利用二次函数性质求最值综合训练.
二次函数的图像与性质专题训练
二次函数的图象与性质专题【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 2， 对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．【题型1 二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y ＝a （x -h ）2+k 的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y ＝2x 2+4x -1 （2）y =12x 2﹣2x +3； （3）y ＝（1﹣x ）（1+2x ）；【知识点2 二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点；（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ②一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”. ③常数项c ：总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2， ②y =bx 2， ③y =cx 2， ④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 .(用“>”连接)【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤【例3-3】函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【知识点4 二次函数图象的平移变换】平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=−+，确定其顶点坐标()h k，；②平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【知识点5 二次函数图象的对称变换】2y ax bx c=++关于x轴对称，得到2y ax bx c=−−−；关于y轴对称，得到2y ax bx c=−+；()2y a x h k=−+关于x轴对称，得到()2y a x h k=−−−；关于y轴对称，得到()2y a x h k=++；2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=−+−；()2y a x h k=−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=−+−；【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣5B．3C．5D．15【变式5-1】抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．【变式5-2】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【题型6 利用二次函数的性质判断结论】【例6】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-1】关于抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a ﹣2，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．当a ＝2时，经过坐标原点OC ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧【变式6-2】对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，有下列结论：③ 它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m ＝1；④如果当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等，则m ＝5．其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】【例7】已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当﹣1＜x 1＜0， 1＜x 2＜2，x 3＞3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【变式7-1】抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，﹣b ），（3，c ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．无法比较大小【变式7-2】已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b +m+n 2，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx +c 的图象上， 若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】【例8】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ）A ．﹣2B ．1C ．3D ．4【变式8-1】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣3B ．﹣1＜m ＜2C ．﹣3＜m ＜0D ．﹣2＜m ＜1【题型9 利用二次函数的性质求最值】【例9】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______．【变式9-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】【例10】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ）A ．﹣4或72B ．﹣2√3或72C ．﹣4 或2√3D ．﹣2√3或2 √3【变式10-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．二次函数的图象与性质— 易错精选 —1. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c ＜0；②ab ＜0； ③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0．你认为其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤am 2+bm ＜a ﹣b （m 为任意实数）；其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）4. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图像如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a ﹣c ；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b ；⑤a+b＜m （am+b ），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，抛物线的顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=；②>0abc ；③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−；④方程23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根；⑤4a b c m n −+<+；⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．。
03利用二次函数性质求线段最值(解析版)
利用二次函数性质求线段最值考点剖析：利用铅垂法或者构造相似三角形将线段用含参的二次函数表示，然后求最值.一、方法突破：1、如图，已知抛物线223y x x =-++，点P 为抛物线上一点，且横坐标为m ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，当122m ≤≤时，求线段PE 的最大值和最小值.【核心要点】要求线段PE 的最值，只需要求出当122m ≤≤时，y 的最值即可，先将抛物线的解析式化为顶点式，利用二次函数的增减性即可求解.解：2223(1)4y x x x =-++=--+∴ 抛物线的对称轴为直线x =1.∵-1＜0 ∴ 点P 越靠近对称轴，函数值越大，即PE 越大.∴ PE 的最大值为4.∵ 11212--＜ ∴当m=2时，PE 取得最小值，此时PE=3∴ 当122m ≤≤时，线段PE 的最大值是4，最小值是3. 2、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 上方抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点D ，交x 轴于点E ，求线段PD 的最大值.【核心要点】设出点P 、D 坐标，表示出线段PD 的长，再利用二次函数的性质求最值. 解：∵ 223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令y=0，即2230x x -++=，解得121,3x x =-=∵ 点A 在点B 左侧，∴A （-1,0）、B （3,0）∵ 223y x x =-++与y 轴交于点C∴C （0,3）∴ 直线BC 的解析式为3y x =-+设点P 的坐标为2(,23)(03)m m m m -++＜＜则点D 的坐标为(,3)m m -+∴223923(3)()24PD m m m m =-++--+=--+∵ 303-102＜＜，＜∴ 当32m =时，线段PD 取得最大值，最大值为943、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 上方抛物线上一点，过点P 作PM ⊥BC 于M ，求线段PM 的最大值.【核心要点】过点P 作PN ⊥x 轴交BC 于点N ，构造直角三角形，将PM 用PN 表示，再利用二次函数的性质求最值.解：如图，过点P 作PN ⊥x 轴交BC 于点N ，∵ 223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令y=0，即2230x x -++=，解得121,3x x =-=∵ 点A 在点B 左侧，∴A （-1,0）、B （3,0）∵ 223y x x =-++与y 轴交于点C∴C （0,3）∴ OB=OC=3∵ PN ⊥x 轴∴ 45PNM OCB ==︒∠∠∴ △PMN 为等腰直角三角形∴ 2PM PN = 直线BC 的解析式为3y x =-+设点P 的坐标为2(,23)(03)m m m m -++＜＜则点N 的坐标为(,3)m m -+∴223923(3)()24PN m m m m =-++--+=--+∴23)2PM m =-+∵ 303-022＜＜， ∴ 当32m =时，线段PM取得最大值，最大值为84、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是线段BC 上方抛物线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交x 轴于点E ，连接AD 交BC 于点F ，当FB DE取得最小值时，求点D 的横坐标.【核心要点】利用相似三角形的性质进行转化，求FB DE最小值，即求AE 的最大值，利用二次函数的性质求出AE 的最大值即可.解：∵ 抛物线解析式为223y x x =-++，∴ A （-1,0），B （3,0），C （0,3）∴ AB=4,直线BC 的解析式为3y x =-+∵ DE ∥BC∴ 设直线DE 的解析式为y x b =-+，△AFB ∽△ADE∴ FB AB DE AE= ∵ AB 为定值 ∴ FB DE取得最小值，即AE 取得最大值 设点D 的坐标为2(,23)(03)m m m m -++＜＜将点D 的坐标代入直线DE 的解析式得223m b m m -+=-++ ∴ 233b m m =-++∴ 直线DE 的解析式为233y x m m =--++将y =0代入233y x m m =--++中得233x m m =-++ ∴ 点E 的坐标为2(33,0)m m -++ ∴ 22232533(1)34()24AE m m m m m =-++--=-++=--+ ∵ 303-102＜＜，＜∴ 当32m =时，AE 取得最大值 ∴ 当FB DE 取得最小值时，点D 的横坐标为32二、典例精析例一:（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(1,0)-，点C 的坐为(0,5)．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；【思路分析】（1）将A 的坐标(1,0)-，点C 的坐(0,5)代入2y x bx c =-++，即可得抛物线的解析式为245y x x =-++；（2）过P 作PD x ⊥轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH BC ⊥于H ，由245y x x =-++可得(5,0)B ，故OB OC =，BOC ∆是等腰直角三角形，可证明PHQ ∆是等腰直角三角形，即知2PH =PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为5y kx =+，将(5,0)B 代入得直线BC 解析式为5y x =-+，设2(,45)P m m m -++，(05)m <<，则(,5)Q m m -+，2525()24PQ m =--+，故当52m =时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时5(2P ，35)4； 解：（1）将A 的坐标(1,0)-，点C 的坐(0,5)代入2y x bx c =-++得： 015b c c =--+⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为245y x x =-++；（2）过P 作PD x ⊥轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH BC ⊥于H ，如图：在245y x x =-++中，令0y =得2450x x -++=，解得5x =或1x =-，(5,0)B ∴，OB OC ∴=，BOC ∆是等腰直角三角形，45CBO ∴∠=︒，PD x ⊥轴，45BQD PQH ∴∠=︒=∠，PHQ ∴∆是等腰直角三角形，2PH ∴，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为5y kx =+，将(5,0)B 代入得055k =+， 1k ∴=-，∴直线BC 解析式为5y x =-+，设2(,45)P m m m -++，(05)m <<，则(,5)Q m m -+，222525(45)(5)5()24PQ m m m m m m ∴=-++--+=-+=--+， 10a =-<，∴当52m =时，PQ 最大为254， 52m ∴=时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时5(2P ，35)4； 例二： (2021日照中考)已知：抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上任意一点，连PC 、PB 、PO ，PO 交直线BC 于点E ，设PE k OE=，求当k 取最大值时点P 的坐标，并求此时k 的值．【思路分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P 作//PH y 轴交直线BC 于点H ，则PEH OEC ∆∆∽，进而可得13k PH =，再运用待定系数法求得直线BC 的解析式为3y x =-+，设点2(,23)P t t t -++，则(,3)H t t -+，从而得出2133()324k t =--+，再利用二次函数性质即可得出答案； 解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C ， ∴设(1)(3)y a x x =+-，将(0,3)C 代入，得(01)(03)3a +-=， 解得：1a =-，2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）如图1，过点P 作//PH y 轴交直线BC 于点H ， PEH OEC ∴∆∆∽，∴PE PH OE OC=， PE kOE=，3OC =， 13k PH ∴=， 设直线BC 的解析式为y kx n =+，(3,0)B ，(0,3)C ，∴303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设点2(,23)P t t t -++，则(,3)H t t -+，2223(3)3PH t t t t t ∴=-++--+=-+，221133(3)()3324k t t t ∴=-+=--+， 103-<， ∴当32t =时，k 取得最大值34，此时，3(2P ，15)4；三、中考真题对决1、（2021•泰安）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（3）请判断：PQ QB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【思路分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（3）设PD 与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，利用待定系数法求出直线AC 表达式，再利用//BM PN ，可得PNQ BMQ ∆∆∽，进而得出5PQ PN PN QB BM ==，设0(P a ，20034)(40)a a a --+-<<，则0(N a ，04)a +，从而得到20(2)45a PQ QB -++=，利用二次函数的性质即可求得答案．解：（1）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴2(4)(4)4040a b a b ⎧⋅-+⋅-+=⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数的表达式为234y x x =--+；（3）PQ QB有最大值． 如图，设PD 与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，设直线AC 表达式为y mx n =+，(4,0)A -，(0,4)C ，∴(4)004m n m n ⋅-+=⎧⎨⋅+=⎩， 解得：14m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 表达式为4y x =+，M ∴点的坐标为(1,5)，5BM ∴=，//BM PN ，PNQ BMQ ∴∆∆∽， ∴5PQ PN PN QB BM ==， 设0(P a ，200034)(40)a a a --+-<<，则0(N a ，04)a +， ∴22200000034(4)4(2)4555a a a a a a PQ QB --+-+---++===， ∴当02a =-时，PQ QB有最大值， 此时，点P 的坐标为(2,6)-．2．（2021•巴中）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM最大时，求点P 的坐标及PM AM 的最大值；【思路分析】（1）将(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)C -代入2y ax bx c =++即可求解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴交直线BC 于点E ，过P 作PF x ⊥轴交直线BC 于点F ，由//PF AE ，可得MP PF AM AE=，则求PF AE 的最大值即可； 解：（1）将点(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)C -代入2y ax bx c =++，得42036603a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得1413a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，2134y x x ∴=--； （2）如图1，过点A 作AE x ⊥轴交直线BC 于点E ，过P 作PF x ⊥轴交直线BC 于点F ， //PF AE ∴， ∴MP PF AM AE=， 设直线BC 的解析式为y kx d =+，∴603k d d +=⎧⎨=-⎩， ∴123k d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，132y x ∴=-， 设21(,3)4P t t t --，则1(,3)2F t t -， 221113332442PF t t t t t ∴=--++=-+， (2,0)A -，(2,4)E ∴--，4AE ∴=， ∴22213131942(3)41681616t t MP PF t t t AM AE -+===-+=--+， ∴当3t =时，MP AM 有最大值916，15(3,)4P ∴-；3．（2021•郴州）将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．（1）求抛物线H 的表达式；（2）如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF ∆的面积的最大值；【思路分析】（1）根据将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+，可得顶点坐标为(1,4)-，即可得到抛物线2:(1)4H y a x =++，运用待定系数法将点A 的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC 的解析式为3y x =+，设2(,23)P m m m --+，则(,3)E m m +，进而得出239()24PE m =-++，运用二次函数性质可得：当32m =-时，PE 有最大值94，再证得PEF ∆是等腰直角三角形，即可求出答案；解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；（2）如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，(0,3)C ∴，设直线AC 的解析式为y mx n =+，(3,0)A -，(0,3)C ，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =+，设2(,23)P m m m --+，则(,3)E m m +，2223923(3)3()24PE m m m m m m ∴=--+-+=--=-++， 10-<，∴当32m =-时，PE 有最大值94， 3OA OC ==，90AOC ∠=︒，AOC ∴∆是等腰直角三角形，45ACO ∴∠=︒，PD AB ⊥，90ADP ∴∠=︒，ADP AOC ∴∠=∠，//PD OC ∴，45PEF ACO ∴∠=∠=︒，PEF ∴∆是等腰直角三角形， 22PF EF PE ∴==， 21124PEF S PE EF PE ∆∴=⋅=， ∴当32m =-时，21981()4464PEF S ∆=⨯=最大值； 4．（2021•黄石）抛物线22(0)y ax bx b a =-+≠与y 轴相交于点(0,3)C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（3）若(3,)P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【思路分析】（1）由题意得：2323b x a b -⎧=-=⎪⎨⎪=-⎩，即可求解； （3）由2222222(3)(63)(3)[(3)6]PQ m m m t m m t =-+-+--=-+-+-，对t 的取值分类讨解：（1）由题意得：2323b x a b -⎧=-=⎪⎨⎪=-⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩， 故抛物线的表达式为263y x x =-+-；（3）设点Q 的坐标为2(,63)m m m -+-，则2222222(3)(63)(3)[(3)6]PQ m m m t m m t =-+-+--=-+-+-， 设2(3)n m =-，则2222(6)(211)(6)PQ n n t n n t t =++-=+-+-，二次项系数为10>，故2PQ 有最小值，①当112t 时，2PQ 的最小值221234(6)(112)44t t t -=---=， PQ ∴； ②当112t >时，2PQ 的最小值2(6)t =-， PQ ∴的最小值为|6|t -；∴当6t 时，6PQ t =-，当1162t <<时，6PQ t =-，综上所述，11)2116(6)26(6)t PQ t t t t ⎪⎪=-<<⎨⎪-⎪⎪⎩． 5．（2021•东营）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+过B 、C 两点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式；（3）点(3,2)M 是抛物线上的一点，点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为抛物线对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PM +的最小值．【思路分析】（1）直线122y x =-+过B 、C 两点，可求B 、C 两点坐标，把(4,0)B ，(0,2)C 分别代入212y x bx c =-++，可得解析式． （3）设点D 的坐标为213(,2)22x x x -++，则点E 的坐标为1(,2)2x x -+，由坐标得2122DE x x =-+，当2x =时，线段DE 的长度最大，此时，点D 的坐标为(2,3)，即点C 和点M 关于对称轴对称，连接CD 交对称轴于点P ，此时PD PM +最小，连接CM 交直线DE 于点F ，则90DFC ∠=︒，由勾股定理得5CD =，根据PD PM PC PD CD +=+=，即可求解．解：（1）直线122y x =-+过B 、C 两点， 当0x =时，代入122y x =-+，得2y =，即(0,2)C ， 当0y =时，代入122y x =-+，得4x =，即(4,0)B ， 把(4,0)B ，(0,2)C 分别代入212y x bx c =-++， 得8402b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++； （3）设点D 的坐标为213(,2)22x x x -++， 则点E 的坐标为1(,2)2x x -+， 21312(2)222DE x x x ∴=-++--+ 213122222x x x =-+++-2122x x =-+， 102-<， ∴当2x =时，线段DE 的长度最大， 此时，点D 的坐标为(2,3)， (0,2)C ，(3,2)M ， ∴点C 和点M 关于对称轴对称， 连接CD 交对称轴于点P ，此时PD PM +最小， 连接CM 交直线DE 于点F ，则90DFC ∠=︒，点F 的坐标为(2,2)， 225CD CF DF ∴=+=， PD PM PC PD CD +=+=， PD PM ∴+的最小值为5．。
2024河南中考数学备考专题：二次函数图象与性质综合题 对称性、增减性、最值问题
∴抛物线的顶点坐标为(t，－t)；
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.
