利用“不动点”法巧解高考题

利用“不动点法”巧解高考题

由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键。与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结，探究反思，对那些难求通项的数列综合问题形成了利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助。

1 不动点的定义

一般的，设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。

2 求线性递推数列的通项

定理1：设函数()(01)f x ax b a =+≠、

且x 0是函数f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系()()123n n a f a n -==、、…，证明：数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。

证：∵x 0是f x ()的不动点，∴ax b x 00+=，∴b x ax -=-00，

∴0101010()()n n n n a x a

a b x a a ax a a x ----=+-=-=-··， ∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且()

*585n n S n a n N =--∈。

⑴证明：数列{}1n a -是等比数列；

⑵求数列{}n S 的通项公式并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n 。 证：⑴当1n =时，114a =-；当2n ≥时，11155n n n n n a S S a a --=-=-+，

∴()16512n n a a n -=+≥，∴()151266n n a a n -=+≥，记51()66

f x x =+， 令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：()15

1(1)26

n n a a n --=-≥，

又∵11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列。

⑵略。

证：⑴由题设知11

1111111

()x x dx b a cx x cx d a cx =⇔=-⇔-=-+-；同理，222()dx b a cx x -=-。

∴1

11111

1122222

2()()n n n n n n

n n n n aa b

x a x ca d a cx a b dx a x a cx aa b a x a cx a b dx a cx a x x ca d

+++--+-+---===⋅+--+----+， ∴数列{}a x a x n n --1

2

是公比为a cx a cx --12的等比数列。

⑵由题设知ax b

x cx d

+=+的解为120x x x ==，∴x a d c 02=

-且000b dx x a cx -=--。 ∴

1000000

11()()()

n n n n n n n ca d ca d aa b b dx a x a cx a b dx x a cx a ca d a cx +++===

+---+---++- 0000000000

1

()()()()n n n n n ca d ca cx d cx d cx c a cx a x a cx a x a cx a cx a x +-+++===+⋅

------- 00000111222n n n a d

d c c c c c a d a cx a x a cx a x a x a d

a c c

-+⋅

=+

⋅=+=+------+-⋅ ∴数列{}10a x n -是公差为2c

a d

+的等差数列。

例2（2006年全国Ⅱ卷22题）设数列{}n a 的前n 项和为n S 且方程2

0n n x a x a --=有一个根

为*

1()n S n N -∈。求数列{}n a 的通项公式。

解：∵2

11=

a 且0)1()1(2

=--⋅--n n n n a S a S ，∴将1--=n n n S S a 代入上式得121--=n n S S ，

记()1

2f x x

=-，令()f x x =，求出不动点01x =，

由定理2-⑵知：1211

1111n n n n S S S S +-==-+---，∴数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

是公差为1-的等差数列，

∴1+=

n n S n ，∴数列{}n a 的通项公式为1

1+=n a n 。 例3（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列{}n a 中，11a =，11

n n

a c a +=-

。 ⑴设5

2

c =

，12n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式；

⑵求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围。

解：⑴∵1525122n n n n a a a a +-=-=，∴记52()2x f x x -=，令()f x x =，求出不动点121

22

x x ==，；

由定理2-1知：1

12112221211222n n n n

n n n n a a a a a a a a ++-⎧

-=-=⎪⎪

⎪⎨⎛⎫- ⎪⎪⎝

⎭⎪-=-=⎪⎩

，两式相除得1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--， ∴212n n a a ⎧⎫

⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212

a a -=--为首项的等比数列， ∴1

212142

n n

n a a --⎛⎫

=-⋅ ⎪⎝⎭-，1

3

224n n a -=-+，∴12433n n b -=--。

证：∵x x 12、是f x ()的不动点，∴11dx b ax =-，22dx b ax =-。

2221111122212222(2)2(2)2n n n n n n n n n n a x a a b a a d x a a b a a x ax b

a x a a

b a a d x a a b a a x ax b

++-⋅+-⋅+⋅+-⋅⋅+-==

-⋅+-⋅+⋅+-⋅⋅+- 22211122

222

(2)()(2)n n n n n n a a a x x a x a a a x x a x -⋅+-==-⋅+-， 又∵1

1

120a x a x ->-，∴12

0n n a x a x ->-，∴111122ln 2ln n n n n a x a x a x a x ++--=--， ∴12ln

n n a x a x ⎧⎫

-⎨⎬-⎩⎭

是公比为2的等比数列。

例4 （2010东城区二模试题）已知数列{}n x 满足14x =，213

24

n n n x x x +-=-。

⑴求证：3n x >；⑵求证：1n n x x +<；⑶求数列{}n x 的通项公式。 证：⑴、⑵略；

⑶∵2

13

24

n n n x x x +-=-，∴记23()24x f x x -=-，令()f x x =，求出不动点1213x x ==，

； ∵由定理3知：2

2

12213(1)1124243(3)332424n n n n

n n n n n n x x x x x x x x x x ++⎧---=-=⎪--⎪⎨--⎪-=-=⎪--⎩

，∴2

111133n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，