高等数学(上)期末试卷(五)

注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟

3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：

一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.

1.设()lim 1t

t x f x t →+∞⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭

()0x ≠，则=)3(ln f 3 .

2.设x e x

sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ．

3.曲线1662

3

-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- .

4.若0

21

2

1A dx x -∞=+⎰

，则A = 1 ．

5．21

lim(2)cos 2

x x x →-=- 0 .

分）. 1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； D ．102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

.

2．3x =是函数1

()arctan

3f x x

=-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点.

3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）.

A ．1 ；

B ．2 ；

C ．2- ；

D ．

2

1. 4．函数()2

1sin

,00

,0x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导.

5.下列等式中正确的是（ ）．

A ．()()b a

d

f x dx f x dx

=⎰

； B.

()()()x a

d f x dx f x f a dx

=-⎰

；

C ．()()d

f x dx f x dx

=⎰； D. ()()f x dx f x '=⎰.

6．函数()2

1x

f x x =

+（ ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少； C ．在()11,-内单调增加； D ．在()11,-内单调减少.

7．若()f u 可导，且()

x y f e =，则（ ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．()

x x dy f e e dx '=；

C ．()

x

x

dy f e e dx =； D ．()

x x dy f e e dx '

⎡⎤=⎣⎦

.

8．

20

|1|x dx -=⎰

（ ）.

A ．0 ；

B ．2 ；

C ．1 ；

D ．1-.

9．方程sin y x '''=的通解是( ).

A.

2123

1

cos 2

y x C x C x C =+++；

B.2

1231sin 2

y x C x C x C =+++；

C.1cos y x C =+；

D.2sin 2y x =.

10.曲线x

e y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．

10

()x

e ex dx -⎰

； B ．

1

(ln ln )e

y y y dy -⎰

；

C ．

1

()e

x x e xe dx -⎰

； D ．

10

(ln ln )y y y dy -⎰

．

三、解下列各题（每小题6分，共12分）.

1

．计算)

lim x x

x →+∞

.

解：)

lim x x

x →+∞

lim

x = 3分

1

2

=

. 6分 2．计算x

x x x 1022lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛-+→．

解：x

x x x 1

022lim ⎪⎭⎫

⎝⎛-+→()

222202lim 12x x

x x x x x x -⋅

-→⎛

⎫=+ ⎪-⎝⎭

3分

()02lim

2x x x x e →-=1e e == . 6分

四、解下列各题（每小题6分，共12分).

1.已知076333=--++y xy x y ，求

2

=x dx

dy

．

解：两边分别对x 求导，得

2

2333360dy dy dy

y

x y x dx dx dx

+++-=， 3分 当2x =时，1y =-，代入上式，得

2

3x dy dx

==-. 6分

2. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 所确定，求dx dy

和22dx y d .

解：dx dy dy

dt dx dt

=sin sin cos cos sin t t t t

t t

-++=sin t t = 3分 2

2

dx

y d dy dt dx dt

'

=sin cos cos sin t t t t t

+=2sin sin cos cos t t t t

t

+= . 6分