高中数学《曲线与方程》自测试题

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高二《曲线方程和圆》单元测试卷

高二《曲线方程和圆》单元测试卷班级：考号：姓名：一、选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分） 1．到两坐标轴的距离之和为6的点的轨迹方程是（）A ．x ＋y ＝6B ．x ±y ＝6C ．|x |＋|y|＝6D ．|x ＋y|＝62．原点必位于圆：0)1(22222=-+--+a y ax y x )1(>a 的（）A ．内部B ．圆周上C ．外部D ．均有可能 3．平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3；－1)；C(2；－3)两点；D 点在直线3x －y+1=0上移动；则B 点轨迹所在的方程为（） A ．3x －y －20=0 B ．3x －y －10=0 C ．3x －y －9=0 D ．3x －y －12=0 4．“点Ｍ在曲线y ＝｜x ｜上”是“点Ｍ到两坐标轴距离相等”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．非充分非必要条件 5．从动点)2,(a P 向圆1)3()3(22=+++y x 作切线；其切线长的最小值是（） A ． 4 B ．62 C ．5 D ．266．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身；则实数a =（）A ．21±B ．22±C ．2221-或D ．2221或-7．直线y = x + b 与曲线x =21y -有且仅有一个公共点；则b 的取值范围是（） A ．|b|=2 B ．211-=≤<-b b 或C ．21≤≤-bD ．以上都错8．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知圆C ：θθsin 22cos 2+=+=y a x （a>0；为参数θ）及直线l ：03=+-y x ；若直线l 被C 截得的弦长为32；则a = （） A ．2B ．22-C ．12-D ．12+10．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为；则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分）＝12．过P （1；2）的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的方程为 ____ 。

高中数学专题双曲线及其标准方程检测(学生)

2.1。

4双曲线及其标准方程（检测学生版）时间:50分钟总分：80分班级: 姓名：一、选择题(共6小题，每题5分,共30分)1．双曲线xy 222-=8的焦点坐标是（） A 。

()± B.(0,± C 。

()2,0± D 。

()0,2±2．下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是( ) A ．223312x y -= B ．2214x y +=C ．22143x y -=D ．22123x y += 3．若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点,若7PQ =,2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是( ）A ．28B ．14-．14+．5．椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．126．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．已知点F 1，F 2分别是双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心,且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.8．若方程错误!＋错误!＝1（k ∈R ）表示双曲线,则k 的范围是________．9．已知椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则实数a ＝________。

高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案

高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案一、选择题 (每小题5分，共40分)1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|＝5，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝7，则M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆2．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±5xB ．y ＝±55x C ．y ＝±3xD ．y ＝±33x3．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．41 B ．21C ．2D ．4 4．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或75．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a ＞0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6．．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（）A ．10B ．8C ．6D ．47．与圆122=+y x 及圆012822=+-+x y x 都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上 D ．一个圆上8．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263C. 3D ．2二、填空题（每小题5分，共20分）9.双曲线4922=-y x 的渐近线方程为 .10.抛物线x y 82=上到焦点的距离等于4的点的坐标为 . 11．已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为__________．12．以抛物线y 2＝83x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线是x ±3y ＝0的双曲线方程为__________．三、解答题（每小题12分，共24分）13．斜率为2的直线l 与双曲线12322=-y x 交于A 、B 两点，且4=AB ，求直线l 的方程. 14.（1）已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求斜率k 的取值范围. （2）在抛物线 x y 42=上求一点P ，使得点P 到直线3+=x y 的距离最短.高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案1.A2.解析：∵y2＝8x焦点是(2,0)，∴双曲线x2a2－y2＝1的半焦距c＝2，又∵虚半轴长b＝1且a＞0，∴a＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y＝±33x. 答案：D3.A4.解析：因4，m,9成等比数列，则m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时圆锥曲线为椭圆x26＋y2＝1，其离心率为306；当m＝－6时圆锥曲线为双曲线y2－x26＝1，其离心率为7，故选C.5.解析：由|PF1|＋|PF2|＝a＋9a≥29＝6，当|PF1|＋|PF2|＝6时轨迹为线段，当|PF1|＋|PF2|＞6时轨迹为椭圆．答案：D6.B7.B8.解析：如图所示，双曲线的渐近线方程为：y＝±2a x，若∠AOB＝π3，则θ＝π6，tanθ＝2a＝33，∴a＝6＞ 2.又∵c＝6＋2＝22，∴e＝ca＝226＝233. 答案：A9.x y 3±= 10.()4,2±11.解析：设正方形边长为1，则|AB |＝2c ＝1，∴c ＝12，|AC |＋|BC |＝1＋2＝2a ，∴a ＝2＋12，∴e ＝c a ＝122＋12＝2－1. 答案：2－112.解析：抛物线y 2＝83x 的焦点F 为(23，0)，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ，4λ3＝(23)2，∴λ＝9，双曲线方程为x 29－y 23＝1. 答案：x 29－y 23＝1。

高中数学专题2.1 曲线与方程(2)测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)

高中数学专题2.1 曲线与方程（2）测试（含解析）新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.1 曲线与方程（2）测试（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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曲线与方程(2)（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．已知A(－2,0），B(2，0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是（)A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线[答案] D[解析］设顶点C到边AB的距离为d,则错误!×4×d＝10,∴d＝5.∴顶点C到x轴的距离等于5。

故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.2．已知点M(－2,0)、N（2,0），则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( ）A．x2＋y2＝4(x≠±2）B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16（x≠±4)[答案］A［解析] 由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P 不能共线,故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．3．等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1）,C（0，－3），则另一顶点A的轨迹方程是（) A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x＋1C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)[答案] D4．方程y＝错误!表示的曲线形状大致为（)[答案］C[解析] 解法1：当x〉0时，y＝错误!＝错误!；当x〈0时，y＝－xx2＝－1x，即y＝错误!故选C.解法2：∵y>0，∴排除A、B、D，故选C。

