【名师测控】(遵义专版)人教版八年级数学上册导学案：第十二章小结与复习

第十二章小结与复习

【学习目标】

1．让学生知道全等三角形的概念、性质和判定，会用全等三角形的性质与判定定理来证明线段相等和角相等的问题．

2．经历探究、合作、交流、展示全等三角形有关性质和判定的运用，让学生掌握几何的分析思想．

3．让学生体会几何学的实际应用价值．

【学习重点】

全等三角形的性质定理和判定定理．

【学习难点】

运用全等三角形的性质与判定定理来证明线段相等和角相等的问题．

行为提示：让学生独立完成知识结构图的所有内容．

教师提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．

注意：要注重基本图形的挖掘，平移变换中，线段、角的大小关系没有变化，证线段相等，关键还是要证两线段所在的两个三角形全等．

情景导入生成问题

知识结构图：

自学互研 生成能力

知识模块一 全等三角形的性质和判定

例1：已知：如图，点D 、E 在BC 上，且BD ＝CE ，AD ＝AE ，求证：AB ＝AC. 证明：作AO ⊥BC 于O ，则∠AOB ＝∠AOC ＝90°.

在Rt △AOD 和Rt △AOE 中，⎩

⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，AO ＝AO ， ∴Rt △AOD ≌Rt △AOE(HL )．

∴OD ＝OE.

∵BD ＝CE ，

∴OD ＋BD ＝OE ＋CE ，

即OB ＝OC.

在△AOB 和△AOC 中，

⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ，AO ＝AO ，

∴△AOB ≌△AOC(SAS )．

∴AB ＝AC.

例2：如图所示，CE ，CB 分别是△ABC ，△ADC 的中线，且AB ＝AC ，求证：CD ＝2CE.

分析：为了证明CD ＝2CE ，考虑CE 是△ABC 底边AB 上的中线，故把CE 延长到F ，使CF ＝2CE ，把原来证CD ＝2CE 转化为证明CD ＝CF ，如此把线段“倍半”的数量关系转

化为证两条线段的相等关系．

归纳：三角形中有中线时，常加倍延长中线，构造全等三角形，使边、角条件转换，将分散的边、角集中在一些图形中，使问题易于解决．

方法指导：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以在平面几何中，证明两条线段相等、两个角相等、两条直线互相平行、两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现．有时在整个证明过程中往往要完成多次三角形全等的证明，才能解决待证(或待求)的问题．

提示：角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，以及到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，这些为我们证明线段(或角)相等提供了便利的方法．

行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块二角平分线在全等三角形中的运用

例3：如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF＝DG.

证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴在△ABE和△CBE中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，

∴△ABE ≌△CBE(SAS )．∴∠AEB ＝∠CEB.又∵∠AEB ＋∠AED ＝180°，∠CEB ＋∠CED ＝180°.∴∠AED ＝∠CED.∴ED 平分∠AEC.又∵DF ⊥AE ，DG ⊥CE ，∴DF ＝DG.

交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 全等三角形的性质和判定

知识模块二 角平分线在全等三角形中的运用

检测反馈 达成目标

1．△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝80°，O 是三条角平分线的交点，则∠OAC ＝20°，∠BOC ＝110°．

2．如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，O 为BD 中点，过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ，若∠ADB ＝60°，EO ＝10，则∠DBC ＝60°，FO ＝10．

3．已知：如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE ＝CD.

证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，

∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°.

在△ABD 和△ACE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠AEC ，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，

∴△ABD ≌△ACE(AAS )．

∴AD ＝AE.∵AB ＝AC ，

∴AB －AE ＝AC －AD ，

即BE ＝CD.

4．已知：如图，AB ＝DC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，∠A ＝60°.

(1)求∠FBD 的度数；

(2)求证：AE ∥BF.

解：(1)∵AB ＝DC ，∴AB ＋BC ＝DC ＋BC ，即AC ＝BD.

在△ACE 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，

∴△ACE ≌△BDF(SSS )．

∴∠FBD ＝∠A ＝60°.

(2)∵∠FBD ＝∠A ，∴AE ∥BF.

课后反思 查漏补缺

1．本节课学到了什么知识？还有什么困惑？

2．改进方法