第10章(2)层板强度理论
第10章(1)层合板刚度理论
(10-13)
因为层合板每层的 Qij 可以是不同的，即使沿层合板厚度的应变变化是线性的， 其应力变化未必是线性的。典型的应变和应力变化示于图10—2中。
层合板
应变变化
特性模型
应力变化
图10-2 假定的沿层合板厚度的应变和应力变化
第10章 层合板的宏观力学性能 10.1.3 层合板的合力和合力矩
作用于层合板上的合力和合力矩是由沿着层合板厚度对各单 层上的应力积分而得到的，例如:
(10-16)
Q Q Q Q Q Q
12 22 26
0 kx 16 x Zk Z k 2 0 zdz k Z y y z dz Z k 1 26 k 1 0 k xy xy 66 k
t 2 t 2
t 2 t 2
N x x dz
M x x zdz
(10-14)
实际上，N x 是层合板横截面单位长度（或宽度）上的力，如图 10-3所示。 同样，M x 是单位长度上的力矩，如图10-4所示。
图10-3 层合平板的平面力
图10-4 层合平板的力矩
第10章 层合板的宏观力学性能
Et 1 v A66 A 2(1 v) 2
Et 3 1 v D66 D 24(1 v) 2
10.2.1单层结构
因此，合力仅仅与层合板中面内的应变有关，而合力矩则 仅仅与中面的曲率有关：
Nx A vA 0 0 N y vA A N 0 0 1 v xy 2
Aij Q Z k Z k 1 ij k 1 k
式中：
N
1 N 2 2 Bij Q Z k Z k 1 2 k 1 ij k
强度度效果论
强度度效果论
第一强度理论又称为最大拉应力理论，其表述是材料发生断裂是由最大拉应力引起，即最大拉应力达到某一极限值时材料发生断裂。
在简单拉伸试验中，三个主应力有两个是零，最大主应力就是试件横截面上该点的应力，当这个应力达到材料的极限强度时，试件就断裂。
第二强度理论又称最大伸长应变理论。
它是根据J。
-V。
彭赛列的最大应变理论改进而成的。
主要适用于脆性材料。
它假定，无论材料内一点的应力状态如何，只要材料内该点的最大伸长应变ε达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极限值ε，材料就发生断裂破坏，其破坏条件为：
第三强度理论又称最大剪应力理论或特雷斯卡屈服准则。
法国的C。
-A。
de库仑于1773年，H。
特雷斯卡于1868年分别提出和研究过这一理论。
该理论假定，最大剪应力是引起材料屈服的原因，即不论在什么样的应力状态下，只要材料内某处的最大剪应力τ达到了单向拉伸屈服时剪应力的极限值τ，材料就在该处出现显着塑性变形或屈服。
第四强度理论又称最大形状改变比能理论。
它是波兰的M。
T。
胡贝尔于1904年从总应变能理论改进而来的。
德国的R。
von米泽斯于1913年，美国的H。
亨奇于1925年都对这一理论作过进一步的研究和阐述。
强度理论的概念42页PPT
s r1 = s 1
(最大拉应力理论)
sr2= s1- ns2+ s3 （最大伸长线应变理论）
s r3 = s 1 - s 3
(最大剪应力理论)
sr4 =
1 2
(s1
-s2)2
+(s2
-s3)2
+(s3
-s1)2
(形状改变比能理论)
强度条件的一般形式 sr ≤ [ s ]
（四）平面应力状态特例
例题2
P
P=200kN
2、几点讨论
首先 ,要区分一点失效与构件失效
P
P
s
=
P A
P
P
一点失效即构件失效
T
ρ
τρ τmax
一点失效并不 意味构件失效
其次,根据许用拉应力可以求得许用剪应力 。 纯剪： 纯剪应力状态的主应力： 根据形状改变比能理论：
所以：
最后，要注意强度设计的全过程
要确定构件危险状态、危险截面、 危险点，危险点的应力状态。
n
=s
适用范围：塑性材料屈服破坏；一般材料三向压。
2. 形状改变比能理论 (Mises’s Criterion)
（第四强度理论，20世纪初，Mises）
无论材料处于什么应力状态，只要形状 改变比能达到极限值，就发生屈服破坏。
s2
s3
s1
nss ss ss u f= 1 6 + E (1 -2 )2+ (2-3 )2+ (3-1 )2
破坏原因：stmax （最大拉应力）
破坏条件：s1 = so （sb）
