大学物理(II)下册教学课件：第九章_振动2

mg
T1
ma
m
d2x dt 2
⑴
圆盘 T1 T2 R J
⑵
弹簧 T2 kA x
⑶
且 a
R
将 T1 T1
1 d2x R dt 2
mg
kA
m d2x dt 2
mg
T2 T2
o
T1 T1
mg
和T2 T2 kA x mg kx
代入式⑵得
(mg
m
d2x dt 2
mg
kx)R
J R
d2x dt 2
（3）复摆 ( 5 )
E 1 J2 mgl(1 cos )
2 mgl sin 0
J
mgl
J
2 0
m cos(t )
转动正向
O
l
*C
P
（C点为质心）
(4) 无阻尼自由电磁振荡
L
LC
ε
S
B
LC 电磁振荡电路 L
C + Q0
E
L
Q0
A
C Q0
E
+ Q0
C
C
L C
B
B
D
在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能量 和磁场能量不断的相互转化，其总和保持不变.
典型例题
例1、质量为m的平底木船模型， 其平均截面积为 S ，竖直高度H 25cm
静浮在水中，若不计阻力，将其竖直再向
下压入 5cm后，静止释放模型，求船模型
的运动和运动方程（设水的密度为 木船模型 0.8103kg m3） 0 1.0103kg m3
H
h
ox
(a) x
(b)
解：取平衡时模型底部为坐标 原点，取图示ox轴，当模型底 部在图(b)位置时，其受的合力
E 1 LI 2 1 Q2
2
2C
Q 1 Q 0 LC
0 LII Q Q C
1
LC
Q Q0 cos(t )
i
dq dt
Q0
sin(t
)
I0
cos(t
π) 2
简谐运动的动力学特征
x 2x 0
弹簧振子 k m
单摆
g l
复摆
mglCO JO
LC自由电磁振荡 1
LC
E
1 2
d2x dt 2
(m
J R2
)
kx
则物体作简谐运动，
d2x dt 2
(
m
k
J R2
)x
0
其周期为 T 2 2
J mR2 kR2
用能量方法研究系统的运动
该系统（ m, J , k 和地球）的
机械能守恒，则有
E 1 mv2 1 J2 mgx 1 k( A x)2
2
2
2
两边求导
o
mv dv J d mgv k( A x)v 0
x0
0
则振动方程
x 0.05cos 7t
例题2、图示一轻质绳一端连接
轻质弹簧，其劲度系数为 k ，绳 另一端绕过一转动惯量为J 的薄
o m
x
圆盘与物体m相连，圆盘半径为R
开始时，使弹簧处于原长，然后静止释放
物体，求物体运动方程
解：取物体、弹簧和圆盘为研
究对象，分析它们受力，其动
力学方程分别为
物体
mm
ox x
E 1 mv2 1 kx2 常量 22
x 2x 0
k m
x Acost
（2）单摆
E 1 m(l)2 mgl(1 cos )
2
1 J2 mgl(1 cos )
转
A
动
l
正 向
2
FT m
g sin 0
l 5 时，sin
2 0
o
J
ml 2
P
g l
m cos(t )
mvC2
1 2
J C 2
mg(R
r)(1
cos
)
vC (R r) r
JC
2 5
mr 2
E 7 m(R r)22 mg(R r)(1 cos )
10
7 (R r) g sin 0
5
3、运动学特征 物理量(x)是时间的余弦 (或正弦)的函数
x Acost
m cos(t )
Q Q0 cos(t )
m x
dt
dt
式中
kA
mg,
v R
ห้องสมุดไป่ตู้
1 R
dx dt
,
d
dt
1 R
d2x dt 2
mv
d2x dt 2
J R2
v
d2x dt 2
kxv
0
d2x dt 2
(m
J R2
)
kx
0
与上结果相同
注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路， 对研究非机械运动十分重要，因为此时已不 宜用受力分析的方法了！
x
mg k
cos[(
第九章
振动
一、简谐运动
1、能量特征: 简谐振子的势能
Ep(x) V(x) = V(0) + V(0)x + (1/2) V(0)x2 +....
平衡位置: x = 0, V(0) = 0 平衡条件: V(0)=0 稳定平衡: V(0)>0
弹簧振子势能Ep(x) =(1/2)kx2
弹簧振子势能曲线
F合 mg 0gSh x
0gSx kx (mg 0gSh)
∴模型作简谐运动
H
h
ox
(a) x
(b)
其角频率为
k 0gS 0g 7.0rad s1 m SH H
由初始条件确定 A 和
（t 0时 x0 5.0cm, v0 0）
A
x02
v02
2
0.05m
tg 1
v0
Ep
C
E
B
Ek
Ep
A
Ox
A x
单摆的势能Ep = mgl(1-cos) mgl2/2
保守系统/简谐振子的能量特征
保守系统： 无内部耗散（阻尼）无外界驱动
能量守衡
E
E = Ek + Ep H=T+V
o
E Ek Ep
Ek Ep
t
势能形式 Ep = (1/2)kx2
2、动力学特征
(1)弹簧振子:
m
k J
/
R2
1
)2
t
]