上情况都有可能 7．四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．关于函数，有下列命题:① 其表达式可写成； ②直线图象的一条对称轴； ③的图象可由的图象向右平移个单位得到； ④ 存在，使恒成立。
则真命题为( ) A ．②③ B ．①②C ．②④D ．③④9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i (i =1，2，…，n ),则a 1+a 2+…+a n =（ ） A. B. C. D. 10．已知二元函数()),(2sin cos ,2R R x x x x x f ∈∈++=θθθθ，则的最大值和最小值分别为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共25分）11．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1——160编号。
按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________12．已知实数x ，y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若得最大值为8，则k= 。
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理(含解析)
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. [﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得11 2a q =⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. 53B.85C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4 i≤，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1s i==，第二次循环，3,22s i==，第三次循环，5,33s i==，第四次循环，8,45s i==，第四次循环，13,58s i==，此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A. 2 B. 1C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.故选：B .1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2-e 2] 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1x e x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x xe x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 【答案】9.14h. 【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则AC ＝450，则有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 22AD DC +=450，22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或1025，1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA 3SB 3，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故212R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，23r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O ，1332r ==⨯.设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角. 故221132OO R r =-=，222232OO R r =-=，1133DO CD ==，2132DO SA ==. 1tan 3ODO ∠=，故13ODO π∠=，2tan 3ODO ∠=，故23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值；（2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）43 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（23 【解析】 【分析】（1）作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=. 22211232222PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，3） （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2p，0），利用FP =（2，，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p ，0），满足FP =（2，）的P 的坐标为（22p +，，P 在抛物线上， 所以（2＝2p （22p+），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y yy yy yy y+⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y0可得y1y2＝12，易知直线k NL124y y=+，则直线NL的方程为：y﹣y1124y y=+（x214y-），即y124y y=+x1212y yy y++，故y124y y=+x1212y y++，所以y124y y=+（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix=∑= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363254x=+ˆa.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆy bx a=+中，11221ˆniiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.（2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】（1）46；（2）1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 （1）直接根据101380ii x==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii i i x y x ybx x ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.（1）证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数.又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 【答案】（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），所以：PO === 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，13-]；（2）[﹣2，1]. 【解析】（1）根据a ＝4时，有f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， （i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii ）当x ≤2时，原不等式可化为﹣3x +7≥8，解可得x 13≤-， 此时不等式的解集（∞，13-]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13-]，（2）（i ）当a ﹣112a =即a ＝2时，f （x ）＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立，（ii ）当a ﹣112a ＞即a ＞2时，()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，， 结合函数的单调性可知，当x 12a =时，函数取得最小值f （12a ）112a =-， 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则211122a a -≥，此时a 不存在，（iii ）当a ﹣112a ＜即a ＜2时，f （x ）3211111213212x a x a x a x a x a x a ⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则121122a a -≥， 解得﹣2≤a ≤1，此时a 的范围[﹣2，1]，综上可得，a 的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2021年高三下学期学生学业质量检测数学理试题 含解析
2021年高三下学期学生学业质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，特殊化等都有涉及，注重通性通法，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等，能很好的考查学生的实际能力. 纵观全卷，整卷难度比高考略低，试题体现了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想。
