(完整word版)线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直

基础要点

线面垂直

线线垂直 面面垂直

a 与平面

B AB 与两平面 丄平面 B

B

A

C

D B

A

的取值范围是 C

B

⑵

所成的角相等，则平面 D 、4:3

D 、△ ABC 的内部 3、如图示，平面 C 、3:2 B 、3:1 2、在斜三棱柱ABC A 、2:1 1、若直线 D 、以上结论都不正确

A ,

B ，则 AB: AB

C i

知 PA AC,PA 6，

BC 8, DF 5 APC i 周长的最小值是 5.已知长方体 ABCD A i B i C i D i 中，A i A AB 2 C 、直线BC 上 过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 C i

ABQ , BAC BC 2,CC i i DC 上有一动点 卩，则厶 不一定平行于 4、如图示，直三棱柱 ABB i DCC i 中

题型一：直线、平面垂直的应用

i.（20i4,江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点.已 所成的角分别为-和-

A ,

B

C 、 不平行于

(A ) A 、 // B ） B 、直线AB 上 为H ，则H —定在 A 、直线AC 上 ABB i 90o

,AB 4

求证：（i ） PAP 平面DEF 错误！未找到引用源 平面BDE 平面ABC 错误味找到引用源。. 90°,又BC i AC ,过C i 作C i H 丄底面 ABC 垂足

若棱AB 上存在点P,使得D i P PC ,则棱AD 长 与的位置关系是（B ）

Z —

B

i/"

D

--------------------------

1

D i

证明：⑴因为D , E 分别为棱PC , AC 的中点, 所以

DE // PA. 又因为 PA ? 平面 DEF , DE 平面DEF , 所以直线PA //平面DEF.

(2) 因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点，PA = 6, BC = 8,所以 DE // PA , DE = 1 1

PA = 3, EF = BC = 4. 2 2

又因 DF = 5,故 DF 2= DE 2 + EF 2, 所以/ DEF = 90° 即 DE 丄 EF.

又 PA 丄 AC , DE // PA ,所以 DE 丄 AC.

因为AS EF = E , AC 平面ABC , EF 平面 ABC ,所以DE 丄平面 ABC. 又DE 平面BDE ,所以平面 BDE 丄平面 ABC.

2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱 ABC Ai B 1C 1中，侧棱垂直于 底面，AB BC , AA 1 AC 2 , E 、F 分别为AG 、BC 的中点.

(1)求证：平面 ABE 平面B 1BCC 1 ； (2)求证：GF//平面ABE .

证明：(1)在三棱柱ABC ABG 中，

BB 1 底面 ABC, BB 1 AB, AB BC, AB 平面 B 1BCC 1, Q AB 平面ABE, 平面ABE 平面 耳BCC 1.

⑵取AB 的中点G ,连接EG , FG

1

Q E 、F 分别为 AG 、BC 的中点,FGPAC,FG AC ,

2

ABC 所在平面外的一点，且 PA 平面ABC ，平面PAC AC .

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直， 要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条 纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.

Q AC PA 1C 1, AC AC 1? FG PEG , FG EC 1,则四边形FGE6为平行四边形,

C 1F PEG,Q EG

平面ABEQF

平面ABE, C 1F P 平面ABE .

3.如图，P 是

PBC •求证BC

平面

证明：在平面PAC内作AD PC，交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC , AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC •又因为BC 平面PBC，于是有AD BC①•另外PA 平面ABC , BC 平面ABC，所以PA BC •由①②及

AD PA A，可知BC 平面PAC •因为AC 平面PAC，所以BC AC •

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直.

4. 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC 90 ASC ASB 60，若截取SA SB SC a

⑴求证：平面ABC 平面BSC;

(2)求S到平面ABC的距离.

分析：要证明平面ABC 平面BSC,根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.

(1)证明：••• SA SB SC a,

又ASC ASB 60 ,

二ASB和ASC都是等边三角形，

AB AC a,

取BC的中点H，连结AH , • AH BC •

在Rt BSC中，BS CS a,• SH BC , BC、2a

• AH 2 AC2CH 2 2 a 辭)

(a)

2

2 丄

, •SH2

2 a

222

22

在SHA中，•AH2a SH2—,SA22a

,

2，2

• SA2 SH 2HA2, • AH SH,• AH平面SBC •

••• AH 平面ABC , •平面ABC平面BSC

或：••• SA AC AB ,•••顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心, 又BSC为Rt ,• H 在斜边BC上，

又BSC为等腰直角三角形，• H为BC的中点，

•AH 平面BSC・：AH 平面ABC，•平面ABC 平面BSC •

(2)解：由前所证：SH AH , SH BC , • SH 平面ABC ,

•SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH 些-a ,

2 2