苏教版数学高二-江苏丰县修远双语学校2020至2021第二学期高二数学期末冲刺一

丰县修远双语学校2020-2021学年度第二学期

高二数学模拟试卷一

一、填空题：（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）

1. 在复平面内，复数z =i(1+2i)对应的点位于第_____________象限. ［答案］二

［解析］∵z =i （1+2i ）=i +2i 2=-2+i ，∴复数z 所对应的点为（-2，1），即位于第二象限. 2. 用数字1，2，3，4，5组成的四位偶数有 个. ［解答］2×5×5×5=250.

3.若复数z=(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为_____________. ［答案］-1

［解析］210,

1.10

x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩

4．5

612

12C C +=_______．

［答案］6

13C (或1 716)

5．若二项式6

1x ⎛

⎫ ⎪

⎝

⎭的展开式中的第5项是5，则x 的值是______．

［答案］3

6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 种． ［答案］24

7. 若X ~B (10,0.8)，则P (X =8)=___________．(只列式不计算) ［答案］8

8

2100.8

0.2C ⨯⨯

8．已知|z |=2(z ∈C )，则|z +i|的最大值是_____________． ［答案］3

［解析］|z +i |的最大值是以原点为圆心，2为半径的圆上的点到定点（0，－1）距离的最大值，画图得|z +i |max =3．

9. 在10个球中有6个红球，4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是________.

［答案］

59

10. 4个不同的小球放入3个有编号的盒子，每个盒子至少放一个小球，有____种不同的放法. ［答案］36

［解析］先选后排，2

3

43

36C A =(种).

11. 设(x 2+1)(2x +1)9=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+…+a 11(x +2)11，则a 0+a 1+a 2+…+a 11的值为_______. ［答案］-2

［解析］令x =-1，则a 0+a 1+a 2+…+a 11=-2.

12 . 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_________（结果用最简分数表示）． ［答案］

57

［解析］因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名女生，当选出的学生全是男生时有3

5C 种情况，概率为

353

72

7

C C =，所以，均不少于1名的概率为1-27=57.

13.已知1

12

311n n n n n n n n

C C C C +--+++=++，求n = . ［答案］4

［解答］原式可化为2

312

311n n n n C C C C +++=++,

∴

(3)(2)(1)(1)

1212121

n n n n n n n +++-=+++

⨯⨯⨯, 解之得n =4或n =-1.∵n ∈N *，∴n =4．

14．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有______种. ［答案］36

［解析］根据题意可分两类情况进行讨论.若第一道工序由甲照看，则第四道工序就只能由丙照看，共有

24A 种可能；

若第一道工序由乙照看，则第四道工序就从甲、丙两工人中选出1人来照看，共有1

2

24C A 种可能.所以符合题意的不

同的安排方案共有

21242436A C A +=(种).

二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分14分）已知矩阵A =1214⎡⎤⎢

⎥-⎣⎦，向量α=74⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

．

(1) 求A 的特征值λ1,λ2和特征向量α1,α2； (2) 计算A 5α的值．

［解答］(1) 矩阵A 的特征多项式为

21

2

()5601

4

f λλλλλ--=

=-+=-，解得λ1=2,λ2=3.

当λ1=2时,解得α1=21⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

;当λ2=3时,解得α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．

(2) 由α=m α1+n α2,得27,

4,

m n m n +=⎧⎨

+=⎩得m =3,n =1．

由(2)，得A 5α=A 5(3α1+α2) =3(A 5α1)+A 5α2

55

551122214353()32311339λαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

．

16.（本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4c os θ,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的

正半轴，建立平面直角坐标系，直线l

的参数方程是1,2,2

x y ⎧

=+⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长. ［思维引导］

把曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程都化为直角坐标方程后，利用直线与圆的位置关系知识可求解. ［解答］曲线C 的极坐标方程ρ=4c os θ化为直角坐标方程为x 2

＋y 2－4x =0，即（x －2）2＋y 2=4.

直线l

的参数方程1,

2,2

x y ⎧=+⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

化为普通方程得x －y －1=0.曲线C 的圆心（2，0）到直线l

2=

，

所以直线l 与曲线C

相交所成的弦的弦长为=17.(本小题满分14分）已知f （n ）=（2n +7）·3n +9，是否存在自然数m ，使得对任意的正整数n ，都能使m 整除