专题13数列与概率2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
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的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占
总体
的，以此赋分 分、 分、 分、 分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
法， 省某高中高一（ ）班（共 人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选
C．
D．
【答案】B 【解析】
设正方形 DEFC 的边长为 ，则
，因此所求概率为
，选 B.
6．已知等差数列 中，
A．10
B．9
【答案】A
【解析】
因为在等差数列 中，
所以
，前 10 项的和等于前 5 的和，若
C．8
D．2
， ，
，则
（），
又
，
．
故选 【解析】 设公差为 d， ∵3a3=7a7，项 a1=1， ∴3（1+2d）=7（1+6d）， 解得 d=- ，
∴an=1- （n-1）=
，
令 an≥0，解得 n=10，
∴数列{an}的前 n 项和的最大值为 S10=10+
故答案为：5
三、解答题
13. 已知数列 的前 项和为 ，满足
参考公式：线性回归方程
，其中
，
．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
记
，
，
，
，
．
则从 5 名学生中，任取 2 名学生的所有取法为 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，共有 10 种情况，
其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况是 、 、 、 、 、 、 ，共计 7
种，因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为 ；
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）由
，
，可得
，
又
，解得
，故
，即
，
当 时，
，
∴
，
当 时，
符合上式，
故数列 的通项公式为
．
（2）由（1）可得
，
∴
易知
，所以
故
．
， ， ，
12
故当
或
时， 取得最大值 110.
（方法二）由
，得
则当
或
时， 取得最大值，
且最大值为
17．在数列 中，
，
（1）若 是等差数列，且
（2）对任意的
有：
，前 项之和为 . ，求 的值；
，且
.试证明：数列
是等比数列.
【答案】（1） 【解析】
（2）见证明
（1）设 的公差为 ，则由已知可得：
解得
∴
（2）由
得：数列 的奇数项和偶数对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中， 对仿制的 重量（单位： ）数据如下表：
件工艺品测得
分组
频数
频率
合计
（1）求出频率分布表中实数 ， 的值；
（2）若从仿制的 件工艺品重量范围在
范围
中的概率.
【答案】（1）
,
；（2） .
【解析】
三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分 分）频率分布直方图 ，化学成绩（满分 分）
茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理 分，化学 多分.
（1）求小明物理成绩的最后得分； （2）若小明的化学成绩最后得分为 分，求小明的原始成绩的可能值； （3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.
；因为小明的化
学成绩最后得分为 分，且小明化学 多分，所以小明的原始成绩的可能值为
；
（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为
，小明的所有可能选法有：
共 种，其中包括化学的有
共 种，
若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科1.70
（Ⅰ）根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性强弱（已知：
，则认
为 与 线性相关性很强；
，则认为 与 线性相关性一般；
，则认为 与 线性相关
性较弱）；
（Ⅱ）求 关于 的线性回归方程，并预测 地区 2019 年足球特色学 校的个数（精确到个）
参考公式：
，
，
，
，
，
.
【答案】（I）相关性很强；（II） 【解析】
，
故在犯错概率不超过 0.05 的前提下认为选修文科与性别有关系,
则出错的可能性为
.
10．在递增的等比数列 中，
，
，则 __________．
【答案】
【解析】
由等比数列的性质可得
，所以
，
，
又因为 为递增的等比数列，
所以 ，即
，
所以
又
，所以 ，
所以
11.已知一只蚂蚁在底面半径为 ，高为
的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能
由题意知
，又 为正项等比数列，所以
，且 ，所以
，
所以 或
（舍），故选 A
5. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边
形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC=2，AC=4，在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率
为
A．
B．
故选：A．
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 年 月至 年 月期间月
接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )
A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年减少 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 月 D．各年 月至 月的月接待游客量相对于 月至 月，波动性较小，变化比较稳定 【答案】D 【解析】
由已知
，得. 解得9 - 让每个人平等地提升自我∴ ∴ 即 是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 18．一次考试中，5 名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生
数学 分
89
91
93
95
97
物理 分
87
89
89
92
93
要从 5 名学生中选 2 名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率 请在图中的直角坐标系中作出这些数据的散专题 3 数列与概率
一、单选题 1．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形 图，如图所示.
