反三角函数和最简单的三角方程测试题

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反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1反三角函数的概念和性质．一．基础知识自测题：1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1]，值域是.2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] .3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝.8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝.9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.二．基本要求：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1],arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。

反三角函数练习

3
)=
5 )]=4
3
5 4
(D)arctg(-2)=arcctg(4
)=cos(arccos
)
4
)
1 2
例10．函数f(x)=arcsin(tgx)的定义域（）（A）- 4 ≤x≤ 4 (B)kπ- 4 ≤X≤kπ+ 4 (K∈Z) (C)kπ+ 4 ≤x≤(k+1)π- 4（K∈Z） (D)2kπ- 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z) 例11．在[-1, 数是 ( )
3 2
]上和函数y=x相同的函
(B)y=arcsin(sinx) (D)y=cos(arccosx)
(A)y=arccos(cosx) (C) y=sin(arcsinx)
例12. 计算cos[arccos(- )+arcsin(1 1 例13．求值：arctg 2 +arctg 3
3 5
5 13
5
例6．研究函数y= arccos (x-x2)的定义域、值域及单调性。例7．作函数y=arcsin(sinx)，x∈[-π，π] 的图象，并判断它的奇偶性及单调区间。例8．计算： cos[arccos -arccos ()]
4 5
5 13
二.反三角形函数的运算
例9.下列关系式中正确的是 (A)arcos[cos((B)sin(arcsin (C)arccos(cos
)]
例14．求值：tg (arcsin ) 例15．证明arctg1+arctg2+arctg3=π1 23 563 -arccos 65
例16．函数y=arccos
(A)[0, ] (B)(0, 2

反三角函数的综合应用题

反三角函数的综合应用题反三角函数是高中数学中的一个非常重要的概念，它可以解决很多复杂的问题。

在本文中，我将介绍一些反三角函数的综合应用题，希望能对广大学生有所帮助。

1. 求解三角方程三角方程是基于三角函数和角度的方程。

求解三角方程需要利用反三角函数。

下面是一个例子：cos(x) = 1/2我们可以用反余弦函数来求解这个方程。

x = arccos(1/2) = π/3 或5π/3因为余弦函数的周期是2π，所以我们可以将答案写成：x = π/3 + 2πk 或5π/3 + 2πk其中k是任意整数。

2. 求解三角形的边长和角度有时候我们需要求解一个三角形的边长和角度，但是我们只知道其中一些角度和边长的关系。

下面是一个例子：已知一个直角三角形，其中一条腰的长度是3，斜边与另一条腰的夹角是60度，求斜边和另一条腰的长度。

我们可以用反正弦函数和反余弦函数来求解这个问题。

从图中可以看出sin(60) = 1/2，因此另一条腰的长度是3/2。

对于斜边的长度，我们可以用反正弦函数来求解：sin(θ) = 3/2 / cθ = arcsin(3/2 / c)c = 2 / sin(arcsin(3/2 / c))c = 2 / sin(θ)由于这是一个直角三角形，因此我们可以用勾股定理来求解：c^2 = a^2 + b^2c^2 = 9/4 + b^2b^2 = c^2 - 9/4b = √(c^2 - 9/4)因此，斜边的长度是√(4 - 9/4) = √7/2。

3. 求解三角函数的反函数三角函数的反函数是反三角函数。

它可以用来求解一些特殊的三角函数值。

下面是一个例子：求x，在0到π/2的范围内，使得cos(arcsec(x)) = 1/2我们可以用反正割函数来求解这个问题。

cos(arcsec(x)) = 1/2sec(arcsec(x)) = 2x = sec(arccos(2))x = 1/2因此，当x = 1/2时，cos(arcsec(x))等于1/2。