①若y1的最小值是－2，求y1的最大值；
画出草图，标出对称轴
t－1≤x1≤t＋2与对称轴的关系？ 从图像发现了什么? 最大值在哪取？
(2)求抛物线上动点Q纵坐
题
类讨论点M，N的坐标；根据
标的取值范围
二次函数增减性确定最值
典例精讲
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； 看到这个能想到什么？
解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，
完全平方式
一题多解
点C(0，c)
B( 0)
c 2
，
已知A(1，0)
将已知点坐标代入抛物线解析式
练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c
(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.
(2)若点P(x0，m),Q(
5 2
，n)在抛物线上，且m＜n，求x0的取值范围．
第一步： 画出草图
2024中考备考重难专题课件
二次函数图象与性质综合题
对称性、增减性、最值问题
目 录
1 典例精讲 2 课堂练兵 3 课后小练
考情分析
年份 题号 题型 分值
解题关键点
设问形式
(1)将B(0，c)转化为A(c，0)
(1)求抛物线的解析式及
解
(2)根据抛物线上点与对称轴的
顶点坐标；
2023 21 答 10 距离，判断出点M的位置；分
题库-二次函数性质综合题
二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b =72或b =72-(舍)， ∴二次函数解析式为y =277x x ++;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b =7(舍)或b =-7(舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =72或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =277x x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2|=21212()4x x x x +-=4 , ∴212b +＝4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a -，24b a-）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a-=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a +)2+1−2(1)4a a+， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C 与直线y 3=x -3 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最大值，由 2(2)13y x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得x =2或x =3， ∴m 的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点a （h ，-1）．第8题解图②当0＜a ≤1时，k ＞0，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在三个横坐标为整数点，即当x =h +3时，y 2＞y 1恒成立．∴k （h +3）-kh -1＞a （h +3-h ）2-1，整理得：k ＞3a ．又∵0＜a ≤1， 所以0＜3a ≤3，所以k ＞3．9.已知二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点B ， （1） 若二次函数的图象经过点A （1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线 x =1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a ，当x>n 时，y 随x 的增大而增大，请求出n 的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l 的上方，在1<x<2这一段位于直线y =2x -2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a b b a⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a-< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合应用题综合训练
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合应用题综合训练1．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；①当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？2．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？3．商场某种商品平均每天可销售20件，每件可获利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到1200元？(2)若商场平均每天赢利最多，应降价多少元？获得的最大利润为多少？4．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图所示，水柱的最高点为M ，2m AB =，10m BM =，水嘴高6m AD =，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出图中抛物线的表达式．5．一小球M 从斜坡OA 上的点O 处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．若小球到达最高点的坐标为(4,8)．(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x 的取值范围）；(2)小球在斜坡上的落点A 的垂直高度为________米；(3)若要在斜坡OA 上的点B 处竖直立一个高4米的广告牌，点B 的横坐标为2，请判断小球M 能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；(4)求小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度．6．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？7．“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”形成的一种生机勃勃的销售方式．农村电商小李在某电商平台上直播销售一种农产品，每件农产品的成本为40元，每销售一件农产品，需向电商平台缴纳推广费2元．物价部门规定，该农产品的销售单价不高于成本价的2倍，经市场调研发现，每月的销售量y (件)与销售单价x (元)满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当农产品的销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题4二次函数综合之线段最值,成比
类型一：线段最值问题【经典例题1改编】抛物线y=-x 2+bx +c 与直线y=-x +5一个交点A （2，m ），另一个交点B 在x 轴上，点P 是线段AB 上异于A 、B 的一个动点，过点P 做x 轴的垂线，交抛物线于点E ；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点P 的坐标，若不存在说明理由；（3）在y 轴右侧，当EP 平行于y 轴时，设点E 的横坐标为m ，当点E 到y 轴的距离等于线段EP 的长时，求m 的值；【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x 2+6x -5（2）设点P 的横坐标为m ，E(m ，-m 2+6m -5)，P(m ，-m+5)∴EP=y E -y P=(-m 2+6m -5)-(-m +5)=-m 2+7m -10=-(m -27)2+49 当m=27时，EP 长度有最大值49，此时，P(27，23) （3）根据题意分两种情况∴当0<x <2或x >5时，EP=m 2-7m +10，所以m=m 2-7m +10，即m 2-8m +10=0，解得m1=4+6，m2=4-6；∴当2<x<5时，EP=-m2+7m-10，所以m=-m2+7m-10，即m2-6m+10=0，此方程无解。
综上，m1=4+6，m2=4-6【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH∴EF于点H，求PH的最大值；【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，即−3a=−3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；(2)过点P作PM∴y轴交直线EF于点M，设点P(x ，x 2+2x −3)、点M(x ，−x )，则PH=22PM=22(−x −x 2−2x +3)， 当x =−23时，PH 的最大值为：8221；【经典例题3】已知抛物线l 1:y 1=ax 2−2的顶点为P ，交x 轴于A. B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin∴ABP=55. (1)求抛物线l 1的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若∴ABC 的面积被y 轴分为1:4两个部分，求直线AC 的解析式；【解析】（1）当x =0时，y 1=ax 2-2=-2∴顶点P （0，-2），OP=2∴∴BOP=90° ∴sin∴ABP=BP OP =55 ∴BP=5OP=25 ∴OB=442022=-=-OP BP∴B （4，0），代入抛物线l 1得：16a -2=0，解得：a =81 ∴抛物线l 1的函数解析式为y 1=81x 2-2 （2）∴知抛物线l 1交x 轴于A 、B 两点∴A 、B 关于y 轴对称，即A （-4，0）∴AB=8设直线AC 解析式：y=kx +b点A 代入得：-4k +b =0∴b =4k∴直线AC ：y=kx +4k ，D （0，4k ）∴S ∴AOD =S ∴BOD =21×4×|4k |=8|k | ∴81x 2-2=kx +4k 整理得：x 2-8kx -32k -16=0∴x 1+x 2=8k∴x 1=-4∴x C =x 2=8k +4，y C =k （8k +4）+4k =8k 2+8k∴C （8k +4，8k 2+8k ）∴S ∴ABC =21AB•|y C |=32|k 2+k | ∴若k >0，则S ∴AOD ：S 四边形OBCD =1：4∴S ∴AOD =51S ∴ABC ∴8k =51×32（k 2+k ） 解得：k 1=0（舍去），k 2=41 ∴直线AC 解析式为y=41x +1 ∴若k <0，则S ∴AOD =S ∴BOD =-8k ，S ∴ABC =-32（k 2+k ）∴-8k =51×[-32（k 2+k ）] 解得：k 1=0（舍去），k 2=41（舍去） 综上所述，直线AC 的解析式为y=41x +1．【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x +4与抛物线y=21-x 2+bx +c (b ，c 是常数)交于A. B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上。
二次函数的图象和性质——增减性和最值 专题训练卷(含答案详解)
1.2.7二次函数的图象和性质——增减性和最值1．函数f(x)＝(x－3)(x＋5)的单调递减区间是()．A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)2．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()．A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值3．若抛物线y＝x2＋6x＋c的顶点恰好在x轴上，则c的值为()．A．0 B．3 C．6 D．94．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内是递减函数，则实数a的取值范围是()．A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()．A．30元B．42元C．54元D．越高越好6．已知f(x)＝ax2＋2x－6，且f(1)＝－5，则f(x)的递增区间是__________．7．若函数f(x)＝x2＋mx＋3的最小值是－1，则f(m)的值为__________．8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋20x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为__________．9．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3.(1)画出它的图象，并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．10．某汽车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆汽车的月租金每增加50元时，未租出的汽车将会增加一辆．租出的汽车每辆每月需要维护费150元，未租出的汽车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆汽车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆汽车？(2)当每辆汽车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案1. 答案：A解析：f (x )＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15，12b a -=-，所以f (x )的递减区间是(－∞，－1]，选A ．2. 答案：C3. 答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9，∴c －9＝0，c ＝9.4. 答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2，∵f (x )在(－∞，6)内是递减函数，∴－2a ≥6，∴a ≤－3.5. 答案：B解析：设日销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x ),30≤x ≤54，将上式配方后得y ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，y 取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润．6. 答案：(－∞，1]解析：由f (1)＝－5得a ＋2－6＝－5，所以a ＝－1.这时f (x )＝－x 2＋2x －6. 又212(1)-=⨯-， 所以f (x )的递增区间是(－∞，1]．7. 答案：35解析：由已知得2413141m ⨯⨯-=-⨯， 所以m 2＝16，m ＝±4.当m ＝4时，f (m )＝f (4)＝35；当m ＝－4时，f (m )＝f (－4)＝35.8. 答案：111万元解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．在甲、乙两地的销售利润分别为L 1＝－x 2＋20x 和L 2＝2(15－x )＝30－2x .于是销售总利润y ＝L 1＋L 2＝－x 2＋20x ＋30－2x ＝－x 2＋18x ＋30.因此当1892(1)x=-=⨯-时，y取最大值f(9)＝－92＋18×9＋30＝111(万元)．9.解：(1)图象如图所示，该图象开口向下；对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)∵f(x)＝－4(x－1)2＋1，∴x＝1时，f(x)max＝1.(3)函数在(－∞，1]上是递增函数，在[1，＋∞)上是递减函数．10.解：(1)当每辆汽车月租金为3 600元时，未租出的汽车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆汽车．(2)设每辆汽车的月租金定为x元，则公司月收益为f(x)＝300010050x-⎛⎫-⎪⎝⎭(x－150)－300050x-×50，整理得f(x)＝150-x2＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050(x＞150)．∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050.即每辆汽车的月租金定为4 050元时，汽车租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第九节 二次函数性质综合题
∴a＋b＋c＝9a＋3b＋c，整理得 b＝－4a， b －4a
∴抛物线的对称轴为直线 x＝－2a＝－ 2a ＝2， ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与 y 轴交点的坐标为(0，2)．
(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t 的取值范围及x0的取值范围． ∵m＜n＜c，∴a＋b＋c＜9a＋3b＋c＜c，
②当 m≤－3 时，此时 y 有最大值为 6， ∵y 的最大值与最小值之和为 2，∴y 最小值为－4， ∵当 x＝0 时，y＝－3≠－4， ∴－(m＋3)2＋6＝－4， ∴m＝－3－ 10或 m＝－3＋ 10(舍去)． 综上所述，m 的值为－2 或－3－ 10.
类型二：解析式中含参数 的二次函数求最值
3．已知二次函数 y＝－x2＋4x－3.
(1)若－3≤x≤3，则 y 的取值范围为 －
(直接写出结果)；
(2)若－8≤y≤－3，则 x 的取值范围为24－≤1y≤≤x1≤0或 (直接
写出结果)；
4≤x≤5
3 (3)若 A(m，y1)，B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，且满足 m＜2，
试比较 y1与 y2 的大小，并说明理由． 解：(3)由题意，得 y1＝－m2＋4m－3， y2＝－(m＋1)2＋4(m＋1)－3， 则 y1－y2＝2m－3，
第九节 二次函数性质综 合题
类型一：解析式确定的二 次函数求最值
1．★(2022·长春)已知二次函数
y＝－x2－2x＋3，当
1 a≤x≤2时，函数
值 y 的最小值为 1，则 a 的值为 －1－ 3 .
2．把抛物线 y＝ax2＋c 的图象向下平移 3 个单位长度后得到抛物线
y＝－2x2－1.
(1)求平移前的抛物线的解析式； 解：(1)∵把抛物线y＝ax2＋c的图象向下平移3个单 位长度后得到抛 物∴线a＝y＝－－2，2xc2－－31＝，－1，∴c＝2， ∴平移前的抛物线的解析式为y＝－2x2＋2.
