专题13数列与概率2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

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考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占
总体
的，以此赋分 分、 分、 分、 分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
法， 省某高中高一（ ）班（共 人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选
16．已知等差数列 的公差 ，
且 是 与 的等比中项.
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 的最大值及对应的 的值.
【答案】（1）
；（2）当
或
时， 取得最大值，且最大值为
.
【解析】
（1）因为 是 与 的等比中项，所以
整理得：
因为 ，
，所以
故
，即
（2）（方法一）因为
，
，所以
所以
当
或
时， 取得最大值.
，208 个
（Ⅰ）
，，
，
∴ 与 线性相关性很强.
（Ⅱ）
，
11
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，
∴ 关于 的线性回归方程是
.
当
时，
（百个），
即 地区 2019 年足球特色学校的个数为 208 个.
20.已知数列 满足
，其中 为数列 的前 项和，若
，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小．
由已知
，得
. 解得
9
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∴ ∴ 即 是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 18．一次考试中，5 名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生
数学 分
89
91
93
95
97
物理 分
87
89
89
92
93
要从 5 名学生中选 2 名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率 请在图中的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；
C．
D．
【答案】B 【解析】
设正方形 DEFC 的边长为 ，则
，因此所求概率为
，选 B.
6．已知等差数列 中，
A．10
B．9
【答案】A
【解析】
因为在等差数列 中，
所以
，前 10 项的和等于前 5 的和，若
C．8
D．2
， ，
，则
（）
可得
，
3
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，
又
，
．
故选 A．
二、填空题
；因为小明的化
学成绩最后得分为 分，且小明化学 多分，所以小明的原始成绩的可能值为
；
（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为
，小明的所有可能选法有：
共 种，其中包括化学的有
共 种，
若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为 .
8
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故答案为： ．
9．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 名学生,得到如下
理科
文科
列联表:
男
13
10
女
7
20
4
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已知
,
.
根据表中数据,得到
.
则认为选 修文科与性别有关系出错的可能性为__________.
【答案】5%
【解析】
由独立性检验的结论，由于观测值
选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在 年 月接待游客量小于 年 月接待游客量的情况，故并 不是逐月增加，因此 错误；
选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待 游客量逐年增加，因此 错误；
选项：根据折线图可发现，每年的 ， 月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰 期均在 ， 月份，并非 ， 月份，因此 错误；
由题意知
，又 为正项等比数列，所以
，且 ，所以
，
所以 或
（舍），故选 A
5. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边
形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC=2，AC=4，在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率
为
A．
B．
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）由
，
，可得
，
又
，解得
，故
，即
，
当 时，
，
∴
，
当 时，
符合上式，
故数列 的通项公式为
．
（2）由（1）可得
，
∴
易知
，所以
故
．
， ， ，
12
故当
或
时， 取得最大值 110.
（方法二）由
，得
则当
或
时， 取得最大值，
且最大值为
17．在数列 中，
，
（1）若 是等差数列，且
（2）对任意的
有：
，前 项之和为 . ，求 的值；
，且
.试证明：数列
是等比数列.
【答案】（1） 【解析】
（2）见证明
（1）设 的公差为 ，则由已知可得：
解得
∴
（2）由
得：数列 的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【解析】
根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技
术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到
③错误.
故答案为：C.
2．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩 满分 100 分 的
（1）
；
的工艺品中随机抽选 件，求被抽选 件工艺品重量均在
.
（2） 件仿制的工艺品中，重量范围在
的工艺品有 件，
重量范围在
的工艺品有 件，
所以从重量范围在
的工艺品中随机抽选 件方法数
（种），
所以所求概率
.
15．高考改革是教育体制改革 中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破 文理分科的“ ”模式初露端倪.其中“ ”指必考科目语文、数学、外语，“ ”指考生根据本人兴趣特长和拟 报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择 门作为选考科目，其中语、 数、外三门课各占 分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目
【答案】(1)70 分 (2)
(3)
【解析】
（1）
，
此次考试物理成绩落在
内的频率依次为
，概率之和为
小明的物理成绩为 分，大于 分.
小明物理成绩的最后得分为 分.