高考中的反三角函数与简单三角方程

高考中的反三角函数与简单三角方程一、选择题1. (86(10)3分)当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x -B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x -C.π－arccosx ＝arcsin 21x -D.π－arcsinx ＝arccos 21x -2. (87(8)3分)函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2,2ππ])的图象是3. (88(7)3分)方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z}B.{x|x ＝k π＋(－1)3πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3π，k ∈Z} 4. (88(10)3分)tg[arctg 51＋arctg3]的值等于 A.4 B.41 C.81 D.8 5. (89(4)3分)cos[arcsin(－54)－arccos(－53)]的值等于 A.－1 B.－257 C.257 D.－5106. (89上海)函数y ＝arccos x1的值域是 A.[0，2π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. (89上海)下面四个函数中为奇函数的是 A.y ＝x 2sin(x ＋2π) B.y ＝x 2cos(x ＋4π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx)8. (90(4)3分)方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是A.1B.2C.3D.49. (90(15)3分)设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是A.y ＝－arctg(x －2)B.y ＝arctg(x －2)C.y ＝－arctg(x ＋2)D.y ＝arctg(x ＋2)10.(90上海)下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是A.y ＝ctg(arccosx)B.tg(arcsinx)C.sin(arctgx)D.cos(arctgx)11.(90广东)已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2π－arcctgx ，那么 A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数C.①是奇函数，②是偶函数D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数12.(91上海)下列四个式子中，正确的是 A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 31) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 31) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－31)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－31)] 13.(92(4)3分)方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是A.10oB.20oC.50oD.70o14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分)A.[0，arcsina]B.[arcsina ，π－arcsina]C.[π－arcsina ，π]D.[arcsina ，2π＋arcsina] 15.(92上海)函数y ＝arccos 的值域是A.[0，2π]B.(0，2π) C.[0，π] D.(0，π) 16. (94(14)5分)函数y ＝arccos(sinx)(－323ππ<<x )的值域是 A.(65,6ππ) B.[0，65π] C.(32,3ππ) D.[32,6ππ]17. (95(7)4分)使arcsinx ＞arccosx 成立的x 的取值范围是A.(0，22]B.(22，1]C.[－1，22) D.[－1，0) 18. (95上海)方程tg(2x ＋33)3=π在区间[0，2π)上解的个数是 A.5 B.4 C.3 D.219. 96(8)4分)0＜α＜2π，arcsin[cos(2π＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于A.2π B.－2π C.2π－2α D.－2π－2α 20. (97(6)4分)满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是A.[－1，－21]B.[－21，0]C.[0，21]D.[21，1] 21. (98(14)5分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A.arccos 215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 22. (2000上海(16)4分)下列命题中正确的是 A.若点P(a ，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝552； B.同时满足sinα＝21，cosα＝23的角α有且只有一个； C.当|a|＜1时，tg(arcsina)的值恒正；D.三角方程tg(x ＋3)3π=的解集为{x|x ＝kπ，k∈Z}.二、填空题1. (85(6)4分)方程2sin(x ＋6π)＝1的解集是__________________. 2. (85(7)4分)设|a|≤1，那么arccosa ＋arccos(－a)等于_________. 3. (89(13)4分)方程sinx －3cosx ＝2的解集是__________________.4. (90上海)函数y ＝arcsinx(x ∈[－1，1])的反函数是_______________.5. (91(16)3分)arctg 31＋arctg 21的值是_________. 6. (93上海)函数y ＝arccosx(－1≤x ≤0)的反函数是_______________.7. (94上海)计算sin(21arccos 81)＝____________ 三、解答题(无)。

10309反三角函数与三角方程(答案)

第九讲：反三角函数与三角方程原函数和反函数关于y=x 对称三角函数选特定区间也能找到反函数[]:arcsin :1,1;:,;:;:.22y x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦什么样的函数具有反函数呢？答：定义域与值域之间存在一对一的关系的函数。

1、反三角函数定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数arcsin [1,1]y x x =∈-单调性的描述要注意：应该描述成在上单调递增。

[][][]()()arccos :1,1;:0,;:;:.121101023223arcta y x y x y ππππππ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==定义域值域奇偶性非奇非偶单调性减函数注意：这是0,上的反函数，我们把它定为标准区间。

那么其它区间的反函数怎么表示呢？解题思路：非标准区间要转化成标准区间来解画出反余弦函数图像的方法：（1）描点法：，，，，，，，，，；（2）利用反函数图像与原函数关于对称作图。

