清华大学概率论与数理统计期中试题

概率论与数理统计期中考试试题

考试时间： 2009年4月18日 9：50－11：50

一、单项选择题（18分，每题2分），请将正确答案对应的字母填在指定横线处。

1. 任何一个事件和它的对立事件之间_______________。

(A) 相容 (B) 互不相容 (C) 独立 (D) 不独立。

2. 随机变量X 的分布律：，i a a i X P )21(2}{−==L ,2,1,0=i 。则常数_______。

=a (A) 3 (B) 2 (C) 21 (D) 3

1 3. 设随机变量X 服从标准正态分布，则随机变量X Y 2=的概率密度函数是_____。 (A)

)0(2182>−y e y π (B) )(24||R y e y ∈−π (C) )0(2

82

>−y e y π (D) )0(21

4

|

|>−y e y π 4. 事件A,B 相互独立，且9

2)(=

B A P ，)()(AB P B A P =，，则__。 )()(B P A P ≥=)(A P (A) 21 (B) 52 (C) 94 (D) 3

2 5. 如果，则+∞<<)Var(0X =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−)(Var )(Var X X E X _______________。 (A) 1 (B) 0 (C) )(1X Var (D) )(X Var 6. 随机变量()2,~σμN X ，则(=−μX E )_____________。 (A) 0 (B) πσ2

(C)σ (D)

2σ7. Laplace 分布的密度函数为()x e x p −=

21,R x ∈，其期望等于____________。 (A) 0 (B) 1 (C) e (D) 不存在

8. 假设连续型随机变量在Y X ,10,10<<<

4142++=，()3

41x x p X +=，则10,10<<<

12++y x y (B) 1 (C) 1++y x y (D) 24++y x y

]9. 在[区间上取值的随机变量b a ,X ，其方差最大可以达到_______________。

(A) (B) 22a b −2

2⎟⎠

⎞⎜⎝⎛−a b (C) ()2a b − (D) 222a b − 二、（12分）射击室里有10支步枪，其中2支经过校准，用其射击命中率为0.8，用其他8支射击的命中率为0.2。

（1）今从室内任取一步枪对目标射击恰好命中，求使用的枪为已校准的概率；

（2）任取一支步枪，射击10次，命中5发的概率是多少？

三、（12分）(1) 反复掷一颗公正的色子，直到首次连续出现两个6点，求投掷次数的期望；

（2） 设甲、乙两人进行一场比赛，投掷色子直至首次相继出现“6点6点”或 “1点6点”停止，如果以“6点6点”结束，则甲胜，以“1点6点”结束为乙胜，请问甲、乙的获胜概率。

四、（12分）如果X 服从几何分布()p Ge ，Y 服从指数分布()λExp ，请证明：

（1）对任意正整数和，有m n ()()n X P m x m n X P >=>+>；

（2）对任意和，有0>s 0>t ()()t Y P s y t s Y P >=>+>。

几何分布与指数分布的上述性质称为“无记忆性”，请简单解释无记忆性的直观含义。

五、（10分） (1) X 为一只取正整数值的离散型随机变量，证明；

()()∑∞=≥=1k k X P X E (2) 利用此公式计算几何分布的期望。

()p Ge

六、（12分）设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的概率分布为

max{,}U X =Y Y )，。 min{,}V X =（1）求的联合概率分布；（2） 求的期望和方差。

(,)U V ,U V 七、（18分）二元随机变量的联合密度函数(Y X ,()⎩⎨⎧<<<=其他

,010,,1,x x y y x p ，求

)，()y x p Y

X ； （2）()X Y E ，()Y X E ； （1）(x y p X Y （3）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=<2131X Y P ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛−=<2131Y X P ． 八、（6分） 冒泡排序法的基本思想是交换所有的相邻逆序，直到没有逆序为止。假设冒泡排序算法的输入是个不同数的一个随机排序，即等可能地为个不同数的！种排列中的任意一个，求冒泡法需要交换逆序的次数的期望值。

n n n