数字信号处理习题课---2012.10.31

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知识回顾：抽样过程
• 抽样过程：
x n x t | t nT
n与抽样时刻t的关系：
则有
0
20 0T 0 / FT T
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抽样序列的CTFT和数字序列的DTFT
• 已知： xa t 的CTFT X a j 序列 xa nT 的CTFT为：

对 xa t 抽样，得到：x n xa nT , n
1 Ga j X a j k T T n


xa t e jt dt
即对 X a j 以周期
x n 的DTFT为： G e j Ga j | / T

0
等比数列求和q<1 时极限存在； z的收敛域不能包含 “=”号，否则序列 将不会收敛
幅度响应在 0 2 范围内的峰点和谷点出现的个数和
位置，并作出 R 6 时的幅度响应和相位响应。
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• 5.解答： 频率响应 H e 幅度
H e
j
j
2
1e
j
j R
j

H e
H e 1 e
• 长度为L的序列X[n]与长度为M的序列Y[n] L M ，其
T T L 点圆周卷积为C[n]，长度为T。 • 当 T L M 1 时，T点圆周卷积与线性卷积结果相同。
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知识回顾：CTFT、DTFT、DFT的关系
• 周期连续信号的傅立叶谱离散 • 非周期连续信号的傅立叶谱连续 • 非周期离散信号的傅立叶谱周期 • 周期离散信号的傅立叶谱周期离散
R 2 k ,
得
0 k R 1，共 R 个。
2k 1 0, 2 , k Z R
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 当 cos R 1 时，取谷值为 1 ，此时
R 2 k ,
得
0 k R 1，共 R 个。
数字信号处理 习题课
授 课 教 师：徐 新 教 授 助 教：石 博
• 1.当角频率 0 取下列值时，求正弦序列 x n A sin 0 n 的 基本周期：
a 0.6 ; b 0.28 ; c 0.45 ; d 0.55 ; e 0.65
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10 , 0 3 2 2 50 , 0 7
r 3, N 10 r 7, N 50 r 9, N 40 r 11, N 40 r 13, N 40
40 , 0 9 40 , 0 11 2 40 , 0 13 2
• 移不变系统：
– 若输入为 x1 n，输出为 y1 n，则当输入为 x1 n n0 时，输出 为 y1 n n0 ，则为移不变系统。
• 因果系统：
– 在 n0 时刻的响应只与 n n0 的输入样本有关，而与 n n0 的输入 无关，则系统为因果系统。 2012/10/30
解答： a X 1 z
n
b x2 n a nu n
an z n
n2
x n z
1

n
a 2 z 2 ,z a 1 1 az
b X 2 z
n


x2 n z n
n
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=1 时 的 幅 值 响 应 和 相 位 响 应
2
Magnitude
1.5 1 0.5 0
0
0.5
1 /
1.5
2
2 1
Phase
0 -1 -2
0
0.5
1 /
1.5
2
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• 6.
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h n 0
S h n
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• 2.离散时间系统描述如下：
y n x 2 n x n 1 x n 1 其中 x n 和 y n 分别表示离散时间系统的输入和输出，
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知识回顾：LTI离散时间系统的分类
• 稳定系统
– 当且仅当系统对于有界输入产生有界输出时，称为稳定系统，即 对所有 n 值， x n Bx ，有 y n By ，BIBO稳定性。
• 用冲激响应描述LTI系统
– 输入输出关系： y n h n x n ， h n 为冲激响应 – 因果性： 当 n 0 时，有 – 稳定性：
• 双边无限长序列
– n1= - ∞，n2=∞，收敛域为两个同心圆之间的环
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• 特别注意： 因果序列 非因果序列
1 , z a 1 1 az 1 Z n a u n 1 , z a 1 az 1
Z a nu n
• 稳定性判断：
LTI系统的传输函数的收敛域包含单位圆！
– 冲激响应为右边序列，极点在单位圆内 – 冲激响应为左边序列，极点在单位圆外 – 冲激响应为双边序列，极点在单位圆内外都有
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• 8.计算序列的Z变换和收敛域
a x1 n a nu n 2 ,
滤波器的模拟截止角频率为
C C / T m / 3
所以，恢复出来的信号频谱 Ya j 为
m / 3, m / 3
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• 7.
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知识回顾：圆周卷积与线性卷积的关系
• 长度为L的序列X[n]与长度为M的序列Y[n]，其线性卷积 为L[n]，长度为L+M-1。
j R
1 e
j R
1 e j R e j R 2 2 2 cos R 1 H e j 2 2 cos R 1
0 ，当 cos R 1 时，取峰值为 1 ，此时
所以为移不变系统
因果性：由于系统非线性，所以不能用冲激响应判断因果 性，只有当 x n 1 0 时，才能保证系统是因果系统， 否则该系统为非因果。
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• 3.求下列序列的DTFT
• 解答:(1) X e
j
a e
n 0 k M k 1
• (2)
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• 4.求DTFT的逆变换 • 解答：
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• 5.已知LTI离散时间系统的冲激响应如下式，计算该系统的 频率响应表达式： h n n n R 其中 1 。计算其幅度响应的最大值和最小值，并计算
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知识回顾：离散序列的基本周期(P48)
• 对于正弦或余弦序列：
x n A cos 0 n
满足 0 N 2 r , N , r 1, 2,

