2022届高考统考数学理科人教版一轮复习课后限时集训73 直接证明与间接证明、数学归纳法

课后限时集训(七十三) 直接证明与间

接证明、数学归纳法

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一、选择题

1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )

A ．三个内角都不大于60°

B ．三个内角都大于60°

C ．三个内角至多有一个大于60°

D ．三个内角至多有两个大于60°

B [至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于60°，故选B ．]

2．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x

2时，索的因是( )

A ．x 2>1

B ．x 2>4

C ．x 2>0

D ．x 2>1

C [因为x >0，所以要证

1＋x <1＋x

2，

只需证(

1＋x )2<⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1＋x 22

，

即证0

4，即证x 2>0，

因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立．]

3．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋1

2n －1＜n (n ∈N *，n ≥2)”时，

由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )

A．2k－1B．2k－1 C．2k D．2k＋1

C[当n＝k＋1时，左边＝1＋1

2

＋1

3

＋…＋1

2k－1

＋1

2k

＋1

2k＋1

＋…＋1

2k＋1－1

，

增加了1

2k ＋1

2k＋1

＋…＋1

2k＋1－1

，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C．]

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()

A．恒为负值B．恒等于零

C．恒为正值D．无法确定正负

A[由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A．]

5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立

B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立

C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

D[由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f(1)≥1成立，则得到f(2)≥4，与f(2)<4矛盾，所以B错误；当f(3)≥9成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C错误；若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，所以D正确．]

二、填空题

6.6＋7与22＋5的大小关系为．

6＋7>22＋5[要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，

只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，

只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴6＋7>22＋ 5.] 7．用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n

＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是 ．

1(2k ＋1)(2k ＋2) [不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1

k ＋1＝

1

(2k ＋1)(2k ＋2)

.]

8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是 ．

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－3，32 [若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧

f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，

解得p ≤－3或p ≥3

2，

故满足题干要求的p 的取值范围为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－3，32.]

三、解答题

9．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫

1z －1>8. [证明] 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以1

x －1＝1－x x ＝y ＋z x ＞2yz x ，① 1

y －1＝1－y y ＝x ＋z y ＞2xz y ，② 1

z －1＝1－z z ＝x ＋y z ＞2xy z ，③

由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1z －1>8.

10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？

[解] (1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，

即a 21(1＋q )2

＝a 1·

a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．

(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；

当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设{S n }是等差数列， 则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2. 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．

综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列； 当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．

1．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x

y ( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2

D ．至少有一个不大于2

C [因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

z x ＋x z ≥6，

当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．

所以三个数中至少有一个不小于2，故选C ．]