第二章习题答案

习题二

2. 设随机变量X的分布函数为

，用分布函数表示下列概率：

(1)

; (2)

; (3)

解：（1）

（2）

（3）

4. 同时掷2枚骰子，设X是两枚骰子出现的最小点数，求X的分布列.

解：X可能取值为：1,2,3,4,5,6，所以

故，X的分布列为：

5. 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球，4个黑球；第二个盒子装有2个白球，3个黑球；第三个盒子装有3个白球，2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球.以X表示所取到的白球数.

(1) 求X的概率分布列；

(2) 求X的分布函数；

(3) 取到的白球数不少于2个的概率是多少？

解：(1) X可能取值为：0,1,2,3，结合全概率公式，得

故，X的分布列为：

(2) 当

时,

当

时,

当

时,

当

时,

当

时,

故X的分布函数为

(3) 取到的白球数不少于2个的概率是

8. 已知某型号电子元件的一级品率为0.3，现从一大批元件中随机抽取10只，设X为10只电子元件中的一级品数.问最可能抽到的一级品数k是多少?并计算p{X＝k}.

解：设随机变量X表示抽到的一级品数，所以

p{X＝k}

9. 某商店出售某种商品，根据以往经验表明，月销售量(件)服从参数

的泊松分布.问在月初进货时，需要多少库存量，才能有99.6%的概率充分满足顾客的需要？

解：设随机变量X服从参数

的泊松分布. 设需要N件库存量，才能有99.6%的概率充分满足顾客的需要，则

故N=8.

12．盒子中装有m只白球，n只黑球.从袋中有返回地随机摸球，直到摸到白球时停止. 求摸球次数的分布列.

解：设随机变量X表示首次摸到白球时摸球次数，所以

13．一批产品共100件，其中有97件正品，3件次品.每次随机抽取1件，直到取到正品为止.就下列两种情况求抽取次数的分布列:

(1) 放回抽取；

(2) 不放回抽取.

解：（1）设随机变量X表示直到取到正品为止抽取次数，因为是放回抽取，所以

则

（2）设随机变量X表示直到取到正品为止抽取次数，因为是不放回抽取，所以

14．试确定下面连续型随机变量的分布函数中的待定系数

.

(1)

(2)

解：(1) 由

得

，由

在

连续，得

，于是

，则有

(2)由

在

连续，得

，于是

，则有

16. 设连续型随机变量X的密度函数

求：(1) 系数

；(2)

.

解：(1) 由

得

，

（2）

17. 设

，求方程

有实根的概率.

解：

，因方程

有实根，所以

.

随机变量Y的密度函数

故，

19. 某仪器安装了3个独立工作的同型号的电子元件，其寿命X(单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为

求：此仪器在最初使用的200小时内，至少有一个此种电子元件损坏的概率.

解：已知每个电子元件其寿命X都服从同一指数分布，密度函数为

设A={每个电子元件寿命X在200小时内}，则

设Y={3个独立工作的同型号的电子元件，电子元件损坏的数量}，显然

故至少有一个此种电子元件损坏的概率

21. 设

.

求：(1)

；(2)

；(3) 确定

使得

.

解：（1）

（2）

(3) 确定

使得

，则

故

23. 某校抽样调查结果表明，考生的数学成绩X(以百分制计)近似地服从

的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%,试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.

解：考生的数学成绩X(以百分制计)近似地服从

的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%,故

考生的成绩在60分至84分之间的概率为

24．设随机变量X的分布函数

求随机变量

和

的分布列．

解：随机变量X的分布函数，得X的分布列：

因为

，Y的取值为-3，-1,5，得Y的分布列：

因为

，Z的取值为1,4，得Z的分布列：

26. 设

，求以下随机变量的概率密度函数：

(1)

； (2)

；(3)

．

解：设

，X的概率密度为

（1）由于

两边对

求导，得Y=lnX的概率密度

(2) 由于

,

由公式得

(3) 由于

两边对

求导，得Y=X2的概率密度

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