高中数学必修一方程与曲线练习版

方程与曲线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．平面内有两定点,A B ,且AB 4= ，动点P 满足4PA PB += ，则点P 轨迹是( ) A ．线段B ．半圆C ．圆D ．直线2．动点P 到点A (6，0)的距离是到点B (2，0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为（） A ．(x +2)2+y 2=32 B ．x 2+y 2=16 C ．(x -1)2+y 2=16 D ．x 2+(y -1)2=163．与点()1,0A -和点()10B ,连线的斜率之和为1-的动点P 的轨迹方程是（） A ．223x y += B ．()2211x xy x +=≠±C ．y =D ．()2290x y x +=≠4．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对5．方程（3x -y +1）（y =0表示的曲线为（） A ．一条线段和半个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条线段和半个椭圆D ．两条线段6．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=二、填空题7．方程()10x y +-=表示的曲线是________. 8．直线(2)4y k x =-+与曲线214y x 仅有一个公共点，则实数的k 的取值范围是________.9．已知矩形ABCD 中，3AB BC a ==，，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则当满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是___________. 10．过圆224x y +=上任意一点M 作x 轴垂线，垂足为N ，则线段MN 的中点的轨迹方程为____________.三、解答题11．k 代表实数，讨论方程kx 2+2y 2﹣8=0所表示的曲线．12．已知圆22:4O x y +=，点()3,5A -，点M 在圆O 上移动，且动点P 满足13AP AM =，求动点P 的轨迹方程.13．已知曲线C 是动点M 到两个定点()O 0,0、()A 3,0距离之比为12的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程；（2）求过点()N 1,3且与曲线C 相切的直线方程.14．圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程. 15．过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA ． (1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)延长OA 到N ，使|OA|=|AN|，求N 点的轨迹方程. 16．已知()4,4A 、()1,1B ，动点P 满足2PA PB =. （1）求P 点轨迹方程C ；（2）在直线:80l x +-=上求一点Q ，使过点Q 能作轨迹C 的两条互相垂直的切线.参考答案1．C 【解析】假设AB 的中点为O ，则2PA PB PO +=， ∵4PA PB +=，∴|PO |=2 ∵A ，B 是定点，∴O 为定点∴点P 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆故选C. 2．A 【解析】【分析】先设出动点P 的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得. 【详解】设(,)P x y ,则由题意可得PA PB =,=化简可得22(2)32x y ++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养. 3．B 【解析】【分析】设出P 点的坐标，利用斜率之和为1-列方程，化简后求得动点P 的轨迹方程. 【详解】设动点(),P x y ，1PA PB k k +=-，()00111y y x x --∴+=----，整理得()2211x xy x +=≠±. 故选：B 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题4．C 【解析】【分析】由题意，根据方程010x y xy -=⎧⎨-=⎩，解方程组，即可得到结论．【详解】由题意，方程22()(1)0x y xy -+-=，可得010x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，所以方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是两个点(1,1)或(1,1)--，故选C ．【点睛】本题主要考查了曲线与方程问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．A 【解析】【分析】由原方程可得y=-1≤x≤1，y 0≥）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），进一步求出轨迹得答案．【详解】由方程（3x-y+1）（=0得y 0≥）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，即221y 0x y +=≥（）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），∴方程（3x-y+1）（=0表示一条线段和半个圆．故选A ．【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义的范围，是中档题． 6．B 【解析】【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型. 7．射线()101x y x +-=≥和直线1x = 【解析】【分析】根据()10x y +-=，由1010x y x +-=⎧⎨-≥⎩或0=求解.【详解】由()10x y +-=，得1010x y x +-=⎧⎨-≥⎩0=，即()101x y x +-=≥或1x =.所以方程表示的曲线是射线()101x y x +-=≥和直线1x =. 故答案为：射线()101x y x +-=≥和直线1x = 【点睛】本题主要考查曲线与方程以及方程化简问题，属于基础题. 8．35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【解析】【分析】根据方程可知直线恒过点(2,4)，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出k ，再结合图形求出当直线经过点(2,1)-，(2,1)时，实数k 的取值，即可的k 的取值范围．【详解】解：如图，由题知曲线214y x 即22(1)4x y +-=，表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线1y =上方，直线(2)4y k x =-+恒过点(2,4)，因为直线与曲线只有一个交点，2=，解得512k =，由图，当直线经过点(2,1)-时，直线的斜率为4132(2)4-=--，当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在，综上，实数k 的取值范围是512k =，或34k >，故答案为 35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题 9．6a > 【解析】∵PA ⊥平面AC ， ∴PA ⊥DE又∵PE ⊥DE ，PA∩PE=P ∴DE ⊥平面PAE ∴DE ⊥AE即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点 ∵AB=3，BC=a ，满足条件的E 点有2个 ∴6a > 故答案为6a > 10．2244x y += 【解析】【分析】设线段MN 的中点为(,)P x y ，利用代入法求得P 的轨迹方程. 【详解】设线段MN 的中点为(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，则0002x x y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得00,2x x y y ==，又22004x y +=，得2244x y +=. 故答案为：2244x y += 【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程的方法，中点坐标公式，考查了代入法，属于基础题． 11．【解析】试题分析：本题要确定曲线的类型，关键是讨论k 的取值范围，解：当k ＜0时，曲线为焦点在y 轴的双曲线；当k=0时，曲线为两条平行于轴的直线y=2或y=﹣2；当0＜k ＜2时，曲为焦点x 轴的椭圆；当k=2时，曲线为一个圆；当k ＞2时，曲线为焦点y 轴的椭圆．点评：本题考查了几种基本的曲线方程与曲线的对应关系，从方程区分曲线也是必需的要掌握的．12．()221042()39x y ++-= 【解析】【分析】设动点(),P x y ，()00,M x y ，根据题设条件和向量的坐标运算，求得0036310x x y y =+⎧⎨=-⎩，将点()00,M x y 代入圆的方程，即可求解. 【详解】设动点(),P x y ，()00,M x y ，因为()3,5AP x y =+-，()003,5AM x y =+-，所以()()0013,53,53x y x y +-=+-，所以00131315533x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即0036310x x y y =+⎧⎨=-⎩，因为点()00,M x y 在圆O 上，所以22004x y +=，即()()22363104x y ++-=，整理得()221042()39x y ++-=，所以动点P 的轨迹方程为()221042()39x y ++-=. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中根据向量的坐标运算，列出方程组，求得点M 的坐标，结合代入法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 13．（1）；(2）1x =，512310x y -+=．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）在给定的坐标系里，设点．由12OM AM=及两点间的距离公式，得， ①将①式两边平方整理得：即所求曲线方程为：．（2）由（1）得，其圆心为(1,0)C -，半径为2．i)当过点(1,3)N 的直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，显然与圆相切； ii) 当过点(1,3)N 的直线的斜率存在时，设其方程为3(1)y k x -=- 即30kx y k -+-=由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得2=，解得512k =，此时直线方程为512310x y -+=所以过点(1,3)N 与曲线C 相切的直线方程为1x =或512310x y -+=． 14．2211()24x y -+= 【解析】【分析】设弦的中点为(,)x y ，利用中点坐标公式可求出弦的另一端点为(2,2)x y ，代入圆C 的方程即可得到答案. 【详解】设弦的中点为(,)x y ，则弦的另一端点为(2,2)x y 在圆C 上，代入圆C 的方程可得22(21)(2)1x y -+=，即2211()24x y -+=，故弦的中点的轨迹方程为2211()24x y -+=. 【点睛】本题主要考查利用代入法求轨迹方程，属于基础题. 15．(1)x 2+y 2-4x="0;" (2)x 2+y 2-16x=0 【解析】试题分析：（1）设M 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（2x ，2y ）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，所以，（2x ）2+（2y ）2-16x=0，化简得M 点轨迹方程为x 2+y 2-4x=0．（2）设N 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（,22x y）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，得到：（2x ）2+（y2）2-4x=0， N 点轨迹方程为：x 2+y 2-16x=0．考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．16．（1）228x y +=；（2）(2,Q .【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，利用两点间的距离公式结合等式2PA PB =，可求出点P 的轨迹方程；（2）设点Q 的坐标为()008,y ，并设切线与圆228x y +=相切于M 、N 两点，可知四边形OMQN 为正方形，可得出4OQ =，然后利用两点间的距离公式求出0y 的值，即可得出点Q 的坐标.【详解】（1）设点(),P x y ，由2PA PB == 化简得228x y +=，因此，P 点轨迹方程为228x y +=；（2）设点Q 的坐标为()008,y ，如下图所示：设切线与圆228x y +=相切于M 、N 两点，连接OM 、ON ，则四边形OMQN 为正方形，且OM ON ==4OQ ∴==.4=，解得0y =Q 的坐标为(2,. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，解题的关键就是将问题转化为该点与圆心的距离问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。