专题10 利用二次函数性质求线段最值-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版
专题10 利用二次函数性质求线段最值方法点拨：二次函数222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭ ①当0a >时，2bx a =-时，函数y 有最小值244ac b a -；②当0a <时，2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -。
1．（2021·重庆万州·九年级期末）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ，交y 轴于点C ，3CO AO =，点P 是抛物线上第一象限内的一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 作//PD y 轴交BC 于点D ，求线段PD 长度的最大值；（3）若Q 为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q ，使得以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =-x 2+2x +3；（2）94；（3）（0，34）或（0，214）或（3，94）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P （x ，-x 2+2x +3），则点D （x ，-x +3）（0＜x ＜3），则PD ＝23924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即可求解；（3）分别得到P ，D ，C 的坐标，分PD 为平行四边形的边和对角线，根据平行四边形的性质可得坐标． 【详解】解：（1）∵A （-1，0），则OA =1， 又∵CO =3AO ， ∴OC =3，C （0，3），把A，C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由-x2+2x+3=0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得303k bb+=⎧⎨=⎩，解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=-x+3，设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（-x2+2x+3）-（-x+3）＝-x2+3x＝23924x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当x＝32时，PD有最大值94；（3）由（2）可得：将x=32分别代入y=-x+3和y=-x2+2x+3中，得y=32，y=274，∴D（32，32），P（32，154），又C（0，3），∵以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如图，若PD为平行四边形的边，则四边形PDCQ2和四边形PCQ1D为平行四边形，∴PD=CQ2=CQ1，PD∥CQ2∥CQ1，可得Q1（0，34），Q2（0，214）；若PD为平行四边形的对角线，则四边形PCQ3D为平行四边形，则CP=DQ3，CP∥DQ3，则Q3（3，94），综上：点Q的坐标为（0，34）或（0，214）或（3，94）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，有一定的综合性，难度适中．2．（2021·安徽·合肥市九年级月考）如图，抛物线y ＝﹣x 2+72x +2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过B ，C 两点，点D 为抛物线上一个动点（不与B ，C 重合）． （1）求直线l 的表达式；（2）如图，当点D 在直线l 上方的抛物线上时，过D 点作DE //x 轴交直线l 于点E ，设点D 的横坐标为m ．①当点D 运动到使得点E 与点C 重合时，求点D 的坐标；②求线段DE 的长（用含m 的代数式表示），并求出线段DE 的最大值．【答案】（1）122y x =-+；（2）①7(,2)2D ；②228m m -+，8 【分析】（1）根据抛物线的解析式，分别令0,0x y ==即可求得,B C 的坐标，进而根据待定系数法求得直线l 的解析式；（2）①根据题意DE //x ，则D 的纵坐标为2，根据D 是二次函数上的点即可求得D 的横坐标；②根据E 是直线l 上的点，结合（1）的结论，根据D 的横坐标，表示出D 的纵坐标，进而根据DE //x 轴，即可求得E 的纵坐标，根据l 的解析式即可求得横坐标，由DE 的长等于D的横坐标减去E 的横坐标即可求得DE 的长，进而根据配方法即可求得最大值． 【详解】（1）由2722y x x =-++，令0x =，则2y =，即(0,2)C 令0x =，则2722x x -++0=，即()()2140x x +-=解得121,42x x =-=点A 在点B 的左侧 ()1,0,4,02A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，设直线l 的解析式为：y kx b =+，将(0,2)C ，()4,0B 代入得，402k b b +=⎧⎨=⎩解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 设直线l 的解析式为：122y x =-+， （2）① DE //x 轴，(0,2)C ，∴当点D 运动到使得点E 与点C 重合时，D 的纵坐标为2，由2722y x x =-++，令2y =，则27222x x =-++ 解得12720,x x == 7(,2)2D ∴②点D 的横坐标为m ，则27(,2)2D m m m -++DE //x 轴，E ∴点的纵坐标为2722m m -++，E 点在直线l ：122y x =-+上， 42x y ∴=-此时E 点的横坐标为：()22427427m m m m --++=-则线段DE 的长为222728m m m m m -+=-+ 228m m -+()22288m =--+≥∴线段DE 的最大值为8．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，求二次函数最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．3．（2021·山东·济阳区九年级月考）如图，抛物线2(1)y x k =++ 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限．①当M 点运动到何处时，AMB 的面积最大？求出AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ②过点M 作PM x ⊥轴交线段AC 于点P ，求出线段PM 长度的最大值．【答案】（1）抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，k ＝﹣4；（2）P （﹣1，﹣2）；（3）①AMB 的最大面积为8，点M 的坐标为（﹣1，﹣4）；②线段PM 长度的最大值为94．【分析】（1）直接将C 点坐标代入函数关系式，进而得出k 的值即可；（2）如图，连接AC 交对称轴于点P ，则此时P A +PC 的值最小，然后利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进一步即可求出点P 的坐标；（3）①表示出M 点坐标，进而表示出△AMB 的面积，然后利用二次函数的性质即可得出答案； ②表示出M 点、P 点的坐标，进而表示出PM 的长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝（x +1）2+k 与y 轴交于点C （0，﹣3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，且﹣3＝（0+1）2+k ，解得：k ＝﹣4， ∴抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，k ＝﹣4；（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A（﹣3，0）、B（1，0），如图，连接AC交对称轴于点P，则此时P A+PC的值最小，设直线AC的解析式为y＝ax+d，将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：303a dd-+=⎧⎨=-⎩，解得：13ad=-⎧⎨=-⎩．故直线AC：y＝﹣x﹣3，当x=﹣1时，y=﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）∵点M是抛物线上的一动点，∴设点M的坐标为[x，（x+1）2﹣4]，∵点M在第三象限，∴﹣3＜x＜0；①如图，∵AB＝4，∴S△AMB＝12×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，∵点M在第三象限，∴S△AMB＝8﹣2（x+1）2，∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；②∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，故设点P的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，PM最大，最大值为94．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象与性质以及函数图象上点的坐标特点等知识，属于常考题型，正确表示出△AMB的面积和PM的长、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·山东·临沂市第九中学九年级月考）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A （0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d的最大时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6，（2，8）；（2）存在，点M的坐标为（2-27，-6）或（2+27，-6）或（4，6）．（3）当x=3时，d取得最大值，此时点P（3，152）．【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B的坐标代入函数表达式即可求解；（2）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况分别求解即可；（3）先求出AB解析式，可求d=PH=22PG=222121(266)(3) 2222x x x x x-+++-=-+，即可求解．【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0=36a+12+6，解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6，∵y=-12x2+2x+6=21(2)82x--+，∴函数图象的顶点坐标为（2，8）；（2）设点M （m ，n ），n =-12m 2+2m +6，点N （s ，0）， ①当AB 是平行四边形的一条边时， 点A 向右、向下均平移6个单位得到B ， 同理点N 右、向下均平移6个单位得到M ， 故：s +6=m ，0-6=n ， ∴-12m 2+2m +6=-6解得：m ，故点M 的坐标为（2--6）或（，-6）； ②当AB 是平行四边形的对角线时， 则AB 的中点即为MN 的中点，则 s +m =6，n +0=6， ∴-12m 2+2m +6=6解得：m =4，m =0(不合题意舍去) 故点M 的坐标为（4，6），综上，点M 的坐标为（2--6）或（-6）或（4，6）． （3）如下图，过点P 作PG ∥y 轴交AB 于点G ，作PH ⊥AB 交于点H ，∵OA =OB =6，则∠OAB =∠OBA =45°， ∵PG ∥y 轴，则∠PGH =∠OAB =45°， 直线AB 的表达式为：y =-x +6，设点P （x ，21262x x -++），则G （x ，-x +6），22211266)3)=3)22d PH x x x x x x ==-+++-=-+- 当x =3时，d 取得最大值，此时点P （3，152）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、点的平移、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．5．（2021—2022辽宁大连市九年级月考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线21522y x bx =-++与x 轴交于点1,0A ，抛物线的对称轴l 经过顶点B ，作直线AB ．P 是该抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点Q ，过点P 作PN l 于点N ，以PQ 、P N为边作矩形PQMN ． （1）b =______；（2）当点P 在抛物线A ，B 两点之间时，求线段PQ 长度的最大值；（3）矩形PQMN 与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G ，G 的最高点的纵坐标为m ，最低点纵坐标为n ，当2m n -=时，求点P 的坐标．【答案】（1）-2；（2）98；（3）点P 的坐标为54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）将1,0A 代入抛物线21522y x bx =-++即可求解；（2）首先根据A ，B 两点的坐标利用待定系数法求出直线AB 的表达式，设出点Q 和点P 的坐标，表示出PQ 的长度，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）分别当点P 在直线l 左侧和右侧时两种情况讨论，根据题意表示出m 和n 的值，然后根据2m n -=列方程求解即可． 【详解】解：（1）将1,0A 代入抛物线21522y x bx =-++得：10225b =-++，解得2b =-；（2）抛物线解析式为215222y x x =--+．配方得()219222y x =-++．∴顶点B 的坐标为92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．设直线AB 的解析式为y kx b =+，过点1,0A ．则9220k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AB 的解析式为3322y x =-+．设点215,222P e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭-，PQ 与x 轴垂直，点Q 在直线AB 上，∴点Q 的坐标为33,22e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴当20e -<<时，2215331121222222PQ e e e e e ⎛⎫⎛⎫=--+--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 配方得2119228PQ e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．102a =-<，∴当12e =-时，PQ 的最大值为98．（3）当点P 在直线l 左侧时，此时2e <-，G 从左到右上升，图象最高点为B ，最低点为215,222P e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭-，∴92m =，215222n e e =--+．2m n -=，∴212522292e e --+⎛⎫-= ⎪⎝⎭．解得14e =-，20e =（舍）． 此时点P 的坐标为54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当点P 在直线l 右侧时，此时1e >，G 从左到右下降，图象最高点为C ，最低点为215,222P e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭-，MQ 垂直y 轴，∴点Q 与点C 的坐标相同． ∴3322m e =-+，215222n e e =--+． 2m n -=，∴23315222222e e e ⎛⎫⎛⎫-+---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解得12=e ，23e =-（舍）． 此时点P 的坐标为72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上述，点P 的坐标为54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查了二次函数和矩形结合的题目，解题的关键是设出点P 和点Q 的坐标，根据题意列出方程求解．6．（2021·江苏丹阳·中考二模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(3,0)A 、(1,0)B -．与y 轴交于点C ，点P 是该抛物线的对称轴（x 轴上方部分）上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP 、BP 将ABP △沿直线AP 翻折，得到AB P '，当点B '落在该抛物线的对称轴上时，求点P 的坐标；（3）如图2，过点P 作//EF x 轴交抛物线于点E 、F ，连接AC ，交线段EF 于M ，AC 、OF 交于点N ．求FNON的最大值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21,33P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）34【分析】（1）利用待定系数法把点(3,0)A 、(1,0)B -代入二次函数解析式即可求解； （2）根据1cos ''2AD DAB AB ∠==得到'60DAB ∠=︒，则'30PAB PAB ∠=∠=︒，解直角三角形P AD 即可；（3）通过证明MFN AON ∽得到FN ON AO MF =，即当MF 的值最大时，FNON有最大值即可求解． 【详解】解：（1）把点(3,0)A 、(1,0)B -代入二次函数解析式，可得：933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++； （2）设对称轴212x =-=-与x 轴交于点D ，则2AD =，∵将ABP △沿直线AP 翻折，得到AB P '，∴'4==AB AB ，'B P BP =，'PAB PAB ∠=∠， ∴1cos ''2AD DAB AB ∠==， ∴'60DAB ∠=︒， ∴'30PAB PAB ∠=∠=︒，∴tan 30PD AD =⋅︒=∴点P ⎛ ⎝； （3）∵//EF x 轴，∴MFN AON FMN NAO ∠=∠∠=∠，， ∴MFN AON ∽， ∴FN ON AOMF=， ∵3AO =，∴当MF 的值最大时，FNON有最大值， 设AC 的函数解析式为y kx c =+，把(3,0)A ，()0,3C 代入可得13k c =-⎧⎨=⎩，∴AC 的函数解析式为3y x =-+，设()1,P m ，则()3,M m m -，()1F m ，∴132MF m m =+=-令t =24m t =-，∴2221942224MF t t t t t ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭，当12t =时，154m =，此时94MF =取得最大值，此时34MF FN ON AO ==为最大值． 【点睛】本题考查二次函数综合、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等内容，灵活运用上述性质定理是解题的关键．7．（2021·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；（3）图（乙）中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）P （52，354）；（3）存在，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【分析】（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c ，即可得抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y ＝﹣x 2＋4x ＋5可得B （5，0），故OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PHPQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋5，将B （5，0）代入得直线BC 解析式为y ＝﹣x ＋5，设P （m ，﹣m 2＋4m ＋5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m ＋5），PQ ＝﹣（m ﹣52）2＋254，故当m ＝52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P（52，354）； （3）抛物线y ＝﹣x 2＋4x ＋5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2＋4s ＋5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5），①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，即可解得M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC的中点重合，同理可得252022440522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得M （7，﹣16）．【详解】解：（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c 得：015b cc =--+⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y ＝﹣x 2＋4x ＋5中，令y ＝0得﹣x 2＋4x ＋5＝0， 解得x ＝5或x ＝﹣1， ∴B （5，0），∴OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠CBO ＝45°， ∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD ＝45°＝∠PQH ， ∴△PHQ 是等腰直角三角形， ∴PH∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋5，将B （5，0）代入得0＝5k ＋5， ∴k ＝﹣1，∴直线BC 解析式为y ＝﹣x ＋5，设P （m ，﹣m 2＋4m ＋5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m ＋5），∴PQ ＝（﹣m 2＋4m ＋5）﹣（﹣m ＋5）＝﹣m 2＋5m ＝﹣（m ﹣52）2＋254，∵a ＝﹣1＜0，∴当m ＝52时，PQ 最大为254，∴m ＝52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）；（3）存在，理由如下：抛物线y ＝﹣x 2＋4x ＋5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2＋4s ＋5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5）， ①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得33s t =⎧⎨=-⎩，∴M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴252022440522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得321s t =-⎧⎨=-⎩，∴M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得711s t =⎧⎨=-⎩，∴M （7，﹣16）；综上所述，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 8．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数2224y x x a =--+-的图象与一次函数2y x =-的图象交于点A 、B （点B 在右侧），与y 轴交于点C ，点A 的横坐标恰好为a ．动点P 、Q 同时从原点O 出发，沿射线OB 分别以每秒5和25个单位长度运动，经过t 秒后，以PQ 为对角线作矩形PMQN ，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求a 的值及1t =秒时点P 的坐标；（2）当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，求时间t 的取值范围；（3）在位于x 轴上方的抛物线图象上任取一点R ，作关于原点()0,0的对称点为'R ，当点M 恰在抛物线上时，求'R M 长度的最小值，并求此时点R 的坐标．【答案】（1）2a =-，()1,2-；（2）1132t ≤≤+；（3）72，631,22⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）将(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，求出a ，即可得到抛物线解析式，当1t =秒时，5OP =，设P 的坐标为(),x y ，建立方程求解即可；（2）经过t 秒后，5OP t =，25OQ t =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -进而得出M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，将(),4N t t -代入222y x x -=-+，解方程即可得到答案；（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图③则2222''(1)(1)R M MS R S m n =+=--+-+．又222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m 得22'(1)(1)R M m n =++-23724n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】解：（1）由题意知，交点A 坐标为(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，解得a =∴抛物线解析式为222y x x -=-+．当1t =秒时，OP =P 的坐标为(),x y ，则2252x y y x ⎧⎪+==⎨=-⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩（舍），所以P 的坐标为()1,2-．（2）经过t 秒后，OP =，OQ =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -，由矩形PMQN 的邻边与坐标轴平行可知，M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -． 矩形PMQN 在沿着射线OB 移动的过程中，点M 与抛物线最先相交， 如图①，然后公共点变为2个，点N 与抛物线最后相离，然后渐行渐远．如图②，将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，得2210t t +-=， 解得12t =，或1t =-（舍）， 将(),4N t t -代入222y x x -=-+，得()213t -=，解得1t =1t =．所以，当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，时间t 的取值范围是112t ≤≤（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图③则'R M 222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m 得'R M===当32n =时，'R M ．此时，23222n m m =--+=，解得1m =-，所以，点R 的坐标是312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2021·辽宁千山·中考一模）抛物线213y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上方的抛物线上一点//PD y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ⊥于E 点．设1021m PD DE =+，求m 的最大值及此时P 点坐标； （3）如图2，点N 在y 轴负半轴上，点A 绕点N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M 处，且180ANM ACN ∠+∠=︒，求N 点坐标．