强度条件:
s1
sb
n
= s
适用范围: 脆性材料拉、扭； 一般材料三向拉；
四种强度理论
四种强度理论 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020由于材料的破坏按其物理本质分为脆断和屈服两类形式，所以，强度理论也就相应地分为两类，下面就来介绍目前常用的四个强度理论。
1、最大拉应力理论：这一理论又称为第一强度理论。
这一理论认为破坏主因是最大拉应力。
不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应力达到单向拉伸时的强度极限，即断裂。
破坏形式：断裂。
破坏条件：σ1 =σb强度条件：σ1≤[σ]实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
缺点：未考虑其他两主应力。
使用范围：适用脆性材料受拉。
如铸铁拉伸，扭转。
2、最大伸长线应变理论这一理论又称为第二强度理论。
这一理论认为破坏主因是最大伸长线应变。
不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应变达到单向拉伸时的极限值，即断裂。
破坏假设：最大伸长应变达到简单拉伸的极限(假定直到发生断裂仍可用胡克定律计算)。
破坏形式：断裂。
脆断破坏条件：ε1= εu=σb/Eε1=1/E[σ1−μ (σ2+σ3)]破坏条件：σ1−μ(σ2+σ3) = σb强度条件：σ1−μ(σ2+σ3)≤[σ]实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。
但是，其实验结果只与很少的材料吻合，因此已经很少使用。
缺点：不能广泛解释脆断破坏一般规律。
使用范围：适于石料、混凝土轴向受压的情况。
3、最大切应力理论：这一理论又称为第三强度理论。
这一理论认为破坏主因是最大切应力maxτ。
不论复杂、简单的应力状态，只要最大切应力达到单向拉伸时的极限切应力值，即屈服。
破坏假设：复杂应力状态危险标志最大切应力达到该材料简单拉、压时切应力极限。
破坏形式：屈服。
破坏因素：最大切应力。
τmax=τu=σs/2屈服破坏条件：τmax=1/2(σ1−σ3 )破坏条件：σ1−σ3= σs强度条件：σ1−σ3≤[σ]实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的现象。
材料学 强度理论
σ3
[σt ] 2
O3O2
σ1
2
σ3
[σc ] 2
M´
[c]
L´ T´ [t]
1
代入 O1N O3O1 O2F O3O2
强度条件
1
[ [
t c
]
]
3
[ t ]
三、 各种强度理论的适用范围及其应用（The appliance range and application for all failure criteria）
阿托?莫尔(O.Mohr),1835～1918
二、莫尔强度理论（Mohr’s failure criterion）
任意一点的应力圆若与极限曲线
M
L
相接触,则材料即将屈服或剪断.
F N
公式推导
O2 O O1
T
O3
O1 N
[σt ] 2
σ1
σ3 2
O2F
[σc ] 2
σ1
σ3 2
O3O1
σ1
2
基本假说:最大伸长线应变1 是引起材料脆断破坏的因素.
脆断破坏的条件:
1
σb E
最大伸长线应变:
1
1 E [σ1
(σ2
σ3 )]
强度条件:
σ1 (σ2 σ3 ) [σ]
五、第二类强度理论
（The second types of failure criterion）
1.最大切应力理论 （第三强度理论）
（3）单元体（c）
σ1 80MPa σ2 -70MPa σ3 -140MPa
70 MPa
σr3 220MPa σr4 195MPa
（4）单元体（d）
140 MPa
强度理论
s x s y
2
1 2
s
x
2 s y 4t xy 2
s1＝29.28 MPa, s2＝3.72 MPa, s3＝0
1 2
s
x
s y 4t
2
2 xy
smax= s1< [s] = 30 MPa
结论：强度是安全的。
强度理论