曲线与方程高二练习题

曲线与方程高二练习题
一、选择题
A. 曲线C是开口向下的抛物线
B. 曲线C的顶点坐标为(2, 1)
C. 曲线C与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)
D. 曲线C与y轴的交点坐标为(0, 3)
2. 设曲线y = f(x)在点(x, y)处的切线斜率为2x，则f(x)可能是（）
A. x^2 + 1
B. 2x^2 1
C. x^2 2
D. 2x^3
A. 曲线在x = 0处取得极值
B. 曲线在x = 1处取得极值
C. 曲线在x = 2处取得极值
D. 曲线在x = 1处取得极值
二、填空题
1. 已知曲线C的方程为x^2 + y^2 = 4，则曲线C的圆心坐标为______，半径为______。

2. 给定曲线y = (1/2)x^2 3x + 4，其顶点坐标为______。

3. 若曲线y = ax^2 + bx + c在x = 1处与x轴相切，则a + b + c =______。

三、解答题
1. 已知曲线C的方程为y = x^3 6x，求曲线C的拐点坐标。

2. 给定曲线y = 3x^2 4x + 1，求曲线在x = 2处的切线方程。

3. 设曲线y = f(x)的导数为f'(x) = 2x 3，求曲线y = f(x)在x = 1处的切线方程。

4. 已知曲线C的方程为x^2 + (y 2)^2 = 4，求曲线C与直线y = x + 1的交点坐标。

5. 设曲线y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为(1, 2)，且过点(0, 3)，求曲线的方程。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)(4)

一、选择题1．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（） A ．16或120 B ．121C ．16或121D ．13或1202．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+3．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．234．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞5．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．256．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC ．31+D ．62+7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 8．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．9169．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．610．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．23C ．433D ．2二、填空题13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则ab=__________. 16．点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，则23x y +的取值范围为______．17．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③2C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.19．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x0 4 26则2C 的虚轴长为______.20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．点M 是椭圆223:11616x y C +=上一点，点A 是椭圆C 的左顶点，MO 的延长线交椭圆C于点B ，AMB 是以M 为直角顶点的三角形.若存在不同于点A ，B 的点C ，D ，使得0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，试探究直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由. 22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为准线的距离为8．（1）求椭圆的方程；（2）设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A ，B 两点，直线NA，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．23．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0-线y x m =-+交椭圆于不同的两点A 、B . （1）求椭圆M 的方程；（2）设点()2,2C -，是否存在实数m ，使得ABC 的面积为1？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.24．点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1(0)y C xb b-=>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ．（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，求k 的取值范围． 25．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线2x =-的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值【详解】由3e ==，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题2．A解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =，不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则4MF ==，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.5．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ，则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.6．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．7．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M AAM x x =-=-=，BM ==所以ABM 的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+ 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 8．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.9．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1125225O l d -=⨯=，圆C 面积的最小值为225455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 11．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.12．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以3a =23故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..二、填空题13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上解析：22 【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-，即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：22e =．故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．14．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8 【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.15．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用解析：4 【解析】当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,22y x b y x b =+=-+，联立1212y x b y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222a a y x y x =-=-+，联立12212a y x y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,所以MN 为定值，则22ab =，所以4a b=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用. 16．【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为：【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题解析：[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，可设2cos ,x y θθ==，[0,2)θπ∈，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，又5sin()θα+[5,5]∈-，则2x [5,5]∈-. 故答案为：[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用，辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题.17．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点A ，(B ，(C ，D ，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.19．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==，又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ，又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．//AB CD ，理由见解析. 【分析】利用AM MO ⊥得M 是以OA 为直径的圆与椭圆的交点，解方程组求得M 点坐标．可求得AB k ，由数量积为0得CMD ∠的角平分线垂直于OA ，从而0MC MD k k +=，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入0MC MD k k +=可求得参数关系以13k =-或22m k =+(过点M ，舍)，由此可得两直线的位置关系．【详解】解：由题意(4,0)A -，因为AMB 是以M 为直角顶点的三角形，所以以AO 为直径的圆()2224x y ++=与椭圆223:11616x y C +=交于点M ，联立2222(2)4311616x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（舍），不妨设()2,2M -，则(2,2)B -，2012(4)3AB k --==---．由0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭可得：CMD ∠的角平分线垂直于OA ，所以0MC MD k k +=，易知直线CD 斜率存在，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，联立22311616y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2221363160k x kmx m +++-=，即122613km x x k -+=+，212231613m x x k-=+，所以121222022MC MD y y k k x x --+=+=++，即()12122(22)480kx x k m x x m ++-++-=，代入韦达定理可得：()()()4318311k m k k +=++，所以13k =-或22m k =+(过点M ，舍) 因为13AB k =-，所以//AB CD . 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +（需要根据方便性，可能得1212,y y y y +），由题意中条件得出0MC MD k k +=，代入1212,x x x x +后可求得参数关系或参数值．从而判断出结论．22．（1）22184x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据长轴长、两准线的距离以及222a b c =+可得到椭圆的方程；（2）首先要对直线进行分类讨论，当斜率存在时，将直线与椭圆联立，设出,A B 两点的坐标，12k k +用12,x x 表示，再结合韦达定理就能得到证明．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆的长轴长为8，所以2228a a c==，所以2a c ==，2b .所以椭圆的方程为22184x y +=．（2）证明①当直线l 的斜率不存在时，可得A 1,2⎛- ⎝⎭，B 1,2⎛-- ⎝⎭，得k 1＋k 2＝4.②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由221,842(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. ∆＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－24(2)12k k k -+，x 1x 2＝222812k kk -+. 从而k 1＋k 2＝112y x -＋222y x -＝1212122(4)()kx x k x x x x +-+＝2k －(k －4)·24(2)28k k k k--＝4.综上，k 1＋k 2为定值．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．23．（1）2214x y +=；（2）存在，且=m 【分析】（1）由已知条件求出a 的值，结合离心率可求得c 的值，再由a 、b 、c 的关系可求得b的值，由此可求得椭圆M 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，求出点C 到直线AB 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出关于实数m 的等式，解出m 的值，并验证是否满足0∆>，由此可得出结论. 【详解】（1）由于椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个顶点坐标为()2,0-，则2a =，又因为该椭圆的离心率为c a =c =1b ∴=，因此，椭圆M 的方程为2214x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2258440x mx m -+-=， ()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m << 由韦达定理可得1285m x x +=，212445m x x -=，由弦长公式可得12AB x x =-===，点C 到直线AB的距离为d =，所以，ABC的面积为11122ABC S AB d =⋅===△，整理可得42420250m m -+=，即()22250m -=，可得252m =，满足0∆>. 因此，存在2=±m ，使得ABC 的面积为1. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.24．（1）2214y x -=；（2）( 【分析】（1）取双曲线的一条渐近线：y bx =，与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为p ，即可得到p ，b 满足的关系式，进而可得答案．（2）根据直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，利用韦达定理、判别式列不等式组求解即可.【详解】（1）取双曲线的一条渐近线y bx =，联立22y px y bx ⎧=⎨=⎩解得222p x b py b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故222(,)p p A b b ．点A 到抛物线的准线的距离为p ， ∴222p p p b+=，可得24b = 双曲线222:14y C x -=；（2）联立22114y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()224250k x kx -+-= 因为直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，所以()22222045{0442040k kk k k ->-->-∆=+->，解得2k <<所以，k的取值范围(.【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．25．（1）22143x y +=；（2）122y x =-+，3(1,)2M . 【分析】（1）由抛物线2x =-的焦点为(0，得b =12c a =，从而可求出a ，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0∆=可求解．【详解】（1）由抛物线2x =-的焦点为(0，，它是椭圆的一个顶点，则b = 又12c e a ==，所以22214a b a -=，解得2a =．∴椭圆方程为22143x y +=；（2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．此时不满足M 在第一象限.过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由221431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得222(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ∆=--+--=-+=，12k =-，此时121x x ==，1232y y ==，即3(1,)2M ．直线方程为11(2)2y x -=--，即122y x =-+．切线方程为122y x =-+，切点3(1,)2M ．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的切线，解答本题的关键是分切线的斜率存在和不存在进行讨论，过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-,由方程联立，其0∆=求解,属于中档题.26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=，所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -，则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭，当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。

