动力系统综述

Xxxxxx U N I V E R S I T Y 《微分方程定性理论》实践报告

所属学院：理学院

专业班级：应用数学

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学号：xxxxxxxxxxx

实践课题：动力系统综述

实践成绩：

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动力系统综述

随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系统。

随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系统。对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态，如平衡点或周期运动的数目和稳定性等会发生突然变化，这种变化称为分叉[2]。 分叉理论主要研究当参数在分叉值附近变化时，系统轨线的拓扑结构或定性性态将如何变化。近几十年来，动力系统的分叉理论被系统而深入的研究，并得到了迅猛的发展，且广泛应用于物理、化学、生物、工程等研究领域中，分叉问题的研究己成为非线性动力系统研究的重点和难点之一。

1动力系统简介

动力系统的研究起源于牛顿的经典力学理论.假设空间R n 的一个质点M 在时刻t 的坐标为),,,(21n x x x x =并且己知质点M 此时的运动速度为))(,),(),(()(21x v x v x v x v n =，并且只与坐标x 有关.那么质点M 的运动方程为：

)(x v dt

dx = （1） 这个方程是一个自治的微分方程.更进一步如果方程(1)满足微分方程解的存在和唯一性定理的条件，那么对任何的初值条件00)(x t x =，则方程存在唯一解),,()(00x t t t =ϕ。

我们称x 取值的空间n ℜ为相空间，而称((t , x )的取值空间“n ℜ⨯ℜ”为增广相空间.按照微分方程的几何意义，方程(1)定义了增广相空间中的一个向量场.解的几何意义为增广相空间中经过点),(00x t 的唯一的积分曲线[1].

2 动力系统在力学中的应用

稳定性是系统的一个重要特性。对系统运动稳定性分析是系统与控制论的一个重要组成部分，一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不能付诸于工程实施的。

设系统的向量状态方程为:

0,)(),,(00≥==t x t x t x f x （2.1）

式中：x 为n 维状态向量；),(⋅⋅f 为n 维向量函数。

定义1：对于所考察的系统(2.1);如果存在某个状态e x ，使得下式成立:

0,),(t t t x f e ≥∀=θ （2.2）

式中:θ为零向量，则称e x 为系统的一个平衡状态。

所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。一般所说的稳定性就是指李亚普诺夫意义下的稳定性，即系统状态自由运动的稳定性。

定义2：设e x 为系统((2.1)的一个平衡状态，则称e x 为李亚普诺夫意义下是

稳

定的，如果对于给定的任一实数0>ε，都对应地存在一个实数0,0>）（t εσ，使 得由满足不等式：

),(00t x x e εδ≤- (2.3)

的任一初始状态0x 出发的受扰运动都满足不等式：

000,,,t t x t x t e ≥∀≤-εφ ）（ （2.4）

式中）（00,,t x t φ表示由初始状态0x 所引起的运动。

在上述稳定性的定义中，如果δ只依赖于ε，而和初始时刻0t 的选取无关，

则进一步称平衡状态e x 是一致稳定的。

定义3：动力学系统(2.1)的平衡状态e x 称为是渐近稳定的，如果

1)e x 是李亚普诺夫意义下稳定的，即满足上述关于稳定性的定义2；

2)对在创）（0,t εδ和任意给定的实数0>μ，存在实数0,,0>）（t T δμ，使得

得由满足(2.3)式的任一初态0x 出发的受扰运动都同时满足不等式：

{}),,(,),,(0000t T t t x t x t e δμμφ+≥∀≤-

（2.5） 实例1分析：

设有一个可以绕定点0左右摆动的对称刚体，其质量为M ，刚体质心E 到O 点的距离为l ，在刚体内有一狭长的柱形腔，其对称轴与刚体对称轴重合，质量为m 的质点D 可以顺着柱形腔移动，用弹性系数为k 的弹簧将质点D 与固定点

O 相连，弹簧的自然长度为0l ，质点D 与柱形腔之间的摩擦系数为α，其系统 如下图所示

:

取0点所在的水平面作为零势面，两个广义坐标分别取为刚体相对于竖直方向的偏转角θ和小质点D 距0点的距离为ξ，当不计任何摩擦时，平衡状态为：

0,0l k

mg +==ξθ （2.6） 此时，该系统是稳定的但不是渐近稳定的。原因是该系统是一个保守系统，从物理角度分析，当不计任何摩擦时，给系统一个扰动，系统将在一定范围内永远摆动下去，不会稳定在其平衡状态，从后面分析看出，当取系统能量函数作为李亚普诺夫函数，该函数本身是正定的，而该函数导数为零，故上述结论成立。如果考虑质点D 与柱形腔之间的摩擦，其余摩擦不计，该系统的稳定性又如何呢?下面讨论之：

所分析实例1的总动能为:

222222

12121θξξθ m m Ml E k ++= （2.7） 系统的总势能为:

20)(2

1c o s c o s l k mg Mgl E p -+--=ξθξθ （2.8） 相应地可得到以下形式的方程:

0)(c o s 0s i n s i n 20

222=+-+--=++++ξαξθθξξθξθθξξθξθ l k mg m m mg Mgl m m Ml （2.9） 其中α是大于零的线性因子。

取实例1的能量函数作为它的李亚普诺夫函数去判断其稳定性。

实例1的能量函数为：