()n :,;:,;:;:22x ππ⎛⎫-∞+∞- ⎪⎝⎭定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数[][][][]2:sin(arcsin ),1,1;arcsin()arcsin ,1,1;cos(arccos ),1,1;arccos()arccos ,1,1;tan(arctan ),; arctan()arctan ,x x x x x x x x x x x x x x x R x x x Rπ=∈--=-∈-=∈--=-∈-=∈-=-∈、反三角函数的恒等式有arcsin(sin ),,;22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦3.1(1)arcsin 12arccos k x k a x k a πππ⇔≤=+-⇔≤=±⇔最简三角方程：sinx=a 当a 时,cosx=a 当a 时,tanx=a x=k +arctanaa 提示：（1）要有字母观点，要根据的情况分类讨论；（2）这个解是一般解，适合所有情况，但对于某些特殊值（如0，1等），可以用更简洁的形式表示。

应用数学基础(上册)第05章反三角函数与简单的三角方程

图5-3 y= cos x的图像
定义2 余弦函数y= cos x在 0,π 上的反函数称为反余弦函数,记作x= arccos y(或x= cos-1 y).
以x作自变量,y作函数,则反余弦函数可表示成:y=arccos x (或y=cos-1 x).其中y(即arccos x)是角,而x是这个角的余弦值.这样反余弦函数y= arccos x的定义域是x∈-1,1 ,值域是y∈0,π .

由例6两小题可以看出:
(1) 如果α ∈ −π ,π ,那么 2 2
arcsin ( sinα ) = α
(2) 如果α ∉ −π ,π ,那么 2 2 arcsin (sinα ) ≠ α
这时arcsin sinα 等于在 −π ,π 上且与α 角有相同正弦值 2 2 的另一个角.
π ,π . y = 3arcsin3x的定义域,值域分别为-1,1 , −π ,π 吗? 域是 −

2 2

2 2

例1 将下列各等式写成反正弦形式的等式. (1)sin π = 3 ; (2)sin π =1; (3)sin -π = − 2 ; (4)sin 0=0. 2 3 2 2 4
*第五章反三角函数与简单的三角方程
本章学习反三角函数的概念，讨论最简三角方程的解，介绍正弦定理、余弦定理和它们在解斜三角形中的应用. 介绍正弦定理、余弦定理和它们在解斜三角形中的应用.
第一节反三角函数第二节第三节简单三角方程解斜三角形
*第四节数学实验一 Mathematica入门及简单应用

而由上小题(1)可知sinα = 3,cosα = 4 , 5 5 3 所以 tanα = 5 = 3. 4 4 5 代入上式有:

反三角函数的求法练习题

反三角函数的求法练习题一、选择题1. 已知sinθ = 0.5，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 30°B. θ = 150°C. θ = 210°D. θ = 330°2. 已知cosθ = 0.8，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 143.13°B. θ = 216.87°C. θ = 323.13°D. θ = 336.87°3. 已知tanθ = 1，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 45°B. θ = 135°C. θ = 225°D. θ = 315°二、填空题4. 已知sinθ = 0.6，求θ的值，θ = _______°。

5. 已知cosθ = 0.4，求θ的值，θ = _______°。

6. 已知tanθ = 3，求θ的值，θ = _______°。

三、解答题7. 已知sinθ = 0.8，求θ在第二象限的值。

8. 已知cosθ = 0.7，求θ在第三象限的值。

9. 已知tanθ = 2，求θ在第一象限的值。

10. 已知sinθ = 0.3，求θ在第四象限的值。

11. 已知cosθ = 0.9，求θ在第一象限的值。

12. 已知tanθ = 0.5，求θ在第二象限的值。

四、综合题13. 已知sinθ = 0.75，求θ在第一象限和第二象限的值。

14. 已知cosθ = 0.4，求θ在第三象限和第四象限的值。

15. 已知tanθ = 1.5，求θ在第一象限和第三象限的值。

五、应用题16. 一个直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值为0.6，求该锐角的度数。

17. 在一个直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值为0.8，求该锐角的度数。

18. 一个物体从地面向上抛出，其运动轨迹与水平面的夹角的正切值为1.2，求该夹角的度数。

6.4.1 反三角函数(含答案)

