高等代数第三版 (王萼芳 石生明 著) 课后答案 高等教育出版社

的 一 重 根 ， 并 且 x0 不 是
的根。于是
。
的 k-2 重 根 。。。。。， 是 ，而
充分性 由
而
，知 x0 是
的一重根。又由于
是
的二重根，以此类推，可知 x0 是 f（x）的 k 重根。
，知 x0
23、解：例如：设 f (x) = 1 xm+1 −1，那么 f ' (x) = xm 以 0 为 m 重根。 m +1
（2） A11 =7， A12 =-12， A13 =3， A21 =6， A22 = 4， A23 =-1， A31 =-5， A32 =5， A33 =5， A34 =0。
13
3
16、 （1）1 （2） −
（3）-483 （4）
12
8
17、（ 1）按第一行展开，原式= xn + (−1)n+1 yn 。
21、13.56 13.48
第三章 线性方程组 习题解答
1、（ 1）无穷多解 （2）无解
（3）（ -8,3,6,0） （4）无穷多解
51 1 1 2、（ 1） β = 4 α1 + 4 α2 − 4 α3 − 4 α4
−1± 3i
15、
。
2
16、（ 1）由 x-2 得三重因式
2
（2）无重因式。
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17、当 t=3 时有三重根 x=1,；当 t= −15 由二重根 x = 1 。
4
2
18、 4 p3 + 27q2 = 0
19、a=1，b=-2 。
22
（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
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3
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28、（ 1）因为 ± 1 都不是它的根，所以 x2 +1在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
（2）从第二列起个人列减去第一列：
当 n ≥ 3 时，原式=0，当 n=2 时，原式= (a2 − a1)(b2 − b1 ) ，当 n=1 时，原式= a1 − b1
n
∑ （3） ( xi − m)(−m)n−1
i=1
（4） （-2）（ n-2）！
（5）各列加到第一列得： (−1)n−1 1 (n +1)(n −1)! 2
个下标中至少有一个要取 3,4,5 列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式 中每一项的乘积必为 0，因此行列式只为零。
10、解：含有 x4 的展开项中只能是 a11a22a33a44 ，所以 x4 的系数为 2；同理，含有 x3 的张开项中只能是
a12a21a33a44 ，所以 x3 的系数为-1。
从而可得
14. 证 有题设知 f (x), g(x) = 1，所以存在 v（x）， v（x）使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 从而
u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1 即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1 所以
( f (x), f (x) + g (x)) = 1同理 (g(x), f (x) + g (x)) = 1再有 12 题结论，即证 ( f (x)g(x), f (x) + g(x)) = 1
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20、证 因为 f（x）的导函数
所以
于是
从而 f（x）无重根。
21、证 因为
，
，由于 a 是
的 k 重根，故 a
是
的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1 ⇒ s=k+3，即证。
22、证 必要性：设 x0 是 f（x）的 k 重根，从而是
的 k-1 重根，是
1 18、 提 示 ：（1）分别将第 i（i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行 −
ai−1
（2）从最后一行起，分别将每一行乘以 x 后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解：
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5
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=2
x3
=
d3 d
=1
x4
=
d4 d
=-2
（3） d =24， d1 =96， d2 =-336， d3 =-96， d4 =-168， d5 =312
x1
=
d1 d
=4
x2
=
d2 d
=-14
x3
=
d3 d
=-4
x4
=
d4 d
=-7
x5
=
d5 d
=13
（4） d =665， d1 =1507， d2 =-1145， d3 =703， d4 =-395，
第二章 行列式 习题解答
1、均为偶排列 2、（ 1）i=8，k=3 3、
（2）i=3 k=6
4、当 n=4k，4k+1 时为偶排列 当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列
5、 n(n −1) − k 2
6、正号
7、 −a11a23a32a44 ， −a12a23a34a41 ， −a14a23a3ห้องสมุดไป่ตู้a42
11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为 1。而行列式的值为 0，这说明带正号与带负 号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决 定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带 符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。
1
an−1
a2 n−1
....
an−2 n−1
的数即知含有 xn−1 的对应项的系数不为零，因而 p（x）为一个 n-1 次的多项式。
4
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13、（ 1） −294×105 （2） −2(x3 + y3) （3）48
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高等代数习题答案（一至四章）
第一章 多项式 习题解答
1、（ 1）由带余除法，得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 − 2
39
99
（2） q(x) = x2 + x −1， r(x) = −5x + 7
（2）q（x）= x2 − 2ix − (5 + 2i) ， r(x) = −9 − 8i
4、（ 1）有综合除法： f (x) = 1+ 5(x −1) +10(x −1)2 +10(x −1)3 + 5( x −1)4 + ( x −1)5
（2） f (x) = 11− 24(x + 2) + 22(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4
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1
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因为 ( f (x), g(x)) h(x) 的首相系数为 1，所以 ( f (x)h(x), g(x))h(x) = ( f (x), g(x))h(x) 。
10. 证 存在 u（x）， v（x）使
24、证 要证明
，就是要证明 f（1）=0（这是因为我们可以把 xn 看做为一个变量。
有题设由
，所以
也就是 f（1）=0，即证。
25、当 n 为奇数时，
n−1
n+1
xn −1 = (x −1)[x2 − (ε + ε n−1)x +1][x2 − (ε 2 − ε n−2 )x + 1].....[x2 − (ε 2 + ε 2 )x + 1]
12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有 x，所以若该行列式的第一行展开时含有 xn−1 的对
1
a1
a12
....
an−2 1
应项系数恰为 (−1)n−1 乘一个范得蒙行列式 1 a2 ..... .....
a22 ....