注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知集合 A={0,1, 2,3} ，集合，则=A．{ 3 } B．{0，1，2} C．{ 1，2} D．{0，1，2，3}【知识点】集合的表示方法；交集.【答案解析】B解析：解：【思路点拨】可以把B集合中描述法表示了元素用列举法表示出来，然后按交集的定义进行求解即可.2．设复数z1=1+i，z2=2+xi（），若，则x =A．－2 B．－1 C．1 D．2【知识点】复数代数形式的运算【答案解析】A 解析：解：因为,所以即.故选A.【思路点拨】把复数乘积展开，化简为a+bi （a 、b ∈R ）的形式，可以判断所在象限． 3．某校高考数学成绩近似地服从正态分布N （100,5 2） ，且p （110）=0．98 ，则的值为 A ．0．49 B ．0．52 C ．0．51 D ．0．48 【知识点】正态分布的概念与性质.【答案解析】D 解析：解：根据正态分布的对称性可知对称轴为，关于对称()()190100901100.482p p ξξ∴<<=<<= 【思路点拨】根据正态分布的对称性可以知道的值.4．通过随机询问100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由算得参照右上附表，得到的正确结论A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【知识点】独立性检验的应用，【答案解析】A 解析 ：解：：∵K 2= 100(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选：A ． 【思路点拨】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论．【典型总结】本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力. 5．右上图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是 A ．6 B ．2 C ．5 D ． 【知识点】三视图；三视图与原图的关系.【答案解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，如图：SBAC其中SA⊥平面ABC，AC⊥平面SAB，SA=2，AB=4，AC=3，∴BC=5，,∴最长棱为故选：C．【思路点拨】可根据三视图找到原图的线面关系，根据图中所给数据进行计算.6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y =A．B．1 C．－1D．2【知识点】循环结构的程序框图【答案解析】D 解析：解：第1次循环，y=2,i=1第2次循环，y= y=2,i=1,i=2第3次循环，y=-1,i=3第4次循环，y=2,i=4...........框图的作用是求周期为3的数列，输出y的值，满足xx，退出循环，循环次数是xx次，即输出的结果为2，故答案为：2．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算循环变量y，i的值，并输出满足i xx的值．7．变量x y 、满足线性约束条件，则目标函数z =k x－y，仅在点（0 , 2）取得最小值，则k 的取值范围是A．k<－3B．k>1C．－3<k<1 D．—1<k<1【知识点】线性规划；不等式表示平面区域.【答案解析】C解析：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx-y得y=kx-z，要使目标函数y=kx-z仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z的下方，∴目标函数的斜率k满足-3＜k＜1，故选：C．【思路点拨】可由数形结合的方法找出目标函数取最小值的位置，进而求出k的值.8．设函数在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数，则称函数为的“P界函数”．若给定函数，则下列结论不成立的是A．B．C．D．【知识点】新定义函数；分段函数求值.【答案解析】B 解析：解：因为，所以，.故A正确.，故B不正确.，故C正确.故D正确.综上：选项B不正确.【思路点拨】结合“P界函数”的定义计算即可.二、填空题：本大题共7 小题，考生做答 6 小题，每小题 5 分，满分30 分．其中第14～15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．已知数列是等差数列，且a2=3，a6=11，则的公差d 为．【知识点】等差数列的定义.【答案解析】2解析：解：由等差数列的定义可知【思路点拨】依据等差数列的公式可求出公差的值.10．曲线在点（0,1）处的切线方程为．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案解析】B 解析：解：∵，∴，∴曲线在点P（0，1）处的切线的斜率为：k=3e0=3，∴曲线在点P（0，1）处的切线的方程为：y=3x+1，故答案为：y=3x+1．【思路点拨】欲求在点P（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【典型总结】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．11．在区间上的余弦曲线y= cos x 与坐标轴围成的面积为 ．【知识点】根据图形的对称性，可得曲线y=cosx ，,与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx ，与坐标轴围成的面积的3倍.【答案解析】3解析 ：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx ，，与坐标轴围成的面各积的3倍，【思路点拨】本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性.12．已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠DAB=60°，，则 的值为 ．【知识点】平面向量数量积的运算． 【答案解析】 解析 ：解：如图所示 因为菱形 ABCD 的边长为a, ∠DAB=60°21,cos1202DA DC a DA DC DA DC a ∴==⋅==-,1()()()()3AD DE DA DC AD DC DA DC ++=++.【思路点拨】利用菱形的性质、向量的三角形法则及其平行四边形法则、数量积运算、向量共线定理即可得出．13．有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 ． 【知识点】几何概型．【答案解析】 解析 ：解：记“硬币完全落入小圆内”为事件A ，事件A 对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于3的圆内，其面积为9π而所有的基本事件对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于5的圆内，其面积为25π ∴硬币完全落入小圆内的概率为P （A ）=． 故答案为：．【思路点拨】根据题意，算出硬币完全落入小圆内的事件对应的图形面积，以及所有基本事件对应图形的面积，结合几何概型计算公式即可算出所求的概率．【典型总结】本题给出硬币落入圆开纸板内的事件，求硬币完全落入小圆内的概率．着重考查了圆的面积公式和几何概型计算公式等知识. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为（2,），半径为 2，直线 被圆C 截得的弦长为2 ，则的值等于 ． 【知识点】极坐标方程的意义.【答案解析】 解析 ：解：圆C 的普通方程为：，直线的方程为：.圆心C （0,2）到直线的距离为1得：，所以因为所以所以.【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程求解. 15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点 B 在圆O上，BC=2∠BCD=60°，则圆O 的面积为________．【知识点】弦切角.【答案解析】 解析 ： 解：因为弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，所以∠A=60°，则∠BOC=120°， 因为BC=2,所以圆的半径为2,所以圆的面积为：4π【思路点拨】通过弦切角转化为，圆周角，然后求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2021届高三下学期第二次调研考试数学(理)试题
度下学期高三数学(理科)试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U= {小于7的正整数)，{}{}21257100,,A B x x x x N ==-+≤∈，，，则()U A C B ⋂=A.{}1B. {}2C. {}12，D. {}125，，2．设复数12z i =+(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为 A ．()3,2-B ．(5，4)C ．(－3，4)D ．(3，4)3．设a R ∈，则“3a >”是“函数()log 1a y x =-在定义域内为增函数”的 A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()201821n n S a n N a *=-∈=，则 A. 20162B. 20172C. 20182D. 201925．已知双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB CD =时，双曲线的离心率为 A ．2B ．62C ．51+ D ．62+ 6．已知随机变量X 服从正态分布()()3,1240.6826N X ≤≤=，且P ，则()4P X >= A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6D. 0.158 57．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．424π++B ．2424π+C ．2422π+D ． D ．2224π++8．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是 A ．()ca f x dx ⎰B ．()ca f x dx ⎰C ．()()bcabf x dx f x dx +⎰⎰D ．