信号系统Z变换习题讲解
信号与系统 第八章 Z变换及分析
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
四
几类序列的收敛域
n2
（1）有限长序列：在有限区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1
n
n1 n n2
n1 0, n2 0 收敛域为除了0和
j Im[z]
的整个 z 平面。
0 z
另,思考：
Re[z ]
n1 0, n2 0 n1 0, n2 0
n 0
X s ( s)
0
x(nT ) (t nT )e
n 0 0
st
dt
x(nT ) (t nT )e dt
st
x(nT )e
n 0
n 0
snT
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
X s ( s) x(nT )e snT
0 0 0
4.余弦序列
j0 n
j0n
0
z e 0 z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 1
0
z sin 0 ZT [sin 0 n] 2 z 2 z cos0 1
5.正弦序列
说明： n 0, z 1
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
X ( z)
n
x ( n ) z n
n2
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 为分析收敛域的特点，将序列分成两部分，一部分 是n≥0的部分，另一部分是n<0的部分，分析如下：
X ( z)
n
x ( n ) z n x ( n ) z n
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 如果|a|＜1，则由于|a|-1＞1，收敛域一定包含单位圆，因 此该序列的傅立叶变换存在，即
X (e j ) X ( z ) z e j
X ( z ) x ( n ) z n x ( n ) z n
例 3.2.2
1
n n1 n 0 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。
解
X ( z)
n
a u( n ) z
n
n
a z
n 0
n n
上式Z变换存在，要求|az-1|＜1，解这个不等式，得 到： |z|＞|a|，它的Z变换为
对因果序列的Z变换，称为单边Z变换，定义如下：
X ( z ) x ( n ) z n
n 0
(3.1.3)
(3.1.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和，用公式表示如下：
n
x(n) z
n
(3.1.4)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量 在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能 使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域, 则可以 推想, 对于不同的序列, 就有不同的收敛域。 收敛域一般用下式表示：
Z变换详细讲解2
f (t)
j
F
(s)e
st
ds
由于z esT , dz Te sT
Tz
j
ds
f (t) f (nT ) f (n)
F (s) f (n)z n F (z) n
e sT e snT z n
ds 1 dz dz Tz z
j
j
c
10
f (n) 1 F (z)z n1dz 令z re j
n0
zm x(n m)z(nm) zm x(k)zk
n0
k m
zm
x(k ) z k
m1
x(k ) z k
k 0
k 0
zm
X
(z)
m1
x(k ) z k
k 0
15
（3）双边右移序列旳单边Z变换
X (z) x(n)u(n)zn n0
ZT[x(n m)u(n)] x(n m)zn
.画出下列系统函数所表示系统的建立级联和 并联形式的结构图。
H (z) 3z3 5z 2 10z z3 3z2 7z 5
解：
H
(
z
)＝
(
z z
(3z 2 1)(
z2
5z 10) 2z 5)
1 1 z 1
3 5z 1 1 2z 1
10z 2 5z2
1
H (z)
1 1 z1
br z r
r 0
N
ak zk
k 0
请注意这里 与解差分有 何不同？
因果！
22
（2）定义二：系统单位样值响应h(n) 旳Z变换
• 鼓励与单位样值响应旳卷积为系统零状
态响应
y(n) x(n)*h(n)
山东大学 DSP数字信号处理PPT 第二章z变换 习题讲解
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
解：对X z的分子和分母进行因式分解，得
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1 1 z1
2
1
1 2
jz
1
1
1 2
2-13 研究一个输入为x(n)和输出为 y(n)的 时域线性离散移不变系统，已知它满足
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
并已知系统是稳定的。试求其单位抽样 响应。
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
解：对差分方程两边取z变换
z1Y (z) 10 Y (z) zY (z) X (z) 3
在围线c外有单阶极点 z 1/ 4，
且分母阶次高于分子阶次二阶以上
x(n)
Re
s
F
(
z) z 1 /
4
z
1/
4
(
z 2)zn1 z 1/4
z 1 /
4
7 4
1 4
n 1
7
4n
x(n) 8 (n) 7 4n u(n 1)
j Im[z]
C
1/ 4
0
Re[z]
③部分分式法
X (z) z
jz
奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(下册)-z变换(圣才出品)
第10章z变换10.1 复习笔记一、z变换1．z变换的定义一个离散时间信号x[n]的z变换定义为其中z是一个复变量。