曲线和方程练习题

曲线和方程练习题一、选择题1、〔2014·高考文科·Ｔ3〕抛物线214yx 的准线方程是〔〕 A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】将抛物线化为标准形式即可得出。

【解析】选A 。

22144yx x y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,那么AB = ( )B.6C.12D.【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04⎛⎫⎪⎝⎭.那么由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34n,解得m=32 ),n=32所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.应选C.3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积为( )C.6332D.94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二〞,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,那么由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=32 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB =1324⋅·(m+n)=94.应选D. 4. 〔2014·高考理科·Ｔ10〕F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是〔〕A.2B.3C.8【解题提示】【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，那么直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=〞，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.5. 〔2014·高考文科·Ｔ10〕与〔2014·高考理科·Ｔ10〕一样F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是〔〕 A.2B.3 【解题提示】【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，那么直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=〞，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.6. 〔2014·高考理科·Ｔ10〕点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,那么直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率【解析】选Ｄ. 根据条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ．设切点00(,)B x y ，由题意，在第一象限2822y x y x =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为02AB x x k y x ='==，而切线的斜率也可以为003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==．即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-．二、填空题1. 〔2014·高考理科·Ｔ15〕如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b C F a=两点，则【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。

高考数学曲线与方程选择题

高考数学曲线与方程选择题1. 选择题：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)的反函数f^(-1)(x)。