()()cbbaf x dx f x dx -⎰⎰9.执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是 A. ()(],22,5-∞⋃B. ()(),11,-∞-⋃+∞C. ()(),22,-∞⋃+∞D. ()(],11,5-∞-⋃A. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. ()2sin 2g x x =D. ()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的向左、右焦点分别为12F F P ，，是椭圆上一点，12PF F ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<，则该椭圆的离心率的取值范围是 A. 3112⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭， B. 31122⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭， C. 112⎛⎫⎪⎝⎭，D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12.已知在数列{}()112,1,n n n n a a n a a a n N *+=-=+∈中，，若对于任意的[]2,2a ∈-，n N *∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为C. (][),12,-∞-⋃+∞D. []2,2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()()1,,3,1,1,2a b c λ===，若向量2a b c -与共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为___________.14.若不等式组0,0,260,0x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域，则实数m 的取值范围是___________.15.在三棱锥A BCD ABC BCD -∆∆中，与都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2015π，则ABC ∆的边长为__________.16.若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，则实数b=__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求cos B 的值；（2）若172,cos 17a C ABC ==-∆，求的外接圆的半径R.18.（12分）如图，在四棱锥222=P ABCD PA PD AD CD BC ADC -=====∠中，，且=90BCD ∠.（1）当PB=2时，证明：平面PAD ⊥平面ABCD. （2）当四棱锥P ABCD -的体积为34，且二面角P AD B --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.19.（12分）一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表所示.经计算得()()()26666111111=26,33,55766i i i i i i i i i i x x y y x x x y y x x =======--=-∑∑∑∑， 84=，()6213930i i y y=-=∑，线性回归模型的残差平方和()621236.64,i ii y y =-=∑8.06053167e ≈，其中,i i x y 分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6.i =（1）若用线性回归模型，求y x 与的回归方程y bx a =+（结果精确到0.1）.（2）若用非线性回归模型预测当温度为35℃时，该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()()()2121122111,;1nniiii i nn ii i xxy y yy b a y bx R xxyy====---==-=--∑∑∑∑.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()()2ln ,3x f x x x g x x ax e ==-+-（a 为实数）. （1）当5a =时，求函数()g x 的图像在1x =处的切线方程； （2）求()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使方程()()2xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a . （1）求a 的值；。
2021-2022年高三下学期理科数学测试题(3)
2021年高三下学期理科数学测试题（3）―、选择题：1． （ ）A ．B ．C ．1D ．-1 2．数列满足：，，则的前项和数值最大时，的值是 （ ） A 6B 7C 8D 93．若直线(25)(2)40a x a y ++-+=与直线互相垂直，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或0或4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数： ，，. 则“同形”函数是 ( )A ．与B ．与C ．与D ．与5.设是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( )A ．过且与平行的平面有且只有一个B ．过且与垂直的平面有且只有一个C ．与所成的角的范围是D ．过空间一点与、均平行的的平面只有一个6.已知双曲线上一点M 到右准线的距离为10，为右焦点，的中点，为坐标原点，则的长为（A ）2 （B ）2或7 （C ）7或12 （D ）2或127．如图所示，在A ,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落，则导致电路不通。
今发现A 、B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有（ ）种.A.9B. 11C. 13D. 158.甲:有四个单调区间，乙： 的值域R ，则甲是乙A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对9. 下面4个平面图形中，可以最为合适地卷成右图所示半径为r 的烟囱的“直角弯头”的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能．．．（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 直线2πr 2πr 2πr2πr二、填空题：11.设若，1213．设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥320y x x y x ，则的取值范围是_________14. 高为的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为_______15. 符号表示不超过的最大整数，如，定义函数。
2021年高三第三次综合检测(数学理)
2021年高三第三次综合检测（数学理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部为（）A．0 B．C．1 D．-12．已知向量，，若，则实数等于（）A．6 B. 9 C. 1 D. –13. 在等比数列中，，公比.若，则=A.9B.10C.11D.124. 若实数满足的最大值为（）A．6 B．4 C．3 D．25. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是( )A． B. C. D.6．方程的根所在的区间为（）A． B． C． D．7. 某器物的三视图如右图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（）A．B．C．D．8. 已知函数，命题：使 .则“命题是假命题”，是“”的（）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，,由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在的人数约占该厂工人总数的百分率是 .10．二项式的展开式的常数项是。
（用数字作答）11．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则。
12．如右图是一个算法的程序框图,当输出值的范围大于1时,则输入值的取值范围是 .13．设，，记，若，，且，则实数的取值范围是(二) 选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。
若PB=1，PD=3，则的值为15．(坐标系与参数方程选讲选做题）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. (本小题满分12分)已知向量，，设，（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的最小值。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析
m AM
2 x y 0 .令 x 2
2 ，的 m (
2,1, 2) .设平面 PMB 的一个法向量为
n (x, y, z) ，
则
n
CB
2x 0
.令 y 1， 的 n (0,1,1) .所 以
n PB 2x y z 0
cosm, n
m n
3
3 14 ，所以二面角 A PMN B 的正弦值为
A. f ( x 1) 1
B. f ( x 1) 1
C. f ( x 1) 1
D. f ( x 1) 1
答案：
B
解析：
f (x) 1 x 1 2 ， f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 g(x) 2 为奇
1 x
1 x
x
函数.
