5第五章线性方程组习题解答
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习 题 五
A 组
1．填空题
（1）当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是 ． 解 因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ．
（2）线性方程组
121232
343414
,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩ 有解的充分必要条件是 ．
解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换
()12341
1000
11000111001a a a a ⎛⎫
⎪
⎪
== ⎪
⎪
⎪⎝⎭
B A b
1
2
3
412311000110
00110000a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪
⎪-+-⎝
⎭
． 所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即
43210a a a a -+-=．
（3）设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为 ． 解 令
111⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
M x
显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为
T 11
(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
L M x ，k 为任意常数．
（4）设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =L ），则=Ax 0的通解 ．
解 因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有
11220, ;
||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨
==⎩L ．
A 所以()T
12,,,k k kn A A A L 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为
()T
12,,,k k kn c A A A =L x ，
其中c 为任意常数．
（5）设
11
2
222
212
311
11
21
1111,,11n n
n n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A x b L
L L M
M M M M L
， 其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=L ，则非齐次线性方程组T
=A x b 的解是=x ．
解 T
(1,0,0,,0)=x L ．
（6）设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有无穷多个解，则a = ．
解 2a =-． 2．单项选择题
（1）齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是 ．
(A) 无解； (B) 仅有零解；
(C) 必有非零解； (D) 可能有非零解，也可能没有非零解． 答 （C ）．
（2） 设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是 ．
(A) 12312,2,32+- -ξξξξξ； (B) 122331,,+-+ ξξξξξξ； (C) 122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ； (D) 12231324,2+,++ - ξξξξξξ． 答（A ）．
（3）要使T 1(1,0,2)=ξ，T
2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为 ．
(A) (211)-； (B) 201011⎛⎫
⎪⎝⎭
；
(C) 102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭； (D) 0
11422011-⎛⎫ ⎪
-- ⎪
⎪⎝⎭
． 答（A ）．
（4）已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12
,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是 ．
(A) 12()k k 12
112-+++
2ββααα； (B) 12()k k 12
112++-+
2
ββααα；
(C) 12()k k 12112-+-+2ββαββ； (D) 12()k k 12
112++-+2
ββαββ．
答（B ）．
（5）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*
≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，
则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是 ．
(A) 不存在； (B) 仅含一个非零解向量； (C) 含有两个线性无关的解向量； (D) 含有三个线性无关的解向量． 答（B ）．
（6）设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：