【课堂例题】例1.写出下列角的弧度数：(1)1 arcsin2=(2)arcsin1=(3)arcsin(2=(4)arcsin0=例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)：(1)2sin,[,]522 x xππ=∈-(2)1sin,[0,]3x xπ=∈课堂练习1.求值：(1)arcsin(1)-=(2)arcsin(=(3)arcsin0.457=(利用计算器，精确到0.01)(4)sin(arcsin0.6)=2.求下列各式中的角x(1)3sin,[0,]42x xπ=∈(2)1sin,[0,2]7x xπ=-∈3.不使用计算器计算：(1)1cos(2arcsin)3(2)11sin[arcsin arcsin()]34+-(3)1tan(arcsin0.8)24.已知[1,1]x∈-，求证：arcsin()arcsinx x-=-【知识再现】1.一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值([1,1])y y ∈-，那么在上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =，称x 为y 的 .2.arcsin ([1,1])y y ∈-表示一个的角.【基础训练】1.填空：arcsin2= ；1arcsin()2-= ;arcsin1= ；arcsin(2-= . 2.填空：1sin(arcsin )4= ； cos(arcsin1)= . 3.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)(1)arcsin 0.2672≈ ；(2)arcsin(0.3322)-≈ .4.ABC ∆中，如果3cos 5A =-，那么A 用反正弦函数可以表示为 . 5.用反正弦函数表示下列角x ：(1)sin [,]22x x ππ=∈-； (2)1sin ,[,]42x x ππ=∈;(3)13sin ,[,]32x x ππ=-∈6.不使用计算器计算：(1)1sin(2arcsin )3; (2)5cos(arcsinarcsin )213-；(3)11tan[arcsin()]24-； (4)3cot(arcsin )7.7.计算并回答问题：arcsin(sin )3π= ；arcsin(sin1)= ； 5arcsin(sin )6π= ；arcsin[sin()]5π-= . 请问arcsin(sin )x x =成立的充要条件是什么？(无需证明)【巩固提高】8.在ABC ∆中，已知1arcsin 5A =，5arcsin 13B =，求C 的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).9.求证：34arcsin arcsin 552π+=(选做)10.(1)求证：当[,]22x ππ∈-时，arcsin(sin )x x =.(2)已知sin ,[1,1],[2,2],22x a a x k k k Z ππππ=∈-∈-+∈，求x .【温故知新】11.已知函数()lg(31),[0,3]f x x x =+∈，求1()f x -.【课堂例题答案】例1.(1)6π；(2)2π；(3)4π-；(4)0. 例2.(1)2arcsin 5x =;(2)1arcsin 3x =或1arcsin 3x π=- 【课堂练习答案】 1.(1)2π-;(2)3π-;(3)0.47;(4)0.6 2.(1)3arcsin 4x =;(2)1arcsin 7x π=+或12arcsin 7π-3.(1)79;(2)12;(3)12 4.证：sin[arcsin()]x x -=-，sin(arcsin )sin(arcsin )x x x -=-=- 又arcsin()[,],arcsin [,]2222x x ππππ-∈--∈-且sin y x =在[,]22ππ-上是单调增函数，因此arcsin()arcsin x x -=- 证毕【知识再现答案】 1.[,]22ππ-，反正弦函数 2.[,]22ππ-上且正弦值为y 【习题答案】 1.,,,3624ππππ-- 2.1,043.(1)0.2705;(2)0.3386-4.4arcsin 5π-5.(1)arcsin 5x =;(2)1arcsin 4x π=-;(3)1arcsin 3x π=+6.(1)9;(2)2647.,1,,365πππ-,[,]22x ππ∈-8. 2.545145.843C rad π=-≈≈ 9.证：33sin(arcsin )55=，443sin(arcsin )cos(arcsin )2555π-== 又34arcsin [,],arcsin [,]5222522πππππ∈--∈-，因此34arcsin arcsin 525π=- 证毕 10.(1)证：arcsin(sin )[,],[,]2222x x ππππ∈-∈-，又sin[arcsin(sin )]sin x x = 因此arcsin(sin )x x = 证毕(2)2[,]22x k πππ-∈-又sin(2)sin x k x a π-==，因此2arcsin x k a π-=，即2arcsin ,x k a k Z π=+∈ 11.11()(101),[0,1]3x f x x -=-∈。

