利用二次函数性质求最值综合训练.
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微专题 利用二次函数性质求最值
微专题 利用二次函数性质求最值
(10年3考，常在二次函数压轴题中涉及考查) 类型一 面积问题
★篱笆问题
满分技分 设一边长x，结合题意用含x的代数式表示出另一边，利用矩形的面积公式得出S与x 之间的函数关系式，化为顶点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
微专题 利用二次函数性质求最值
微专题 利用二次函数性质求最值
解：(1)由题意得w＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000， ∵每件护眼台灯的利润不高于成本价的60%， ∴销售单价不能超过20×(1＋60%)＝32元， 即w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)； (2)由(1)得w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250， ∵a＝－10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大， ∴当x＝32时，w取得最大值，最大值为－10×(32－35)2＋2250＝2160. 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
微专题 利用二次函数性质求最值
解：(1)观察表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量减少40瓶．设在进价基 础上增加x元后，日均销售利润为y元， 这时日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x， 故y关于x的函数解析式为y＝x(520－40x )－200＝－40x2＋520x－200(0＜x＜13)； (2)由(1)得y＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1490， ∵0＜6.5＜13， ∴当x＝6.5时，即销售单价定为11.5元，日均毛利润达到最大值1490元． 答：销售单价定为11.5元时，日均毛利润最大，最大值为1490元．
微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练 3. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售 量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数y＝－10x＋500，在销售过程 中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的60%. (1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的 函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
针对演练 1. 如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙(墙长15 m)，另三 边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30 m，门宽是2 m，若设这块场地的 宽为x m，养殖场地的面积为y m2，则当x为何值时，y有最大值？最大值为多 少？
第1题图
微专题 利用二次函数性质求最值
1. 解：由题意得y＝x(30－2x＋2)＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128， ∵墙长15 m， ∴30－2x＋2≤15，解得x≥8.5. 又∵32－2x>0， ∴x<16. ∴8.5≤x<16. ∵y＝－2(x－8)2＋128， ∴当x≥8时，y随x的增大而减小． ∴当x＝8.5时，y取得最大值，最大值为y＝－2×(8.5－8)2＋128＝127.5 m2. 答：当场地的宽为8.5 m时，矩形场地的面积取得最大值，最大值为127.5 m2.
微专题 利用二次函数性质求最值
★每每问题——售价变化引起销量变化 满分技法
1.注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量； 2．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减性求得最大值； 4．若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后在确 定销售单价时注意找准基础量．
第2题图
微专题 利用二次函数性质求最值
∴ AP DG ，
AH BC
∴ AP x ，
80 100
∴AP＝ 4 x，
5
∴DE＝PH＝80－
4
x，
5
∴y＝DG·DE＝x(80－ 4 x)＝－4 x2＋80x＝－ 4 (x－50)2
5
5
5
＋2000.
∵0<x<100，－
4 5
＜0，
∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为2000，
∴DE＝80－ 4 ×50＝40.
5
答：当矩形的长DG为50米，宽DE为40米时，矩形DEFG
的面积最大，最大为2000平方米．
微专题 利用二次函数性质求最值
★利润问题
类型二 销售问题
满分技法
1.根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”或“总利润＝售价×销售量 －总成本”，列出函数关系式； 2．根据题干信息找自变量x的取值范围及是否为整数； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量取值范围内 的最大值；若对称轴为小数，则要注意x的取值是否有两个．
微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练 4. 某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元．销售单 价与日均销售量的关系如下：
售价单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240 (1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本) 为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？
微专题 利用二次函数性质求最值
★几何图形中的面积最值问题
满分技分 设矩形的一边长为x，结合相似三角形的性质，对应边成比例，用含有x的代数式 表示出另一边长，利用矩形的面积公式得出S与x之间的函数关系式，化为顶点式 即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练
2. 如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着
底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在
百度文库
边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面
积为多少？ 解：设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y， ∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AP⊥DG，
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(10年3考，常在二次函数压轴题中涉及考查) 类型一 面积问题
★篱笆问题
满分技分 设一边长x，结合题意用含x的代数式表示出另一边，利用矩形的面积公式得出S与x 之间的函数关系式，化为顶点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
微专题 利用二次函数性质求最值
微专题 利用二次函数性质求最值
解：(1)由题意得w＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000， ∵每件护眼台灯的利润不高于成本价的60%， ∴销售单价不能超过20×(1＋60%)＝32元， 即w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)； (2)由(1)得w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250， ∵a＝－10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大， ∴当x＝32时，w取得最大值，最大值为－10×(32－35)2＋2250＝2160. 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
微专题 利用二次函数性质求最值
解：(1)观察表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量减少40瓶．设在进价基 础上增加x元后，日均销售利润为y元， 这时日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x， 故y关于x的函数解析式为y＝x(520－40x )－200＝－40x2＋520x－200(0＜x＜13)； (2)由(1)得y＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1490， ∵0＜6.5＜13， ∴当x＝6.5时，即销售单价定为11.5元，日均毛利润达到最大值1490元． 答：销售单价定为11.5元时，日均毛利润最大，最大值为1490元．
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针对演练 3. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售 量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数y＝－10x＋500，在销售过程 中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的60%. (1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的 函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
针对演练 1. 如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙(墙长15 m)，另三 边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30 m，门宽是2 m，若设这块场地的 宽为x m，养殖场地的面积为y m2，则当x为何值时，y有最大值？最大值为多 少？
第1题图
微专题 利用二次函数性质求最值
1. 解：由题意得y＝x(30－2x＋2)＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128， ∵墙长15 m， ∴30－2x＋2≤15，解得x≥8.5. 又∵32－2x>0， ∴x<16. ∴8.5≤x<16. ∵y＝－2(x－8)2＋128， ∴当x≥8时，y随x的增大而减小． ∴当x＝8.5时，y取得最大值，最大值为y＝－2×(8.5－8)2＋128＝127.5 m2. 答：当场地的宽为8.5 m时，矩形场地的面积取得最大值，最大值为127.5 m2.
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★每每问题——售价变化引起销量变化 满分技法
1.注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量； 2．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减性求得最大值； 4．若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后在确 定销售单价时注意找准基础量．
第2题图
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∴ AP DG ，
AH BC
∴ AP x ，
80 100
∴AP＝ 4 x，
5
∴DE＝PH＝80－
4
x，
5
∴y＝DG·DE＝x(80－ 4 x)＝－4 x2＋80x＝－ 4 (x－50)2
5
5
5
＋2000.
∵0<x<100，－
4 5
＜0，
∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为2000，
∴DE＝80－ 4 ×50＝40.
5
答：当矩形的长DG为50米，宽DE为40米时，矩形DEFG
的面积最大，最大为2000平方米．
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★利润问题
类型二 销售问题
满分技法
1.根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”或“总利润＝售价×销售量 －总成本”，列出函数关系式； 2．根据题干信息找自变量x的取值范围及是否为整数； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量取值范围内 的最大值；若对称轴为小数，则要注意x的取值是否有两个．
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针对演练 4. 某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元．销售单 价与日均销售量的关系如下：
售价单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240 (1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本) 为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？
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★几何图形中的面积最值问题
满分技分 设矩形的一边长为x，结合相似三角形的性质，对应边成比例，用含有x的代数式 表示出另一边长，利用矩形的面积公式得出S与x之间的函数关系式，化为顶点式 即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练
2. 如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着
底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在
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边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面
积为多少？ 解：设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y， ∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AP⊥DG，