【答案】（1）211433y x x =-++（2）m 最大值是3，此时()32P ，（3）1303N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，- 【分析】（1）由直线4y x =-+经过B ，C 两点，先求出点B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据表达式1021m PD DE =+，设出D 点的坐标和P 点的坐标，用含t 的代数式分别表达出线段PD 、DE ，转化成m 关于t 的二次函数，再求出m 的最大值及P 点坐标；（3）根据条件180ANM ACM ∠+∠=︒，且AN MN =，利用三角形的全等去确定满足条件的M 、N 点，再根据函数解析式求出坐标即可．【详解】解：（1）直线4y x =-+经过B ，C 两点，当0x =时，4y =；当0y =，4x =；()4,0B ∴，()0,4C ，点B ，C 在抛物线213y x bx c =-++上， 164034b c c ⎧-++=⎪∴⎨⎪=⎩，134b c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，211433y x x ∴=-++； （2）如图1，连接AD ，延长PD 交x 轴于H ，//PD y 轴，PH x ∴⊥轴，图1设(),4D t t -+，211,433P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ()221114443333PD t t t t t ∴=-++--+=-+， ABC ADC ADB S S S =+△△△，且()30A -,，()4,0B ，()0,4C ，()11174+74222AC DE t ∴⨯⨯=⋅⨯⨯-+， 35AC ==，75DE t ∴=， 1021m PD DE =+， ()22214107112333321533m t t t t t t ∴=-++⨯=-+=--+， ∴当3t =时，m 有最大值是3，此时()3,2P ；（3）如图2，过N 作NF MC ⊥，交MC 于点F ，过N 点作NG AC ⊥，交CA 的延长线于点G ，图2则90AGN CFN MFN ∠=∠=∠=︒，180ACF GNF ∴∠+∠=︒，由旋转得：AN MN =，180ANM ACM ∠+∠=︒，GNF ANM ∴∠=∠，ANG MNF ∴∠=∠，90AGN MFN ∠=∠=︒，()AGN MFN AAS ∴≅△△，NG NF ∴=，∴NC 平分ACM ∠设直线CM 交x 轴于点K ，CO AB ⊥，3OK OA ∴==，()3,0K ∴，CK ∴的解析式为：443y x =-+， 241144333x x x ∴-+=-++， 解得：10x =，25x =，85,3M ⎛⎫ ⎪⎝-⎭∴， 设()0,N y ，AN MN =，∴由勾股定理得，()22228353y y ⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭， 解得133y =-， 130,3N ⎛⎫ ⎪⎝-⎭∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．10．（2021·山东济南·中考调研）如图，若一次函数y =﹣3x ﹣3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为（3，0），二次函数y =ax 2＋bx ﹣3的图象过A 、B 、C 三点． （1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，过P 点作PF ⊥BC ，交线段BC 于点F ，在点P 运动过程中，线段PF 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）点P 在y 轴右侧的抛物线上运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线BC 交于点D ，若∠PCD ＋∠ACO ＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式为223y x x =--；（2）存在，PF 的最大值8；（3）点P 的坐标为(73，209-)或(5，12)． 【分析】 （1）函数y =-3x -3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（0，-3），将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）先利用待定系数法求直线BC 的解析式，设P （m ，m 2-2m -3），过点P 作PT ∥y 轴交直线BC 于点T ，则T （m ，m -3），可得PT ，再证明△PTF ∽△BCO ，运用相似三角形性质得出PF ，再运用二次函数最值求解即可；（3）分两种情况：①当点P 在直线BC 下方的抛物线上时，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，证明△PCM ∽△CAO ，再利用相似三角形性质列方程求解即可；②当点P 在直线BC 上方的抛物线上时，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，证明△PCM ∽△ACO ，再利用相似三角形性质列方程求解即可．【详解】解：（1）在y =-3x -3中，令x =0，得y =-3，∴C （0，-3），令y =0，得-3x -3=0，解得：x =-1，∴A （-1，0），∵二次函数23y ax bx =+-的图象过点A （-1，0），B （3，0），∴309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）设直线BC 的解析式为y kx c =+，∵B （3，0），C （0，-3），∴303k c c +=⎧⎨=-⎩，解得：13k c =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y =x -3，在Rt △BOC 中，OB =OC =3，BC设P （m ，m 2-2m -3），过点P 作PT ∥y 轴交直线BC 于点T ，则T （m ，m -3），∴PT =()223233m m m m m ----=-+，∵PF ⊥BC ，∴∠PFT =∠BOC =90°，∵PT ∥y 轴，∴∠PTF =∠BCO ，∴△PTF ∽△BCO ， ∴PF OBPT BC=，即：23PF m m =-+∴2233))2PF m m m =-+=-+∴当32m =时，PF ； （3）设P （t ，t 2-2t -3），分以下两种情况：①当点P 在直线BC 下方的抛物线上时，如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，则M （0，t 2-2t -3），∴CM =t 2-2t -3-（-3）=t 2-2t ，PM =t ，∵∠PCD +∠ACO =45°，∠BCO =45°，∴∠ACP =90°，∴∠PCM +∠ACO =∠CAO +∠ACO =90°，∴∠PCM =∠CAO ，∵∠PMC =∠AOC =90°，∴△PCM∽△CAO，∴CM OAPM OC=，即：2213t tt-=，∴3t2-7t=0，解得：t1=0（舍去），t2=73，当t=73时，22772023()23339t t--=-⨯-=-，∴点P的坐标为(73，209-)；②当点P在直线BC上方的抛物线上时，如图，过点P作PM⊥y轴于点M，则M（0，t2-2t-3），∴CM=t2-2t-3-（-3）=t2-2t，PM=t，∵∠PCD+∠ACO=45°，∠PCD+∠PCM=45°，∴∠PCM=∠ACO，∵∠PMC=∠AOC=90°，∴△PCM∽△ACO，∴CM OCPM OA=，即：2231t tt-=，∴t2-5t=0，解得：t1=0（舍去），t2=5，当t=5时，t2-2t-3=52-2×5-3=12，∴P（5，12），综上所述，点P的坐标为(73，209-)或(5，12)．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题，有一定难度；熟练掌握所学知识并能够灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．11．（2021·重庆八中九年级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2﹣72x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；（2）如图2，过点D作DE//AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，将抛物线y＝12x2﹣72x+3向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．【答案】（1）S △ADC =5；（2）DE D 的坐标为（3，-3）；（3）H （52，112）或（252，112）． 【分析】（1）把D 的横坐标代入抛物线解析式得纵坐标，根据解析式，当x =0时，可得C 的坐标，令直线DC 与x 交点为I ，两点确定一条直线，解析式，直线CD 为y =-x +3，即得I 坐标，当y =0时，代入抛物线解析式得A 、B 坐标，S △ACD =S △AEC +S △AED ，通过计算可得结果； （2）由（1）知A ，B ，C 坐标，两点确定一条直线，可得直线AC 和直线BC 的解析式，过D点作l 平行于BC ，只有当l 与抛物线相切时候，DE 取最大值，设l 解析式为y =-12x +b ，联立直线l 和抛物线的解析式得到二元一次方程组，可得x 2-6x +6-2b =0，相切时即△=0，可得b 的值和D 的坐标，设直线DE 的解析式为y =-3x +n ，直线DE 与抛物线的解析式联立方程组可得E 的坐标，根据两点间的距离公式得DE 的值；（3）根据平移的性质得到新的抛物线为y =12x 2-152x +23，由对称轴公式x =-2b a 得对称轴，联立抛物线和新抛物线得F 点坐标为（5，-2），分情况讨论，若CFGH 是矩形，证明△MFC 和△NGF 、△PCH 都是等腰直角三角形，且△NGF ≅△PCH ，即可求得H 的坐标，当CG ⊥CF 时，同理可得H 的坐标．【详解】解：（1）将x =5代入y =12x 2-72x +3， 得y =-2，∴D （5，-2），令DC 与x 轴交点为I ，由题可知：C （0，3），设直线CD 的表达式为3y kx =+，∴253k -=+，∴1k =-，∴直线CD 的表达式：y =-x +3，令0y =，则3x =，∴I （3，0），如图1可知，S △ADC =S △ACI +S △ADI =12•AI •OC +12•AI •|y 0|=12×AI （OC +|y 0|）， 将y =0代入方程，12x 2-72x +3=0， 解得：1216x x ==，，∴A （1，0），B （6，0），∴AI =2，∴S △ADC =12×2×（3+2）=5，∴S △ADC =5；（2）如图2，由（1）可知A （1，0），B （6，0），C （0，3）， 同理求得直线AC 的表达式为y =-3x +3，直线BC 的表达式为y =-12x +3， 过D 点作直线l 平行于BC ，只有当l 与抛物线相切的时候，DE 取最大值，∵l ∥BC ，∴设直线l 的表达式为12y x b =-+， 解方程21713222x x x b -+=-+，即 x 2-6x +6-2b =0，当两条直线相切时，即只有一个交点，则240b ac =-=，∴62-4(6-2b )=0，∴b =-32， ∴直线l 的表达式为：1322y x =--， 将b =-32代入x 2-6x +6-2b =0， 可得x =3，将x =3代入y =12x 2-72x +3， 解得：3y =-，∴D （3，-3），∵DE ∥AC ，设直线DE 的表达式为：3y x n =-+，将D （3，-3）代入得：333n -=-⨯+，∴6n =，∴直线DE 的表达式为：y =-3x +6，∵E 是CB 、DE 的交点， ∴36132y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， E （65，125）， ∴DE= 点D 的坐标为（3，-3）；（3）y =12x 2-72x +3向右平移4个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线方程为：y =12(x -4)2-7(2x -4)+3-2=12x 2-152x +23， ∴新抛物线的对称轴为：x =152，原抛物线的对称轴为：x =72， ∵F 是两抛物线的交点， 解方程12x 2-152x +23=12x 2-72x +3，得5x =， 当5x =时，y =12x 2-72x +3=-2， ∴F （5，-2），①如果CFGH 是矩形，如图3，过F 作FM ⊥y 轴于M ，交新抛物线的对称于N ，过H 作HP ⊥y 轴于P ，∴M （0，-2），N （152，-2）， ∴MC =2+3=5，MF =5，FN =155522-=， ∵CFGH 是矩形，∴∠CFG =∠AMF =∠FNG =∠HPC =90︒，FG =CH ，则∠MFC =∠MCF =∠NFG =∠NGF =∠PHC =∠PCH =45︒，∴△MFC 和△NGF 、△PCH 都是等腰直角三角形，且△NGF ≅△PCH ，∴NG =FN =PC =PH 52=， ∴PO =PC + CO =511322+=， ∴H （52，112），②如果CG ⊥CF ，如下图，过F 作FK ⊥y 轴于K ，过H 作HL ⊥x 轴交直线FK 于L ，过C 作CJ ⊥y 轴交新抛物线的对称于J ，∵C （0，3），F （5，-2），∴KF =5，CK =2+3=5，CJ =152， 同理△KFC 和△LKH 、△JCG 都是等腰直角三角形，且△LKH ≅△JCG ，∴HL =FL =CJ =GJ 152=，KL =KF + FL =1525522+=， ∴点H 的纵坐标为1511222-=， ∴H （252，112）， 综上所述，H （52，112）或（252，112）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，两点确定一条直线的解析式，解一元二次方程，抛物线平移的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等．正确的识别图形是解题的关键．12．（2021·重庆市南华中学校九年级月考）如图，在矩形OABC 中，点A 、点C 分别在x 轴和y 轴上，点()1,2B ．抛物线()20y ax bx c a =++≠经过,A C 两点，交BC 的延长线于点D ，与x 轴另一个交点为E ，且4AE =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线OD 上方抛物线上的一个动点，//PF y 轴，PQ OD ⊥，垂足为Q ． ①猜想：PQ 与FQ 的数量关系，并证明你的猜想；②设PQ 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数表达式，并求l 的最大值． （3）如果M 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以M N C E 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）①PQ FQ =；②l 的最大值为49248；（3）存在，点N 的坐标：102,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，10-4,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()-2,2． 【分析】（1）根据矩形的性质，可得A ，C ，根据AE 的长，可得E 点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）①先求出点D 的坐标()2,2-得OC CD =，45CDO COD ∠=∠=︒，由//PF y ，所以45PAQ COD ∠=∠=︒，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；②根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PF ，根据等腰直角三角线的性质，可得l ，根据二次函数的性质，可得答案；（3）分两种情况：EC 平行四边形的边长或是对角线两种情况讨论，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，可得N 点的横坐标，根据与函数值的对应关系，可得答案．【详解】解：（1）∵矩形OABC 中，点()B 1,21,2OA OC ∴==()()1,0,0,2A C ∴4AE =()3,0E ∴-∴设()()()-130y a x x a =+≠，将()0,2C 代入得：()()20-103a =+，2-3a ∴=， ()()2224-13-2333y x x x x =-+=-+∴ （2）①P Q FQ =证：抛物线的对称轴为直线1x =-由对称性可知点D 的坐标为()2,2-2CO CD ∴== 45COD ∴∠=︒．//PF y 轴 45PFQ COD ∴∠=∠=︒.PQ OD ⊥ 90PQF ∴∠=︒.45QPF PFQ ∴∠=︒=∠ FQ PQ ∴=.②由题意，得224,--233m P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点D 的坐标为()2,2-,∴直线OD 的表达式：y x =- .(),F m m ∴-.222421--223333m m m m m PF ∴=++=--+. 由①得：PFQ ∆为等腰直角三角形22222121492--2-22333448l PQ PF m m m ===+++∴（）. 2-03a =< , l ∴的最大值为49248． （3）存在，理由如下： 抛物线的对称轴为3112x -+==-， 设224,233N s s s ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，如图所示， 以CE 为边长的1122,CEN M CEM N ，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等∴ 在11CEN M 中，由()-3+10s -=+，解得4s =-，1104,3N ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭， 在22CEM N 中，由310s -+=-+，解得2s =，2102,3N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 以CE 对角线的33EM CN ，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，()301s ∴-+=+-，解得2s =-，()32,2N ∴-综上，点N 的坐标：（2，103-），（-4，103-），（-2，2）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用等腰直角三角形的性质；解②的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用平行四边形的对角顶点的横坐标的和和相等得出N 点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏．。
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》综合练习(附答案)
22.1二次函数图像性质 综合练习题(附答案)1、函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。
2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。
4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。
5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。
6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。
求：（1）求出此函数关系式。
（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。
7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。
2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。
2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y 。
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。
沪科版九年级数学上册21.4.1利用二次函数模型解决最值问题同步练习题
21.4.1利用二次函数模型解决最值问题一、选择题1．某汽车出租公司一天的租车总收入y (元)与每辆出租车的日租金x (元)满足函数表达式y ＝－35(x －120)2＋19440(0≤x ≤200)，则该公司一天的租车总收入最多为( )A ．120元B ．200元C ．1200元D ．19440元2．]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图1所示的三处各留1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m ，则能建成的两间饲养室总面积最大为 ( )图1A ．75m2B. 752m 2 C ．48m2D. 2252m 23．某超市的小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，某种进价为2元/千克的苹果每天的销售量y (千克)和当天的售价x (元/千克)之间满足y ＝－20x ＋200(3≤x ≤5)，若要使该种苹果当天的利润W 达到最高，则其售价应为( )A ．5元/千克B ．6元/千克C ．3.5元/千克D ．3元/千克4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y (单位：万元)与销售量x (单位：辆)之间分别满足：y 1＝－x 2＋10x ，y 2＝2x .若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( )A ．30万元B ．40万元C ．45万元D ．46万元二、填空题5．某商品的利润y (元)与单价x (元/件)之间的函数表达式为y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润是________.6．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y (元/平方米)是楼层数x (楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则________楼房子最贵，且价格为________元/平方米．7．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.8．一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价________元．三、解答题9．直线l过点A(a，0)和点B(0，b)，其中a＞0，b＞0，若a＋b＝12，点O为原点，△AOB的面积为S，则当b为何值时，S取得最大值？并求出这个最大值．10．某种商品每天的销售利润y(元)与每个商品的售价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx －75，其图象如图2所示．(1)当每个商品的售价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)每个商品的售价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．图211.某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为y＝⎩⎨⎧－2x ＋140()40≤x <60，－x ＋80()60≤x ≤70. (1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元)，请直接写出年利润W (万元)关于售价x (元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？12．如图3，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． (2)如果要围成面积为45m 2的花圃，那么AB 的长是多少米？(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．图313 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图4所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？图4答案1．D2．[解析]A 设垂直于现有墙的一边长为x m ，则平行于现有墙的一边长为27＋3－3x ＝(30－3x)m ，则饲养室的总面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故能建成的饲养室的最大面积为75m 2.3．[解析]A W ＝(x －2)(－20x ＋200)＝－20(x －6)2＋320，因为3≤x ≤5，当x ≤6时，W 随x 的增大而增大，故当x ＝5时，W 取最大值．故选A .4．[解析]D 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x)辆．根据题意，得总利润W ＝ y 1＋y 2＝－x 2＋10x ＋2(15－x)＝－x 2＋8x ＋30＝－(x －4)2＋46，故能获得的最大利润为46万元．5．[答案]5元[解析]当x ＝1时，函数有最大值5，且1在0.5≤x ≤2的范围内，所以当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润为5元．6．[答案]四 5200[解析]设y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入(1，4930)，(2，5080)，(6，5080)， 解得y ＝－30(x －4)2＋5200. 当x ＝4时，y ＝5200. 7．[答案]12.5[解析]设这两个正方形的边长分别为x cm 和y cm ，它们的面积之和为S cm 2.根据题意，得4x ＋4y ＝20，S ＝x 2＋y 2，所以y ＝5－x ，S ＝x 2＋(5－x)2＝2x 2－10x ＋25＝2(x 2－5x)＋25＝2(x －52)2＋252.所以当x ＝2.5时，这两个正方形的面积之和最小，最小是12.5cm 2.8．59．解：∵a ＋b ＝12，∴a ＝12－b.又∵S ＝12ab ，∴S ＝12(12－b)b ＝－12b 2＋6b ＝－12(b －6)2＋18.又∵－12＜0，∴当b ＝6时，S 取得最大值，最大值为18.10．解：(1)函数y ＝ax 2＋bx －75的图象过点(5，0)，(7，16)，则⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20， 则y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25，故函数图象的顶点坐标是(10，25)． ∵a ＝－1＜0，∴当x ＝10时，y 最大值＝25.故当每个商品的售价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元． (2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象的对称轴为直线x ＝10， ∴点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)． 又∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象开口向下， ∴当7≤x ≤13时，y ≥16.即每个商品的售价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 11．解：(1)当40≤x ＜60时，W ＝(x －30)(－2x ＋140)＝－2x 2＋200x －4200， 当60≤x ≤70时，W ＝(x －30)(－x ＋80)＝－x 2＋110x －2400. (2)当40≤x ＜60时，W ＝－2x 2＋200x －4200＝－2(x －50)2＋800， ∴当x ＝50时，W 取得最大值，最大值为800；当60≤x ≤70时，W ＝－x 2＋110x －2400＝－(x －55)2＋625， ∴当x ＞55时，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝60时，W 取得最大值，最大值为－(60－55)2＋625＝600. ∵800＞600，∴当x ＝50时，W 取得最大值800.答：该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．12．解：(1)S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x(143≤x<8)．(2)当S ＝45时，有－3x 2＋24x ＝45. 解得x 1＝3，x 2＝5. ∵143≤x<8， ∴x ＝5， 即AB 的长为5m .(3)能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，∴在143≤x<8的范围内，当x ＝143时，S 取得最大值，S 最大值＝1403.即最大面积为1403m 2，此时AB ＝143m ，BC ＝10m .13 解：(1)方法一：设AE ＝a m ．由题意，得AE ·AD ＝2BE ·BC ，AD ＝BC ，所以BE ＝12a ，AB ＝32a.由题意，得2x ＋3a ＋a ＝80，所以a ＝20－12x ，所以y ＝AB ·BC ＝32a ·x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12x x ，即y ＝－34x 2＋30x ，其中0<x<40.方法二：根据题意，得CF ·x ＝y 3，CF ＝y 3x ，DF ·x ＝2y 3，DF ＝2y 3x ，所以2x ＋2×y 3x ＋3×2y3x ＝80，整理得y ＝－34x 2＋30x ，其中0＜x ＜40.(2)y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300，因为－34＜0，所以抛物线开口向下．又因为0＜x ＜40，所以当x ＝20时，y 取得最大值，最大值为300.。