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博 士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗
位的人数超过总人数的 ；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ）
选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在 年 月接待游客量小于 年 月接待游客量的情况，故并 不是逐月增加，因此 错误；
选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待 游客量逐年增加，因此 错误；
选项：根据折线图可发现，每年的 ， 月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰 期均在 ， 月份，并非 ， 月份，因此 错误；
，208 个
（Ⅰ）
，，
，
∴ 与 线性相关性很强.
（Ⅱ），11 - 让每个人平等地提升自我，
∴ 关于 的线性回归方程是
.
当
时，
（百个），
即 地区 2019 年足球特色学校的个数为 208 个.
20.已知数列 满足
，其中 为数列 的前 项和，若
，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小．
茎叶图如图 ，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为
A．8
B．7
【答案】A
【解析】
甲班学生成绩的平均分是 85，
1，
即．
乙班学生成绩的中位数是 83，
若 ，则中位数为 81，不成立．
若 ，则中位数为
，
解得 ．
，
（1）
；
的工艺品中随机抽选 件，求被抽选 件工艺品重量均在
.
（2） 件仿制的工艺品中，重量范围在
的工艺品有 件，
重量范围在
的工艺品有 件，
所以从重量范围在
的工艺品中随机抽选 件方法数
（种），
所以所求概率
.
15．高考改革是教育体制改革 中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破 文理分科的“ ”模式初露端倪.其中“ ”指必考科目语文、数学、外语，“ ”指考生根据本人兴趣特长和拟 报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择 门作为选考科目，其中语、 数、外三门课各占 分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目
【答案】(1)70 分 (2)
(3)
【解析】
（1）
，
此次考试物理成绩落在
内的频率依次为
，概率之和为
小明的物理成绩为 分，大于 分.
小明物理成绩的最后得分为 分.
（2）因为 40 名学生中，赋分 分的有
人，这六人成绩分别为 89,91,92,93,93,96；赋分 分的
有
人,其中包含 80 多分的共 10 人，70 多分的有 4 人，分数分别为
A．0 个
【解析】
根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技
术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到
③错误.
故答案为：C.
2．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩 满分 100 分 的
7．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的 个点所对 应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是__________．
【答案】 . 【解析】 由于点 E 到回归直线的距离最大，所以去掉点 E 后，剩下的 5 个点对应的相关系数会最大. 8．在甲、乙、丙、丁 名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为__________． 【答案】 【解析 】 由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲当选的概率为 ．
，
（1）证明：
是等比数列；
（2）求数列 的通项公式以及前 项和 .
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）在 得
中，令 ，即
，得 ，
解得
.
因为
，
所以
.
， .
，
所以
.
所以
是以 6 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）得
，
所以
.
∴
.
14．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中 占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有 多年的历史，
16．已知等差数列 的公差 ，
且 是 与 的等比中项.
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 的最大值及对应的 的值.
【答案】（1）
；（2）当
或
时， 取得最大值，且最大值为
.
【解析】
（1）因为 是 与 的等比中项，所以
整理得：
因为 ，
，所以
故
，即
（2）（方法一）因为
，
，所以
所以
当
或
时， 取得最大值.
：散点图如图所示：10 - 让每个人平等地提升自我可求得：
，
，
，
．
根据所给的数据，可以计算出
，
，
与 x 的线性回归方程为
．
19．为了了解 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校 （百个） 0.30
0.60
1.00
1.40
故答案为： ．
9．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 名学生,得到如下
理科
文科
列联表:
男
13
10
女已知
,
.
根据表中数据,得到
.
则认为选 修文科与性别有关系出错的可能性为__________.
【答案】5%
【解析】
由独立性检验的结论，由于观测值
根据折线图可知，每年 月至 月的极差较小，同时曲线波动较小； 月至 月极差差，同时曲线波动幅度较大，说明 月至 月变化比较平稳，因此 正确.
本题正确选项：
4．在正项等比 数列 中，若
依次成等差数列，则 的公比为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A 【解析】
性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过 的概率为______．
【答案】
【解析】
易得圆锥的母线长为
，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过 时，蚂蚁应爬行在底面半径为
，母线长
为 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 的概率为
，
故答案为 . 12．已知等差数列{an}的首项 a1=1，若 3a3=7a7，则数列{an}的前 n 项和的最大值为______． 【答案】5
总体
的，以此赋分 分、 分、 分、 分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
法， 省某高中高一（ ）班（共 人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选
C．
D．
【答案】B 【解析】
设正方形 DEFC 的边长为 ，则
，因此所求概率为
，选 B.