2. 选择题：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的顶点坐标。

3. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像是开口向上的抛物线，求a的取值范围。

4. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像是开口向下的抛物线，求a的取值范围。

5. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相切，求a的取值范围。

6. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求c的值。

7. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求b的值。

8. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求a的值。

9. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求a的取值范围。

10. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求b的取值范围。

11. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求c的取值范围。

12. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求a、b、c之间的关系。

13. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求a、b、c之间的关系。

2024_2025学年高中数学第3章圆锥曲线与方程单元测评湘教版选择性必修第一册

第3章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线-x2=1的渐近线方程是()A.x±y=0B.x±y=0C.2x±y=0D.x±2y=02.若抛物线x2=2my的焦点与椭圆=1的下焦点重合,则m的值为()A.4B.2C.-4D.-23.(2024四川绵阳一中高二期中)平面上满意到定点F(0,-1)和定直线l:2x+3y+3=0距离相等的点P(x,y)的轨迹是()A.圆B.双曲线C.直线D.抛物线4.(2024山西怀仁高二期中)与椭圆=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线的标准方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.=1D.x2-=15.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|=|F1F2|,则C的离心率为()A.1B.2C.3D.46.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M的纵坐标为-4,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方程为()A.y2=-16xB.y2=8x或y2=4xC.y2=-8xD.y2=16x或y2=8x7.已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆的上顶点,直线AF1交椭圆于另一点P,若|PF2|=|PA|,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.已知焦点在x轴上的椭圆=1(a>0),且a,2,c成等差数列,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上随意一点,则的最大值为()A.8B.10C.12D.16二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则()A.x0=3B.y0=2C.|OM|=D.F的坐标为(0,1)10.(2024吉林东北师大附中高二期中)已知关于x,y的方程mx2+ny2=1(其中m,n为参数)表示曲线C,下列说法正确的是()A.若m=n>0,则曲线C表示圆B.若mn>0,则曲线C表示椭圆C.若mn<0,则曲线C表示双曲线D.若mn=0,m+n>0,则曲线C表示四条直线11.(2024浙江瑞安中学高二期中)已知双曲线C过点(),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是()A.双曲线C的离心率为B.左焦点到渐近线的距离为C.双曲线的实轴长为1D.过右焦点被双曲线C截得弦长为6的直线只有三条12.(2024山东嘉祥一中高二期中)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=.过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,则下列结论正确的有()A.椭圆的标准方程为=1B.椭圆的焦距为C.椭圆上存在2个点Q,使得=0D.直线l的方程为8x-9y+25=0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024河南名校联盟高二期中)已知椭圆的面积等于,其中l是椭圆长轴长与短轴长的乘积,则椭圆=1的面积为.14.如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段,宽为7 m,高为0.7 m.依据图中的坐标系,则这条抛物线的方程为.15.双曲线=1(b>0)的离心率为,则b= ;过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|= .16.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且△PF1F2是直角三角形,这样的点P有个.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①双曲线E的焦点在x轴上,②双曲线E的焦点在y轴上这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.已知双曲线C的对称轴为坐标轴,且C经过点A(0,),B(1,3).(1)求双曲线C的标准方程;(2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同,,且E的焦距为4,求双曲线E的实轴长. 注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB的中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|=6.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程.19.(12分)(2024河北唐县一中高二期中)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满意直线AM与BM 的斜率之积为,记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)若直线l:y=x-3和曲线C相交于E,F两点,求|EF|.20.(12分)已知椭圆C:=1.(1)求C的四个顶点围成的菱形的面积;(2)若直线y=kx+1与C交于P,Q两点,M(5,0),△MPQ的面积为,求k的值.21.(12分)(2024广东华南师大附中高二期中)如图,在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池,水池边缘由两个半椭圆=1(x≤0)和=1(x≥0)组成,其中a>b>9,“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).(1)求“挞圆”的方程;(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖欣赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0,15)),求该网箱所占水域面积的最大值.22.(12分)(2024山东临沂兰山高二期中)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,若|FQ|=c,求直线FQ的斜率.参考答案第3章测评1.C∵双曲线的标准方程为-x2=1,∴渐近线方程为-x2=0,即y=±2x.故选C.2.D∵椭圆=1的下焦点坐标为(0,-1),即抛物线x2=2my的焦点坐标,∴=-1,∴m=-2.故选D.3.C依题意得,点F(0,-1)在直线l上,所以点P的轨迹是过点F且与l垂直的直线.故选C.4.B椭圆=1的焦点坐标是(±,0).设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),因为双曲线过点P(2,1),所以=1,又a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线的标准方程是-y2=1.故选B.5.B e==2.故选B.6.D∵抛物线的准线方程是x=-,而点M到准线的距离为6,∴点M的横坐标是6-.将点M6-,-4的坐标代入y2=2px,得32=2p6-,解得p=8或p=4,故该抛物线的标准方程为y2=16x或y2=8x.故选D.7.A因为A是上顶点,所以|AF1|=|AF2|=a.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF2|=|PA|,则可得|PF1|=,|PF2|=.则由余弦定理可得cos∠APF2=,则整理可得a2=3c2,则离心率e=.故选A.8.C因为椭圆=1的焦点在x轴上,所以a2=8+c2.又a,2,c成等差数列,所以4=a+c.联立解得所以椭圆的标准方程为=1,左焦点F(-1,0),右顶点A(3,0).设P(x0,y0),则=1,所以=81-,=(-x0-1,-y0)·(-x0+3,-y0)=-2x0-3+-2x0-3+8--2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],当x0=-3时,最大,为12.故选C.9.AC由题可知F(1,0),由|MF|=x0+1=4,=4x0,可得x0=3,y0=±2.则|OM|=.故选AC.10.ACD若m=n>0,则x2+y2=>0,C表示圆,故A正确;若m<0,n<0,满意mn>0,但C不表示椭圆,故B错误;若mn<0,则C表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故C正确;若mn=0,m+n>0,则m>0,n=0或m=0,n>0,则x=±或y=±,C表示四条直线,故D正确.故选ACD. 11.BD由已知设双曲线的方程为x2-=λ,因为双曲线过点(),所以2-=λ,λ=1,双曲线的标准方程为x2-=1,a=1,b=,所以c=2,离心率为e==2,故A错误;左焦点为(-2,0),一条渐近线方程是x-y=0,左焦点到渐近线的距离为d=,故B正确;双曲线实轴长是2,故C错误;双曲线两顶点间的距离为2a=2,又=6,即通径长为6,因此过右焦点被双曲线截得弦长为6的直线有3条,两个交点在同一支上的只有一条,即双曲线的通径所在直线,另两条与双曲线的两支各有一个交点,故D正确.故选BD.12.AD因为PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=,所以c=,a=(|PF1|+|PF2|)=3,则b=2,所以椭圆的标准方程为=1,椭圆的焦距为2,故A正确,B错误;由=0知∠F1QF2=90°,所以点Q在以F1F2为直径的圆上,因为c>b,所以圆与椭圆有4个交点,故C错误;因为过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,所以点M(-2,1)为弦AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2,联立两式相减得直线AB的斜率为k AB==-,所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0,故D正确.故选AD.13.4π因为a2=8,b2=2,所以a=2,b=,所以椭圆=1的面积为πab=4π.14.x2=y 设抛物线方程为x2=2py(p>0),因为B,所以=2×p,解得p=,所以抛物线的方程为x2=y.15.12由e=,得b=1.由双曲线的渐近线为y=±x可知,|OA|2=|OF|2-|AF|2=c2-b2=a2=4,所以|OA|=2.16.6当P不是直角顶点时,P为过焦点与x轴垂直的直线与椭圆的交点,易知这样的点有4个;当P是直角顶点时,点P在以F1F2为直径的圆上,c=,故圆的标准方程为x2+y2=6,联立解得这样的点P有两个.综上所述,共有6个点满意条件.17.解(1)设双曲线C的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则解得所以双曲线C的标准方程为=1.(2)双曲线C的渐近线方程为y=±x.若选①,设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线E的实轴长为2.若选②,设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线E的实轴长为2.18.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点M的横坐标为=2,即x1+x2=4. (1)|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2.故抛物线的标准方程为y2=4x.(2)由(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1,0),故设直线方程为y=k(x-1),k≠0,联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0,则x1+x2==4.解得k=±,故直线l的方程为x±y-=0.19.解(1)由题意可得AM,BM的斜率分别为k1=(x≠-2),k2=(x≠2),由已知得(x≠±2),化简得=1(x≠±2),即曲线C的方程为=1(x≠±2),曲线C是一个双曲线(不包含左、右顶点).(2)联立消去y整理得x2-12x+22=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),Δ=56>0,则x1+x2=12,x1x2=22,|EF|=·|x1-x2|==4.20.解(1)由题意,可得a2=4,b2=3,所以a=2,b=,所以C的四个顶点围成的菱形的面积为×2a×2b=2ab=4.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,Δ=36k2+36(4+3k2)=144(k2+1)>0,则x1+x2=-,x1x2=-,可得|PQ|=.又由点M到直线y=kx+1的距离d=,所以△MPQ的面积S=|PQ|×d=·|5k+1|=,即,解得k=1或k=.21.解(1)易知b=15,a=34-9=25,所以“挞圆”的方程为=1(x≤0)和=1(x≥0). (2)设A(x1,t),B(x2,t)分别是矩形水箱在第一、二象限内的顶点,则可得x2=-x1,所以网箱所占水域面积S=2t(x1-x2)=2t×x1=15×34×2×≤510×=510,当且仅当时,等号成立.故网箱所占水域面积的最大值为510平方米.22.解(1)由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(方法1)依题意,设直线FQ的方程为x=my-c(m>0),则直线FQ的斜率为.由(1)知a=2c,则直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FQ的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+c2+2=2,整理得3m2-4m=0,所以m=(m=0舍去),即直线FQ的斜率为.(方法2)依题意,设直线FQ的斜率为k(k>0),则直线FQ的方程为y=k(x+c).由(1)知a=2c,则直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0.联立解得∴点Q坐标为,由已知|FQ|=c,有+c2+2=c2,整理得4k=3,即k=,即直线FQ的斜率为.。