例 某结构危险点的应力状态如图所示，其中s＝120MPa， t=60MPa。材料为钢，许用应力[s]=170MPa，试校核此结构是 否安全。
解：
s t
钢材在这种应力状态下会发 生屈服失效，故可采用第三和第 四强度理论作强度计算。两种理 论的相当应力分别为：
s r 3 s 2 4t 2 169 .7 MPa
s r 4 s 3t 158.7MPa
2 2
两者均小于 [s]=170MPa 。可见，无论采用第三或是 第四强度理论进行强度校核，该结构都是安全的。
第二强度理论。
4、塑性材料（除三轴拉伸外），宜采用形状改变比能理 论（第四强度理论）和最大剪应力理论（第三强度理论）。
对于大多数韧性材料在一般应力状态下发生塑性屈服；
对于大多数脆性材料在一般应力状态下发生脆性断裂； 要注意例外。
强度准则的统一形式： s [s ] r
sr
• 相当应力equivalent stress
τ
A、 2t s
B、 3t
s C、 t s
3t D、 s 3
s r1 s 1 s s (s s ) r2 1 2 3 s r 3 s 1 s 3 s 1 [(s s ) 2 (s s ) 2 (s s ) 2 ] r4 1 2 2 3 3 1 2
强度理论Word
§10.5 强度理论一、 强度理论的概念强度理论是研究材料在复杂应力条件下强度失效的原因和失效条件的理论。
在前面的章节中，分别介绍了杆件在基本变形时的强度条件，如杆件在轴向拉、压时处于单向应力状态，其强度条件为[]max max N A σσ=≤式中许用应力[σ]是通过拉伸实验得出材料的极限应力再除以安全系数获得的。
圆轴扭转时，材料处于纯剪应力状态状态，其强度条件为[]max max t T W ττ=≤式中许用应力[τ]也是直接通过实验得出材料的极限应力再除以安全系数获得的。
梁横力弯曲时基于最大正应力作用点和基于最大切应力作用点的强度条件也是直接通过实验建立的。
但是，由于工程构件或元件所处的应力状态是多种多样的。
在复杂应力状态下，判断材料失效仅仅通过实验和这些简单应力状态下建立的强度条件是远远不够的。
人们在长期的生产实践中，综合分析材料强度的失效现象，提出了各种不同的假说。
各种假说尽管各有差异，但它们都认为：材料之所以按某种方式失效(屈服或断裂)，是由于应力、应变或应变能密度等诸因素中的某一因素引起的。
按照这种假说，无论单向或复杂应力状态，造成失效的原因是相同的。
所以可将简单应力状态的实验结果，与复杂应力状态的下材料的破坏联系起来，从而建立了强度理论。
二、 材料破坏的两种基本形式综合分析材料破坏现象，可以认为构件由于强度不足将引起两种破坏形式：（1）脆性断裂：材料破坏前无明显的塑性变形，断裂面粗糙，且多发生在最大正应力作用面上，如铸铁受拉和受扭时的破坏，均属于脆性断裂。
（2）塑性屈服（流动）：材料破坏前发生较大的塑性变形，破坏面较光滑，且多发生在最大剪应力作用面上，如低碳钢受拉和受扭时的破坏便属于这类破坏。
三、 工程中常用的几个强度理论1．最大拉应力理论(第一强度理论)该理论认为最大拉应力是引起断裂破坏的主要原因。
即认为不论材料处于简单应力状态还是复杂应力状态，引起材料破坏的原因是它的最大拉应力σ1达到某一极限值，材料就发生断裂。
《强度理论 》课件
CATALOGUE
目录
强度理论概述强度理论的类型强度理论的计算方法强度理论的应用实例强度理论的未来发展
01
强度理论概述
机械工程
用于飞机、火箭等复杂结构的强度分析。
航空航天
土木工程
材料科学
01
02
04
03
用于研究材料的力学性能和失效机制。
用于设计和分析机械零件、结构件等。
总结词
03
强度理论的计算方法
静力计算方法是强度理论中常用的一种方法，主要用于分析结构在静力载荷作用下的响应。
静力计算方法概述
基于牛顿第二定律和弹性力学的基本原理，通过建立平衡方程和应力应变关系来求解结构的内力和位移。
基本原理
适用于分析结构在静力载荷作用建筑结构的强度分析是确保建筑物安全的重要环节，通过强度理论的运用，对建筑物的各个组成部分进行受力分析、稳定性评估和抗震性能研究。
总结词
在建筑结构的强度分析中，强度理论同样发挥了重要作用。通过对建筑物的梁、柱、板等各个组成部分进行受力分析，了解其在各种工况下的应力分布和承载能力。同时，结合建筑物的功能需求和地理环境，对建筑物的稳定性、抗震性能等进行评估。通过合理的强度分析，可以有效地避免建筑物在自然灾害或意外事故中发生倒塌或损坏，保障人们的生命财产安全。
