第三讲 托勒密定理及其应用

第三讲 托勒密定理及其应用

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．

即：；内接于圆，则有：

设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅

；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD

AC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅

一、直接应用托勒密定理

例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点

(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．

分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．

若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，

∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ．

二、完善图形 借助托勒密定理

例2 证明“勾股定理”：

在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2

四点共圆时成立；

、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似

和且又相似

和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD

AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED

AC BC AD AD ED

AC BC

AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE

AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD

ABE CAD BAE E ABCD ⋅≥⋅+⋅∴+⋅=⋅+⋅∴⋅=⋅⇒=∴∆∆∴∠=∠=⋅=

⋅⇒=∴∆∆∠=∠∠=∠)( E

D

C

B A

证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有

AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①

又∵ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②

把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．

例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理，

有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．

∵∠1=∠2，∴BD=CD．

故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．

三、构造图形借助托勒密定理

例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．

求证：ax＋by≤1．

证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，

使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．

由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．

∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理

例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．

分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．

证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，

∴∠ABD=∠BAC．

又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①

而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②

∴∠BAC=2∠ABC．

五、巧变形妙引线借肋托勒密定理

例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．

如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．

在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，

有AC·BD＋BC·AD=AB·CD

易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，

1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。

【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。

则CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

2．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。

求证：。（第21届全苏数学竞赛）

PM

AB

PL

AC

PK

BC

PN

PL

PK

AB

AC

BC

P

BC

ABC

+

=

∆

求证：

，

和

、

作垂线

与

、

分别向边

上一点

外接圆的弧

由

.3

PM

AB

PL

AC

PK

BC

PM

CP

PM

AB

PL

BP

PL

AC

PK

AP

PK

BC

PM

CP

PL

BP

PL

BP

PK

AP

PA

PB

PL

PK

LAP

Rt

KBP

Rt

LAP

KBP

PM

CP

PM

AB

PL

BP

PL

AC

PK

AP

PK

BC

CP

AB

BP

AC

AP

BC

ABPC

PC

PB

PA

+

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

∴

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⇒

=

∴

∆

∆

∠

=

∠

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

⋅

可得：

由

同理可得：

相似

和

可知

由

即：

利用托勒密定理有：

，对于四边形

、

、

证：连接