....
an−2 2
.... ....
于是，由 a1, a2 , a3....an−1 为互不相同
（3） f (x) = 24(7 + 5i) − 5(x + i) + (−1− i)(x + i)2 − 2i(x + i)3 + (x + i)4
5、（ 1）x+1 （2）1 （3） x2 − 2 2x −1
6、（ 1）u（x）=-x-1 ，v（x）=x+2 （2） u(x) = − 1 x + 1 ， v(x) = 2 x2 − 2 x −1
由于 d（x）是 f（x）与 g（x）的一个组合，这就是说存在多项式 s（x）与 t（x）， 使
d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。 从 而 ϕ(x) f (x) ，ϕ(x) g(x) ，可得ϕ(x) d (x) 。即证。
9、证：因为存在多项式 u（x）， v（x）使（f（x）， g（x）） =u（x）f（x）+v（x）g（x）， 所 以 （f（x）， g（x）） h（x）= u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x）， g（x））
14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。
（4）160 （5） x2 y2
（6）0
15、（ 1） A11 =-6， A12 =0， A13 =0， A14 =0， A21 =12， A22 = 6， A23 =0， A24 =0， A31 =15， A32 =-6，
A33 =-3， A34 =0， A41 =7， A42 =0， A43 =1， A44 =-2
所以 ( f (x)g(x)) ≠ 0 ，由消去律可得
有因为 f（x）， g（x）不全为 0，
11.由上题结论类似可得。
所以
12. 证 由假设，存在
使 （2）， 将 （ 1）（ 2）两式相乘得
所以 ( f (x), g(x))h(x) = 1
13. 证 由于
。 （1）
反复应用第 12 题结论，可得
同理可证
n ( n −1)
( n −1)( n − 2 )
8、（ 1）原式= = (−1) 2 n!，（ 2） = (−1)n−1n! （3） = (−1) 2 n!
9、解：行列式展开得一般项可表示为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 a4 j4 a5 j5 ，列标 j3 j4 j5 只可以在 1,2,3,4,5 中取不同值，故三
h（x）是 f（x）h（x）与 g（x）h（x）的一个组合。
另一方面，由 ( f (x), g(x)) f (x) 知 ( f (x), g(x))h(x) f (x) h(x) 。同理可得
( f (x), g(x))h(x) g (x)h(x) 从而 ( f (x), g(x))h(x) 是 f (x)h(x) 与 g(x)h(x) 的一个最大公因式，又
33
33
（3）u（x）=-x-1, v(x) = x3 + x2 − 3x − 2
⎧u = 0 ⎧u = −2 7、 ⎨⎩t = 2 或 ⎨⎩t = 3
8、思路：根具定义证明
证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设 ϕ(x) 是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证
ϕ(x) d(x) 。
当 n 为偶数时
n−1
n+1
xn −1 = (x +1)(x −1)[x2 − (ε + ε n−1)x +1][x2 − (ε 2 − ε n−2 )x +1].....[x2 − (ε 2 + ε 2 )x + 1] 27、（ 1）利用
剩余除法试根：有一有理根：2
11 （2）有两个有理根： − ， −
19、（ 1） d =-70， d1 =-70， d2 =-70， d3 =-70， d4 =-70
x1
=
d1 d
=1
x2
=
d2 d
=1
x3
=
d3 d
=1
x4
=
d4 d
=1
（2） d =324， d1 =324， d2 =648， d3 =-324， d4 =-648
x1
=
d1 d
=1
x2
=
d2 d
⎧ p +1+ m2 = 0
⎧⎪m(2 − p − m2 ) = 0 ⎧m = 0 ⎧q = 1
2、（ 1） ⎨⎩q − m = 0
，
（2）由 ⎨ ⎪⎩q
+1−
p
− m2
=
0
得
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
或
⎨ ⎩
p
+
m2
=
。
2
3、（ 1） q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109, r(x) = −327
d5 =212
x1
=
d1 d
1057
=
665
x2
=
d2 d
=−
229 133
x3
=
d3 d
=-
37 35
x4
=
d4 d
79 =−
133
x5
=
d5 d
=
212 665
20、证明：由
得
这是一个关于
的线性方程组，且他的系数行列式
为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。