详细描述
第二强度理论认为，材料在受到外力作用时，其破坏是由于最大剪应力达到材料屈服极限所引起的。当最大剪应力达到材料的屈服极限时，材料发生屈服破坏，即丧失了承载能力。
VS
形状改变比能达到材料屈服极限时发生屈服破坏。
详细描述
第三强度理论认为，材料在受到外力作用时，其破坏是由于形状改变比能达到材料屈服极限所引起的。当形状改变比能达到材料的屈服极限时，材料发生屈服破坏，即丧失了承载能力。
第十章 强度理论
坏的条件是1=u= b
强度条件： 1≤[] （10-1）
该理论可以解释铸铁等脆性材料在轴向拉伸时断面为横截面，在扭 。 转时的断面为45 螺旋面，因为这些面都是最大拉应力所在平面， 这些破坏现象与该理论相符合。 缺点： (1)只考虑1、而未考虑2 、3对材料发生脆断的影响；
2 .7 6 8 1 0 m m
6 3
(kN.m)
m ax
m ax
FS , m ax S z ,m ax dI z
6 2 5 1 0 2 .7 6 8 1 0
3
3
10 10
3
2041 10
6
c
6 8 4 .8 1 0 P a 8 4 .8 M P a 1 0 0 M P a
s s
u
2
s
按此理论，材料发生屈服破坏的条件是
又 m ax
1 3
2
m ax u
s
2
1 3＝ s 屈雷斯卡（Tresca）
屈服准则
强度条件：
1－ 3
（10-3）
注意：该理论只适用于拉、压屈服极限相同的塑性材料
2. 形状改变能密度理论(或称第四强度理论) 该理论假设：形状改变能密度nd是引起材料屈服的主要因素。即 不论材料处于何种应力状态，只要单元体中的形状改变能密度nd 达到了材料的极限形状改变能密度ndu，材料就会发生屈服破坏， 同样，材料的极限形状改变能密度ndu由单向拉伸试验测定。 形状改变能密度： P260（13-7）式
工程力学中四大强度理论
为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容。
一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
强度理论课件
第三强度理论考虑了等效应力和等效应变的影响，认为当材料受到的等效应力或等效应变超过其等效 应力或等效应变极限时，材料会发生断裂。这种理论适用于各种类型的材料，包括脆性和塑性材料。
第四强度理论
总结词
基于形状改变比能或最大剪切应变能，当材料受到的形状改变比能或剪切应变能超过其形状改变比能极限或剪切 应变能极限时，材料发生断裂。
详细描述
第四强度理论考虑了形状改变比能和剪切应变能的影响，认为当材料受到的形状改变比能或剪切应变能超过其形 状改变比能极限或剪切应变能极限时，材料会发生断裂。这种理论适用于各种类型的材料，包括脆性和塑性材料 。
03
强度理论的计算方法
弹性力学方法
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下的应力、应变和位移 的学科。在强度理论中，弹性力学方法通过建立物体的应力应变关系，推导出强度准则，用于评估结构在不同外力作用 下的稳定性。
非线性或复杂环境下的应用还存在局限性。
参数确定困难
02
强度理论中的一些参数，如材料的弹性模量、屈服强度等，在
实际应用中往往难以准确测定。
忽略微观结构影响
03
强度理论通常基于宏观尺度，忽略了材料的微观结构和缺陷对
强度的影响。
强度理论的发展趋势
多尺度分析
随着计算技术的发展，强度理论正朝着多尺度方向发展，以综合考 虑微观、细观和宏观尺度对材料强度的影响。
弹性力学方法基于连续介质力学的基本原理，通过求解微分 方程或积分方程来获得物体的应力分布和位移场，进而分析 结构的强度和稳定性。
有限元方法
有限元方法是数值分析中的一种方法，通过将连续的物体 离散化为有限个小的单元（如三角形、四边形等），然后 对每个单元进行求解，最后将所有单元的解组合起来得到 整个物体的解。
单层板强度理论
1 tm 3 cm
max m
U y U ym
而对于各向异性材料, 其强度亦是各向异性的, 各向同性强度理论不再简单适用!
