第三章 图像锐化与边缘检测

微分法——梯度 微分法——梯度 (Gradient) ——
最常用的微分方法是梯度法。 设图像函数为f (x,y)，它的梯度 是一个向量，定义为：
∂f G [ f ( x , y )] = ∂ f ∂ x ∂y
梯度—— 梯度——两个重要性质
在(x,y)点处的梯度，方向指向f (x,y) 最 大变化率的方向；
（４）
G[ f ( x, y )] ≈ f ( x, y ) − f ( x + 1, y + 1) + f ( x + 1, y ) − f ( x, y + 1)
梯度增强策略
计算梯度的算法确定后，就有 各种策略使图像轮廓突出。 （1）
g ( x, y) = G[ f ( x, y)]
轮廓比较突出，灰度平缓变化 部分，梯度小，很黑。
-1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1
常用高通滤波器
− 1 − 1 − 1 0 −1 0 − 1 5 − 1 H = − 1 9 − 1 H1 = 2 − 1 − 1 − 1 0 −1 0
- 1 2 1 1 2 - 1 2 − 5 − 5 2 H3 = 2 − 5 − 5 2 H 4 = - 1 2 1 - 1 1 2 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 1 - 1 4 - 1 - 1 1 1 4 4 4 -1 H 5 = 25 - 1 4 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1
∂ 2 f ( x, y ) f xx ( x, y ) = ∂x 2
∂ 2 f ( x, y ) f yy ( x, y ) = ∂y 2
∂ 2 f ( x, y ) f xy ( x, y ) = ∂xy
f α′′ = f xx ( x, y ) sin 2 α + f yy ( x, y ) cos 2 α + 2 f xy ( x, y ) sin α cosα
G[ f ( x, y)] =
[ f ( x, y) − f ( x + 1, y + 1)]2 + [ f ( x + 1, y) − f ( x, y + 1)]2
f ( x, y + 1) f ( x, y) f ( x + 1, y) f ( x, y + 1) f ( x + 1, y + 1)
幅度（记G[f (x,y)]）则等于f (x,y) 的最大 变化率，即
G [ f ( x , y )] = ∂f ∂f ∂x + ∂y
2 2
几个常用微分表达式
对于图像函数 f(x,y)，它的x方向， 方向， y方向和α方向的一阶导数为 方向的一阶导数为 一阶导数
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 − 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1
高通滤波存在的问题
高通滤波在增强了边的同时，丢 高通滤波在增强了边的同时， 失了图像的层次，图像变的粗糙。 失了图像的层次，图像变的粗糙。
图像锐化实例
原始图像
锐化图像
强调边缘
寻找边缘
3.2 边缘检测(Edge Detection) 边缘检测(Edge
拉普拉斯算子(Laplacian) 拉普拉斯算子(Laplacian)
是一个二阶导数算子， 是一个二阶导数算子，它将在边缘处产生一个陡峭的 零交叉；检测一个像素是在边的亮的一边还是暗的一 零交叉； 利用零跨越，确定边的位置。 边；利用零跨越，确定边的位置。
几种常用的差分近似
方便起见，一般把梯度幅度也简 称为梯度。 常用差分算法 （1）典型梯度算法
G[ f ( x, y )] =
[ f ( x, y ) − f ( x + 1, y )]2 + [ f ( x, y) − f ( x, y + 1)]2
几种常用的差分近似
（2）罗伯茨（Roberts）梯度算法
空域高通滤波器设计
滤波器模板系数的设计 根据空域中高通冲激响应函数的图形 来设计模板的系数: 来设计模板的系数: g(x,y) = h(x,y) * f(x,y)
0
空域高通滤波器设计
设计模板系数的原则 1）中心系数为正值，外围为负值 中心系数为正值， 2）系数之和为0 系数之和为0
-1 -1 -1 -1 -1 -1 1/25 * -1 -1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1/9 * -1 8 -1
图 像 平 滑
平滑
图 像 锐 化
锐化
强 化 边 缘
锐化
2.3 图像锐化
常用方法
微分法 (Differentiation)
高通滤波法( High高通滤波法( High-pass Filter)
2.3.1 微分法
考察正弦函数 sin 2π ax ，它的微分 2π a cos 2π ax 。微分后频率不变，幅度上 升2πa倍。 空间频率愈高，幅度增加就愈大。 这表明微分是可以加强高频成分的， 从而使图像轮廓变清晰。 微分运算是用来求取信号的变化率， 微分运算是用来求取信号的变化率， 具有加强高频分量的作用。 具有加强高频分量的作用。
物体的边缘
边缘类型
1 阶跃边缘 阶跃边缘(Step Edge)
实际图
边缘类型
2 屋顶边缘 屋顶边缘(Roof Edge)
实际图
边缘类型
3 脉冲边缘 脉冲边缘(Pulse Edge)
实际图
边缘检测——差分算子 边缘检测——差分算子 ——
(一) 梯度 一 梯度(Gradient )
∂f ∂x G[ f ( x, y )] = ∂f ∂y
−1 −1 −1 0 0 0 1 1 1
Ｘ方向
1 0 − 1 1 0 − 1 1 0 − 1
Ｙ方向
差分算子 —掩模算子 （Sobel算子） Sobel算子 算子）
− 1 − 2 − 1 0 0 0 1 2 1
−1 − 2 −1 0 0 0 1 2 1
（3）