简单记为2．z变换与傅里叶变换的关系X（re jω）是序列x[n]乘以实指数r-n后的傅里叶变换，即指数加权r-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。
若r＝1，或等效为|z|＝1，z变换就变为傅里叶变换，即（1）在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，即在虚轴jω上的拉普拉斯变换是傅里叶变换。
（2）在z变换中是当变换变量z的模为1，即z＝e jω时，z变换演变为傅里叶变换。
即傅里叶变换是在复数z平面中半径为1的圆上的z变换。
在z平面上，单位圆在z变换中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换中所起的作用。
二、z变换的收敛域1．性质1X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
2．性质2收敛域内不包含任何极点。
3．性质3如果x[n]是有限长序列，那么收敛域是整个z平面，可能除去z＝0和/或z＝∞。
4．性质4如果x[n]是一个右边序列，并且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么|z|＞r0的全部有限z 值都一定在这个收敛域内。
5．性质5如果x[n]是一个左边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么满足0＜|z|＜r0的全部z值都一定在这个收敛域内。
6．性质6如果z[n]是双边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|＝r0这一圆环的环状区域。
7．性质7如果x[n]的z变换X（z）是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。
8．性质8如果x[n]的z变换X（z）是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，亦即半径等于X（z）极点中最大模值的圆的外边。
而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n＜0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z＝∞。
《信号与系统》第二版第八章：Z变换
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
奥本海姆《信号与系统》(第2版)(下册)课后习题-Z变换(圣才出品)
第10章Z变换习题10.1 试对下列和式，为保证收敛确定在r＝|z|上的限制：解:（a）为了保证收敛，需满足即使和式收敛的z均满足，亦即有又因在和式中含有一个正幂项z，故z≠∞。
综上所述，使和式收敛的z的模需满足为了保证收敛，需，即满足|2z|＜1，从而知使和式收敛的z的模需满足为了保证收敛，需，即|z|＞1；为了保证收敛，需，即|z|＞1综上所述，使和式收敛的z的模需满足r＞1。
对于上式右端第二项，要保证其收敛，需，即|z|＜2。
对于上式右端第三项，要保证其收敛，需，即|z|＜2。
对于上式右端第四项，要保证其收敛，需，即。
对于上式右端第五项，要保证其收敛，需，即。
综上所述，要使和式收敛，z的模需满足。
10.2 设信号x[n]为利用式（10-3）求该信号的z变换，并标出对应的收敛域。
解:为使该级数收敛，需，即，于是可得10.3 设信号x[n]为已知它的z变换x（z）的收敛域是试确定在复数α和整数n0上的限制。
解:令x[n]＝x1[n]＋x2[n]，其中x1[n]＝（－1）n u[n]，x2＝αn u[－n－n0]于是有则X（z）＝X1（z）＋X2（z），1＜|z|＜|α|由于已知X（z）的收敛域为1＜|z|＜2，所以α应满足|α|＝2，而n0可为任意整数。
10.4 考虑下面信号：对x（z）确定它的极点和收敛域。
解：因为，要使x（z）收敛，显然应有及，即X（z）的ROC为由于故X（z）的两个极点分别为，它们是互为共轭自两个复数极点。
10.5 对下列信号z变换的每个代数表示式，确定在有限z平面内的零点个数和在无限远点的零点个数。
解:（a）由于X（z）的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高1阶，所以X（z）在有限z平面上零点的个数为1（即X（z）的有限零点个数为1），同样在无穷远处的零点个数也为1。
由于x（z）的分母多项式与分子多项式有相同的阶数，所以X（z）仅有2个有限零点，而在无穷远处无零点。
由于X（z）的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高2阶，所以X（z）有1个有限零点，而在无穷远处有2个零点。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
信号与系统-Z变换
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1 1 b1z
z
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z] z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
信号系统Z变换习题讲解
信号系统Z 变换习题讲解7-1 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[](1/2)[]n x n u n = （2）[]2[]n x n u n = （3）[](1/2)[]n x n u n =- （4）[](2)[]n x n u n =- 解：7-2 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[][]x n nu n =-- （2）[]2[]n x n u n -= （3）[](1/2)[]n x n u n -=- （4）[](1/2)[]n x n u n =-- 解：1234(1)01234(2)(3)[n ](2)(1)(4)7-3 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[]sin 5n x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）[]cos 105n x n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 解：7-5 序列x [n ]如图题7-5所示，把x [n ]表示为δ[n ]的加权与延迟之线性组合。