6．已知等差数列 中，
A．10
B．9
【答案】A
【解析】
因为在等差数列 中，
所以
，前 10 项的和等于前 5 的和，若
C．8
D．2
， ，
，则
（），
又
，
．
故选 【解析】 设公差为 d， ∵3a3=7a7，项 a1=1， ∴3（1+2d）=7（1+6d）， 解得 d=- ，
∴an=1- （n-1）=
，
令 an≥0，解得 n=10，
∴数列{an}的前 n 项和的最大值为 S10=10+
故答案为：5
三、解答题
13. 已知数列 的前 项和为 ，满足
参考公式：线性回归方程
，其中
，
．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
记
，
，
，
，
．
则从 5 名学生中，任取 2 名学生的所有取法为 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，共有 10 种情况，
其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况是 、 、 、 、 、 、 ，共计 7
种，因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为 ；
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）由
，
，可得
，
又
，解得
，故
，即
，
当 时，
，
∴
，
当 时，
符合上式，
故数列 的通项公式为
．
（2）由（1）可得
，
∴
易知
，所以
故
．
， ， ，
12
故当
或
时， 取得最大值 110.
（方法二）由
，得
则当
或
时， 取得最大值，
且最大值为
17．在数列 中，
，
（1）若 是等差数列，且
（2）对任意的
有：
，前 项之和为 . ，求 的值；
，且
.试证明：数列
是等比数列.
【答案】（1） 【解析】
（2）见证明
（1）设 的公差为 ，则由已知可得：
解得
∴
（2）由
得：数列 的奇数项和偶数对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中， 对仿制的 重量（单位： ）数据如下表：
件工艺品测得
分组
频数
频率
合计
（1）求出频率分布表中实数 ， 的值；
（2）若从仿制的 件工艺品重量范围在
范围
中的概率.
【答案】（1）
,
；（2） .
【解析】
三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分 分）频率分布直方图 ，化学成绩（满分 分）
茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理 分，化学 多分.
（1）求小明物理成绩的最后得分； （2）若小明的化学成绩最后得分为 分，求小明的原始成绩的可能值； （3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.
；因为小明的化
学成绩最后得分为 分，且小明化学 多分，所以小明的原始成绩的可能值为
；
（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为
，小明的所有可能选法有：
共 种，其中包括化学的有
共 种，
若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科1.70
（Ⅰ）根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性强弱（已知：
，则认
为 与 线性相关性很强；
，则认为 与 线性相关性一般；
，则认为 与 线性相关
性较弱）；
（Ⅱ）求 关于 的线性回归方程，并预测 地区 2019 年足球特色学 校的个数（精确到个）
参考公式：
，
，
，
，
，
.
【答案】（I）相关性很强；（II） 【解析】
，
故在犯错概率不超过 0.05 的前提下认为选修文科与性别有关系,
则出错的可能性为
.
10．在递增的等比数列 中，
，
，则 __________．
【答案】
【解析】
由等比数列的性质可得
，所以
，
，
又因为 为递增的等比数列，
所以 ，即
，
所以
又
，所以 ，
所以
11.已知一只蚂蚁在底面半径为 ，高为
的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能
由题意知
，又 为正项等比数列，所以
，且 ，所以
，
所以 或
（舍），故选 A
5. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边
形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC=2，AC=4，在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率
为
A．
B．
故选：A．
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 年 月至 年 月期间月
接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )
A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年减少 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 月 D．各年 月至 月的月接待游客量相对于 月至 月，波动性较小，变化比较稳定 【答案】D 【解析】
由已知
，得. 解得9 - 让每个人平等地提升自我∴ ∴ 即 是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 18．一次考试中，5 名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生
数学 分
89
91
93
95
97
物理 分
87
89
89
92
93
要从 5 名学生中选 2 名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率 请在图中的直角坐标系中作出这些数据的散专题 3 数列与概率
一、单选题 1．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形 图，如图所示.