高二数学曲线和方程测试卷

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确；那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上；有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点；其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的；即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上；易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件；二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”；即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程；曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示；过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ；因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ；所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上；因此方程1=y 不是直线l 的方程；直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程；即满足纯粹性；但以方程的解为坐标的点不都在曲线上；即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =；例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3；但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程；到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”；即满足完备性；而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”；即不满足纯粹性．只有两者全符合；方程才能叫曲线的方程；曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点；求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点；就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解；也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y 得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k )5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ；即2521<<k 时；直线与曲线有两个不同的交点．当0=∆即0)52)(12(=--k k ；即21=k 或25=k 时；直线与曲线有一个交点．当0<∆即0)52)(12(>--k k ；即21<k 或25>k 时；直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时；由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同；所以如果上述一元方程是二次的；便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数；但如果是两个二次曲线相遇；两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同；所以遇到此类问题时；不要盲目套用上例方法；一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点；求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”；从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来；也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==a x y xa y 得：a y a y -=∵0≥y ；∴222)(a y a y -=；即02)1(4322=+--a y a y a ．要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a 又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+．解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线；而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线；由下图可知；当1≤a 时；折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点；当1>a 时；直线与折线的两支都相交；所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二；即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢；请自己探求．典型例题六例 6 已知AOB ∆；其中)0,6(A ；)0,0(O ；)3,0(B ；则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)；对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度；关键是理解三角形内角平分线是一条线段．解：不对；因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ；而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P 坐标适合方程x y =；但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线；要紧扣定义；两个条件缺一不可；关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式；很难判断方程的曲线的形状；因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ；即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线；如图所示：说明：判断方程表示的曲线；在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ；即)1(2)1(2≥+-=x x y ；原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示；已知A 、B 是两个定点；且2=AB ；动点M 到定点A 的距离是4；线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ；求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系；动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出；要从题意中分析找出等量关系．连结PB ；则PB PM =；由此4==+=+AM PM PA PB PA ；即动点P 到两定点A ；B 距离之和为常数．解：过A ；B 两点的直线为x 轴；A ；B 两点的中点O 为坐标原点；建立直角坐标系 ∵2=AB ；∴A ；B 两点坐标分别为)0,1(-；)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ；∴PB PM =；4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ；由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ；化简方程；移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ；即为所求点P 轨迹方程．说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质；找出P 点与两定点A ；B 距离之和为常数4；是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的；且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ；2l ；若1l 交1l 轴于A ；2l 交y 轴于B ；求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ；设()y x M ，；则()02，x A ；()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知 AB PM 21= 即 ()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解；还可以用斜率关系求解；因此本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程．分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲；取两定点A 和B 的连线为x 轴；过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -；)0,(a B ；),(y x P ；则：222)(y a x PA ++=；222)(y a x PB +-=． OA x P yB 图２ M据题意；222k PB PA =-；有[][]22222)()(k y a x y a x =+--++得24k ax =．由于k 是常数；且0≠a ；所以ak x 42=为动点的轨迹方程；即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙；取A 与B 两点连线为x 轴；过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ；)0,(a B ；),(y x P ；则：222y x PA +=；222)(y a x PB +-=．据题意；222k PB PA =-；有()[]22222)(k y a x y x =+--+；得a k a x 222+=；即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=；它是平行于y 轴的一条直线．解法三：如图丙建立坐标系；设),(11y x A ；),(22y x B ；),(y x P ；则21212)()(y y x x PA -+-=；22222)()(y y x x PB -+-=．据题意；222k PB PA =-；有 [][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-；整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ；它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法；可以看到对于同一条直线；在不同的坐标系中；方程不同；适当建立坐标系如解法一、解法二；得到的方程形式简单、特性明显；一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长；若以此为基础研究其他问题；会引起不必要的麻烦．因此；在求曲线方程时；根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外；也要注意到本题所求的是轨迹的方程；在作解答表述时应强调曲线的方程；而不是曲线．典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动；且转动时保持相互垂直；求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系；利用直角三角形的性质；列出动点所满足的等式．解：取直线AB 为x 轴；取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系；则：)0,(a A -；)0,(a B ；P 属于集合{}222AB PB PA P C =+=．设),(y x P ；则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++；化简得222a y x =+．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴；取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系；则：)0,(a A -；)0,(a B ；交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ．设),(y x P ；则a x y k PA +=)(a x -≠；a x y k PB -=)(a x ≠；故1-=-⋅+ax y a x y ；即222a y x =+(a x ±≠)．要知道；当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时；仍有两直线互相垂直；此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时；且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直；此时两直线交点为B ．因而；)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时；即a x ±=时；)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上；故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后；只是形式上的曲线方程；还必须对以方程的解为坐标的点作考察；既要剔除不适合的部分；也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图；ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >；A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动；求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角；A 和B 两点在坐标轴上滑动时；AOB ∠也是直角；由平面几何知识；A 、C 、B 、O 四点共圆；则有AOC ABC ∠=∠；这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ；连结CO ；由︒=∠=∠90AOB ACB ；所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b ABC =∠tan ；x y AOC =∠tan ；有a b x y =；即x a b y =．注意到方程表示的是过原点、斜率为ab 的一条直线；而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动；由于a 、b 为常数；故C 点的轨迹不会是一条直线；而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置；确定C 点坐标的范围．如下图；当点A 与原点重合时；x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121；所以22ba ab x +=．如下图；当点B 与原点重合时；C 点的横坐标BD x =．由射影定理；AB BD BC ⋅=2；即222b a x a +⋅=；有222b a a x +=．由已知b a >；所以22222b a a b a ab+<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）．说明：求出曲线上的点所适合的方程后；只是形式上的曲线方程；还必须对以方程的解为坐标的点作考察；剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ；若1l 交x 轴于A ；2l 交y 轴于B ；M 在线段AB 上；且3:1:=BM AM ；求M 点的轨迹方程．分析：如图；设),(y x M ；题中几何条件是21l l ⊥；在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1；所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系；首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来；而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标；由题可知M 是A 、B 的定比分点；由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系；进而表示出A 、B 两点的坐标；并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ；)0,(a A ；),0(b B∵M 在线段AB 上；且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31；由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ；得⎪⎩⎪⎨⎧==y b x a 434；∴)0,34(x A 、)4,0(y B 又∵)2,3(P ；∴1l 的斜率x k 34321-=；2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥；∴13243432-=--⋅-y x ．化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密；因为1k 需在49≠x 时才能成立；而当49=x 时；)0,3(A ；1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ；可求得)21,49(M ；而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图；已知两点)2,2(-P ；)2,0(Q 以及一直线x y l =：；设长为2的线段AB在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ；题中的几何条件是2=AB ；所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标；便可求出曲线的方程；而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系；显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系；进而表示出A 的坐标；同理便可表示出B 的坐标；问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到）∴422+-+=y x y x a ．由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ．又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ；∴142222=+-+-+-y x y x y x x ．化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标；再根据2=AB 表示出B 点坐标；然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ；),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B 由解法一知422+-+=y x y x a ； ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++．化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ；)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x∴8)1()1(22-=+-+y x ；即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时；直线AP 与BQ 平行；没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法；相对较繁；而后一种方法；事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)；利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标；然后消去参数；这也反映出运动的观点．。