5.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1 所成的角为
（）
A. 60 种
B.120 种
C. 240 种
D. 480 种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为 C52 A44 240 .
7.把函数 y f ( x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把所得曲 2
线向右平移 个单位长度，得到函数 y sin( x ) 的图像，则 f ( x) （ ）
y2 b2
1(a
b
0) 的上顶点，若 C
上的任意一点
P 都满足，
PB 2b ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
2 A.[ ,1)
2
B.[ 1 ,1) 2
Байду номын сангаас
C. (0, 2 ] 2
2021-2022年高三下学期统一质量检测数学(理)试题含答案
2021-2022年高三下学期统一质量检测数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位，复数等于 A ．B ．C ．D ．2．设全集，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则 A ． B ． C ． D ．3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所 剩数据的平均数和方差分别为A ．和B ．和C ．和D ．和 4．“”是“数列为等差数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则 正视图中的的值是A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为 A ． B ． C ． D ．7．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则8．函数(为自然对数的底数)的图象可能是A B C D 9．对于函数，下列说法正确的是 A ．函数图象关于点对称B ．函数图象关于直线对称C ．将它的图象向左平移 个单位，得到的图象D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象10．已知点是的外心，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动， 是坐标原点，则的最大值为 A ． B．C ．D ．第5题图正视图 侧视图x第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数，若， 则 ;12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;13．设，则二项式展开 式中的第项的系数为 ;14．若目标函数在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点处取得最小值，则实数的取值范围是 ;15．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合: ① ; ② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅; ③ ; ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅.其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 设的内角所对的边分别为，已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-，. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求的面积.17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅱ）从这名学生中随机选出名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，为中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求平面和平面所成角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.20．（本小题满分13分）已知椭圆与直线相交于、两不同点，且直线与圆相切于点(为坐标原点).（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，求实数的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数，，.（Ⅰ）若函数的图象在原点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（Ⅱ）若在上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对于，总存在，且满，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围.理科答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 12. 13.14． 15．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）sin()sin sin a b a cA B A B+-=+- …………………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分， ………………………………………………………6分 （Ⅱ）由，，，得 ……………………………7分由得，从而， …………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin 6C A B A B A B =+=+=…………………10分所以的面积为1sin 2S ab C ==……………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从名学生随机选出名的方法数为，选出人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分 （Ⅱ）可能的取值为3211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分 所以的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分 18．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）连结交于， 因为为四棱柱，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，又为中点，所以为的中位线，从而 ……………………………………4分 又因为平面，平面，所以平面． …………………………5分（Ⅱ）因为底面，面，面，所以又，所以两两垂直. ……………6分如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，. 从而，.因为，所以，解得. ……………………8分 所以，.设是平面的一个法向量，则即令，则. …………………………………………………………9分 又，.设是平面的一个法向量，则即令，则. ………………………………………………………10分121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯++⋅<>===⋅ 平面和平面所成角（锐角）的余弦值. ……………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设的公差为， 则101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得，所以 ………………………………………………………3分 所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当 ……② ①②两式相除得因为当适合上式，所以………………………………6分 （Ⅱ）由已知， 得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分 当为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+ ………………………………………………………………9分当为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+ ……………………………………………………………11分综上：2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为直线与圆相切所以圆的圆心到直线的距离，从而…2分由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-= 设，则， …………………………………………………4分 所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k--=++++=+++++--+--===++ 所以 (6)分 （Ⅱ）直线与圆相切于，EW FWλ====………………………………8分 由（Ⅰ）知， ，即从而，即21234x λ+== ……………………………………………………………12分 因为，所以 ………………………………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）原函数定义域为，，则，， ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩与函数的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=±4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++, 令,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对恒成立， 所以，即在上为增函数 ………………………………6分在上单调递减 对恒成立，即…………………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）当时， 在区间上为增函数，时， …………………………………………………………………………10分 的对称轴为：，为满足题意，必须……11分 此时2min 1()()12f x f k k =-=-，的值恒小于和中最大的一个对于，总存在，且满足，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min41141()0102(4)493(1)2kkf x kfkfk-<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨<<+⎪⎪<-<-…………………………………………………13分……………………………………………………………………14分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
2021年高三下学期第二次周末综合测试(理科数学)
