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第x讲隐写中的±1编码

本讲提要

隐写中的±1编码是指在隐写嵌入过程中，通过对载体样点值进行+1或−1操作表达不同的隐蔽信息。±1编码方法本质上是一种三元编码，与矩阵编码类的二元编码方法相比，在同等嵌入效率条件下具有更高的负载率，理论上可以达到更优的隐写性能。

本讲详细介绍了现有研究中出现的几种±1编码方法的原理和特点，归纳并阐述了通过加减覆盖集进行±1编码隐写嵌入的步骤。本讲还介绍了一种通过扩展方式构造加减覆盖集的方法，能够通过调节参数组合的取值获得不同的加减覆盖集，满足不同的隐写负载率或嵌入效率需求。

x.1 基本概念

为了便于表述，首先介绍本讲使用的符号标记。令x={x1,x2,⋯,x n},x i∈ℝ表示长度为n的原文样点值序列，ℝ为每个样点值的动态范围；m={b1,b2,⋯,b m},b i∈{0,1}表示长度为m的隐蔽信息比特序列；y={y1,y2,⋯,y n},y i∈ℝ表示嵌入隐蔽信息后的隐文样点值序列。

给定原文x和隐蔽信息m，隐写嵌入过程可表示为寻找满足如下条件的y

f(y)=m(1)

D(x,y)(2)

min

y

其中，公式(1)中的映射f:ℝn→{0,1}m由隐写嵌入者和接收者共享，保证接收者能够正确提取隐蔽信息；公式(2)中的函数D(∙,∙)衡量了嵌入前后原文和隐文的差异，若存在多个满足公式(1)的序列y，则根据公式(2)选择其中使D(x,y)最小的y作为嵌入后的序列，确保隐写嵌入过程对载体的扰动最小，隐写的隐蔽性最高。

公式(1)和(2)给出的是一种一般性的表述，对于每种具体的隐写方法，公式中的映射f和函数D(∙,∙)均具有不同的形式。例如，对于矩阵编码类的隐写方法[1]-[4]有f(y)=Hy，H为校验矩阵；且由于嵌入过程只修改原文样点值的LSB位，因此D(x,y)退化为嵌入过程中修改位置的数量。基于BCH编码[5][6]和格编码[7][8]的隐写方法也可以用类似的形式表达。

接收者提取隐蔽信息的过程可表示为

m=f(y)(3)基于二元编码和三元编码的隐写方法均可用上述公式(1)-(3)表示，其区别在于将载体样点值x i修改为y i的方式。图1列出了几种典型隐写算法的修改方式，其中（a）和（c）所表示的方法均可等价为二元编码，即通过两种不同的方式修改载体样点值x i，从而表达不同的隐蔽信息比特；而（b）所示的±1编

图1 典型隐写算法的修改方式

衡量隐写方法性能的主要指标包括负载率α和嵌入效率e 两种。负载率α的物理意义是每占用一个嵌入位置平均所能承载的隐蔽信息比特数，计算公式为

α=m n

(4)

嵌入效率e 的物理意义是，平均每修改一个位置所能表达的信息比特数，计算公式为

e =αd =m n E (K )n

=m E (K )

(5) 其中，d 称为平均修改量（expected number of modifications per pixel, ENMPP ），E (K )表示嵌入过程中总修改次数的期望值。

这里以一组对比数据直观的比较二元编码与三元编码的性能差异。例如，使用（7,4）汉明码的矩阵编码隐写方法是一种典型的基于二元编码的隐写方法，该方法在7个样点值中嵌入3比特隐蔽信息，即m =3，n =7，因此负载率α=37⁄；嵌入时最多修改1个位置，其修改次数的期望值为

E (K )=1×0+7×123=7

8

(6) 因此嵌入效率为

e =

m E (K )=247

≈3.4 (7)

另一方面，如果使用±1编码方法，只需占用4个样点值即可嵌入3比特隐蔽信息（具体嵌入过程可参见

5.2节第2小节的示例），即m =3，n =4，因此负载率α=34⁄；嵌入时同样最多修改1个位置，嵌入效率e ≈3.4不变。从这个例子可以直观的看出，使用±1编码方法进行隐写嵌入，可以在同等嵌入效率情况下获得更高的负载率；反之，如果限定相同的负载率，则±1编码方法可以达到更高的嵌入效率。