2021年九年级中考数学复习微专题《利用二次函数性质求最值》经典题型分类专题提升练习
２０２１年中考数学复习微专题《利用二次函数性质求最值》经典题型分类专题提升练习类型一：几何图形中的面积最值问题１．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ＡＢＣＤ，其中∠Ｃ＝１２０°．若新建墙ＢＣ与ＣＤ总长为１２ｍ，则该梯形储料场ＡＢＣＤ的最大面积是（）Ａ．１８ｍ２Ｂ．１８ 3 ｍ２Ｃ．２４ 3 ｍ２Ｄ．4532ｍ２２．在矩形ＡＢＣＤ的各边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ和ＤＡ上分别选取点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，使得ＡＥ＝ＡＨ＝ＣＦ＝ＣＧ，如果ＡＢ＝６０，ＢＣ＝４０，四边形ＥＦＧＨ的最大面积是（）Ａ．１３５０Ｂ．１３００Ｃ．１２５０Ｄ．１２００３．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙（墙长１５ｍ），另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为３０ｍ，门宽是２ｍ，若设这块场地的宽为ｘｍ，养殖场地的面积为ｙｍ２，则当ｘ为何值时，ｙ有最大值？最大值为多少？４．如图，有一块三角形空地，底边长ＢＣ＝１００米，高ＡＨ＝８０米，某单位要沿着底边ＢＣ修一座底面是矩形ＤＥＦＧ的大楼，Ｄ、Ｇ分别在ＡＢ、ＡＣ边上，Ｅ、Ｆ在边ＢＣ上，当矩形ＤＥＦＧ的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多少？５．为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用ｙ（元）与种植面积ｘ（ｍ２）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米１００元．（１）直接写出当０≤ｘ≤３００和ｘ＞３００时，ｙ与ｘ的函数关系式；（２）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共１２００ｍ２，若甲种花卉的种植面积不少于２００ｍ２，且不超过乙种花卉种植面积的２倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？６．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用２８ｍ长的篱笆围成一个矩形花园ＡＢＣＤ（篱笆只围ＡＢ，ＢＣ两边），设ＡＢ＝ｘｍ．（１）若花园的面积为１９２ｍ２，求ｘ的值；（２）若在Ｐ处有一棵树与墙ＣＤ，ＡＤ的距离分别是１５ｍ和６ｍ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积Ｓ的最大值．类型二：销售利润问题１．某商店经营一种玩具，已知所获利润ｙ（元）与销售的单价ｘ（元）之间的关系为ｙ＝－ｘ２＋２４ｘ＋２９５６，则获利最多为（）Ａ．３１４４元Ｂ．３１００元Ｃ．１４４元Ｄ．２９５６元２．某商品现在的售价为每件６０元，每星期可卖出３００件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价１元，每星期要少卖出１０件，已知商品的进价为每件４０元，如何定价才能使利润最大？３．小明投资销售一种进价为每件２０元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量ｙ（件）与销售单价ｘ（元）之间的关系满足一次函数ｙ＝－１０ｘ＋５００，在销售过程中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的６０％．（１）设小明每月获得利润为Ｗ（元），求每月获得利润Ｗ（元）与销售单价ｘ（元）之间的函数关系式，并确定自变量ｘ的取值范围；（２）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？４．某商场以每件３０元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量ｍ（件）与每件的销售价ｘ（元）满足一次函数关系ｍ＝１６２－３ｘ．（１）请写出商场卖这种商品每天的销售利润ｙ（元）与每件销售价ｘ（元）之间的函数关系式；（２）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到５００元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．５．某饮料经营部每天的固定成本为２００元，其销售的饮料每瓶进价为５元．销售单价与日均销售量的关系如下：（１）若记销售单价比每瓶进价多ｘ元时，日均毛利润（毛利润＝售价－进价－固定成本）为ｙ元，求ｙ关于ｘ的函数解析式和自变量的取值范围；（２）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？６．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价１０元／件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于１６元／件，市场调查发现，该商品每天的销售量ｙ（件）与销售价ｘ（元／件）之间的函数关系如图所示．（１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围；（２）求每天的销售利润Ｗ（元）与销售价ｘ（元／件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？７．我市某超市销售一种文具，进价为５元／件．售价为６元／件时，当天的销售量为１００件．在销售过程中发现：售价每上涨０．５元，当天的销售量就减少５件．设当天销售单价统一为ｘ元／件（ｘ≥６，且ｘ是按０．５元的倍数上涨），当天销售利润为ｙ元．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（２）要使当天销售利润不低于２４０元，求当天销售单价所在的范围；（３）若每件文具的利润不超过８０％，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．类型三：动点最值问题１．如图，抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３与ｙ轴交于点Ｃ，点Ｄ（０，１），点Ｐ是抛物线上的动点．若△ＰＣＤ是以ＣＤ为底的等腰三角形，则点Ｐ的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．２．如图所示，甲、乙两船分别从Ａ地和Ｃ地同时开出，各沿箭头所指方向航行，已知ＡＣ＝１０海里，甲、乙两船的速度分别是每小时１６海里和每小时１２海里，同时出发多长时间后，两船相距最近？最近距离是多少？３．如图１，抛物线ｙ＝－３［（ｘ－２）２＋ｎ］与ｘ轴交于点Ａ（ｍ－２，０）５和Ｂ（２ｍ＋３，０）（点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ，连接ＢＣ．（１）求ｍ，ｎ的值．（２）如图２，点Ｎ为抛物线上的一动点，且位于直线ＢＣ上方，连接ＣＮ，ＢＮ．求△ＮＢＣ面积的最大值．（３）如图３，点Ｍ，Ｐ分别为线段ＢＣ和线段ＯＢ上的动点，连接ＰＭ，ＰＣ，是否存在这样的点Ｐ，使△ＰＣＭ为等腰三角形，△ＰＭＢ为直角三角形同时成立？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．４．如图，抛物线经过Ａ（－２，０），Ｂ，Ｃ（０，２）三点．（１）求抛物线的解析式；（２）在直线ＡＣ下方的抛物线上有一点Ｄ，使得△ＤＣＡ的面积最大，求点Ｄ的坐标．５．如图，抛物线ｙ＝－２３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左侧），点Ａ的坐标为（－１，０），与ｙ轴交于点Ｃ（０，２），直线ＣＤ：ｙ＝－ｘ＋２与ｘ轴交于点Ｄ．动点Ｍ在抛物线上运动，过点Ｍ作ＭＰ⊥ｘ轴，垂足为点Ｐ，交直线ＣＤ于点Ｎ．（１）求抛物线的表达式．（２）当点Ｐ在线段ＯＤ上时，△ＣＤＭ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（３）点Ｅ是抛物线对称轴与ｘ轴的交点，点Ｆ是ｘ轴上一动点，点Ｍ在运动过程中，若以Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｍ为顶点的四边形是平行四边形时，请写出点Ｆ的坐标．。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))
2023年中考专题训练——二次函数的最值1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =． (1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线2323333y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B 作直线BD ∥直线AC ，交抛物线y 于另一点D ，点P 为直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求线段AB 的长．(2)过点P 作PF y ∥轴交AC 于点Q ，交直线BD 于点F ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，求233PE PF +的最大值及此时点P 的坐标． (3)如图2，将抛物线2323333y x x =--+向右平移3个单位得到新抛物线y '，点M 为新抛物线上一点，点N 为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标，并写出其中一个点N 的坐标的求解过程． 3．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，且对称轴为直线1x =．(1)求b c +的值；(2)当43x -≤≤时，求y 的最大值；(3)平移抛物线2y x bx c =+-，使其顶点始终在二次函数221y x x =--上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值．4．已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+（m 为常数）．（1）若它的一个实数根是方程()2140x --=的根，则m =_____，方程的另一个根为_____； （2）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根，求m 的值； （3）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根，求m n +的最小值．5．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上． ①求二次函数的解析式；②若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围． （2）当-1≤x ≤1时，函数值y 有最小值为﹣a 2，求a 的值（其中a 为二次函数的二次项系数）．7．已知直线1y kx =+经过点()2,3，与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求k ，b 的值；（2）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()12,0,0x x 且2139x x ≤-<，若22123p x x =-，求p 的最大值；（3）当12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，直接写出c 的取值范围．8．如图，直线:l y m =-与y 轴交于点A ，直线:a y x m =+与y 轴交于点B ，抛物线2y x mx =+的顶点为C ，且与x 轴左交点为D （其中0m >）．（1）当12AB =时，在抛物线的对称轴上求一点P 使得BOP △的周长最小；（2）当点C 在直线l 上方时，求点C 到直线l 距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当2021m =时，求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．10．如图，抛物线2y x bx c =-++过点()3,2A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为()4,m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ． （1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．求线段PN 的最大值．（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式（2）若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 的解析式； （3）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标及此时距离之和的最小值13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）． （1）抛物线的对称轴为，抛物线与y 轴的交点坐标为；（2）试说明直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）一定存在两个交点； （3）若当－2≤x ≤2时，y 的最大值是1，求当-2≤x ≤2时，y 的最小值是多少？14．如图，抛物线2y ax bx =+经过点()3,33A -、()12,0B ． （1）求抛物线的解析式； （2）试判断OAB 的形状；（3）曲线AB 为抛物线上点A 到点B 的曲线，在曲线AB 上是否存在点P 使得四边形OAPB 的面积最大，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx ﹣6的图象交坐标轴于A （﹣2，0），B （3，0）两点，抛物线与y 轴相交于点C ，抛物线上有一动点P 在直线BC 下方． （1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大．求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．16．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）． （1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小； （3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值． 17．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）如图1，点C 是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C 作CP y ⊥轴，P 为垂足，求CP OP +的最大值；（3）如图2，设抛物线的顶点为点D ，点N 的坐标为()2,16--，问在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒得到线段MN '，且点N '恰好落在抛物线上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值； （3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A '．恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)． （1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积； （3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．20．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当24x ≤≤时，两个函数：()221,211y x y x =+=-+的最大值和最小值； （2）若2y x=的值不大于2，求符合条件的x 的范围；（3）若(0)ky k x=≠，当()20t x x ≤≤≠时既无最大值，又无最小值，求a 的取值范围．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -【分析】（1）先求出点C 的坐标，得到点B 的坐标，再将点A 、B 的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可； （3）存在点P ，设()0,P m ，根据相似三角形对应边成比例列得PC CC PO OB'=，代入数值求出m 即可．【解析】（1）二次函数23y ax bx =+-的图象与y 轴交于C 点，()0,3C ∴-．OB OC =，点A 在点B 的左边，()3,0B ∴．又点A 的坐标为()1,0-，由题意可得：093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为2=23y x x --．（2）()22=2314y x x x ---=-，二次函数顶点坐标为()1,4-，∴当1x =时，4y =-最小值，当01x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， ∴当0x =时，3y =-最大值，当14x <≤时，y 随着x 的增大而增大， ∴当4x =时，5y =最大值．∴当04x ≤≤时，函数的最大值为5，最小值为4-．（3）存在点P ，如图，设()0,P m ，CC OB '∥，且PC 与PO 是相似三角形的对应边，PC CC PO OB ∴'=，即：()323m m --=， 解得：9m =-或95m =-，()0,9P ∴-或90,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 2．(1)4(2)当32t =-时，233PE PF +1733232P ⎛- ⎝⎭； (3)(1,3N --，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭【分析】（1）令232330，求解即可； （2）求直线,AC BD 的解析式，设点232,33P t ⎛ ⎝，则33Q t ⎛ ⎝，33F t ⎛ ⎝⎭，利用30QFC ∠=︒，将所求转化为23333PE PF PQ PF +=+，再求解即可； （3）推出平移后的解析式，设234383,M m ⎛ ⎝⎭，()2,N n -，分三种情况讨论；再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可． 【解析】（1）令232330， 解得1x =或3x =-， ∴()()3,0,1,0A B -，4AB ∴=；（2）232333y x x =-(3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，303k b b -+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为y x =(),1,0AC BD B ∥，∴直线BD 的解析式为y x =设点2,P t ⎛ ⎝+，则Q t ⎛+ ⎝，F t ⎛ ⎝⎭， ∵点P 为直线AC 上方抛物线上一动点，22PQ ∴==，22P F ==∵3,OA OC ==30CAO ∴∠=︒，,PE AC PF OA ⊥⊥， 30QFC ∴∠=︒，PE ∴=，∴222333332PF PQ PF t ⎛⎫+=+==-+ ⎪⎭⎝⎭∴当32t =-时，3PF +32P ⎛- ⎝⎭；（3）)22313y x =-+ ∴抛物线对称轴为直线=1x -，∵抛物线2y =3个单位得到新抛物线y '，∴新抛物线y '的解析式为)22y x =-+'，∴2,M m ⎛ ⎝⎭，()1,N n -，①当AB 为平行四边形的对角线时，2311,0m n -=-+=，∴1,m n =-=∴((1,N M --，；②当AM 为平行四边形的对角线时，234383311,m n -=+-= ∴1133,m n ==∴113113N M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，； ③当AN 为平行四边形的对角线时，24311,3383n m -+-=+=， ∴3735,m n =-= ∴3733735,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，； 综上，N 点坐标分别为(1,3N -，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭． 【点评】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(1)1 (2)21 (3)1312-【分析】（1）根据对称轴公式求出b ，再有二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，代入求出c ，计算即可；（2）根据二次函数的增减性可知，当x =-4时，y 值最大，代入求解即可；（3）因为平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，故设顶点坐标为()2,21h h h --，可得平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，可求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标为231=--w h h ，根据二次函数求最值的方法求解即可． (1)解：由题意可知12bx =-=，∴2b =-． 将(3,0)代入22y x x c =--，得3c =， ∴1b c +=． (2)解：由（1）得2223(1)4y x x x =--=--，∴当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大．∵1(4)31-->-，∴当4x =-时，y 取最大值21． (3)解：∵平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，∴设顶点坐标为()2,21h h h --，故平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，∴22222221231y x hx h h h x hx h h =-++--=-+--． 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ， 则22113313612w h h h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴当16h =时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为1312-． 【点评】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．4．（1）1，0x =；（2）11m =，21m =-；（3）当1n =-时，m n +有最小值为-2． 【分析】(1)求方程2(x -1)-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；解（x -1）(x -2)=m +1，得到另一个根；（2）求方程2(x -m )-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；（3）求方程()240x n --=的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，用含n 的代数式表示m ，构造m +n 与n 的二次函数，利用二次函数的性质确定最值. 【解析】（1）∵2(x -1)-4=0， ∴x =3，∴（3-1）(3-2)=m +1， 解得m =1， ∴（x -1）(x -2)=2， ∴2x -3x =0， ∴123,0x x ==， 故答案为：1，0x =． （2）由()240x m --=，得 2x m =+．则()()21221m m m +-+-=+ ∴21m m m +=+， ∴21m =，∴11m =，21m =-． （3）由()240x n --=，得2x n =+．则()()21221n n m +-+-=+． 即21m n n =+-．∴()222112m n n n n +=+-=+-； ∴当1n =-时，m n +有最小值-2．【点评】本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解题的关键．5．(1) 223y x x =-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆1032(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(417或(4，17-或(2-，314或(2-，314【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【解析】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中，∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为：223y x x =-++； (2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ， ∴BP +CP =AP +CP ， BCPC BP CP BCPA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ，此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ，∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+， 二次函数的对称轴为12bx a=-=，代入3y x =-+，得到2y =， ∴P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC；(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )， 分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点， 由菱形对角线互相垂直知：1AC PQk k ，∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)； 情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，同理有：310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得43m n t=⎧⎪⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，3)或(1，3，对应的Q 点坐标为(4或(4，)； 情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP ，()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，同理有：3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴P 点坐标为(1或(1，，对应的Q 点坐标为(-2，3或(-2，3； 纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，或(2-，3或(2-，3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 6．（1）①234y x x =--；②自变量x 的取值范围为12x >-；（2）a 1401-+25541-- 【分析】（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1，求出新增函数21=5y x x +，利用1y y >两函数作差840x +>解不等式即可；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由-1≤x ≤132<，0a >或a<0分两种情况利用函数的增减性构造关于a 的一元二次方程，求出a 的值即可． 