图 题7-5解： []2[3][]3[1]2[3]x n n n n n δδδδ=-+-+-+-7-7 求下列序列的z 变换X (z )，并注明收敛域，绘出X (z )的零极点图。
（1）(1/2)nu [n ] +δ [n ] （4）(1/2)n {u [n ] - u [n -8]} （5）δ [n ] -15δ [n -2]解：1011(1)()[()[][]]()[]221212111222n n n nn n n X z u n n z z n z z z z z z δδ∞∞∞---=-∞==-∞=+=+-=+=>--∑∑∑(2)∞--=-∞=--=--=--==>--∑∑718881711(4)()()([][8])()22111()()220111()22n n n nn n X z u n u n z z z z z z z zδδ∞-=-∞-=--=->∑21(5)()([][2])51105n n X z n n z z z7-8 求双边序列x [n ] =||(1/2)n 的z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。
Z变换详细讲解1
（1）右边序列：只在 n n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn nn1
n1 n
圆外为
收敛域
lim n x(n)zn 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
Rx1
z
Rx1
z Rx1
Re[ z ]
收敛半径
（1）左边序列：只在n n2 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
1.x(n) (1)n u(n) 3
2.x(n) (1)n u(n 1) 3
3.x(n) (1)n[u(n)u(n 8)] 3
4.x(n) (1)n n 0
3
2n
no
例： (1) x(n) 1 n u(n) 3
右边序列
X (z)
1
n0 3
n
z 1
1
1 1
z 1
z
z
1
3
nm
1
z 1
m
n 3
m1 3
左边序列
1
(3z)m
m0
1
1
1 3z
1
z
z
1
3
j Im[z]
Rx2
lim n (3z)n 1
n
1 z 3 Rx2
收敛半径
•
Re[ z ]
1
3
圆内为收敛域，
n 1 0 z 0
若 n0
则不包括z=0点
例： (3) x(n) 1 n[u(n) u(n 8)] 3
n2
X (z) x(n)zn
n n2
圆内为收敛域，
n
mn
nm
第二章Z变换例题
解： （1）对题中的差分方程两边作z变换，得
Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)
所以
H (z)
Y (z) X (z)
z 1
1 z1
z 2
(z
z a1)(z
a2 )
可求得零点为 z 0 , z
极点为 z1 a1 0.5(1 5) 1.62, z2 a2 0.5(1 5) 0.62
（1） x(n) a n , a 1
（2） （3） （4）
x(n)
1 2
n
u
n
x(n)
1 2
n
u
n
1
x(n) 1 , n 1
n
分析：Z[x(n)] x(n)zn 中，n的取值范围是 x(n) n
的有值范围，z变换的收敛域是满足
x(n)zn M 的z值范围。
n
解：
（1）由z变换的定义可知：
1 2
z
2
因而，x1(n)为n 0时有值的左边序列，x2 (n)为n 0 时
有值的右边序列。则
x1 (0)
lim
z0
X1
z
lim
z0
1 4
z
z2
0
得
x2
(0)
lim
z
X
2
(z)
lim
z
1 3
z
z
1 2
1 3
x(0)
x1(0)
x2
(0)
1 3
例5 有一信号y(n)与另两个信号 x1(n)和x2 (n) 的关系是
un
式中 a1 1.62, a2 0.62 由于H(z)的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统
数字信号处理2-Z变换
线性 ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z)
移位 x(n-a)
z-aX(z)
尺度 anx(n) 相移 ejbnx(n)
反褶 x(-n)
X(z/a) X(1/z)
乘n nx(n)
-zdX(z)/dz
共轭 x*(n) x*(-n)
卷积 x(n)*h(n)
X*(z*) X*(1/z*)
X(z)H(z)
z
z n0
z
26
Z变换旳性质: 共轭对称性
序列
Z变换
x(n)
x(0) liXm(Xz)(z)
Rx
z
Re[x(n)]
x(0) li[mXX(z()z+)X*(z*)]/2 Rx z0
jIm[x(n)]
[X(z)-X*(z*)]/2 Rx
x() lim[( z 1) X ( z)]
[x(n)+x*(-n)]/2
收敛域与极点
X(z)收敛域以极点为边界，收敛域内没有极点
4
正、逆Z变换：收敛域
不同类型序列Z变换旳收敛域
x(n)类型 有限长
右边 因果
左边 逆因果
双边
x(n)定义域 n [n1, n2 ] X(z)收敛域
n1 0, n2 n1 > - , n2 0
z (0, ] z [0, )
n1 >- , n2
1 0.5z1
0.5 z 1 0.5z1 0.25z2
0.25 z 2 0.25z2 0.125z3
0.125z3
X1(z)
X2(z)
4.合并：
X1(z) 2z 2z2 2z3 2z4... X 2 (z) 1 0.5z1 0.25z2 16 z3...