高中数学-双曲线及其标准方程测试题

x2 y2 设所求双曲线方程为 a2－ b2＝ 1( a＞ 0， b＞ 0) ．由 | PM| － | PN| ＝4，得 2a＝ 4， a＝ 2， a2＝ 4.
4
由 | MN| ＝ 20，得
2c
＝
20，
c
＝
10，
c
2
＝
100，
所以
b2＝
c
2
－
a2＝
100－
4
＝
96，故所求方程为
x2 y2 4 － 96＝ 1.
y 轴无交点．令 y＝ 0，得
3
x2 y2 所以双曲线的标准方程为 4 － 12＝ 1.
x2 y2 答案：－＝ 1
4 12
8. 解析：根据题意可知 | PB| ＝ | PA| ＋ r B，
所以 | PB| － | PA| ＝ r B，即 | PB| － | PA| ＝ 4，故点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的一
m＞0，于是焦点都在 x 轴上，故有
4－ m＝ m＋ 2，解得 m＝ 1.
6. 解析：①若 C为椭圆，则
4－ t >0， t － 2>0， 4－ t ≠t － 2，
解得 2＜ t ＜ 4，且 t ≠3. ②若 C为双曲线，则 (4 －t )( t － 2) ＜ 0，所以 t ＞ 4 或 t ＜ 2. ③当 t ＝ 3 时，方程为 x2＋y2＝ 1 表示圆．
答案： D
x2
y2
3. 解析：因为方程 1＋ k－ 1－ k＝1 表示双曲线，
所以有 (1 ＋ k)(1 － k) ＞ 0，解得－ 1＜ k＜ 1. 答案： A
4. 解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，因此只能代表距离 B(5,0) 点近的一支．

高中数学2.5曲线与方程专项测试同步训练

高中数学2.5曲线与方程专项测试同步训练2020.031,椭圆C ：2222b y a x +=1（0>>b a ）的左焦点F 1（－2，0），右准线方程4=x 。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为右准线上任一点，A 为椭圆C 的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，PM t AP = 求实数t 的取值范围；（3）过椭圆左焦点1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，交椭圆的左准线于N 点，O 为坐标原点，且OE ON OD 2=+，求直线l 的方程。

2,已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，标准差为2，则x ，y 的值是 __。

3,己知x 、y 之间的一组数据如下：在线性回归方程bx a y +=ˆ所表示的直线必经过点 __。

4,己知命012:,64:22≥-+-≤-a x x q x p （0>a ），若非p 是q 的充分不必要条件；求a 的取值范围。

5,如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则点P 的轨迹是 _。

6,已知函数cx bx ax x f ++=23)( 其中*,,N c b a ∈。

(1) 试用c b a ,,表示'(1)f ；(2) 如果符合'(1)16f =的每个函数)(x f 都等可能地出现，求在其中取一个函数)(x f 满足a b c ++为奇数的概率。

7,如图所示，在棱长为2的正方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 上的动点，且AE=BF 。

（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）当O 1B ⊥EF 时，求点B 到平面B 1EF 的距离；（3）在（2）的条件下，若M 为棱BB 1上的一点，且O 1M ⊥平面B 1EF 。