【解析】解：（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），∴二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5， ∴A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∴A （-1，0），B （4，0）， 设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254），∴253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=1a ，∴二次函数解析式为：2=34y x x --， ②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1， ∴()()221=+43+44=5y x x x x --+， ∵1y y >，∴()22534840x x x x x +---=+>，解得12x >-；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当-1≤x ≤132<， 当0a >，二次函数开口向上，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x =1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，整理得24+250a a -=，解得a =0a =<（舍去）， 当a<0，二次函数开口向下，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 整理得24+25250a a -=，解得a =或0a =>（舍去）． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用自变量增大函数值增大构造不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会列不等式与解不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程和解方程是解题关键．7．（1）1k =，1b =；（2）p 最大值为1；（3）30c -<≤或1c =【分析】（1）将（2，3）和1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入直线表达式中可求得k 和n 值，再根据抛物线的对称轴公式求解b 值即可；（2）抛物线的对称轴为直线x =﹣12和2139x x ≤-<得出211x x =--及152x -<≤-，则()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的最值方法求解即可；（3）联立方程组可得x 2=1﹣c ，对c 讨论，结合方程根取值范围进行求解即可． 【解析】解：（1）把()2,3代入1y kx =+得：213k +=，则1k =，∴点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上，∴12n =-，∴抛物线的对称轴122b x =-=-，∴1b =；（2）由（1）知1b =，则2y x x c =++，∵抛物线2y x x c =++与x 轴交点的横坐标为1x ，2x 且213x x -≥ ∴2112x x >-> ∴211122x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即121x x +=-． ∴211x x =--．∴()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵2139x x ≤-<，∴()11319x x ≤---< ∴152x -<≤-∵20-<且对称轴为直线32x =-∴当152x -<≤-时，p 随1x 的增大而增大， ∴当12x =-时，p 取最大值且最大值为1；（3）由（1）知，直线的表达式为1y x =+，抛物线表达式为2y x x c =++，联立方程组21y x y x x c =+⎧⎨=++⎩得：x 2=1﹣c ， 当c ＞1时，该方程无解，不满足题意； 当c =1时，方程的解为x =0满足题意； 当c ＜1时，方程的解为x =±1c -当1c -2即30c -<≤时，满足12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，综上，满足题意的c 的取值范围为30c -<≤或1c =．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 8．（1）()3,3-；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B 坐标，B 的纵坐标减去A 的纵坐标等于12求出m 值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C 坐标2,24m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由C 与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤即可求出最大值；（3）先求出抛物线与直线a 的交点的横坐标，根据每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可． 【解析】解：（1）当0x =时，y x m m =+=， (0,)B m ∴，12AB =，而(0,)A m -，()12m m ∴--=，6m ∴=，∴抛物线L 的解析式为：26y x x =+，L ∴的对称轴3x =-，又知O 、D 两点关于对称轴对称，则OP DP =OB OP PB OB DP PB ∴++=++∴当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，当3x =-时，63y x =+=， (3,3)P ∴-；（2）2224m m y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，L ∴的顶点2,24m m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 在l 上方，C ∴与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）当2021m =时，抛物线解析式2:2021L y x x =+ 直线解析式:2021a y x =+联立上述两个解析式220212021y x xy x ⎧=+⎨=+⎩可得：12021x =-，21x =∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点， ∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复， ∴“整点”的个数：404624044-=（个）； 故2021m =时“整点”的个数为4044个．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 9．（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE 2458， 点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E22727,12t t t t ⎛⎫---⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC ，根据周长之比等于相似比可得())22355651024522828l t t ++⎡⎤=--+=-⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN ∥AB 时；2）当 NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可． 【解析】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--；（2）∵A （0，-1），B （4，1）， ∴直线AB 的函数表达式为112y x =-， ∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴， ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ，∴PE =()2228228t t t -+=--+， ∵PD ⊥AB ， ∴∠EDP =∠COA ， ∴△PDE ∽△AOC ， ∵AO =1，OC =2， ∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为lACPE=，∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-⎣⎦， ∴当t =2时，△PDE8， 此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =． ①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形， 即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）；2）当 NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点评】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．10．（1）21722y x x =-++；（2）352（3）存在，点Q 的坐标为(10,23Q 、(20,23Q 【分析】（1）先将点B 的坐标为(4,)m 代入代入直线解析式中，求得点B 的坐标，再利用,A B 坐标，待定系数法求二次函数解析式；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()21222DE m =--+，当2m =时，DE 有最大值为2，此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ，PD PA PD PA A D ''+=+=此时PD PA +最小，勾股定理即可求得；（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，由45AQM ∠=︒可知12AQM AHM ∠=∠，继而可得：2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，勾股定理即可求得点Q 的坐标【解析】解：（1）将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+， 71422m =-+=-， ∴B 的坐标为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将(3,2)A ，14,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入 212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； （2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222177112(2)222222DE m m m m m π⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2m =时，DE 有最大值为2 此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)2522A D ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭ 即PD PA +352（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++， ∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ∠=︒，90AHM ∠=︒， ∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM 外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===设(0,)Q t2，2t =2∴符合题意的点Q的坐标：(10,2Q、(20,2Q ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，将军饮马求线段和的最小值，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键．11．（1）211433y x x =-++；（2）3；（3）存在，点Q 的坐标为(1,3)或⎝⎭ 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由抛物线的表达式211433y x x =-++求出y 轴交点C 的坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PQ ，利用三角函数求出PN =PQ cos45°，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，即[]224(4)25m m +--+=；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2，即22[(3)](4)25m m --+-+=；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，分别求解即可． 【解析】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，∴将点A B 、的坐标代入抛物线表达934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：211433y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式211433y x x =-++，当x=0时，y=4，∴点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为：y kx b =+；把点B C 、的坐标代入解析式得：404k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩， 直线BC 的表达式为：4y x =-+；设点(,0)M m ，则点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点4(),Q m m -+， 221114443333PQ m m m m m ∴=-+++-=-+， OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒，∵PM ⊥x 轴，∴∠MQB =90°-∠CBO =90°-45°=45°，∴∠PQN =∠MQB =45°，∵PN ⊥BC ，∴45NPQ NQP ∠=∠=︒，22214222sin 452)33PN PQ m m m ⎫∴=︒=-+=-⎪⎝⎭， 206-<，开口向下，PN 有最大值， 当2m =时，PN 22 （3）存在，理由： 点A C 、的坐标分别为(3,0),(0,4)-，在△OAC 中由勾股定理有()2222-34AC OA OC +=+①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，∴222=CE EQ AC +即()224425m m ⎡⎤⎣-⎦+-+=， 解得：52m =（舍去负值），∴点Q ⎝⎭；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2即[]22(3)(4)25m m --+-+=，解得：1m =或0（舍去0），∴点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣， 解得：2542m =>（舍去）；综上，点Q 的坐标为(1,3)或822⎛- ⎝⎭．．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．12．（1）223y x x =--+；（2）y =x +3；（3）M （-1，2），【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得12b a-=-，然后代入A （1,0），C （0，3）代入抛物线解析式03a b c c ++=⎧⎨=⎩解方程组即可； （2）利用（1）的函数解析式令y =0，解方程即可求出点B 坐标，再根据B 、C 坐标利用待定系数法求直线BC 的解析式即可；（3）由点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D （-1，2），由点M 在对称轴上，可得AM =BM ，由点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，距离之和的最小值就是可得CM +AM =BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =32【解析】解：（1）依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴223y x x =--+；（2）当y=0时2x 2x 30--+=解得123,1x x =-=∴点B （-3，0）由直线BC 的解析式为：y ＝mx+n ，代入B （﹣3，0），C （0，3）得：303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y ＝x +3；（3）∵点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，∴直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D 点，∴当=1x -时3y x =-1+3=2，∴D （-1，2），∵点M 在对称轴上，∴AM =BM ，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，∴点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，点M （-1，2），∴距离之和的最小值就是CM +AM =CM+BM ＝ BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC∴距离之和的最小值就是【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短路径以及M 坐标是解题关键．13．（1）直线x ＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）17-．【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当0x =时，可解得抛物线与y 轴的交点坐标；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x ＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．【解析】解：（1）抛物线y ＝ax 2－2ax －12(1)1a x a =--- ，∴抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线y ＝ax 2－2ax －1中，当0x =时，1y =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为：(0,1)-故答案为：直线x ＝1，(0,1)-；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得x －2 ＝ ax 2－2ax －1，则原方程可化为 ax 2－（2a ＋1）x ＋1＝0，由根的判别式可得2-4b ac ＝()222214441441a a a a a a ⎡⎤-+-=++-=+⎣⎦2410a +>0∴∆>∴直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜ 0）一定存在两个交点；（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x ＝1，顶点坐标为(1,1)a --，∴当－2≤x ≤2时，∵y 的最大值是1，∴顶点坐标为（1， 1），11a ∴--=2a ∴=-∴当x ＜ 1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∵2x =-比2x =离对称轴1x =更远一些，即x ＝－2时，y 有最小值，∴最小值是22(2)2(2)(2)117y =-⨯--⨯-⨯--=-，即y 的最小值是 17-.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.14．（1）2343y x =；（2）直角三角形；（3）存在，点P 坐标为：151353,2⎛ ⎝⎭． 【分析】（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，利用待定系数法解题；（2）利用勾股定理的逆定理解题；（3）连接AB ，利用待定系数法解得直线AB 的解析式为：33y =-2343P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点343N x x ⎛- ⎝，由三角形面积公式，结合二次函数的最值问题解题即可．【解析】解：（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，得9333144120a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②， ①4⨯-②得，1083a -=-3a ∴= 把3a =①得 43b =343a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：2343y x =；（2）(0,0)O，(3,A -、(12,0)B(222336OA ∴=+=∣(222(123)108AB =-+=2212144OB ==22236108144OA AB OB +=+==OAB ∴△为直角三角形；（3）存在，连接AB ，OAB APB OAPB S S S =+△△四边形而OAB S 已确定，要使四边形OAPB S 面积最大，只需要APB S 最大即可，设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，把点(3,A -、(12,0)B代入，得：3120k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的解析式为：y x =-设2P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点N ，于是N x ⎛- ⎝，则2119922APB APB S PN S x x ⎡⎤⎫=⋅⋅==--⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦△△2x =-当152x ==⎝⎭时，APB S 最大．2x x = ∴符合条件的点P坐标为：15,2⎛ ⎝⎭．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及勾股定理逆定理、待定系数法求一次。
压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题例1．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，3）．①求顶点坐标；②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为；（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．例2．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．例3．（2023春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围．例4．（2023春•柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值．②当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象直接写出m的值．1．（2023•深圳模拟）对于“已知x+y＝1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴xy=x(1−x)=x−x2=−(x−12)2+14；∴xy≤14，所以xy的最大值为14．请你按照这种方法计算：当2n+m＝4（m＞0，n＞0）时，2m +1n的最小值．2．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．3．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．4．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；（2）若a＝b﹣2．①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．5．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．（1）求t的值；（2）若n＜5，求m的取值范围．6．（2023•秦皇岛一模）已知y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1，关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若B 点在直线x ＝1的左侧，C 点在直线x ＝1的右侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围；（3）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小．7．（2022•无为市三模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过点A （1，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3），连接AB 、BC ，令AB BC =λ．（1）若a ＞0，h ＝2，求λ的值；（2）若h ＝1，λ=√55，求a 的值．8．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy 中，点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3）是抛物线y ＝x 2+bx +1上三个点．（1）直接写出抛物线与y 轴的交点坐标；（2）当y 1＝y 3时，求b 的值；（3）当y 3＞y 1＞1＞y 2时，求b 的取值范围．9．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•海淀区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），D（3，y4）四点．（1）求二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，请直接判断y1y4的正负性，即y1y40（填“＞”或“＜”）；（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范围并判断y1，y2的大小关系．11．（2021•西湖区校级二模）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．（1）求b的值；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．12．（2021•安徽二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求a，b的值；（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．13．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM ＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为y N．（1）求顶点C的坐标．（2）①若n＝3，求MB的值．②当0＜n≤4时，求y N的取值范围．14．（2022•香洲区校级三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．＜0）上．（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．16．（2022•博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．（1）求a的值；（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．17．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），（1）求二次函数对称轴；（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．19．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x2，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．。
2025年中考数学总复习+题型7 二次函数的综合应用++++课件+
将点B的坐标代入上式得2 =3 (2-m),
解得m= ,
则点F'( ,3
),点D( ,0),则BD+BF最小值为DF'=
+ ( ) =2 .