※正交各向异性单层的材料的强度理论(续)
在各向异性材料中, 材料是否安全还取决于 应力(或应变)与材料主轴的相对方向
第四章（II） 单层复合材料的强度理论
强度是材料承受外载时抵抗破坏的能力 本节要解决的问题是，当已知承载单层 板各处的应力应变等量，如何确定该单 层板在该载荷下足够结实（或安全）
※各向同性材料的强度理论
1. 最大正应力理论
(认为材料是被拉断或是压坏的,采用应力度量)
1 2 3
安全准则:
12
1 2
2 2
•当拉压相同情形, 可以退化到Hill-蔡理论 •压缩强度Xc, Yc取正值
4. 蔡-吴张量理论
Hoffman理论 参数取值不唯一，5个实验不能确定6个系数 2 2 Yc Yt 12 1 2 2 X c X t 12 1 2 2 1 X t X c X t X c YYc Xt Xc YYc S t t
不同材料适用不同的强度理论, 没有一个通 用的强度理论!
※正交各向异性单层的材料的强度理论
可以简单地把各向同性的强度理论用到 正交各向异性的材料中吗?为什么?
※正交各向异性单层的材料的强度理论(续)
对于各向同性材料, 其强度是各向同性的
1)最大正应力理论 2) 最大线应变理论 3) 最大剪应力理论 4) 最大歪形能理论
2 2 G H 12 F H 2 F G 3
2H 1 2 2G 1 3 2F 2 3
第10章(2)层板强度理论
(10.3.35)
也是由三条曲线组成，与式(10.3.34)不同的是第1式和第3 式计入了泊松比的影响，当单层泊松比较小时．这三条曲线 与式(10.3. 34)表示的三条曲线非常接近。
§10.3单层合板的强度理论
对于蔡-希尔失效判据，单层失效时的拉伸强度为
Fx 1 cos
4 2
(
1 S
2
F11 L F 22 T 2 F12 L T F66 LT F1 L F2 T 1
2 2 2
（10.3.17）
1 Yc
式中
F11
1 XtXc
F 22
1 YtYc
F 66
1 S
2
F1
1 Xt
1 Xc
F2
1 Yt
6 12
这就是蔡-吴张量失效判据的表达式。式中的F11，F22，F12，F66， F1和F2是与单层基本强度有关的6个强度参数，除F12之外，其他 都可以通过单层的简单试验来确定。
L T LT
2 cos 2 sin sin cos
x
）(10.3.33）
图10-14 偏离材料主方向的单层拉伸试验
§10.3单层合板的强度理论
假设破坏时单层偏离材料主方向的拉伸强度为Fx，表示为σx 的极限强度。对于最大应力失效判据，单层失效时的拉伸强度 Fx为θ的函数，由（10.3.33）可知可用三个式子表示，即
§10.3单层合板的强度理论
1.最大应力失效判据 单层最大应力失效判据认为，在复杂应力状态下，单层材料 主方向的三个应力分量中，任何一个达到该方向的基本强度时， 单层失效。该失效判据的表达式为
强 度 理 论
强度理论
1.1 简单应力状态下的强度条件 1. 单向应力状态下的强度条件
单向拉伸(压缩)，梁受弯曲时上、下表面的应力状 态，都是单向应力状态。
若是塑性材料，其失效准则是应力达到屈服极 限σs发生流动。
强度条件是 若是脆性材料，其失效准则是应 力达到强度极限σb发生断裂。
强度条件是
强度理论
强度理论
不论哪种强度理论都不能 适用于所有材料，所以强度理 论的提出和完善，有待于材料 科学的研究成果。
强度理论
1.3 常用的四种强度理论 1. 最大拉应力理论(第一强度理论
依据：铸铁、石料等材料单向拉伸时的断裂面垂直 于最大拉应力。
理论假设：最大拉应力是引起材料破坏的主要原 因。即无论材料处在何种应力状态下，只要最大拉应力σ1 达到材料单向拉伸断裂时的强度σb，材料即发生脆性断裂。
强度理论
强度理论
图9-18
工程力学
强度条件 （9-33）
适用条件：铸铁、石料、混凝土等脆性材料，处于以受压 为主的应力状态时。
强度理论
3. 最大切应力理论(第三强度理论)
依据：低碳钢等塑性材料单向拉伸屈服时，沿最大切应力所 在的45°斜面滑移，三向等值拉、压时材料不发生屈服。
理论假设：最大切应力是引起材料屈服的主要原因。即无 论材料处于何种应力状态下，只要最大切应力τmax达到材料单向 拉伸屈服时的最大切应力τu，材料即发生塑性屈服，即
理论假设：形状改变比能是引起材料屈服的 主要原因。即无论材料处于何种应力状态，只要形状 改变比能ud，达到材料单向拉伸屈服时的形状改变比 能udu，材料即发生屈服。即
强度理论