max ∆ x f ( x, y) , ∆ y f ( x, y)
(
)
差分算子 —掩模算子 （Roberts算子） Roberts算子 算子）
1 0 0 −1
Ｘ方向
0 1 − 1 0
Ｙ方向
差分算子 —掩模算子 （Prewitt算子） Prewitt算子 算子）
f ( x, y) f ( x + 1, y)
典型梯度算法
罗伯茨梯度算法
几种常用的差分近似
上述算法运算较费时。为更适合计算 机实现，采用绝对差分算法：
（３）
G[ f ( x, y )] ≈ f ( x, y ) − f ( x + 1, y ) + f ( x, y ) − f ( x, y + 1)
加权平均。 对靠近中 心 （ x,y ） 的点权值为 对角线方向 邻点的权值 的2倍。
Ｘ方向
Ｙ方向
差分算子
拉普拉斯算子(Laplacian) （二）拉普拉斯算子(Laplacian)
二维函数f(x,y)的拉普拉斯是一个 二维函数f(x,y)的拉普拉斯是一个 二阶的微分定义为： 二阶的微分定义为： ∇2f = [∂2f / ∂x2 , ∂2f / ∂y2]
∆ x f ( x, y) = f ( x, y) − f ( x + 1, y) ∆ y f ( x, y) = f ( x, y) − f ( x, y + 1)
差分算子 ——几种变形 ——几种变形
（1）
(∆ x f ( x, y ) )2 + (∆ y f ( x, y ) )2
（2）
∆ x f ( x, y) + ∆ y f ( x, y)
LG：指定的轮廓灰度值。
梯度增强策略
（4）轮廓保留，背景取单一灰 度值。
G[ f ( x, y)] G[ f ( x, y)] ≥ T g ( x, y) = else LB
LB：指定的背景灰度值。
梯度增强策略wk.baidu.com
（5）轮廓、背景分别取单一灰 度值，即二值化。只对轮廓感兴 趣。
LG g ( x, y) = LB G[ f ( x, y)] ≥ T else
LG：指定的轮廓灰度值。 LB：指定的背景灰度值。
2.3.2 高通滤波—掩模法(Mask) 高通滤波—掩模法(Mask)
边缘是由灰度级跳变点构成的。 边缘是由灰度级跳变点构成的。因此 具有较高的空间频率。 具有较高的空间频率 。 所以采用高通滤 波的方法让高频分量顺利通过， 波的方法让高频分量顺利通过 ， 使低频 分量得到抑制， 就可增强高频分量， 分量得到抑制 ， 就可增强高频分量 ， 使 图像的边缘或线条变的清晰， 图像的边缘或线条变的清晰 ， 实现图像 的锐化。 的锐化。 在空间域中， 在空间域中 ， 让图像和高通滤波器的 冲击响应函数进行卷积。 冲击响应函数进行卷积。
拉普拉斯算子(Laplacian) 拉普拉斯算子(Laplacian) 差份表示
∇ 2 f ( x, y ) = −[ f ( x + 1, y ) + f ( x − 1, y ) + f ( x, y + 1) + f ( x, y − 1)] + 4 f ( x, y )
掩模表示
0 −1 0 − 1 4 − 1 0 −1 0
梯度增强策略
（2）背景保留
G[ f ( x, y)] g ( x, y) = f ( x, y) G[ f ( x, y)] ≥ T else
T：门限值、阈值(threshold)，非 负。适当选择T ，既突出轮廓，又 不破坏背景。
梯度增强策略
（3）背景保留，轮廓取单一灰 度值。
G[ f ( x, y)] ≥ T LG g ( x, y) = else f ( x, y)
第三章图像锐化与边缘检测
彭真明
电子科技大学光电信息学院 二○○四年9 17日 二○○四年9月17日
3.1 图像锐化(Sharpening) 图像锐化(Sharpening)
图像经转换、处理或传输后，质量可能下 降，难免有些模糊。 图像锐化目的：加强图像轮廓，使图像 看起来比较清晰、以便于对目标的识别和 处理。 图像锐化和平滑恰恰相反，它是通过增 强高频分量来减少图像中的模糊，因此也 称为高通滤波。
∂f ( x, y ) f x ( x, y ) = ∂x
∂f ( x, y ) f y ( x, y ) = ∂y
f α′ = f x ( x, y ) sin α + f y ( x, y ) cos α
几个常用微分表达式
对于图像函数 f(x,y)，它的x方向， 方向， y方向和α方向的二阶导数为 方向的二阶导数为 二阶导数
微分的差分近似
对数字图像而言， 对数字图像而言，微分运算一般用差分来 代替，对应上述各个方向的差分为： 代替，对应上述各个方向的差分为：
∆ x f (i, j ) = f (i, j ) − f (i − 1, j ) ∆ y f (i, j ) = f (i, j ) − f (i, j − 1) ∆ α f (i, j ) = ∆ x f (i, j ) sin α − ∆ y f (i, j ) cos α ∆ x 2 f (i, j ) = ∆ x f (i + 1, j ) − ∆ x f (i, j ) ∆ y 2 f (i, j ) = ∆ y f (i, j + 1) − ∆ y f (i, j ) ∆ xy 2 f (i, j ) = ∆ x f (i, j + 1) − ∆ x f (i, j ) ∆ yx 2 f (i, j ) = ∆ y f (i + 1, j ) − ∆ x f (i, j ) ∆ α 2 f (i, j ) = ∆ x 2 f (i, j ) sin 2 ∂ + 2∆ xy 2 f (i, j ) sin α cos α + ∆ y 2 f (i, j ) cos 2 α
图像的边缘是图像的最基本特征。所谓边 图像的边缘是图像的最基本特征。 缘是指其周围像素灰度有阶跃变化或屋顶 变化的那些像素的集合。边缘广泛存在于 边缘广泛存在于 物体与背景之间、物体与物体之间、基元 与基元之间。因此它是图像分割所依赖的 与基元之间。因此它是图像分割所依赖的 重要特征。
物体的边缘
人可以仅满足于边缘提供的信息