初中三角函数练习试题和答案解析

AB A
C
D
C
E
EH学习指导参考
B
F D
WORD格式整理版
0.7344九年级( 1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD 3m,
标杆与旗杆的水平距离BD 15m，人的眼睛与地面的高度EF 1。6m,人与标杆CD的
水平距离DF 2m，求旗杆AB的高度．
0.7345如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从
（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？
（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s )？
19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.
如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A
点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得ACB 68.
tan 40 ≈ 0.8391，3 ≈ 1。732．
P
北
Q
C
30
B
40
A
18、如图10，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时,从地面C处的雷
学习指导参考
B
A
WORD格式整理版
达站测得AC的距离是6km，仰角是43．1s后,火箭到达B点，此时测得BC的距离是
6.13km,仰角为45。54，解答下列问题：
7．已知Rt△ABC中,∠ C=90° ,AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）
2 2 2 3
A．sinB=
3B．cosB=3C．tanB=3D．tanB=2
8．点( -sin60 °，cos60 °）关于y轴对称的点的坐标是(）

初中数学三角函数计算题

初中数学三角函数计算题
一、在直角三角形中，如果一个锐角为30度，那么它所对的直角边与斜边的比值是多少？
A. 1/2
B. √2/2
C. √3/2
D. 2/√3（答案：A）
二、已知sinA = 1/2，且角A为锐角，则角A的度数为多少？
A. 15度
B. 30度
C. 45度
D. 60度（答案：B）
三、在直角三角形中，如果一个锐角为45度，那么它所对的直角边与另一条直角边的比值是多少？
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2（答案：A）
四、已知cosB = √3/2，且角B为锐角，则角B的度数为多少？
A. 30度
B. 45度
C. 60度
D. 90度（答案：C）
五、若tanC = 1，且角C为锐角，则角C的度数为多少？
A. 15度
B. 30度
C. 45度
D. 60度（答案：C）
六、在直角三角形中，如果一个锐角为60度，那么它所对的直角边与斜边的比值是多少？
A. 1/2
B. √2/2
C. √3/2
D. √3（答案：C）
七、已知sinD = √2/2，且角D为锐角，则角D的度数为多少？
A. 15度
B. 30度
C. 45度
D. 75度（答案：C）
八、若cosE = 1/2，且角E为锐角，则tanE的值为多少？
A. √2
B. √3
C. √3/3
D. 2/√3（答案：B）。

反三角函数化简求值精选题

反三角函数化简求值精选题题目一求解：$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$解答使用反三角函数的定义，可以得知 $\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)$ 等于一个角度 $\theta$，满足 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，且 $\sin(\theta) = -\frac{4}{5}$。

然后，利用正弦函数的定义，可得最后的结果为$\sin\left(\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)\right) = -\frac{4}{5}$。

因此，答案为 $-\frac{4}{5}$。

题目二求解：$\tan\left(\arctan\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$解答使用反三角函数的定义，可以得知 $\arctan\left(-\frac{2}{3}\right)$ 等于一个角度 $\theta$，满足 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$，且 $\tan(\theta) = -\frac{2}{3}$。

然后，利用正切函数的定义，可得最后的结果为$\tan\left(\arctan \left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}$。

因此，答案为 $-\frac{2}{3}$。

题目三求解：$\cot\left(\arccos\left(\frac{3}{5}\right)\right)$解答使用反三角函数的定义，可以得知$\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ 等于一个角度 $\theta$，满足 $0 \leq \theta \leq \pi$，且 $\cos(\theta) = \frac{3}{5}$。

反三角函数、最简三角方程

则注意（）注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解若 a > 1， cos x = a 无解则
（2）灵活使用结论（一））灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二结论二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1．定义 2．图像 3．性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4．恒等式 5．符号的意义 6．特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2

三角函数总复习教学资料知识点及例习题

三角函数总复习教学资料一、考纲要求：1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+φ)的简图，理解A 、、φ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+,k ∈Z 第二象限角：2k π+＜α＜2k π+π,k ∈Zωω2π2π第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+,k ∈Z第四象限角：2k π+＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ·360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝，k ∈Z ｝终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+，k ∈Z ｝终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