适用条件：金属等塑性材料误差在5％以内，比最大切应 力理论更接近实验结果。其缺陷仍然只适用于拉、压屈服强 度相等的材料。
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2 F 22 Y t F 2 X t 1 2 F 22 Y c F 2 X c 1
(10.3.19)
对单层进行面内纯剪切破坏试验，由式（10.3.17）可得
F66 S
2
1
(10.3.20)
§10.3单层合板的强度理论
对式（10.3.18）和式（10.3.19）的两式分别联立求解，便可得 到蔡-吴张量失效判据的强度参数为
c
T
2
X
c
Xt
YtYc
YtYc
L
Yc Yt YtYc
LT
2
S
2
1
（10.3.12）
式中，σL和σT的一次项体现了单层拉压强度不相等对材料破 坏的影响。显然，当拉亚强度相等时，该式就化为蔡-希尔失 效判据式。
§10.3单层合板的强度理论
5．蔡-吴（Tsai-Wu）张量失效判据 单层的蔡-吴失效准则可表示如下：
（10.3.6）
再经过三个正交平面内的纯剪切破坏实验，有τ23=S23，τ31=S31， τ12=S12，由式（10.3.5）可得
L M N 1 2 S 23 1 2 S 31 1 2 S 12
2 2 2
(10.3.7)
§10.3单层合板的强度理论
联立求解式（10.3.6）可得
XtXc 1 F 22 YtYc 1 1 F1 Xt Xc 1 1 F2 Yt Yc F11 1
（10.3.21）
由式（10.3.20）可直接得
F 66 1 S
2
(10.3.22)
§10.3单层合板的强度理论
由式（10.3.21）可以看出，对拉压强度相等的材料，F1=F2=0， 式（10.3.17）中没有σL和σT的一次项，形式上和-希尔失效判据 式相同。 式（10.3. 17）中的强度参数F12，一般只能通过σL和σT成某一比 例的双向拉伸或压缩破坏试验获得。这里采取σL=σT=σ的双向等轴 拉伸试验，假设单层破坏时的应力σ=σcr（见图10-13），由式 （10.3.17）可得
§10.3单层合板的强度理论
§10.3.3强度失效判据的比较 验证强度失效列据准确性的最简单实验是偏离材料主方向的单 层拉伸实验，这种实验通常是采用单向合板条试件进行的，如 图10-14所示 由式（9-13）将Oxy坐标下的应力 转换成材料主方向OLT坐标下的应力， OX轴与OL轴的夹角为θ，则有
图10-13双向等轴拉伸示意图
§10.3单层合板的强度理论
( F11 F 22 2 F12 ) cr ( F1 F 2 ) cr 1
2
（10.3.23）
代入式（10.3.21）的F11，F22，F1和F2，可得
F12 1 2 cr
2
[1 (
1 Xt
1 X
c
1 Yt
F11 L F 22 T 2 F12 L T F66 LT F1 L F2 T 1
2 2 2
（10.3.17）
1 Yc
式中
F11
1 XtXc
F 22
1 YtYc
F 66
1 S
2
F1
1 Xt
1 Xc
F2
1 Yt
6 12
这就是蔡-吴张量失效判据的表达式。式中的F11，F22，F12，F66， F1和F2是与单层基本强度有关的6个强度参数，除F12之外，其他 都可以通过单层的简单试验来确定。
Lt
Xt
(10.3.3)
于是单层最大应变失效判据也可以用应力来表示，即
X
c
L
Yc T
LT S
LT T X t TL T Y t
(10.3.4)
§10.3单层合板的强度理论
3、蔡－希尔（ Tsai-Hill)失效判据
L T LT
2 cos 2 sin sin cos
x
）(10.3.33）
图10-14 偏离材料主方向的单层拉伸试验
§10.3单层合板的强度理论
假设破坏时单层偏离材料主方向的拉伸强度为Fx，表示为σx 的极限强度。对于最大应力失效判据，单层失效时的拉伸强度 Fx为θ的函数，由（10.3.33）可知可用三个式子表示，即
第10章 层合板的宏观力学性能
——复合材料单层板的强度理论
§10.3单层合板的强度理论 单层板的强度理论
复合材料单层的基本强度是计算层合板强度的基础， 单层应力状态分析
单层的强度分析包括：
单层基本强度
单层的强度失效判据
第10章 层合板的宏观力学性能
