【数学建模】国家财政收入的影响因素的评价及预期收入的预测

国家财政收入的影响因素的评价

及预期收入的预测

【摘要】

国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。首先，我们根据所给数据，对数据进行描述性分析。之后，我们对数据进行了回归分析，构造了预测模型，并获得了模型的回归系数估计值及其置信区间。

然后，考虑到每个回归系数置信区间包含零点与否的情况，我们对模型进行了改进，并得到了其交互式画面。考虑到数据的时间序列属性，我们对模型进行了自相关性诊断，作出残差散点图，初步判定其大部分点落在1,3象限，随机误差表现出正自相关趋势。但在之后

的D-W检验中，我们计算出了DW值，自相关系数估计值 ˆ，依照样本容量和回归变量数

目，查阅了D-W分布表，得到检验的临界值d L和d U。在分析DW所在区间时，我们发现模型的自相关状态不能确定。

之后，我们代入所给数据1952年-1980年的各项经济指标，得出的预测值与实际值相当吻合。

最后，我们根据网络上查到的数据，利用该模型对1990年和2000年的财政收入作出预测，并对结果进行了分析。

关键词：MATLAB 财政收入回归模型自相关性诊断自相关系数 D-W检验

一、问题重述

国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关，根据所给数据，对数据进行分析，构造预测模型，并利用该模型对1990年和2000年的财政收入作出预测。

二、问题假设

1.财政收入只与问题重述中提到的6个因素有关；

2.所给数据真实准确，无录入错误。

三、符号说明

y：财政收入；

x1：国民收入；

x2：工业总产值；

x3：农业总产值；

x4：总人口；

x5：就业人口；

x6：固定资产投资；

β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6：回归系数；

ε：随机误差。

四、问题分析、模型的建立与求解

1.问题的分析

首先对数据作初步分析。分别作出财政收入与6个因素的散点图，并用Excel自带的回归分析求出了各自自变量对y的R2（决定系数，越接近1则拟合程度越好）：

图1 x1-y散点图

图2 x2-y散点图

图3 x3-y散点图

图4 x4-y散点图

图5 x5-y散点图

由该图可以明显看出，最右边有一个异常点：1981年就业人口攀升为73280，较之前有大幅度增长，但财政收入明显地低于预测值，为使个别数据不致影响整个模型，我们将该

异常数据去掉。去掉后的x5-y散点图如下：

图6 去掉异常点后的x5-y散点图

图7 x6-y散点图

2.模型的建立

从以上的散点图及y对x1~x6初步的回归分析，我们再引入一个常量回归系数β0，作

出了初步的模型：

εβ6x6x5β5x4β4x3β3x2β2x1β1β0+++++++=y （1）

3.模型的求解

首先我们剔除掉因为1981年就业人口对财政收入影响异常的特殊点（见图6），之后利用MATLAB 统计工具箱中命令regress 求解，得到模型（1）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R 2，F ，p 的结果见表1。

R =0.9840，F=225.8953，p=0.0000

表1 模型（1）的计算结果

表1显示，R 2=0.9840指因变量y （财政收入）的98.40%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p=0远小于α，因而模型（1）从整体来看是可用的。

表1的回归系数给出了模型（1）中β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6的估计值，即-15.53440βˆ=，5100.01βˆ=，0259.0-2βˆ=，5905.0-3βˆ=，0113.04βˆ=，0230.0-5β

ˆ=，3419.06βˆ=。检查它们的置信区间发现，β0，β2，β4，β5，β6的置信区间包含零点。常数项的置信区间

相当地大，故可以剔掉。

4.模型的改进

由以上的分析，我们剔掉了常数项β0。得到模型（2）：

εβ6x6x5β5x4β4x3β3x2β2x1β1++++++=y （2）

再次检验相关参数：

表2 模型（2）的计算结果

现在可以看到，只有β2一项的置信区间包含零点。我们加入了x22,log(x2)2,x1*x2,x2*x5等项，包含零点的置信区间不降反升，且目前R 2=98.40%，目前的模型从整体上来看是可用的。

将参数估计值代入模型（2）得到：

x63320.0x50223.0x40108.00.5958x3x20.0250-x15146.0ˆ+-+-=y

（3）

使用rstool 命令得到交互式画面（图8）：

图8 交互式画面

5.结果分析

从表面上看，模型（2）的拟合度已经达到了R 2=0.9840，但这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列。很明显随机误差ε会出现（自）相关性。

残差y

y e t ˆ-=可以作为随机误差的估计值，画出e t ~e t-1的散点图（图9）能够从直观上判断ε的自相关性。残差数据见表3。

表3 模型（3）的残差

图9 模型（3）e t ~e t-1的散点图

从图9可以看出，大部分点落在第1,3象限，表明ε存在正得自相关。为了对ε的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下的模型：

t β6x6x5β5x4β4x3β3x2β2x1β1ε++++++=t y ， t t u +=-1t ρεε （4）

利用表3给出的残差，根据DW 检验公式

∑∑==--=

n

t t

n

t t t e

e e

DW 2

22

2

1)

(

计算得出DW=1.6082.

根据公式

)ˆ1(2ρ

-≈DW 计算得出1959.0ˆ=ρ

. 要根据DW 的具体数值确定εt 是否存在自相关，应该在给定的检验水平下，一招样本

容量和回归变量数目，查D-W 分布表[2]，得到检验的临界值d L 和d U ，然后由DW 所在的区间来决定。对于显著性水平α=0.05，n=29，k=6，查D-W 分布表，得到检验的临界值d L =0.98，和d U =1.94。