第三章 静定结构受力分析-三铰拱

§3-3
三铰拱
三铰刚架与三铰拱的区别:
三铰刚架
三铰拱
在求支座反力方面无区别，区别在于一个是 由直杆组成，一个由曲杆组成。
§3-3
2、拱的分类
三铰拱
静定拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱 两铰拱
超静定拱
无铰拱
§3-3
3、拱的有关名称
三铰拱
顶铰 矢高
拱肋
拱趾铰
拱肋
拱趾铰
4、拱的应用
跨度 f/L——高跨比
适用于抗压强度大于抗拉强度的材料。
K
FQR
K
注意：集中荷载作用两侧， 5 0.832 82.5 0.555 41.76kN 剪力、轴力有突变。
FN R 5 0.555 82.5 0.832 71.42kN
K
§3-3
三、合理拱轴线及求法 1、合理拱轴线的概念
三铰拱
一般情况下，拱在荷载作用下，其截面上将产生三 个内力。若能使所有截面上的 弯矩为零（可以证明此 时剪力也为零），此时截面上只有轴力作用，正应力沿 截面均匀分布，材料得到充分利用，从理论上讲这样的 拱最经济，故称在特定荷载作用下，使拱处于无弯矩状 态的拱轴线称力合理拱轴线。
（）求反力：Fy A FV B 1
FH 2 1 8f 2 (2)列弯矩方程 M ( x) Fy A x qx FH y 2
1 FH ( Fy A x 1 qx )
2
qL
qL
2
(3)令M ( x) 0 y
2
1 1 2 4f ( qLx qx ) 2 ( L x) x 2 qL 2 2 L
yK
(12 3) 3 3m
tan
4f L
2
( L 2 x)
4 4 12 12
(12 2 3)
2 3
sin 0.555
cos 0.832
Fy B 115kN Fy A 105kN FH 82.5kN
yK 3m
(3)求内力：
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零； ②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱 ③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； ④水平推力与拱高成反比。
y P 1
A
2、内力计算
K
C
P2
B
FQ
P1
FX
B
M
K
K
x
y f l/2 x l/2 l
FN
P1
0 K
K
FX
A
FX
FY
M
A
A
FY
§3-3
三铰拱
二、平拱的计算（两拱趾在同一水平线上）
1、支座反力
比较同跨简支梁，三铰刚架，三铰拱的支座反力
P1
A
FX
A
FY
l/2
A
等代梁 P1
A
三铰拱的竖向反 P2 C 力与其等代梁的 FX 反力相等;水平反 f FH B 力与拱轴线形状 Mc0 无关.荷载与跨度 FY l/2 FY l 一定时，水平推 FY P2 力与矢高成反比.
§3-3
三铰拱
§3-3
一、拱式结构的特点及应用 1、拱的定义
三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载
作用下会产生水平支座反力的结构。
§3-3
曲梁与拱的区别:
在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
三铰拱
在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
曲梁 二个刚片，三个联系
拱 三个刚片，三个铰
水平推力存在是拱式结构区别于梁式结构的 重要标志，拱式结构通常又称为推力结构。
§3-3 2、合理拱轴线的求法
三铰拱
（1）图解法：与压力线重合的拱轴线即为合理拱轴线。 （2 ）数解法：
a ) 当荷载与铰的位置确定时，可求出支座反力；
b) 建立弯矩方程，以拱轴竖标y为变量； c) 令弯矩处处为零，就得到轴线y的方程，即 合理拱轴线。
§3-3
三铰拱
例1：求均布荷载作用下的合理拱轴线
B A B 0 A
C
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B
a1
b1 a2 b 2 FY
0 B
FH
0 c
1 f
[Y A
l 2
P1 (
l 2
a 1 )]
FY
B
0 A
M
[ FY 0
A
l 2
P1 (
l 2
a1 )]
FY =F
A
YB0
FY =FY
A
0 A
FX =FX =FH
B
FH= MC0 / f
§3-3
三铰拱
由于推力的存在，拱的 弯矩比相应简支梁的弯 矩要小。
M
K
M
0 K
FH y
FQ FQ
K
0 K
cos FH sin
F N FQ
K
0 K
sin FH cos
三铰拱在竖向荷载 作用下轴向受压。
M
K
K
M
0 K
0 K
FH y
FQ FQ
K
cos FH sin
8f
结论：均布荷载作用下，合理拱轴线方程为抛物线。
§3-3
三铰拱
例2：求集中荷载作用下的合理拱轴线
（）求反力：Fy A Fy B 1.5 P FH 1
(2)求合理拱轴线
1 a
(1.5 P 2a P a ) 2 P
AD段 : M ( x) 1.5Px FH y 0 y
3 4
x (直线)
1 2P (0.5Px Pa ) 1 4 ( x 2a ) (直线)
DC段 : M ( x) 1.5Px P( x a ) FH y 0 y
结论：集中荷载作用下，合理拱轴线方程为折线。
§3-3
注意：
三铰拱
（1）以上结论与拱轴（线）位置无关； （2）合理拱轴线是与特定荷载相对应的，对于一 种特定的拱轴线方程，在某种荷载作用下，弯矩处处 为零；在另一种荷载作用下，弯矩可以不为零。因此 合理拱轴线是以主要荷载来考虑的。
（ ）求反力： 1
A
F
y
0 Fy A 100 20 6 115 105kN
1 4 (105 6 100 3) 82.5 kN
M C 0 FH
§3-3
（2）求系数 拱轴方程为抛物线：y
4 4 12 12
三铰拱
4f L
2
(l x) x
0 K
F N FQ
sin FH cos
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
M
0 Fy B 1 12 (100 3 20 6 9) 115 kN
sin 0.555
cos 0.832
M K 105 3 82.5 3 67.5kN.m
FQL 105 0.832 82.5 0.555 41.75kN
K
FN L 105 0.555 82.5 0.832 126.92kN
A
FY
P2
B
FY 0
A
FQ 0
0 K
K
P1 A a1 FY
0 A
K
M
K
K
M
0 K
FH y
C b1
B FQ FQ cos FH sin
F N FQ
K 0 K
sin FH cos
a2
b2 FY
0 B
§3-3
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有 关。