高中数学《曲线与方程》自测试题

2015年高中数学《曲线与方程》自测试题

【梳理自测】

一、曲线与方程

1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是( )

A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线

C．两个点 D．以上答案都不对

答案：1.C 2.C

◆以上题目主要考查了以下内容：

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

二、直接法求轨迹方程

1．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM→·PN→＝0，则P点的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足AP→·BP→＝x2－6，则P点的轨迹方程是________．3．过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为________．

答案：1.A 2.y2＝x 3.x2

4

＋y2＝1

◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤

①建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．

②写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．

③用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.

④化方程f(x，y)＝0为最简形式．

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

(2)两曲线的交点

由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．

【指点迷津】

1．一个核心问题

通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题．

2．二个检验方向

求出轨迹方程后，从两个方面检验

①曲线上所有点的坐标都适合方程；

②方程的解表示的点都是曲线上的点．

3．五种方法

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由

条件确定其待定系数；

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．

考向一 直接法求轨迹方程

例题1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．

【审题视点】 首先设出点P 坐标为(x ，y )，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点P 的轨迹方程．

【典例精讲】 设点P (x ，y )，则MP →＝(x ＋1，y )，

NP →

＝(x －1，y )，MN →＝(2,0)．

故MP →·MN →＝2(x ＋1)， PM →

·PN →＝MP →·NP →＝(x ＋1)×(x －1)＋y 2＝x 2＋y 2－1， NM →

·NP →＝－2(x －1)＝2(1－x )．

∵MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，∴2(x 2＋y 2－1)＝2(x ＋1)＋2(1－x )． 且NM →·NP →－MP →·MN →＝2(1－x )－2(x ＋1)＝－4x ＜0， 整理得x 2＋y 2＝3(x ＞0)．

故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ＞0)． 【类题通法】 运用直接法应注意的问题

(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；

(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 变式训练

1．如图所示，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．

解析：设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，FP →＝(x －1，y )，QP →＝(x ＋1,0)，QF →＝(2，－y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .

考向二 用定义法求轨迹方程

例题2已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：

⎝

⎛

⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．

【审题视点】 由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程．