自动控制原理--z变换理论部分例题讲解
jn
j0
znE(z) 右
6.3 z变换理论
2. 实位移定理
② 超前定理
Ze(t
nT
)
zn
E(z)
n1
e(kT
)
z
k
k0
证：左 e(kT nT ) zk zn e(kT nT ) z(kn)
k0
k0
jkn
zn
e( jT ) z j
z
n
e( jT ) z j
n1
e(
E(z) 8 z 1 z 7 (z 0.8) 7 (z 0.1)
t
t
e(t ) (8 0.8T 0.1T ) / 7 e(nT ) (8 0.8n 0.1n ) / 7
e*(t ) (8 0.8n 0.1n ) / 7 (t n E(z)
e(0) e(1) z1 e(2) z2 e(3) z3
lim E(z) e(0)
z
例8
0.792 z2 E(z) (z 1)[z2 0.416z 0.208]
e(0) lim E(z) 0 z
6.3 z变换理论
5. 终值定理
lime(nT) lim (z 1) E(z)
e j nT e j nT
zn
1 (e jT z 1 )n (e jT z 1 )n 2 j n0
1 2j
1 1 e jT z 1
1
e
1
j T
z
1
1 2j
z z e jT
z z e jT
1
z(e jT e jT )
z sinT
2 j z 2 (e jT e jT )z 1 z2 2 cos T z 1
信号与系统-Z变换
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z
z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1
信号与系统王明泉第七章习题解答
第7章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求（1）深刻理解z变换的定义、收敛域及基本性质，会根据z变换的定义和性质求解一些常用序列的z变换，能求解z反变换，深刻理解z变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解z变换的应用条件；（3）能用z域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数H(z)之间的关系，并能用系统函数H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。
7.2 本章重点（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）；（2）z域分析（求解分析系统）；（3）系统的频率响应函数。
7.3 本章的知识结构7.4 本章的内容摘要7.4.1 Z变换（1）定义∑∞-∞=-=n nzn x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
（2）收敛域 1.有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他 （1）当0,021>>n n 时，n 始终为正，收敛条件为0>z ； （2）当0,021<<n n 时，n 始终为负，收敛条件为∞<z ；（3）当0,021><n n 时，n 既取正值，又取负值，收敛条件为∞<<z 0。
2.右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩ （1）当01>n 时，n 始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；（2）当01<n 时，)(z X 分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛域为∞<z ；第二项为z 的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >；取其交集得到该右边序列的收敛域为∞<<z R x 1。
3．左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他（1）当02<n ，n 始终为负，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； （2）当02>n ，)(z X 可分解为两项级数的和，第一项为z 的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为0>z ；取其交集，该左边序列的收敛域为20x R z <<。
《数字信号与系统》各章节试题详解第七章z变换
7.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（ ）内） 1．已知Z 变换Z 1311)]([--=zn x ，收敛域3z >，则逆变换x （n ）为——（ ）（1）)(3n u n （2）3(1)nu n -（3）)(3n u n--（4）)1(3----n u n2．已知Z 变换Z 1311)]([--=zn x ，收敛域3<z ，则逆变换x （n ）为——（ ）（1）)(3n u n （2）)(3n u n -- （2）)(3n u n--（4）)1(3---n u n3．一个因果稳定的离散系统，其H （z ）的全部极点须分布在z 平面的——（ ） （1）单位圆外 （2）单位圆内 （3）单位圆上（4）单位圆内（含z =0） （5）单位圆内（不含z =0） 4. 已知一因果离散序列]n [x 的Z 变换为X(z)=1325122+++---z zz ，则]0[x =( A );（A ）2 (B)5 (C)0 (D)1/25. 离散时间LTI 因果系统的系统函数的ROC 一定是( a ) a) 在一个圆的外部且包括无穷远点； b)一个圆环区域；c) 一个包含原点的圆盘； d) 一个去掉原点的圆盘。