称 x n 是以 N 为周期的序列，满足上述条件的最小值 N
称为序列的基本周期，即: 2 N r , N , r 都为整数 0 当 2 / 0 为有理数时，总存在正整数 r 使得 N 为正整数；
nM
n j n

n 1 n M

a e
n j n
a n e j n
k n n0 j
nM
a n e j n
1 a M 1e 1 ae j
j M 1

ae
1 ae
j M
1 ae j
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序列的形式与双边Z变换的关系
• 有限长序列
– a）n1<0,n2>0，b) n1≥0,n2>0 ，c）n1<0,n2≤0
– 收敛域不包括0、∞
• 右边序列
– a)n1<0,n2=∞，b)n1≥0,n2=∞(因果序列)。收敛域为某一圆外
• 左边序列
– a）n1= - ∞,n2>0，b）n1=- ∞ ，n2≤0。收敛域为某一圆内
2k 0, 2 , k Z R
matlab 代码：
x = 0:2*pi/255:2*pi; y = 1-1*exp(-1i*x*6); subplot(2,1,1) plot(x/pi,abs(y)); title(‘\alpha=1 时的幅度响应和 相位响应'); set(gca,'xtick',0:0.5:2) xlabel('\omega/\pi'); ylabel('Magnitude'); grid on; subplot(2,1,2) plot(x/pi,angle(y)); set(gca,'xtick',0:0.5:2) xlabel('\omega/\pi'); ylabel('Phase'); grid on;
• CTFT DTFT ，时域抽样离散化，频域周期化（连续）
• DTFT DFT ，频域抽样离散化（K点），时域周期化 （离散），时域、频域各取主值区间（K点） • 时域圆周卷积，频域DFT相乘
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• 7.解答： a) 线性卷积，长度为6， yL n 4,10, 6,8, 7, 3 b) 圆周卷积，长度为4，列表法，yC n 3, 7, 6,8 c) DFT结果，与4点圆周卷积结果相同，yC n 3,7, 6,8 d) 6点圆周卷积，6=3+4-1，故圆周卷积与线性卷积的结果 相同，同a)
2 T 2 fT 进行周期延拓。 T
模拟角频率 与数字角频率 之间的关系：

T / fT
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• 6.解答： 奈奎斯特抽样定理：T 2 max 则抽样周期为 T / m 采样后的频谱是对 X a j 以周期 T 2 m 进行延拓。
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知识回顾：LTI离散时间系统的分类(P59)
• 线性系统：
– 若输入为 x1 n 和 x2 n ，系统输出分别为 y1 n 和 y2 n ，则当输 入为 x n x1 n x2 n 时，输出为 y n y1 n y2 n ， 则系统为线性系统。
而当 2 / 0 为无理数时，基本周期 N 不存在。
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• 1.解答：
a 0 0.6 , b 0 0.28 , c 0 0.45 , d 0 0.55 , e 0 0.65 ,
则这个系统是线性的吗？是时不变吗？是因果吗？
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• 2.解答：
y n x 2 n x n 1 x n 1
线性：含有平方项，为非线性系统 移不变性：输入 x n n0 ，输出为
y n x 2 n n0 x n n0 1 x n n0 1 y n n0