2021年高三下学期第二次周末综合测试（理科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则AIB=( )A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1,4}2．已知{an }是等差数列，a6+a7=20，a7+a8=28，则该数列前13项和S13等于( )A.156B.132C.110D.1003．己知a、b、c是直线，β是平面，给出下列五个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a//c；②若直线a//b，b⊥c，则a⊥c：③若直线a//β，，则a//b；④若a与b异面，且直线a//β，则b与β相交；其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44、如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是长为2，宽为1的矩形，则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为AA． B. C.1 D.5、在同一平面直角坐标系中，函数y=g(x)的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称。
而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)=-1，则m的值是( )A.-e B． C.e D.6．已知正数x、y满足，则的最小值为( )A．1 B． C． D.7．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则△PF1F2的面积为 ( )A.4B.6 C． D.8、若椭圆与曲线无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是( )A． B. C . D .二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知向量的夹角为1200，且，则的值为______.10．过x轴上一点P向圆C：x2+(y-2)2=1作切线，切点为A,则切线长的最小值是____．11.在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f(x)的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(x)对应的曲线在点(e，f(e))处的切线方程为________________.12．有下列各式：,,……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式：_____________．13、过点M(1，2)的直线Z将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线Z的方程是__________14、（坐标系与参数方程选做题）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，单位长度一致的坐标系下，已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为psinθ=a，则这两曲线相切时实数a的值为________．15、（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC中，DE//BC，EF//CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB的长为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
陕西省2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学答案
陕西省2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题参考答案1．C 【思路点拨】先求出集合,A B ，再根据集合间的运算即可求出A B .【解析】由2log (31)y x =-知：310x ->， 解得：13x >， 13A x x ⎧⎫=>⎨⎩⎭∴⎬∣，由224x y +=知：22y -≤≤，{}22B y y ∴-≤≤， 1,23A B ⎛⎤∴⋂= ⎥⎝⎦.故选：C.2．A 【思路点拨】先利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求出z 的坐标，进而可得结果. 【解析】()()21i i 1i223i i i z ---=-=-=+-， z ∴在复平面内对应点的坐标为()3,1，位于第一象限，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.3．C 【思路点拨】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【解析】2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r .所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【名师指导】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 4．A 【思路点拨】由双曲线C 的方程求得其渐近线的斜率，它与已知直线垂直，由它们的斜率建立关系式而得解.【解析】直线250x y +-=的斜率2k =-，因它与C 的一条渐近线垂直， 所以这条渐近线的斜率为12k '=，又双曲线C 的一条渐近线斜率为b a 或ba -，则12b a =或12b a -=，所以22251ca b b e aa +⎛⎫===+=⎪⎝⎭． 故选：A5．C 【思路点拨】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为12%,48%,32%,8%，结合各项的描述即可判断其正误.【解析】由图知，及格率为18%92%-=，故A 错误.该测试满分同学的百分比为18%32%48%---12%=，即有12%20024⨯=名，B 错误. 由图知，中位数为80分，平均数为408%6032%80⨯+⨯+48%10012%72.8⨯+⨯=分，故C 正确.由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有3000(48%12%)1800⨯+=，故D 错误. 故选：C6．C 【思路点拨】根据等比中项及等差数列的性质求解. 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵21025a a =，解得65a =， 数列{}n b 是等差数列，且56b a =． ∴9599545S b ==⨯=． 故选：C 7．D【解析】分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥P ABC -，其中PC ⊥底面ABC ， 底面ABC 直角三角形，线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质可得结论. 详解：由三视图可知，该几何体为一个如图所示的三棱锥P ABC -，其中PC ⊥底面ABC ， 底面ABC 2,2,2的三角形，2PC =， 由222222+=，可得90A ∠=，又PC ⊥底面ABC ，,PC BC PC AC ∴⊥⊥，,PC BA ⊥,AC BA BA ⊥⇒⊥平面PAC ，AB PA ⊥，因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4，故选D.【名师指导】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 8．C 【思路点拨】将函数图象恒在直线上方转化为三角函数的取值范围，从而解得参数的取值范围.【解析】函数图象恒在直线3y =的上方，即()()32cos 30f x x ϕ>⇔+>恒成立，3,2,22422x k k ππππϕϕϕππ⎛⎫⎛⎫+∈-++⊆-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222k k ππϕπ∈⇒-+>-+Z ，222,424k k k k πππϕππϕπ+<+⇒<<+∈Z ．当0k =时，ϕ的取值范围是0,4π⎛⎫⎪⎝⎭． 故选：C ．9．C 【思路点拨】以O 为原点，以OB 为x 轴，建立坐标系，可得1122AP OP OA t ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，AP =AP 的最小值.【解析】以O 为原点，以OB 为x 轴，建立坐标系，OAB ∆为边长为1的正三角形，()1,,1,022A B ⎛∴ ⎝⎭，()2OP t OA tOB =-+112t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，11222AP OP OA t ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，12AP ⎛=t t =-+=≤C. 【名师指导】本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.10．A 【思路点拨】根据对数的换底公式求解即可. 【解析】∵210a =， ∴2log 10a=，又5log 10b =， ∴25log 10log 11111lg 2lg 50lg101a b +=+=+==． 故选：A11．C 【思路点拨】先利用指数、对数函数性质并借助中间数比较20.330.3,2,log 2的大小，再用函数()f x 给定单调区间及单调性得结论.【解析】因为函数y =2x 是R 上的增函数，则20.3>20=1， y =log 3x 是(0,)+∞上的增函数，则12331log 2log 32>=， 而0.32=0.09<0.5，所以20.330.3log 22<<，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()()20.330.3log 22f f f <<，即a c b <<．故选：C【名师指导】比较幂、对数值的大小，通过单调性、计算等方法不能解决时，选取适当的“媒介”数(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．12．D 【思路点拨】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行求解即可. 【解析】如图，连接11,,AC D A D C ，因为E ，F ，G 分别为11,,AB BC C D 的中点，所以//,AC EF EF ⊄平面1ACD ，则//EF 平面1ACD ，因为1//EG AD ，所以同理得//EG 平面1ACD ， 又EFEG E =，得平面1//ACD 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上，则1D 与满足题意的P 构成的平面截正方体的截面为1ACD △， 在1ACD △中，有112,2,2===AD AC CD ，所以12212722222AD CS⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选：D13．17-【思路点拨】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【解析】不等式所表示的区城如图，令9z x y =-，得1199y x z =-， 当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小， 由13x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩即(1,2)B ，此时917x y -=-．