30
6.(2024·德阳中考)如图,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.
15
【针对训练】
3.(2024·广元中考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线F:y=-x2+bx+c经过点
A(-3,-1),与y轴交于点B(0,2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接OC交
AB于点D,求 的最大值及此时点C的坐标;
(3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象F',抛物线F与F'只有一个公共点E(点
(2)如图2,在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B,C重合),过点P作PD∥AC,交BC
于点D,过点P作PE∥y轴,交BC于点E.在点P运动的过程中,请求出△PDE周长的最
大值及此时点P的坐标.
10
【解析】(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,
= −
−+=
2
(3)如图②,M是点B关于抛物线的对称轴的对称点,Q是抛物线上的动点,它的横坐
标为m(0<m<5),连接MQ,BQ,MQ与直线OB交于点E,设△BEQ和△BEM的面积分别为
1
S1和S2,求 的最大值.
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(教师版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (5，0)，B (-1，0)两点，与y 轴交于点C 0，52．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G 为抛物线上的一动点，过点G 作GE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点G 的坐标．【分析】(1)运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；(2)以A 为直角顶点，根据点P 的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P 的坐标；(3)连接OD ，易得四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ，根据垂线段最短可得当OD ⊥AC 时，OD (即EF )最短，然后只需求出点D 的纵坐标，就可得到点P 的纵坐标，就可求出点P 的坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (5，0)，B (-1，0)两点，与y 轴交于点C 0，52，∴设抛物线的解析式是y =a (x -5)(x +1)1)，则52=a ×(-5)×1，解得a =-12．则抛物线的解析式是y =-12(x -5)(x +1)=-12x 2+2x +52；(2)存在．当点A 为直角顶点时，过A 作AP ⊥AC 交抛物线于点P ，交y 轴于点H ，如图．∵AC ⊥AP ，OC ⊥OA ，∴△OAC ∽△OHA ，∴OA OH =OC OA，∴OA 2=OC •OH ，∵OA =5，OC =52，∴OH =10，∴H(0，-10)，A(5，0)，∴直线AP的解析式为y=2x-10，联立y=2x-10y=-12x2+2x+52 ，∴P的坐标是(-5，-20)．(3)∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，∴四边形OFDE为矩形，∴EF=OD，∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，此时S△AOC=12AC•OD=12OA•OC，∵A(5，0)，C0，52，∴AC=552，∴OD=5，∵DE⊥y轴，OD⊥AC，∴△ODE∽△OCD，∴OD OE =CO OD，∴OD2=OE•CO，∵CO=52，OD=5，∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，∴y=-12x2+2x+52=2，解得x1=2-5，x2=2+5，∴点G的坐标为(2-5，2)或(2+5，2)．【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第(3)小题的关键．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM +MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求解可得；(2)先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；(3)通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．【解答】解：(1)把A (-4，0)，B (1，0)代入y =ax 2+2x +c ，得16a -8+c =0a +2+c =0 ，解得：a =23c =-83 ，∴抛物线解析式为：y =23x 2+2x -83，∵过点B 的直线y =kx +23，∴代入(1，0)，得：k =-23，∴BD 解析式为y =-23x +23；(2)由y =23x 2+2x -83y =-23x +23得交点坐标为D (-5，4)，如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形，则△DEP 1∽△P 1OC ，∴DE PO =PE OC ，即4t =5-t 23，解得t =15±1296，当P 2D ⊥DC 于点D 时，△P 2DC 为直角三角形由△P 2DB ∽△DEB 得DB EB =P 2B DB，即526=t +152，解得：t =233；当P 3C ⊥DC 时，△DFC ∽△COP 3，∴DF OC =CF P 3O ，即523=103t ，解得：t =49，∴t 的值为49、15±1296、233．(3)由已知直线EF 解析式为：y =-23x -103，在抛物线上取点D 的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD ′于点H ，此时，DM +MN =D ′N 最小．则△EOF ∽△NHD ′设点N 坐标为a ，-23a -103，∴OE NH =OF HD '，即54--23a -103 =1032-a ，解得：a =-2，则N 点坐标为(-2，-2)，求得直线ND ′的解析式为y =32x +1，当x =-32时，y =-54，∴M 点坐标为-32，-54，此时，DM +MN 的值最小为D 'H 2+NH 2=42+62=213．【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y =-12x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象与x 轴交于A (1，0)，B 两点(点A 在点B 左侧)．与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(Ⅰ)当b =2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P 是y 轴上一点，连接BP ，当PB =PC ，OP =2时，求b 的值；(Ⅲ)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为(4，0)，对称轴交x 轴于点E ，点Q 是线段DE 上一点，点N 为线段AB 上一点，且AN =2BN ，连接NQ ，求DQ +54NQ 的最小值．【分析】(Ⅰ)求出函数的解析式即可求解；(Ⅱ)由题意可求P (0，2)或(0，-2)，将A 点代入抛物线解析式可得c =12-b ，在求出B (2b -1，0)，C 0，12-b ，由PB =PC ，(2b -1)2+4=12-b -2 2或(2b -1)2+4=12-b +2 2，再由2b -1>1，求出b 即可；(Ⅲ)先求出抛物线的解析式y =-12x 2+52x -2，设Q 52，t过点N 作AD 的垂线交于点M ，交对称轴于点Q ，利用直角三角形可得MQ =45DQ ，当M 、Q 、N 三点共线时，DQ +54NQ 有最小值54MN ，在Rt △AMN 中，AN =2，求出MN =65，可求DQ +54NQ 的最小值为32．【解答】解：(Ⅰ)当b =2时，y =-12x 2+2x +c ，将点A (1，0)代入y =-12x 2+2x +c ，∴c =-32，∴y =-12x 2+2x -32=-12(x -2)2+12，∴抛物线的顶点为2，12 ；(Ⅱ)∵点P 是y 轴上一点，OP =2，∴P (0，2)或(0，-2)，将A 代入y =-12x 2+bx +c ，∴-12+b +c =0，∴c =12-b ，∵-12x 2+bx +12-b =0，∴1+x 1=2b ，∴x 1=2b -1，∴B (2b -1，0)，令x =0，则y =2b -1，∴C 0，12-b ，∵PB =PC ，∴(2b -1)2+4=12-b -2 2或(2b -1)2+4=12-b +2 2，解得b =12或b =116或b =12或b =-56，∵A 点在B 点左侧，∴2b -1>1，∴b >1，∴b =116；(Ⅲ)将点A 、B 代入y =-12x 2+bx +c ，∴-12+b +c =0-8+4b +c =0 ，b =52c =-2，∴y =-12x 2+52x -2，∴抛物线的对称轴为直线x =52，∴E 52，0，∵y =-12x 2+52x -2=-12x -52 2+98，∴顶点D 52，98，∵A (1，0)，B (4，0)，∴AB =3，∵AN =2BN ，∴AN =2，BN =1，∴N (3，0)，设Q 52，t，过点N 作AD 的垂线交于点M ，交对称轴于点Q ，∵AE =32，DE =98，∴tan ∠DAE =34，∴∠EQN =∠DAE ，∴∠DAN =∠MQD ，∴tan ∠MQD =34，∴sin ∠MQD =45，∴MQ =45DQ ，∵DQ +54NQ =5445DQ +NQ =54(MQ +NQ )，∴当M 、Q 、N 三点共线时，DQ +54NQ 有最小值54MN ，在Rt △AMN 中，AN =2，∴sin ∠MAN =35，∴MN =35×2=65，∴DQ +54NQ =54×MN =32，∴DQ +54NQ 的最小值为32．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用一元二次方程求最值是解题的关键．二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【分析】(1)把A(-3，0)，B(0，3)代入抛物线y=-x2+bx+c即可解决问题．(2)首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．(3)①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=AMAC=NQQC求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．【解答】解：(1)∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(-3，0)，B(0，3)，∵抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点，∴c=3-9-3b+c=0解得b=-2c=3，∴b=-2，c=3．(2)，对于抛物线y=-x2-2x+3，令y=0，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或1，∴点C坐标(1，0)，∵AD=DC=2，∴点D坐标(-1，0)，∵BE=2ED，∴点E坐标-23，1，设直线CE 为y =kx +b ，把E 、C 代入得到-23k +b =1k +b =0 解得k =-35b =35 ，∴直线CE 为y =-35x +35，由y =-35x +35y =-x 2-2x +3解得x =1y =0 或x =-125y =5125 ，∴点M 坐标-125，5125．(3)①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP =AR ，AQ =AG ，∠QAC =∠RAP =60°，∴∠QAR =∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，AQ =AG ∠QAR =∠GAP AR =AP，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR =PG ．②如图3中，∵PA +PG +PC =QR +PR +PC =QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA +PG +PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO =60°，AO =3，∴AG =QG =AQ =6，∠AGO =30°，∵∠QGA =60°，∴∠QGO =90°，∴点Q 坐标(-6，33)，在RT △QCN 中，QN =33，CN =7，∠QNC =90°，∴QC =QN 2+NC 2=219，∵sin ∠ACM =AM AC=NQ QC ，∴AM =65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM =60°，∵PM =PR ，cos30°=AM AP，∴AP =121919，PM =RM =61919∴MC =AC 2-AM 2=141919，∴PC =CM -PM =81919，∵PK QN =CP CQ =CK CN ，∴CK =2819，PK =12319，∴OK =CK -CO =919，∴点P 坐标-919，12319 ．∴PA +PC +PG 的最小值为219，此时点P 的坐标-919，12319．【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q 、R 、P 、C 共线时，PA +PG +PC 最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．题型五二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y =-x 2+4ax +b (a >0)与x 轴相交于O 、A 两点(其中O 为坐标原点)，过点P (2，2a )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (其中B 、C 不重合)，连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ．(1)a =32时，求抛物线的解析式和BC 的长；(2)如图a >1时，若AP ⊥PC ，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使AP PN=12若存在，求出a 的值，如不存在，请说明理由．【分析】(1)根据抛物线经过原点b =0，把a =32、b =0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B 、C 坐标，即可求出BC 长．(2)利用△PCB ∽△APM ，得PB AM=BC PM ，列出方程即可解决问题．【解答】解：(1)∵抛物线y =-x 2+4ax +b (a >0)经过原点O ，∴b =0，∵a =32，∴抛物线解析式为y =-x 2+6x ，∵x =2时，y =8，∴点B 坐标(2，8)，∵对称轴x =3，B 、C 关于对称轴对称，∴点C 坐标(4，8)，∴BC =2．(2)∵AP ⊥PC ，∴∠APC =90°，∵∠CPB +∠APM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠CPB =∠PAM ，∵∠PBC =∠PMA =90°，∴△PCB ∽△APM ，∴PB AM =BC PM ，∴6a -44a -2=4a -42a，整理得a 2-4a +2=0，解得a =2±2，∵a >1，∴a =2+2．(3)当点P 在等A 的左侧时，∵△APM ∽△ANO ，∴AP PN =AM MO=12，∵AM =4a -2，OM =2，∴4a -22=12，∴a =34．当点P 在D 点A 的右侧时，同法可得OA =AM ，4a =2-4a ，∴a =14，综上所述，满足条件的a 的值为34或14．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y =12x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y =12x 2+mx -2经过点A ，和x 轴的另一个交点为C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；(3)如图2，经过点M (-4，1)的直线交抛物线于点P 、Q ，连接CP 、CQ 分别交y 轴于点E 、F ，求OE •OF 的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b 2a ，4ac -b 24a【分析】(1)先求得点A 的坐标，然后将点A 的坐标代入抛物线的解析式求得m 的值即可；(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D n ，12n 2+32n -2 ，H n ，12n +2 ，然后用含n 的式子表示DH 的长，接下来，利用配方法求得DH 的最大值，从而可求得△ABD 面积最大值；(3)先求得点C 的坐标，然后设直线CQ 的解析式为y =ax -a ，CP 的解析式为y =bx -b ，接下来求得点Q 和点P 的横坐标，然后设直线PQ 的解析式为y =x +d ，把M (-4，1)代入得：y =kx +4k +1，将PQ 的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x 的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab =-12，最后，由ab 的值可得到OE •OF 的值．【解答】解：(1)把y =0代入y =12x +2得：0=12x +2，解得：x =-4，∴A (-4，0)．把点A 的坐标代入y =12x 2+mx -2得：m =32，∴抛物线的解析式为y =12x 2+32x -2．(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D n ，12n 2+32n -2 ，H n ，12n +2 ．∴DH =12n +2 -12n 2+32n -2 =-12(n +1)2+92．∴当n =-1时，DH 最大，最大值为92，此时△ABD 面积最大，最大值为12×92×4=9．(3)把y =0代入y =12x 2+32x -2，得：x 2+3x -4=0，解得：x =1或x =-4，∴C (1，0)．设直线CQ 的解析式为y =ax -a ，CP 的解析式为y =bx -b ．∴y =ax -a y =12x 2+32x -2，解得：x =1或x =2a -4．∴x Q =2a -4．同理：x P =2b -4．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，把M (-4，1)代入得：y =kx +4k +1．∴y =kx +4k +1y =12x 2+32x -2．∴x 2+(3-2k )x -8k -6=0，∴x Q +x P =2a -4+2b -4=2k -3，x Q •x P =(2a -4)(2b -4)=-8k -6，解得：ab =-12．又∵OE =-b ，OF =a ，∴OE •OF =-ab =12．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a 、b 的方程组求得ab 的值是解题的关键．题型七二次函数与线段比值问题7.抛物线y =ax 2+c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上一点，且位于x 轴下方．(1)如图1，若P (1，-3)，B (4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上一点，满足∠DPO =∠POB ，求点D 的坐标；(2)如图2，已知直线PA ，PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE +OF OC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD ∥OB ，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D 点坐标；(2)根据待定系数法，可得E 、F 点的坐标，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：(1)①将P (1，-3)，B (4，0)代入y =ax 2+c ，得16a +c =0a +c =-3 ，解得a =15c =-165 ，抛物线的解析式为y =15x 2-165；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO =∠POB ，得DP ∥OB ，D 与P 关于y 轴对称，P (1，-3)，得D (-1，-3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G ．