6. 因果系统的系统函数为11,01a a z->-，则(b )a) 当a>2时，系统是稳定的；b) 当a<1 时，系统是稳定的；c) 当a=3时，系统是稳定的；d) 当a 不等于无穷大时，系统是稳定的。
7. 已知)(k f 的z 变换)2(211)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z z z F ，)(z F 的收敛域为 时，)(k f为因果序列。
（A ）5.0>z （B ）5.0<z （C ）2>z （D ）25.0<<z8. H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是 。
（A ）指数增长信号 （B ）指数衰减振荡信号 （C ）常数 （D ）等幅振荡信号7.2 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．已知)2)(21()(--=z z z z X，收敛域为221<<z ，其逆变换Z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-)(21)1(232)]([1n u n u z X nn （ ）2．离散因果系统，若H （z ）的所有极点在单位圆外，则系统稳定 （ ） 3．离散因果系统，若系统函数H （z ）的全部极点在z 平面的左半平面，则系统稳定 （ ） 4．离散系统的零状态响应是激励信号x （n ）与单位样值响应h （n ）的卷积。
6.3信号的Z变换求法
n
n 1
( b n 0 z n )
( b z ) 1 ( b n z n )
n 1 n 0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
1 z X ( z) 1 1 1 b z z b
zb
jIm[z]
若 x(n)←——→X(z) 的 收 敛 域 为 A ， 则 x(n-n0)←—— →z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能
发生变化。
F ( z)
n
x (n n0 ) z n z n0
n
x (n n0 ) z n n0
z n0
n
xc (nT ) (t nT )
其中 xc(nT) 为连续时间函数 xc(t) 在 t=nT 时刻的值是
一个离散时间序列，记为x(n)。取样函数xp(t)的拉氏变
换为
X ( s)
p
x p (t )e st dt
n
xc (nT ) (t nT )e st dt
(3)n1＞0,n2＞0时，有
X ( z ) x (n ) z n
n n1
n2
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域， 即除z=0外都收敛。
列 X ( z ) x(n) z n x(0) ，它的收敛域为整个闭域z平 面，即0≤|z|≤∞。
n n1
(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序
穷级数可以用封闭形式表示为
X ( z) z n
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信号系统Z 变换习题讲解7-1 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[](1/2)[]n x n u n = （2）[]2[]n x n u n = （3）[](1/2)[]n x n u n =- （4）[](2)[]n x n u n =- 解：7-2 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[][]x n nu n =-- （2）[]2[]n x n u n -= （3）[](1/2)[]n x n u n -=- （4）[](1/2)[]n x n u n =-- 解：01234n(1)01234n(2)(3)01234n[n ]-1-4n(2)(1)(4)7-3 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[]sin 5n x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）[]cos 105n x n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：7-5 序列x [n ]如图题7-5所示，把x [n ]表示为δ[n ]的加权与延迟之线性组合。
图 题7-5解： []2[3][]3[1]2[3]x n n n n n δδδδ=-+-+-+-7-7 求下列序列的z 变换X (z )，并注明收敛域，绘出X (z )的零极点图。