【名师指导】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是： 一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．30【思路点拨】根据()5x y -+展开式的通项公式，分两种情况可得()()52x y x y --+展开式33x y 的系数.【解析】()5x y -+展开式的通项公式为()55151rr r r r T C x y --+=-⋅⋅，故分别令2,3r r ==，可得5()x y -+展开式32x y 与23x y 的系数分别为2355,C C -，故5(2)()x y x y --+展开式33x y 的系数为()3255(2)30C C +--=15．2-【思路点拨】直线与抛物线联立，运用韦达定理即可.【解析】设点()(),,,A A B B A x y B x y 设l 的方程为2x ty =+，则224x ty y x =+⎧⎨=⎩得2480y ty --=，则8A B y y ⋅=-，所以2212416B A y y x x ⋅⋅==，从而824A B A OA OB B y y k k x x ⋅-⋅===-⋅.【名师指导】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 16．44135【思路点拨】由递推关系求得数列{}n a 的通项公式，代入n b ，根据裂项求和的办法求得6T .【解析】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n *∈N 时，21112n n n S a a ---=+， 两式相减得：22112n n n n n a a a a a --=+--，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=， 由0n a >知，10n n a a -+≠， 从而110n n a a ---=，即当2,n n *∈N 时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列， 则1(1)1n a n n =+-⨯=．所以()()112111221221n nn n n n b n n n n +++==-++++++，则12111111136611221n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++． ∴6711443261135T =-=++． 【名师指导】方法点睛：型如()()121221n n n n b n n ++=+++的数列，可以裂项成111221n n n n +-+++的形式，进而求得前n 项和. 17．【思路点拨】（1）由正弦定理及余弦定理直接求解即可； （2）由三角形面积公式及余弦定理求出+a b 即可. 【解析】（1）由正弦定理，得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∵(0,)C π∈，∴3C π=．（2）由（1）知3C π=．由ABC 的面积为122ab ⋅=，解得8ab =， 由余弦定理得222212()3122c a b ab a b ab =+-⨯=+-=，∴2()36,6a b a b +=+=，故ABC 的周长为6+．【名师指导】在解三角形中，合理选择正弦定理及余弦定理，结合所给条件，灵活运用，属于中档题.18．【思路点拨】（1）根据AB ，AF ，BF 的长，满足勾股定理，从而得出AB ⊥AF ，从而证明出AF ⊥平面ABCD ，从而证得结论.（2）以A 点为原点建立空间直角坐标系，分别求得二面角两个面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值.【解析】（1）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以,//,1,3,2AD AF AD BC AD AF AB BF ⊥====，∴222AF AB BF +=，∴,,AF AB ABBD A AF ⊥=⊥平面ABCD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ．（2）∵AB AD ⊥，由①知，AB 、AD 、AF 两两垂直，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则1(0,1,0),3,,0,(0,0,1),(3,0,0),(0,1,1)2D C F BE ⎫⎪⎭．因为三棱锥A BDF -的外接球的球心为O ，所以O 为线段BE 的中点，则O 的坐标为311311,,,0,,3,,02222OC CD ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设平面OCD 的法向量为(),,n x y z =，则0n OC n CD ⋅=⋅=，即310,22130,2x z x y -=⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，得(1,23,3n =．易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =， 则33cos ,4161m n ==⨯． 由图可知，二面角A CD O --为锐角， 故二面角A CD O --3 【名师指导】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值.19．【思路点拨】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则34,5X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，从而得到X 的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数. 【解析】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得()212505090020010025010001501100k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系. （Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P =25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯ 502530.40.32502505+⨯+⨯=. （ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则34,5X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()443255kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =，∴X 的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为150905⨯=. 【名师指导】独立性检验的一般步骤：（I ）根据样本数据制成22⨯列联表；（II ）根据公式()()()()()22nad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；（III ） 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）20．【思路点拨】（1）结合离心率，通径的概念以及,,a b c 的关系可得方程；（2）利用对称性可转化为2121212MF M S F F y y '=-，利用韦达定理和不等式求最值． 【解析】（1）依题意可知22223221c a b aa b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为2214x y +=． （2）延长1MF 交E 于点0M ，由（1）可知12(3,0),(3,)F F O -，设()()11022,,,M x y M x y ，设1MF 的方程为3x my =由22314x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()2242310m y my +--=，故122122414y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩．设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 的面积为S ，()()20121100111222MF M S F M F N d F M F M d MM d S =+=+==，又因为201212121122MF M S F F y y y y =⋅⋅-=⋅-=234m ==++43223=，=m =故四边形12F F NM 面积的最大值为2．21．【思路点拨】（1）求导()()21x f x e x ='--，令()()g x f x '=，用导数法研究其单调性和最值即可；（2）将问题转化为()22x g x ae x -'=-有两个变号零点．令()()22x h x g x ae x ==--'，由（1）1x e x >+，分0a <，2a ，02a <<，讨论其单调性结合零点存在定理求解.【解析】（1）()2()22(1),()21x x f x e x x f x e x '=---=--，令()()(),()21x g x f x g x e ''==-，令()0g x '>，解得0x >，令()0g x '<，解得0x <，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()()(0)0f x g x g ='=，所以()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间．（2）若2()()(2)2(1)x x g x f x a e ae x x =+-=---有两个极值点， 即()22x g x ae x -'=-有两个变号零点．令()()22xh x g x ae x ==--'，（ⅰ）当0a <时，()22x h x ae x =--在R 上单调递减，最多只有一个零点，不合题意； （ⅱ）当2a 时，()()2221x x h x ae x e x =----，由（1）1x e x >+，知 ()()22210x x h x ae x e x =----≥，最多只有一个零点，不合题意．