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博 士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗
位的人数超过总人数的 ；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ）
选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在 年 月接待游客量小于 年 月接待游客量的情况，故并 不是逐月增加，因此 错误；
选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待 游客量逐年增加，因此 错误；
选项：根据折线图可发现，每年的 ， 月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰 期均在 ， 月份，并非 ， 月份，因此 错误；
，208 个
（Ⅰ）
，，
，
∴ 与 线性相关性很强.
（Ⅱ），11 - 让每个人平等地提升自我，
∴ 关于 的线性回归方程是
.
当
时，
（百个），
即 地区 2019 年足球特色学校的个数为 208 个.
20.已知数列 满足
，其中 为数列 的前 项和，若
，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小．
茎叶图如图 ，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为
A．8
B．7
【答案】A
【解析】
甲班学生成绩的平均分是 85，
1，
即．
乙班学生成绩的中位数是 83，
若 ，则中位数为 81，不成立．
若 ，则中位数为
，
解得 ．
，
（1）
；
的工艺品中随机抽选 件，求被抽选 件工艺品重量均在
.
（2） 件仿制的工艺品中，重量范围在
的工艺品有 件，
重量范围在
的工艺品有 件，
所以从重量范围在
的工艺品中随机抽选 件方法数
（种），
所以所求概率
.
15．高考改革是教育体制改革 中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破 文理分科的“ ”模式初露端倪.其中“ ”指必考科目语文、数学、外语，“ ”指考生根据本人兴趣特长和拟 报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择 门作为选考科目，其中语、 数、外三门课各占 分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目
【答案】(1)70 分 (2)
(3)
【解析】
（1）
，
此次考试物理成绩落在
内的频率依次为
，概率之和为
小明的物理成绩为 分，大于 分.
小明物理成绩的最后得分为 分.
（2）因为 40 名学生中，赋分 分的有
人，这六人成绩分别为 89,91,92,93,93,96；赋分 分的
有
人,其中包含 80 多分的共 10 人，70 多分的有 4 人，分数分别为
A．0 个
【解析】
根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技
术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到
③错误.
故答案为：C.
2．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩 满分 100 分 的
7．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的 个点所对 应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是__________．
【答案】 . 【解析】 由于点 E 到回归直线的距离最大，所以去掉点 E 后，剩下的 5 个点对应的相关系数会最大. 8．在甲、乙、丙、丁 名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为__________． 【答案】 【解析 】 由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲当选的概率为 ．
，
（1）证明：
是等比数列；
（2）求数列 的通项公式以及前 项和 .
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）在 得
中，令 ，即
，得 ，
解得
.
因为
，
所以
.
， .
，
所以
.
所以
是以 6 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）得
，
所以
.
∴
.
14．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中 占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有 多年的历史，
16．已知等差数列 的公差 ，
且 是 与 的等比中项.
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 的最大值及对应的 的值.
【答案】（1）
；（2）当
或
时， 取得最大值，且最大值为
.
【解析】
（1）因为 是 与 的等比中项，所以
整理得：
因为 ，
，所以
故
，即
（2）（方法一）因为
，
，所以
所以
当
或
时， 取得最大值.
：散点图如图所示：10 - 让每个人平等地提升自我可求得：
，
，
，
．
根据所给的数据，可以计算出
，
，
与 x 的线性回归方程为
．
19．为了了解 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校 （百个） 0.30
0.60
1.00
1.40
故答案为： ．
9．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 名学生,得到如下
理科
文科
列联表:
男
13
10
女已知
,
.
根据表中数据,得到
.
则认为选 修文科与性别有关系出错的可能性为__________.
【答案】5%
【解析】
由独立性检验的结论，由于观测值
根据折线图可知，每年 月至 月的极差较小，同时曲线波动较小； 月至 月极差差，同时曲线波动幅度较大，说明 月至 月变化比较平稳，因此 正确.
本题正确选项：
4．在正项等比 数列 中，若
依次成等差数列，则 的公比为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A 【解析】
性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过 的概率为______．
【答案】
【解析】
易得圆锥的母线长为
，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过 时，蚂蚁应爬行在底面半径为
，母线长
为 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 的概率为
，
故答案为 . 12．已知等差数列{an}的首项 a1=1，若 3a3=7a7，则数列{an}的前 n 项和的最大值为______． 【答案】5