（2）因为 40 名学生中，赋分 分的有
人，这六人成绩分别为 89,91,92,93,93,96；赋分 分的
有
人,其中包含 80 多分的共 10 人，70 多分的有 4 人，分数分别为
7．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的 个点所对 应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是__________．
【答案】 . 【解析】 由于点 E 到回归直线的距离最大，所以去掉点 E 后，剩下的 5 个点对应的相关系数会最大. 8．在甲、乙、丙、丁 名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为__________． 【答案】 【解析 】 由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲当选的概率为 ．
1.70
（Ⅰ）根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性强弱（已知：
，则认
为 与 线性相关性很强；
，则认为 与 线性相关性一般；
，则认为 与 线性相关
性较弱）；
（Ⅱ）求 关于 的线性回归方程，并预测 地区 2019 年足球特色学 校的个数（精确到个）
参考公式：
，
，
，
，
，
.
【答案】（I）相关性很强；（II） 【解析】
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专题 3 数列与概率
一、单选题 1．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形 图，如图所示.
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博 士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗
位的人数超过总人数的 ；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ）
，
故在犯错概率不超过 0.05 的前提下认为选修文科与性别有关系,
则出错的可能性为
.
10．在递增的等比数列 中，
，
，则 __________．
【答案】
【解析】
由等比数列的性质可得
，所以
，
，
又因为 为递增的等比数列，
所以 ，即
，
所以
又
，所以 ，
所以
11.已知一只蚂蚁在底面半径为 ，高为
的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能
性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过 的概率为______．
【答案】
【解析】
易得圆锥的母线长为
，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过 时，蚂蚁应爬行在底面半径为
，母线长
为 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 的概率为
，
故答案为 . 12．已知等差数列{an}的首项 a1=1，若 3a3=7a7，则数列{an}的前 n 项和的最大值为______． 【答案】5
，
（1）证明：
是等比数列；
（2）求数列 的通项公式以及前 项和 .
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）在 得
中，令 ，即
，得 ，
解得
.
因为
，
所以
.
， .
，
所以
.
所以
是以 6 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）得
，
所以
.
∴
.
14．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中 占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有 多年的历史，
三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分 分）频率分布直方图 ，化学成绩（满分 分）
茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理 分，化学 多分.
（1）求小明物理成绩的最后得分； （2）若小明的化学成绩最后得分为 分，求小明的原始成绩的可能值； （3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.
5
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【解析】 设公差为 d， ∵3a3=7a7，项 a1=1， ∴3（1+2d）=7（1+6d）， 解得 d=- ，
∴an=1- （n-1）=
，
令 an≥0，解得 n=10，
∴数列{an}的前 n 项和的最大值为 S10=10+
故答案为：5
三、解答题
13. 已知数列 的前 项和为 ，满足
故选：A．
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 年 月至 年 月期间月
接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )
A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年减少 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 月 D．各年 月至 月的月接待游客量相对于 月至 月，波动性较小，变化比较稳定 【答案】D 【解析】
茎叶图如图 ，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为
A．8
B．7
【答案】A
【解析】
甲班学生成绩的平均分是 85，
1
C．9
D．168
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，
即．
乙班学生成绩的中位数是 83，
若 ，则中位数为 81，不成立．
若 ，则中位数为
，
解得 ．
，
：散点图如图所示：
10
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可求得：
，
，
，
．
根据所给的数据，可以计算出
，
，
与 x 的线性回归方程为
．
19．为了了解 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校 （百个） 0.30
0.60
1.00
1.40
参考公式：线性回归方程
，其中
，
．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
记
，
，
，
，
．
则从 5 名学生中，任取 2 名学生的所有取法为 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，共有 10 种情况，
其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况是 、 、 、 、 、 、 ，共计 7
种，因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为 ；
根据折线图可知，每年 月至 月的极差较小，同时曲线波动较小； 月至 月极差明显大于 月至 月的极
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差，同时曲线波动幅度较大，说明 月至 月变化比较平稳，因此 正确.
本题正确选项：
4．在正项等比 数列 中，若
依次成等差数列，则 的公比为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A 【解析】
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对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中， 对仿制的 重量（单位： ）数据如下表：
件工艺品测得
分组
频数
频率
合计
（1）求出频率分布表中实数 ， 的值；
（2）若从仿制的 件工艺品重量范围在
范围
wenku.baidu.com
中的概率.
【答案】（1）
,
；（2） .
【解析】