（ⅲ）当02a <<时，令()20x h x ae '=-=，得2ln x a=； 当2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0h x '<，当2ln ,,()0x h x a ⎛⎫∈+∞> '⎪⎝⎭； 所以()h x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 则222()ln 22ln 22ln h x h a a a⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 而当02a <<时，222ln 0,ln 2ln 0h a a a ⎛⎫>=-< ⎪⎝⎭， 又(1)0a h e -=>，根据零点存在性定理可知121,ln x a ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得()141644410,2ln 4ln 24ln 2h x h a a a a a ⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（*）， 令4(2,)t a=∈+∞，则（*）式4[(1)ln ]0t t >-->， 所以224ln,2ln x a a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x =， 又()h x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 故()h x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭有唯一零点1x ，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一零点2x ． 综上知：若()f x 有两个极值点，则a 的取值范围为(0,2)．【名师指导】用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．22．（1）2100x y +-=，22194x y +=；（2，98,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【思路点拨】（1）l 的极坐标方程转化为cos 2sin 100ρθρθ+-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出l 的普通方程；C 的参数方程消去参数θ，能求出C 的普通方程．（2）在C 上取点()3cos ,2sin M ϕϕ，利用点到直线的距离公式求出d =【解析】（1）由:cos 2sin 100l ρθρθ+-=，及cos ,sin x y ρθρθ==．∴l 的方程为2100x y +-=．由3cos ,2sin x y θθ==，消去θ得22194x y +=． （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则()0|5cos 10|d ϕϕ==--． 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时0098983cos ,2sin ,,5555M ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【名师指导】该题考查参数方程向普通方程转化，极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，考查点到直线的最小距离的求法，解题方法如下：（1）利用正余弦平方关系消参，将参数方程化为普通方程，利用极坐标（2）利用参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式求得最值，得到结果.23．【思路点拨】（1）利用零点分段法将()13f x x x =--+去绝对值，分成三段，令每一段大于2，求解后取并集；（2）由（1）[]3,1x ∈--时，()1322f x x x x =--+=--，分离常数得[]()323,1k x x≤--∈--，右边函数为增函数，所以()[]()113,1g x x -≤≤∈--，解得1k ≤-.【解析】（1）()13f x x x =--+,所以当3x ≤-时,()1342,3f x x x x =-+++=>∴≤-, 满足原不等式；当31x -<<时,()1322f x x x x =-+--=--, 原不等式即为222x -->, 解得2,32x x <-∴-<<-满足原不等式；当1x ≥时,()1342,1f x x x x =---=-<∴≥不满足原不等式；综上原不等式的解集为{}|2x x <-.（2）当[]3,1x ∈--时,()1322f x x x x =-+--=--, 由于原不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立,221x kx ∴--≤+, 在[]3,1x ∈--上恒成立,[]()323,1k x x ∴≤--∈--, 设()32g x x=--,易知()g x 在[]3,1x ∈--上为增函数,()[]()113,1,1g x x k ∴-≤≤∈--∴≤-.。
2021年高三下学期阶段性检测试题(数学理)
2021年高三下学期阶段性检测试题（数学理）注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上． ２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。
答在试题卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U ＝R ，集合集合，则（ ） A. B. C. D ． 2.曲线sin ,cos 2y x y x π==和直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为（ ）3.对于平面和共面（ ）∥ ∥,∥，则：∥，则∥ ,∥，则：∥ 4.下列4个命题:（1）命题“若，则”；（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件； （3）设随机变量服从正态分布N （0，1），若； （4）命题“，”的否定是：“，”其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下左图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b,则a 和b 的值分别为（ ）A.0.27 78B.0.27 85C.2.7 78D.2.7 856.如上右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列中的项，则所得y 值的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数，且实数>>>0满足，若实数是函数=的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ）A ．B ．C ．D ．8．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
2021年高三下学期综合测试(一)数学(理)试题
2021年高三下学期综合测试（一）数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A)B=( )1、已知集合A={x∈R|x<5-}，B={1，2，3，4)，则(CRA．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4}2、已知函数①y=sinx+cosx，②y=sin xcosx，则下列结论正确的是( )A．两个函数的图象均关于点(-，0)成中心对称B．两个函数的图象均关于直线x=-成轴对称C．两个函数在区间(-)上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同3、设f(x)=,则的值为( )A． B． C． D．4、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该三棱柱的表面积为( )A．(24+8)cm2 B．24cm2 C．cm2 D．cm25、下列四个命题中，正确的是( )A．已知服从正态分布N(0，2)，且P(-2≤≤0)=0.4，则P（>2）=0.2B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位C．已知命题p：x∈R，tanx=1；命题q：x∈R，x2-x+1>0．则命题“p﹁q”是假命题D．已知直线l1：ax+3y-1=0,l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是 =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A．i≤30?；p=p+i-1 B．i≤29?；p=p+i+1C．i≤31?：p=p+i D．i≤30?；p=p+i7、已知k∈=(k,1),=(2,4)，若≤,则△ABC是直角三角形的概率是( )A． B． C． D．8、设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0使对一切实数x均成立，则称函数f(x)为F函数．现给出下列函数①f(x）=x2，②f(x)=③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1x2均有．其中是F函数的序号为( )A.①②③B.②④C. ②③D.③④二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按1题给分，共30分）（一）必做题（9～13题）9、i是虚数单位，的共轭．．复数的数是________10、若实数x，y满足，则s=y-x的最小值为________11、已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________12、已知数列{a n}的前n项和S n=n2-7n，且满足16<a k+a k+1<22，则正整数k=_______13、已知函数f(x)=-alnx(a∈R)，若函数f(x)在[1,2]为增函数，且f/(x)在[1，2]上存在零点(f/(x)为f(x)的导函数)，则a的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，若∠CFE=()，则∠DEB___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2021-2022年高三下学期理科数学测试题(4)
2021年高三下学期理科数学测试题（4）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是A ．(∁I A ∩B ) ∩C B ．(A ∩∁I B )∩C C ．(A ∩B )∩∁I CD ．(∁I B ∪A )∩C2．已知函数223(1)()11(1)x x x f x x ax x ⎧+->⎪=-⎨⎪+≤⎩在点处连续，则（ ）。
A 0 B 1 C 2 D 33．已知m 、n 是不重合的直线，、是不重合的平面，给出下列四个命题①βαβα//,,则若⊥⊥m m ②βαβα//,//,,则若n m n m ⊂⊂ ③若 ④βαβα⊥⊂⊥则若,,m m其中正确命题的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.已知向量a = (cos θ，sin θ)，b = (3，4)，其中θ∈(0，)，则a ·b 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．不确定5.设双曲线 (a ＞0，b ＞0)的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应焦点为F ，若以AB为直径的圆过点F ，则双曲线离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．6．若，则实数的取值范围是（ ）7．设函数的图象关于点（1，）对称，且存在反函数，若，则等于A ．－1B ．1C ．－2D ．28．一个幼儿园的母亲节联谊会上，有5个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了5个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机的任取一个信封，则恰好有两个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为( )A ．B ．C ．D ．9．半径为的球面上有10个点，其中有四点共面，其它无四点共面，任意连接其中两点得一系列空间直线，这些直线中可构成多少对异面直线。
