总体均值μ的置信区间为

2 (Y1 Y2 ) . S
4
证明统计量Z服从自由度为 2的t分布。
第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识
分析：t分布为标准正态分布与 单位自由度的卡方分布 的开方 之比，因此，需要在分 子分母凑出相应的分布
6 1 证：令DX ,由总体与样本同分布，得 : EY1 E ( X i ) 6 i 1 2
2
(X
n
2 2 ) ~ ( n) i
1
2 ( X X ) i 2
n
(n 1) S 2
~ 2 (n 1)
P2
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
例题13-1-2 设总体 X ~ N ,2 2 ,
16 2 （1）已知 0，求P X 128 i ; i 1 16 2 （2） 未知，求P X X 100 i .
i 1
16
抽取容量为16的样本



解
(1)
1 2 2
2 1
2 2 X ~ (16) i i 1
16 2 P X 128 i i 1
2 1
1 P 22
X
i 1
16
2 i
128 2 2
f 2 x
2 0.05 2 0.01
O

P ( 32) 1 P ( 32)
2 1
1 0.01 0.99 2 (16) 32.0 0.01
25 .0
32 .0

x
3
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
2 16 ( 16 1 ) S 1 2 2 (2) 2 15, X X ~ 2 i 2 2 2 2 i 1
2 ( 3 1) 9 2 S 2 2 ( X Y ) ~ ( 2) i 2 2 2 2 i 7
因为样本均值与样本方 差独立，所以， Y1 Y2与S 2相互独立
由：t分布为标准正态分布与 单位自由度的卡方分布 的开方 之比：t 2 (Y1 Y2 ) 2S
2


2
2
2 (Y1 Y2 ) Z ~ t ( 2) S
6
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
一、两个正态总体的统计量的分布
从总体X 中抽取容量为 n1 的样本 X1 , X 2 ,, X n
从总体Y 中抽取容量为 n2 的样本 Y1 ,Y2 ,,Yn2 及 Y j j 1,2,, n2 都是相互独立的. 样本均值：
第十三讲
参数估计
本次课结束第五章并讲授第六章点估计
下次课讲授区间估计并结束第六章，讲 授第七章假设检验第一节
下次上课时交作业：P59—P62 重点：点估计
难点：点估计的计算
1
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
一、单个正态总体统计 量的分布 概括五个正态总体X ~ N ( , 2 )的统计量：
1 6 1 同理： EY EX , DY , DY ( EX i ) 6 EX EX ; 2 1 2 6 3 6 i 1 6
2
2
由X i的独立性可推出Y1 , Y2独立。故由方差独立加 减都是加得 D(Y1 Y2 )
Y1 Y2 ~ N (0,
2
6
2
X X ~ t (n 1) X ~ N ( , ), u ~ N (0,1); t n n S n

2

1ห้องสมุดไป่ตู้
2 i 1 i 1 2 可用一副对联总结： 左：样本均值仍正态， 方差除n, 标准以后换方差，分布 变t ； 右：样本标准平方和， 卡方分布，容量减一方 差比，卡方n 1； 横批：正态总体换参数 ，均降一级。 正态总体统计量主要用 于判断分布和求样本均 值和样本和的概率
1 n Xi , Y Yj i 1 n2 j 1
2
X Y U
1
2


1
2
2






2
n1

2
~ N 0,1.
7
n2
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识 2 12 Y ~ N 2 2 , . 证： X ~ N , . 1 n
16 P Xi X i 1
2 2


2
1 100 P 22
X
16 i 1
i
X

2

100 2 2
2 1 P ( P ( 25) 2 25) 1 0.05 0.95
02.05 (15) 25.0
1 X n1
n1
1
假设所有的试验都是独立的，所以样本 X i i 1,2,, n1
n2 n1 1 2 2 1 S2 Yj Y 样本方差： S 12 Xi X n2 1 j 1 n1 1 i 1 定理6 设总体 X ~ N 1 , 1 2 , Y ~ N 2 , 2 2 , 则
例13-1-2（1999，数学三，7分） 设X 1 , X 2 , , X 9是来自正态总体的简单 随机样本，
1 1 Y1 ( X 1 X 6 )，Y2 ( X 7 X 8 X 9 )， 6 3
9 1 S 2 ( X i Y2 ) 2 , Z 2 i 7
2 1 2 2 将 X Y标准化即得结论 . X Y ~ N , . 2 1 n n 1 2 2 2 则 Y ~ N , 推论 设总体 X ~ N 1 , , 2
2

2
3

2
2
; 又由均值计算规则： E (Y1 Y2 ) 0
Y1 Y2 0 2 (Y1 Y2 )
), 化成标准变量：U

2
2

~ N (0,1)
5
第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识
1 Y2 ( X 7 X 8 X 9 )是X 7、X 8、X 9 3个样本变量的样本均值 ，又 3 1 9 2 S ( X i Y2 ) 2 , 容量减一方差比，卡方 n 1,即： 2 i 7