需要特别指出的是，二元编码方法可以通过一种“双层嵌入”的机制提高负载率。该机制的原理与传统意义的编码方法不同，且实现较为复杂，通常需要依赖湿纸编码协助接收者定位第二层中的有效嵌入位置。这种双层嵌入机制不在本讲讨论范围之内，其具体嵌入步骤可参见文献[9]。

x.2 基于±1编码方法的隐写方法

1. LSB Matching Revisited

LSB Matching Revisited （下称LSBM -R ）是Mielikainen [10]提出的一种基于±1编码的隐写方法，通过对载体样点值进行+1或−1操作表达不同的信息，提高隐写的嵌入效率。该方法以一对样点值x ={x 1,x 2}为嵌入对象，嵌入2比特的隐蔽信息m ={b 1,b 2}。该方法的特点在于，使用两个样点值的奇偶关系表达额外的信息比特，使修改后的样点值y ={y 1,y 2}满足

LSB (y 1)=b 1 LSB (⌊y 1

2

⌋+y 2)=b 2

(8)

公式(8)可改写为公式(1)所表达的一般形式[11]

f(y)=(y1+2y2)mod 4=m4(9)

可以验证，对y1,y2进行+1或−1操作时会获得不同的映射值f(y)。上式中的m4表示将待嵌入的隐蔽信息m转化为整数后模4的余数。

LSBM-R方法占用2个样点值嵌入2比特隐蔽信息，即m=2，n=2，负载率α=1；嵌入时修改次数的期望值

E(K)=1×0+3×1

22

=

3

4

(10)

因此嵌入效率为

e=

m

E(K)

=

8

3

≈2.7(11)

2. Generalized LSB Matching

Li等人[11]提出了一种称为G-LSB-M（generalized LSB matching）的隐写方法，将LSBM-R方法的思想推广到更一般的形式（LSBM-R方法为该形式在n=2情况下的一种特例）。该方法的映射f的一般表达式为

f(y)=(∑a i y i

n

i=1)

mod 2m

≜ay T(12)

其中向量a={a1,a2,⋯,a n},a i∈ℤ2m，ℤ2m表示2m阶有限循环群（其中元素为0∼2m−1的整数）。向量a是影响负载率和嵌入效率的关键因素，其构造方法将稍后做详细论述。以下结合实例讲解具体的嵌入过程。本讲涉及到的计算，如无特殊说明均在有限循环群ℤ2m上进行，即计算结果均需要取模2m的余数。

假设隐写者与接收者通过某种安全信道或密钥协商过程确定向量a={1,2,3,4}。给定载体样点值序列x={41,248,245,124}和隐蔽信息m={1,0,1}，隐写者首先计算

w=m23−ax T=(5−(1×41+2×248+3×245+4×124))

mod 23

=(5−1768)mod 8=5

(13)

随后，寻找满足f(s)=as T=w的向量s={s1,s2,⋯,s n},s i∈{0,±1}。s i∈{0,±1}这个限制条件，确保了隐写嵌入过程中只对载体样点值进行+1或−1修改。在这种情况下，as T的计算结果可直观理解为向量a中元素a i的加减线性组合。当满足条件的s存在多个时，选择其中非零元素最少的一个。对于上述例子，一个容易找到的向量s={1,0,0,1}（1+4=5）；但注意到上述运算是在8阶有限循环群上进行的，因此可以找到另一个满足条件的向量s={0,0,−1,0}（−3=5）。显然后者的非零元素个数更少，因此选择s={0,0,−1,0}作为隐写嵌入过程的修改向量。

最后，计算嵌入隐蔽信息后的样点值序列y

y=x+s={41,248,245,124}+{0,0,−1,0}={41,248,244,124}(14)

即可完成嵌入过程。

接收者接收到y={41,248,244,124}后，计算

m=ay T=(1×41+2×248+3×244+4×124)

=(1765)mod 8=5={1,0,1}

(15)

即可提取出隐蔽信息。

在这个例子中，隐写者占用4个嵌入位置嵌入了3比特隐蔽信息，负载率α=34

⁄；嵌入过程只修