（1）(1/2)nu [n ] +δ [n ] （4）(1/2)n {u [n ] - u [n -8]} （5）δ [n ] -15δ [n -2]解：111(1)()[()[][]]()[]221212111222nnnnn n n X z u n n z z n zz z z z z δδ∞∞∞---=-∞==-∞=+=+-=+=>--∑∑∑(2)∞--=-∞=--=--=--==>--∑∑718881711(4)()()([][8])()22111()()22111()22n nn nn n X z u n u n zzzz z zzzδδ∞-=-∞-=--=->∑21(5)()([][2])51105n n X z n n z zz7-8 求双边序列x [n ] =||(1/2)n 的z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。
解：∞-∞----=-∞=-∞=∞∞====+=+=+---=<<--∑∑∑∑∑11111()()()()222(12)11()()221(12)12(32)122(12)(2)nnnnn nn n n nnn n X z zzz z zz zzz z z z z7-11 画出X (z ) =1123252z zz-----+的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左边序列，哪种情况对应右边序列，哪种情况对应双边序列? 并求出各对应序列。
（1）z> 2 （2）z< 0.5 （3）0.5 <z< 2解：----=-+-==--+---==-----∴=--- 11223()2523312522(2)()23()1121122(2)()2()122zX z z zz zz z z z X z z z z z z z zX z z z（1） 当>2z 时，[]x n 为右边序列1[][()2][]2nnx n u n =-（2） 当<0.5z 时，[]x n 为左边序列1[][()2][1]2=-+--nnx n u n（3） 当0.52z <<时，[]x n 为双边序列1[]()[]2[1]2nnx n u n u n =+--7-13 已知X (z ) = 11111(12)2z z --⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（1）确定与X (z )有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图； （2）求以上各种收敛域所对应的离散时间序列的表达式； （3）以上序列中哪一种序列存在傅氏变换?解：--==---- 2111()(112)(12)(12)(2)zX z zzz z==-+----∴=-+--()14(12)(2)3(12)3(2)4()3(12)3(2)X z zzz z z z z zX z z z（1）收敛域可能有三种情况：><<<2,12,122z z z|z|>2|z|<1/2Re(z)（2）对应的序列分别为：1112[][()4(2)][]32nnz x n u n >=-+21112[][()4(2)][1]32nnz x n u n <=---311122[][()[]4(2)[1]]32n nz x n u n u n <<=-+--（3）序列3[]x n 的收敛域包括单位圆，所以此序列存在傅氏变换。
7-14 已知X (z ) =223(1)(2)(3)z z z z z -+-+，若收敛域分别为1 <z < 2和2 <z < 3两种情况，求对应的逆变换x [n ]。
解：223(23)()(1)(2)(3)(1)(2)(3)zzz z X z z z z z z z --==+-++-+ ()23(1)(2)(3)5196(1)15(2)10(3)59()6(1)15(2)10(3)X z z zz z z z z z z z z X z z z z -=+-+=+-+-+∴=+-+-+519(1)12[](1)[][2(3)][1]61510nnnz x n u n u n <<=------519(2)23[][(1)2][](3)[1]61510nnnz x n u n u n <<=-++---7-21 利用卷积定理求y [n ] = x [n ] * h [n ]。
已知（3）x [n ] = R N [n ] = u [n ] - u [n -N ]，h [n ] = a n u [n ]，0< a <1 解：（3）[][][][]Nx n R n u n u n N ==--[][]nh n a u n =1()111()||N z zX z z z z zH z z a z a-+∴=->--=>-根据卷积定理得：1()()()11()1[](1)1111[](1)1111()[](1)11N NNNz zz Y z X z H z z z z aY z z zzz z aa za z a z a z a zY z z az z a-+----==>--=---=------=-----由于[]x n 、[]h n 均为因果序列，因此[]y n 亦为因果序列，根据移位性质可求得11111[][()](1)[](1)[]11n n Ny n ZY z au n au n N aa-++-==------7-24 计算下列序列的傅里叶变换。
（1）2n u [-n ] （3）δ [4-2n ] 解：1(1)()2[]212(2)212j n j nn j nn n j nj j n H eu n eee eeωωωωωω∞--=-∞=-∞∞-==-====--∑∑∑2(3)()[42]j j nj n H en e eωωωδ∞--=-∞=-=∑。