6.4.2 反三角函数(含答案)

【课堂例题】例1.求值：(1)= (2)arccos(1)-=(3)arctan1= (4)arctan(3-=(5)cos(arccos 2= (6)tan(arctan(4))-=例2.求下列各式中的角(用反三角函数表示)： (1)1cos ,[0,2]5x x π=∈(2)13tan ,(,)322x x ππ=-∈-课堂练习 1.求值：(1)arccos(2-= (2)5arctan[tan()]4π-= 2.求下列各式中的角x(1)tan 2,[0,2]x x π=∈ (2)3cos ,[,]4x x ππ=-∈-3.不使用计算器计算：(1)3sin(arccos())5- (2)11sin[arccos()]23-(3)tan(arctan3arctan 2)-4.探究：arccos()?x -= arctan()?x -=【知识再现】1.一般地，对于余弦函数cos y x =，如果已知函数值([1,1])y y ∈-，那么在上有唯一的x 值和它对应，记为arccos x y =，称x 为y 的 ;对于正切函数tan y x =，如果已知函数值()y y R ∈，那么在上有唯一的x 值和它对应，记为arctan x y =，称x 为y 的 .2.arccos ([1,1])y y ∈-表示一个的角;arctan ()y y R ∈表示一个的角.【基础训练】 1.填空：arccos1= ；arccos(= ;arctan1= ；arctan(= . 2.下列各表达式无意义的是 (写出所有无意义表达式的序号) ①arcsin2π；②arcsin4π；③arccos3π；④arctan2π.3.填空：1cos(arccos())4-= ； tan(arctan 2)= .3sin(arccos )5= ；cos(arctan3)= .4.已知等腰三角形的高与底的比为4:6，则顶角用反余弦函数可以表示为 .5.用反三角函数表示下列角x ：(1)3cos ,[0,]4x x π=∈； (2)cos ,[,0]5x x π=-∈-;(3)tan 3,(,)22x x ππ=-∈-； (4)2tan ,(0,)3x x π=-∈.6.不使用计算器计算：(1)3tan(arccos )5; (2)sin(arctan(1)arccos())2---；(3)1sin(2arccos )4； (4)13cos(arccos())27-.7.计算并回答问题：arccos(cos)12π= ；arccos[cos()]3π-= ； arctan[tan()]3π-= ；5arctan(tan )6π= .请问arccos(cos )x x =及arctan(tan )x x =成立的充要条件分别是什么？(无需证明)【巩固提高】8.已知sin ,arccos(2πααβ=<<=，不使用计算器求αβ+的弧度数.9.已知[1,1]x ∈-，求证：arcsin arccos 2x x π+=.注：本结论可作为公式使用.(选做)10.求证：114arctan arctan 52394π-=【温故知新】 11.函数32sin,[,]222x y x ππ=∈-的最大值是，最小值是 .【课堂例题答案】例1.(1)6π;(2)π;(3)4π;(4)6π-4-例2.(1)1arccos 5x =或12arccos 5π-;(2)1arccos()3x =-或1arccos()3π+-【课堂练习答案】 1.(1)34π;(2)4π- 2.(1)arctan 2x =或arctan 2x π=+；(2)3arccos()4x =-或3arccos()4x =--3.(1)4517 4.arccos()arccos ,[1,1],arctan()arctan ,x x x x x x R π-=-∈--=-∈【知识再现答案】 1.[0,]π，反余弦函数，(,)22ππ-，反正切函数 2.在[0,]π上余弦值为y ；(2)在(,)22ππ-上正切值为y 【习题答案】 1.30,,,443πππ- 2.①③3.14,2,45-4.7arccos 25(答案不唯一，42arccos 5)5.(1)3arccos 4x =(答案不唯一，arcsin 4)(2)arccos(5x =--(答案不唯一，arcsin 5π-)(3)arctan(3)x =-(答案不唯一，arcsin 10-(4)2arctan()3x π=+-(答案不唯一，arcsin 13π-)6.(1)43;(2)4;(3)8;(4)77. 12π,3π,3π-,6π-,[0,],(,)22x x πππ∈∈-8.34π提示:3,222πππβπαβ<<<+<，又sin()2αβ+=9.证：sin(arcsin ),sin(arccos )cos(arccos )2x x x x x π=-==又arcsin [,],arccos [,]22222x x πππππ∈--∈-，因此arcsin arccos 2x x π=-即arcsin arccos 2x x π+= 证毕10.证：记1arctan5α=，222tan 52tan 2120tan 2,tan 41tan 121tan 2119αααααα====-- 又111120239tan(arctan )123941191239π++==-，因此11tan(4arctan )tan(arctan)52394π=+，又14arctan (0,)5π∈，1arctan(,)239442πππ+∈，因此114arctan arctan52394π=+，即114arctan arctan 52394π-=11.2,。