试定出点M 的位置，并说明理由。

8,若双曲线191622=-y x 上一点P 到其左、右焦点的距离之比是1：3，则点P到右准线的距离是 __。

2020年高中数学专题测试 56曲线与方程

56曲线与方程一、基础训练1．已知等腰三角形ABC的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则另一个端点C的轨迹方程是．2．已知点A(-2,0)，B(3,0)，动点P(x,y)满足P A⋅PB=x2，则点P的轨迹方程是．3．方程x+y=1表示的曲线是．4．（2011广东卷）设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心的轨迹方程为．5．过椭圆x2y2+a2b2=1（a>b>0）上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN的中点的轨迹方程是．6．坐标平面上有两个定点A,B和动点P，如果直线P A,PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：○1椭圆；○2双曲线；○3抛物线；○4圆；○5直线．试将正确的序号填在横线上：．7．已知A(0,7)，B(0,-7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A,B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是．8．已知两点P(-2,2)，A(2,2)，动直线l过A，直线PM垂直l，交l于点M，则PM的中点轨迹方程是．二、例题精讲例1．已知∆ABC中，∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c，且a>c，a,c,b成等差数列，AB=2，求顶点C的轨迹方程．例2．∆ABC的顶点A固定，点A的的对边BC=2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求∆ABC外心的轨迹方程．（（（例 3．设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 P A, PB ，且与抛物线 C 分别相切于 A, B 两点．求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程．例 4．平面内与两定点 A (-a,0) ，A (a,0)（ a > 0 ）连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加上 A , A121 2两点所称的曲线 C 可以使圆、椭圆或双曲线．（1）求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系；（2）当 m = -1时，对应的曲线为 C ；对给定的 m ∈ (-1,0)(0, +∞) ，对应的曲线为 C ．设 F , F 是 C1212 2的两个焦点，试问：在C 上，是否存在点 N ，使得 ∆F NF 的面积 S = m a 2 ．若存在，求 t an ∠F NF 的 1 1212值；若不存在，请说明理由．三、巩固练习1．已知 A(1,0) ， B(-1,0) ，动点 M 满足 MA - MB = 2 ，则点 M 的轨迹方程是．2．已知点 A(-1,0) ， B(1,0) ，动点 C 满足 ∆ABC 的周长为 2 + 2 2 ，则动点 C 的轨迹方程为．3．在直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2) 与动点 P( x , y) 满足 OP ⋅ O A = 4 ，则点 P 的轨迹方程是．4．（2011 北京卷）曲线 C 是平面内与两个定点 F (-1,0) 和 F (1,0) 的距离的积等于常数 a 2（ a > 1 ）的点 1 2的轨迹，给出下列三个结论：○1 曲线 C 过坐标原点； ○2 曲线 C 关于坐标原点对称；○3 若点 P 在曲线C 上，则 ∆F PF 的面积不大于 1 2 1 2a 2．其中，所有正确的序号是．四、要点回顾1．理解轨迹的概念，能够根据所给条件选择恰当的直角坐标系，求出轨迹曲线的方程．求轨迹方程的基本步骤是：（1）建立适当地直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标是 ( x , y) ；（2）寻找动点与已知点满足的关系式；（3）将动点与已知点坐标代入；（4）化简整理方程；（5）证明所得方程为所求曲线的方程．通常求轨迹方程时，步骤（2）和（5）可以省略不写，但应注明轨迹方程中变量的限制条件． 2．求轨迹方程的常用方法： 1）直接法； 2）相关点法； 3）参数法．特别地应会用圆锥曲线的定义求轨迹方程．2 ，则动点 P 的轨迹方程2曲线与方程作业1．方程 4 x 2 - y 2 + 4 x + 2 y = 0 表示的曲线是．2．到两坐标轴距离相等的点的轨迹是．3 ．自圆外一点 P 作圆 x 2+ y 2= 1 的两条切线 PM 和 PN ，若 ∠MPN =π是．4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与 A(-1,1)关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 - 1 3，则动点 P 的轨迹方程为．5．与圆 x 2 + y 2 - 4 x = 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．6 ．已知 ∆ABC 的顶点为 A(-5,0) , B(5,0) , ∆ABC 的内切圆圆心在直线 x = 3 上 ,则顶点 C 的轨迹方程是．7．已知点 A, B 分别是射线 l : y = x （ x ≥ 0 ），l ： y = - x （ x ≥ 0 ）上的动点，O 为坐标原点，且 ∆OAB 12的面积为定值 2，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．8．设 A , A 是椭圆 1 2 x 2 y 2 + a b 2= 1 （ a > b > 0 ）长轴的左、右端点， P , P 是垂直于 A A 的弦的端点，求直1 2 1 2线 A P 与 A P 的交点 P 的轨迹方程．1 12 29．如图， P 是抛物线 C ： y =12x 2 上的一点，直线l 过点 P ，且与抛物线C 交于另一点 Q ．若直线l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程．a 2b 210．（2011 天津卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P( a , b ) （ a > b > 0 ）为动点， F ， F 分别为椭圆1 2x 2 y 2+ = 1 （ a > b > 0 ）的左、右焦点．已知 ∆F PF 为等腰三角形．1 2（1）求椭圆的离心率 e ；（2）设直线 PF 与椭圆相交于 A, B 两点， M 是直线 PF 上的点，满足 AM ⋅ BM = -2 ，求点 M 的轨迹22方程．。

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2015年高中数学《曲线与方程》自测试题【梳理自测】一、曲线与方程1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是( )A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线C．两个点 D．以上答案都不对答案：1.C 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、直接法求轨迹方程1．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM→·PN→＝0，则P点的轨迹是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足AP→·BP→＝x2－6，则P点的轨迹方程是________．3．过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为________．答案：1.A 2.y2＝x 3.x24＋y2＝1◆以上题目主要考查了以下内容：(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．②写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．③用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.④化方程f(x，y)＝0为最简形式．⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(2)两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．【指点迷津】1．一个核心问题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题．2．二个检验方向求出轨迹方程后，从两个方面检验①曲线上所有点的坐标都适合方程；②方程的解表示的点都是曲线上的点．3．五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．考向一直接法求轨迹方程例题1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．【审题视点】首先设出点P 坐标为(x ，y )，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点P 的轨迹方程．【典例精讲】设点P (x ，y )，则MP →＝(x ＋1，y )，NP →＝(x －1，y )，MN →＝(2,0)．故MP →·MN →＝2(x ＋1)， PM →·PN →＝MP →·NP →＝(x ＋1)×(x －1)＋y 2＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝－2(x －1)＝2(1－x )．∵MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，∴2(x 2＋y 2－1)＝2(x ＋1)＋2(1－x )．且NM →·NP →－MP →·MN →＝2(1－x )－2(x ＋1)＝－4x ＜0，整理得x 2＋y 2＝3(x ＞0)．故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ＞0)．【类题通法】运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．变式训练1．如图所示，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．解析：设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，FP →＝(x －1，y )，QP →＝(x ＋1,0)，QF →＝(2，－y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .考向二用定义法求轨迹方程例题2已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．【审题视点】由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程．【典例精讲】如图，连接PA ，依题意可知|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1.∴P 点轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆．其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【类题通法】在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．变式训练2．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：如图，设动圆半径为r . |MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋3，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 到两定点C 2、C 1的距离的差是常数2，且小于|C 1C 2|＝6. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．考向三相关点(代入)法求轨迹例题3 设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．【审题视点】设N (x 1，y )，M (x 0,0)，P (0，y 0)，由已知条件，建立x 0，y 0与x ，y 之间的关系：用x 、y 表示x 0及y 0代入x 0与y 0的关系式．【典例精讲】设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－x y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【类题通法】 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎨⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．变式训练3．已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．解析：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎨⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 20－1.∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，整理得y ＝9x 2＋12x ＋3. ∴△ABC 重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.求曲线方程的规范解答典型例题 (2014·山东高考专家原创卷)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．【审题视点】根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求Q 点轨迹方程．【思维流程】代入法求P .利用离心率的定义及a 、b 、c 之间的关系，求a 与b ，写椭圆方程．设Q 点，进而设P 点，并转换两点坐标．把Q 、P 点坐标代入已知等式，并整理方程．根据x 2的系数为正数、负数、零讨论曲线特征．【规范解答】 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2………………2分所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1.又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.……………………6分 (2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]，设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2，故x 2＋3－34x2x 2＋y 2＝λ2，……………… 得⎝⎛⎭⎪⎫λ2－14x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2].9分 ……………………当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；当λ2＜14，即0＜λ＜12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；11分当λ2＞14，即λ＞12时，得到x23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分.………………12分【规范建议】 (1)在第(1)问中要有代入过程及求解a 、b 的过程． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．真题体验1．(2013·高考全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.2．(2013·高考陕西卷)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率. 解析：(1)如图①，①设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：②由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，如图②.将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k 2)－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k2.②又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32. 方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图②.∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 取立①②③④，解得⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m 的斜率为－32或32.======*以上是由明师教育编辑整理======。