§10.3.1 单层的基本强度 单层的4个工程弹性常数（EL，ET，VL，GLT）和5个基 本强度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般统称为复合材料的9个 工程常数。 §10.3.2 单层的强度失效准则 复合材料的强度失效判据的研究历史很长，其强度失效 的判据有多种不同的形式，这里主要介绍几种常用的失效判 据。 单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平面 应力状态下是否失效的准则。
(10.3.2)
由于单层的应力-应变关系一直到破坏都是线性的，所以式 (10.3.2)中的极限应变可以用相应的基本强度来表示，即
§10.3单层合板的强度理论
EL Xc Lc EL Yt Tt ET Yc Tc ET S LTs G LT
§10.3单层合板的强度理论
1.最大应力失效判据 单层最大应力失效判据认为，在复杂应力状态下，单层材料 主方向的三个应力分量中，任何一个达到该方向的基本强度时， 单层失效。该失效判据的表达式为
Xc Yc
L L
LT S
Xt Yt
（10.3.1）
2 cos Y Fx 2 sin S Fx sin cos Fx Xt
(10.3.34)
由三条曲线组成。
§10.3单层合板的强度理论
对于最大应变失效判据，单层失效时的拉伸强度的三个公 式为
2 2 cos LT sin Y Fx 2 2 sin LT cos S Fx sin cos Fx Xt
(10.3.35)
也是由三条曲线组成，与式(10.3.34)不同的是第1式和第3 式计入了泊松比的影响，当单层泊松比较小时．这三条曲线 与式(10.3. 34)表示的三条曲线非常接近。
§10.3单层合板的强度理论
对于蔡-希尔失效判据，单层失效时的拉伸强度为
Fx 1 cos
4 2
(
1 S
2
(10.3.10)
§10.3单层合板的强度理论
代入式（10.3.9），可得
X
2 L 2
L T
X
2
T
Y
2
2
LT
2
S
2
1
（10.3.11）
式（10.3.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据 综合了单层材料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破 坏的影响，尤其是记入了σLσT的相互作用，因此在工程中应用 较多。从式(10.3.11)的推导过程可知．蔡—希尔失效判据原则 上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是通常复合 材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式(10.3.11)中 的基本强度X和y与所受的正应力σL和σT一致。如果正应力σL 为拉伸应力时，则X取Xt，，若σL是压应力时，则X取Xc。
§10.3单层合板的强度理论
对单层进行纵向拉伸和压缩破坏试验，由式（10.3.17）可得
2 时， F11 X t F1 X t 1 2 当压缩破坏时， F11 X c F1 X c 1
当拉伸破坏
(10.3.18)
对单层进行横向拉伸和压缩破坏试验，由式（10.3.17）
蔡-希尔失效判据是各向同性材料的冯•米塞斯(Von.Mises) 屈服失效判据在正交各向异性材料中的推广。希尔假设了正交 各向异性材料的失效判据具有类似于各向同性材料的米塞斯 （Mises)准则，并表示为
F (
2
3 ) G ( 3 1 ) H ( 1 2 ) 2 L 23 2 M 33 2 N 12 1
1 X
2
) sin cos
2 2
sin
4
(10.3.36)
X
Y
2
这是一条光滑的曲线。
以某种玻璃纤维增强环氧复合树科为例，比较以上三种强度失 效判据的适用性。图10-15给出了最大应力判据(见图10-15 （a）)和蔡—希尔判据(见图10-15(b))预测拉伸强度Fx-θ的曲线 与实验值对比，图中实心圆点为实验值。
三个不等式相互独立。其中任何一个不等式不满足，就意味着 单层破坏。
§10.3单层合板的强度理论
2. 最大应变失效判据
单层最大应变失效判据认为，在复杂应力状态下，单层 材料方向的三个应变分量中，任何一个达到每方向基本强度对 应的极限应变时，单层失效。该失效判据的基本表达式为
Lc L Lt Tc T Tt LT LTs
2 2 2 2 2 2
(10.3.5)
式中，σ1，σ2，σ3，τ23，τ31，τ12是材料主方向上的应力分量 （见图10-12）
§10.3单层合板的强度理论