2019年上海高中数学第28讲反三角函数与三角方程

第29讲反三角函数与三角方程一、知识梳理1、反三角函数的性质与图像（1）()y f x =存在反函数⇔x 、y 一一对应．（2）反三角函数不是三角函数的反函数，只是三角函数在某一段上的反函数．2、最简三角方程：sin x a =，cos x a =，tan x a =（1）sin x a =：当1a >时，解集为φ；当1a ≤时，解集为(){}1arcsin ,k x x k a k Z π=+-∈（2）cos x a =：当1a >时，解集为φ；当1a ≤时，解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈（3）tan x a =：{}arctan ,x x k a k Z π=+∈二、典型例题例1、求下列函数的定义域和值域：（1）()1arcsin 212y x =-；（2）()2arccos 1y x x =-+．例2、求下列函数的反函数：（1）sin y x =，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）cos y x =，[],0x π∈-；（3）tan y x =，,34x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（4）sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．例3、解下列三角方程：（1）22sin 10x x +=；（2）22sin 7sin cos 6cos 0x x x x -+=；（3）sin 2sin cos 10x x x --+=．例4、（1）求满足()arccos2arccos 1x x <-的x 的取值范围；（2）求函数()2arcsin 2arcsin 2y x x =--的最大值与最小值，并求取得最大、最小值时的x 值．例5、已知关于x 2cos 21x x k +=+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异实数根，求实数k 的取值范围及相应两个根的和．三、课后练习1、求值：1arcsin 2= ；arcsin ⎛= ⎝⎭ ；arccos ⎛= ⎝⎭ ；(arctan = ；1a r c c o s 2⎛⎫= ⎪⎝⎭ a r c t a n 1= ； arcsin ⎛= ⎝⎭；()arccos0arcsin1arctan 1++-= ． 2、求值：11sin 2arcsin arccos 35⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 3、求满足下列不等式的x 的取值范围：（1）若arcsin 1x >，则x ∈ ；（2）若()arcsin 2arcsin 1x x >-，则x ∈ ．4、不等式()arccos 1arccos x x -≥的解集是．5、若方程2sin cos 0x x a ++=有解，则a 的取值范围是α= ．6、解方程：（1）2sin 1x =，[],x ππ∈-的解集是；（2）22sin 5cos 40x x --=的解集是．7、解方程：（1）cos cos3x x =的解集是；（2）tan tan2x x =的解集是．8、函数cos 1y x =+，[),0x π∈-的反函数是．9、已知3arcsin 5α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值等于． 10、函数()213arcsin lg 191x y x x -⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭的定义域是． 11、函数12log arccos 36x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是．12、 12x ⎡∈-⎢⎣⎦，则arccos y x =的值域是． 13、设sin x α=且5,66ππα⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则arccos x 的取值范围是． 14、 ()arcsin 1arccos2y x x =-+的值域是． 15、函数()2arcsin 1y x x =--的单调递增区间是．16、若3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，则α= ． 17、下列格式中正确的是（）A 、1arcsin 62π=B 、cos arccos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭C 、11arctan arctan 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D 、33arcsin sin 55ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭18、解下列三角方程：（1）24cos 30x x -+=；（2）22sin 3cos sin 2x x x -=19、为使方程22sin 2sin cos 2cos 0x x x x m +--=有解，求实数m 的取值范围．20、若[],x ππ∈-，为使方程sin x x a =分别满足下列条件，试求a 的范围，（1）有解；（2）有两不同解；（3）仅有一解．。