A ．627B ．630C ．621D ．无法确定10椭圆C 1：的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为，焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，线段PF 2的中点为G ，O 是坐标原点，则的值为（ ）A ．B ．1C ．－D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知复数满足，则复数的共轭复数为12．角终边上一点M （，-2）（，且，则= ．13．设为坐标原点，点点满足360,xx yx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则的取值范围为;14.已知三点在球心为，半径为3的球面上，且几何体为正四面体，那么两点的球面距离为__________；点到平面的距离为__________.15、设抛物线C：，AB是过焦点的弦，设,为准线，给出以下结论：①；②以AB为直径的圆与准线相离；③；④设准线与轴交于点N，则FN平分；⑤过准线上任一点M作抛物线的切线，则切点的连线必过焦点。
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2021年高三下学期综合测试理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题（共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和关系的韦恩（Venn）图是：2．已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则满足的x取值范围是：A． B. C. D.3.设a=lge，b=(lge)2，,则：A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4．若函数y=f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象可能是：5．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为：A． B.C. D.6．函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0，)的图象如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图像，则只要将f(x)的图像:A.向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．定义在R上的函数f(x)满足，则f(2011)的值为：A.-1B.0C.1D.28．若定义在R上的减函数y=f(x)，对任意的a，b∈R，不等式成立，则当1≤a≤4时，的取值范围是：A． B. C. D.第二部分非选择题(110分)二、填空题（每小题5分，共30分）9．=____.10.已知则tanα=____．11．在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，，，则角B=____．12.对a，b∈R，记，函数的最小值是___．13.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx的零点分别为x1，x2，则x1,x2的大小关系是_____.14.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是_________.三、解答题（共6大题，共80分）15. （本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数g(x)=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B．(1)求集合A、B;(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；(2)求函数f(x)的单调递减区间．17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求:(1)y关于x的函数表达式：(2)总利润的最大值．18.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，BC边上中线AM的长为.(I)求角A和角B的大小； (II)求△ABC的面积．19.（本小题满分14分）已知函数，其中a∈R.(1)求f(x)在[-1，e](e为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得△POQ是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？20．（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(x∈R)．(I)证明：，其中为k为整数；(II)设x0为f(x)的一个极值点，证明：.(III)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，a n，…，证明：.参考答案一、选择题：BABA CDAC二、填空题：9． 10． 11． 12.0 13.x1<x2 14.y=2x-1三、解答题15．（本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数g（x）=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B．(1)求集合A、B;(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围．解:(1)由或x≥2,所以.由(x-a)(x-a-1)>0得x<a或>a+1，所以(2)由A∩B=A，得所以-1<a<1，所以实数a的取值范围是(-1，1)．16．（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；(2)求函数f(x)的单调递减区间．解：(1)当即时，f(x)取最大值2；当即时，f(x)取最小值-2.(2)由，得∴单调递减区间为.17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元）.求：(1)y关于x的函数表达式：(2)总利润的最大值．解：(1)根据题意，得， x∈[0，5]．(2)令，，则.因为，所以当时，即x=2时，y最大值=0.875．答：总利润的最大值是0.875亿元．18.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2-(b-c)2，，BC边上中线AM的长为.(I)求角A和角B的大小； (Ⅱ)求△ABC的面积.解:(I)由得，，而A∈(0，π),.由，得即 sinB=1+cosC则cosC<0，即C为钝角，故B为锐角，且则故.(II)设AC=x，由余弦定理得解得x=2故.19．（本小题满分14分）已知函数，其中a∈R．(I)求f(x)在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得△POQ是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？解：(I)因为①-1≤x≤1时，f'(x)=-x(3x-2)，解f'(x)>0得到;解f'(x)<0得到-1<x<0或.所以f(x)在(-1，0)和上单调递减，在上单调递增，从而f(x)在处取得极大值.又f(-1)=2,f(1)=0,所以f(x)在[-1,1)的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)=alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最大值为a.综上得：当a≥2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为2．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，因为三角形斜边中点在y轴上，则P，Q只能在y轴的两侧。
不妨设P(t，f(t))(t>0)，则Q(-t，t3+t2)，且t≠1．因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以.即：是否存在点P ，Q 等价于方程，(*)是否有解．若0<t<1，则f(t)=-t 3+t 2，代入方程（*）得：t 4-t 2+1=0，此方程无实数解．若t>1，则f(t)=alnt ，代入方程（*）得到：，设 h(x)=(x+1)lnx(x ≥1),则在[1，+∞）上恒成立，所以h(x)在[1，+∞）上单调递增，从而h(x)≥h(1)=0，且当x →+∞时，h(x)→+∞．所以当a>0时，方程有解，即方程（*）有解.所以，对任意给定的正实数a ，曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得△POQ 是以O 为直 角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．20．（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(x ∈R).(I)证明：f(x+2k π)-f(x)=2k πsinx,其中为k 为整数；(II)设x 0为f(x)的一个极值点，证明：；(III)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a n ，…，证明：证明：(I)由于函数定义，对任意整数k ，有f(x+2k π)-f(x)=(x+2k π)sin(x+2k π)-xsinx=(x+2k π)sinx-xsinx=2k πsinx (II)函数f(x)在R 上可导，f'(x)=xcosx+sinx ①令f'(x)=0，得: sinx=-xcosx若cosx=0,则sinx=-xcosx=0，这与cos 2x+sin 2x=1矛盾，所以cosx ≠0。
当cosx ≠0时， ②设g(x)=x+tanx ，则g(x)在上单调递增，且时，时，，所以f ’(x)=0在上有唯一解。
当时，2040020220020202200220201tan 1tan cos sin sin sin )]([x x x x x x x x x x x x f +=+=+==. (III)证明：由(II)知，对于任意整数k ，在开区间内方程-x=tanx只有一个根x 0，当时，-x<tanx,当时，-x>tanx ，而cosx 在区间内，要么恒正，要么恒负，因此时的符号与时的符号相反综合以上，得：的每一个根都是f(x)的极值点 ③由-x=tanx 得，当x>0时，tanx<0，即对于x 0>0时， ④综合③、④：对于任意n ∈N +，由：和，得： ⑤又：，但时， ⑥综合⑤、⑥得： 21837 554D 啍21922 55A2 喢[24601 6019 怙27195 6A3B 樻33893 8465 葥37018 909A 邚23346 5B32 嬲f24963 6183 憃29150 71DE 燞27642 6BFA 毺m36934 9046 遆M。