作PH ⊥OB 于点H ，则OH =1，PH =3．∵∠DPO =∠POB ，∴PG =OG ．设OG =x ，则PG =x ，HG =x -1．在Rt △PGH 中，由x 2=(x -1)2+32，得x =5．∴点G (5，0)．∴直线PG 的解析式为y =34x -154解方程组y =34x -154y =15x 2-165 得x 1=1y 1=-3 ，x 2=114y 2=-2716 ．∵P (1，-3)，∴D 114，-2716．∴点D 的坐标为(-1，-3)或114，-2716．(2)点P 运动时，OE +OF OC是定值，定值为2，理由如下：作PQ ⊥AB 于Q 点，设P (m ，am 2+c )，A (-t ，0)，B (t ，0)，则at 2+c =0，c =-at 2．∵PQ ∥OF ，∴PQ OF =BQ BO，∴OF =PQ ⋅BO BQ=-(am 2+c )t t -m =(am 2-at 2)t m -t =amt +at 2．同理OE =-amt +at 2．∴OE +OF =2at 2=-2c =2OC ．∴OE +OF OC=2．【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D 点坐标是解题关键；(2)利用待定系数法求出E 、F 点坐标是解题关键．题型八二次函数与倒数和定值问题8.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴分别交于A (-1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是抛物线顶点，点P (m ，n )是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD 、BC 、BP ，若∠CBD =∠ABP ，求m 的值；(3)如图1，过B 、C 、O 三点的圆上有一点Q ，并且点Q 在第四象限，连接QO 、QB 、QC ，试猜想线段QO 、QB 、QC 之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC 的角平分线交y 轴于点G ，过点G 的直线分别交射线AB 、AC 于点E 、F (不与点A 重合)，则1AE +1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．【分析】(1)利用待定系数法求解二次函数的解析式即可：(2)如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，先求解顶点D(1．-4)，证明∠BCD=90°，tan∠DBC=CD BC =232=13，则tan∠CBD=tan∠ABP=13，再列方程求解即可；(3)如图，作O关于BC的对称点N，证明四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，QN，再分两种情况讨论：当Q在B，N之间时，当Q在C、N之间时，从而可得答案；(4)过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：证明ACOA~ACGM，AACQ~AMG，可得1OA+1AC=1GM，同理可得：理可得：1AE+1AF=1GM，从而可得答案．【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与轴分别交于A(-1，0)、B(3.0)两点，设抛物线为：y=a(x+1)(x-3)，∵OB=OC，∴C(0，-3)，∴-3a=-3．解得：a=1，所以抛物线为：y=a(x+1)(x-3)=x2-2x-3；(2)如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D(1，-4)，∴CD2=(1-0)2+(-4+3)2=2，BC2=32+32=18，∴CD2+BC2=BD2，∴∠BCD=90°，tan∠DBC=CDBC =232=13，∵∠CBD=∠ABP，∴tan∠CBD=tan∠ABP=13，∵P(m，n)，m<0，n>0，∴AB=3-m，PA-n=m2-2m-3，∴m2-2m-33-m =13，∴m=-43，经检验符合题意；(3)如图，作O关于BC的对称点N，而OB=OC-3，0B⊥OC，∴四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，ON，∴CN=BN=OC=CN=3，BC⊥ON，BC，ON为圆的直径，当Q在B，N之间时(与B不重合)，在QC上截取CK=BQ，∵∠NBQ=∠NCQ，∴ΔΝCΚ≌ΔΝBQ(SAS)，∴∠CNK=∠BNO，∴∠BNO+∠BNK=∠BNK+∠CNK=∠CNB-90°，∵BC⊥ON，∴∠KQN=12x90°=45°=∠QKN，∴QK2=2QN2，∴(QC-QB)2=2QN2，∵ON为直径，则∠OQN=90°，∴QN2=ON2-QO2=BC2-QO2=18-QO2，∴(QC-QB)2=2(18-QO2)，而同理可得：QC2+QB2=18，整理得：QO2-QC•QB=9，当Q在C，N之间时(与C不重合)，如图，同理可得：QO2-QC•QB=9；(4)过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：∵MG∥x轴，FT∥x轴，CQ∥x轴，∴MG∥FT∥CQ∥OA，∴△COA∽△CGM，△ACQ∽△AMG，∴GMOA =CMAC，GMCQ=AMAC，∴GMOA +GMCQ=CMAC+AMAC=1，∴1 OA +1CQ=1GM，∵AG平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠AQC，∴AC=CQ，∴1 OA +1AC=1GM，同理可得：1AE +1AF=1GM，由(1)可知：A(-1，0)，C(0，-3)，∴AC=12+32=10，∴1 AE +1AF=1GM=1OA+1AC=1+1010=10+1010，∴1 AE +1AF的值不变，为10+1010．【点评】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的35若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-316x -1 2+3(2)存在，G 的坐标为0,4516或-15,-45 ．【分析】(1)依题意，利用二次函数的顶点式即可求．(2)先求线段AD 所在的直线解析式，求利用点到直线的公式d =Ax +By +C A 2+B 2，即可求△ADG 与△BDG 的高，利用三角形面积公式即可求．【详解】(1)依题意，设二次函数的解析式为y =a x -1 2+3将点B 代入得0=a 5-1 2+3，得a =-316∴二次函数的表达式为：y =-316x -1 2+3(2)存在点G ，当点G 在x 轴的上方时，设直线DG 交x 轴于P ，设P (t ，0)，作AE ⊥DG 于E ，BF ⊥DG 于F ．由题意：AE :BF =3:5，∵AE ∥BF ，∴AP :BP =AE :BF =3:5，∴-3-t :5-t =3:5，解得t =-15，∴直线DG 的解析式为y =316x +4516，由y =316x +4516y =316x -12+3 ，解得x =0y =4516 或x =1y =3，∴G 0,4516．当点G 在x 轴下方时，如图2所示，∵AO :OB =3:5∴当点G 在DO 的延长线上时，存在点G 使得S ADG :S BDG =3:5，此时，DG 的直线经过原点，设直线DG 的解析式为y =kx ，将点D 代入得k =3，故y =3x ，则有y =3x y =316x -1 2+3 整理得，x -1 x +15 =0，得x 1=1(舍去)，x 2=-15当x =-15时，y =-45，故点G 为-15,-45 ．综上所述，点G 的坐标为0,4516或-15,-45 ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2.在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2-4x +c 与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(-5,0)．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(0,5)(2)2528(3)存在，(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)【分析】(1)把点A的坐标代入y=-x2-4x+c，求出c的值即可；(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得PE=PH2，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5，设P(m,-m2 -4m+5)，(-5<m<0)，则H(m,m+5)，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；(3)分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．【详解】(1)∵点A(-5,0)在抛物线y=-x2-4x+c的图象上，∴0=-52-4×(-5)+c∴c=5，∴点C的坐标为(0,5)；(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1:∵A(-5,0)，C(0,5)∴OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AHF=45°=∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴PE=PH2，∴当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为y=kx+5，将A(-5,0)代入得0=-5k+5，∴k=1，∴直线AC解析式为y=x+5，设P(m,-m2-4m+5)，(-5<m<0)，则H(m,m+5)，∴PH=(-m2-4m+5)-(m+5)=-m2-5m=-m+522+254，∵a=-1<0，∴当m=-52时，PH最大为25 4，∴此时PE最大为2528，即点P到直线AC的距离值最大；(3)存在，理由如下：∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，设点N的坐标为(-2,m)，点M的坐标为(x,-x2-4x+5)，分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，-5=x-25=m-x2-4x+5，解得x =-3m =-3，∴点M 的坐标为(-3,8)；②当AM 为平行四边形对角线时，x -5=-2-x 2-4x +5=5+m ，解得x =3m =-21，∴点M 的坐标为(3,-16)；③当AN 为平行四边形对角线时，-5-2=x m =5-x 2-4x +5 ，解得x =-7m =-11，∴点M 的坐标为(-7,-16)；综上，点M 的坐标为：(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．3.如图，已知抛物线y =ax 2-32x +c 与x 轴交于点点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使QB +QC 最小？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为点D ，连接PC ，当△PCD 与△ACO 相似时，求点P 的坐标．【答案】(1)y =-12x 2-32x +2(2)存在，Q -32,54 (3)点P 的坐标为(-3,2)或-32,258【分析】(1)由待定系数法求解即可；(2)找到点B 关于对称轴对称的点A ，连接AC 交对称轴于一点即为Q ，求AC 所在直线解析式，即可求解；(3)当△PCD 与△ACO 相似时，则△PCD ∽△CAO 或△PCD ∽△ACO ，故分分类讨论即可：①若△PCD ∽△CAO ，则∠PCD =∠CAO ，可推出点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，由点P 为AC 上方抛物线上的动点，得关于x 的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若△PCD ∽△ACO ，则∠PCD =∠ACO ，PD AO=CD CO ，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，判定△GAC ∽△PDC ，△GHA ∽△AOC ，由相似三角形的性质得比例式，解得点G 的坐标，从而可得直线CG 的解析式，求得直线CG 与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG 的解析式求得其纵坐标，即为此时点P 的坐标．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-32x +c 与x 轴交于点A (-4,0)，B (1,0)，∴16a -32×(-4)+c =0a -32+c =0，解得a =-12c =2 ，∴抛物线的解析式为y =-12x 2-32x +2；(2)存在，如图：∵A ，B 关于对称轴对称，∴QA =QB ，∴QB +QC =QA +QC ，∴QB +QC 的最小值为AC ，∴AC 与对称轴的交点即为所求：由(1)可知，对称轴为：x =-b 2a =--322×-12 =-32，C (0,2)，∵A (-4,0)，C (0,2)，∴AC 所在直线解析式为：y =12x +2，令x =-32，y =12×-32 +2=54，∴Q -32，54；(3)∵点A (-4,0)，B (1,0)，∴OA =4，OB =1，在抛物线y =-12x 2-32x +2中，当x =0时，y =2，∴C (0,2)，∴OC =2，∴AC =OA 2+OC 2=42+22=25．∵PD ⊥AC ，∴∠PDC =90°=∠AOC ，∴当ΔPCD 与ΔACO 相似时，则△PCD ∽△CAO 或△PCD ∽△ACO ，①若△PCD ∽△CAO ，则∠PCD =∠CAO ，∴CP ∥AO ，∵C (0,2)，∴点P 的纵坐标为2，∵点P 为AC 上方抛物线上的动点，∴2=-12x 2-32x +2，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=-3，∴此时点P 的坐标为(-3,2)；②若△PCD ∽△ACO ，则∠PCD =∠ACO ，PD AO =CD CO ，∴PD CD =AO CO=42=2，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，如图：∵PD ⊥AC ，GA ⊥AC ，∴GA ∥PD ，∴△GAC ∽△PDC ，∴GA PD =AC CD ，∴GA AC=PD CD =2，∵GA ⊥AC ，GH ⊥x 轴，∴∠GAC =∠GHA =90°，∴∠AGH +∠GAH =90°，∠GAH +∠CAO =90°，∴∠AGH =∠CAO ，∵∠GHA =∠AOC =90°，∴△GHA ∽△AOC ，∴GH AO =AH CO =GA AC ，即GH 4=AH 2=2，∴GH =8，AH =4，∴HO =AH +OA =8，∴G (-8,8)，设直线CG 的解析式为y =-34x +2，令-34x +2=-12x 2-32x +2，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=-32，把x =-32代入y =-34x +2得：y =-34x +2=-34×-32 +2=258，∴此时点P 的坐标为-32，258 ，综上所述，符合条件的点P 的坐标为(-3,2)或-32，258．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．4.如图，抛物线y =-12x 2+bx +c 过点A 3,2 ，且与直线y =-x +72交于B 、C 两点，点B 的坐标为4,m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD +PA 的最小值．【答案】(1)y =-12x 2+x +72(2)325【分析】(1)将点B 的坐标为(4,m )代入y =-x +72，m =-4+72=-12，B 的坐标为4,-12 ，将A (3,2)，B 4,-12 代入y =-12x 2+bx +c ，解得b =1，c =72，因此抛物线的解析式y =-12x 2+x +72；(2)设D m ,-12m 2+m +72 ，则E m ,-m +72 ，DE =-12m 2+m +72 --m +72 =-12m 2+2m =-12(m -2)2+2，当m =2时，DE 有最大值为2，此时D 2,72，作点A 关于对称轴的对称点A ，连接A D ，与对称轴交于点P ．PD +PA =PD +PA =A D ，此时PD +PA 最小；【详解】(1)将点B 的坐标为(4,m )代入y =-x +72，m =-4+72=-12，∴B 的坐标为4,-12 ，将A (3,2)，B 4,-12 代入y =-12x 2+bx +c ，-12×32+3b +c =2-12×42+4b +c =-12 解得b =1，c =72，∴抛物线的解析式y =-12x 2+x +72；(2)设D m ,-12m 2+m +72 ，则E m ,-m +72 ，DE=-12m2+m+72--m+72=-12m2+2m=-12(m-2)2+2，∴当m=2时，DE有最大值为2，此时D2,7 2，作点A关于对称轴的对称点A ，连接A D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA =A D，此时PD+PA最小，∵A(3,2)，∴A (-1,2)，A D=(-1-2)2+2-722=325，即PD+PA的最小值为325；【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0，B4,0两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．【答案】(1)y=14x2-14x-3(2)①-43,20 9；②-54,73【分析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=14x2-14x-3；(2)①由A(-3,0)，C(0,4)得直线AC解析式为y=43x+4，设D m,43m+4，可得Dm,-43m-4，代入y=14x2-14x-3解得m=-3(与A重合，舍去)或m=-43，故D-43,209；②过C在y轴左侧作CK∥x轴，且CK=AC，连接DK，证明△DCK≌△ECA(SAS)，有DK=CE，故CE+BD最小时，DK+BD最小，此时K，D，B共线，求出K(-5,4)，可得直线BK解析式为y=-4 9x+169，解y=-49x+169y=43x+4即得D的坐标为-54,73．【详解】(1)解：把A(-3,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx-3得：9a-3b-3=016a+4b-3=0，解得a=14b=-14 ，∴抛物线的解析式为y=14x2-14x-3；(2)解：①如图：由A (-3,0)，C (0,4)得直线AC 解析式为y =43x +4，设D m ,43m +4 ，∵点D 关于x 轴的对称点为D ，∴D m ,-43m -4 ，把D m ,-43m -4 代入y =14x 2-14x -3得：-43m -4=14m 2-14m -3，解得m =-3(与A 重合，舍去)或m =-43，∴D -43,209；②过C 在y 轴左侧作CK ∥x 轴，且CK =AC ，连接DK ，如图：∴∠KCD =∠CAE ，∵CD =AE ，CK =AC ，∴△DCK ≌△ECA (SAS )，∴DK =CE ，∴CE +BD 最小时，DK +BD 最小，此时K ，D ，B 共线，∵A (-3,0)，C (0,4)，∴AC =5=CK ，∴K (-5,4)，由K (-5,4)，B (4,0)得直线BK 解析式为y =-49x +169，解y =-49x +169y =43x +4 得x =-54y =73，∴D 的坐标为-54,73．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题是(2)的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-23x 2+43x +2；(2)10+2133(3)点M 的坐标为2,2 或4,-103 或-2,-103．【分析】(1)将点A -1,0 、B 3,0 代入y =ax 2+bx +2a ≠0 即可；(2)求出BC 的解析式，设P t ,-23t 2+43t +2 ，根据题意得2≤t <3，易得PN =-23t -32 2+32，求得其最大值，易证△BOC ∽△MPN ，可得PM =32PN ，MN =132PN ，进而得△PMN 的周长为PN +PM +MN =PN +32PN +132PN =5+132PN ，则当PN 最大时，△PMN 的周长有最大值，代入PN 最大值即可求解；(3)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，分两类考虑，以BC 为对角线，以BC 为边利用平行四边形对边平行且相等求点M 的坐标，和构造直角三角形求点M 的横坐标．【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 过A -1,0 ，B 3,0 两点，∴a -b +2=09a +3b +2=0 ，解得a =-23b =43 ，∴抛物线的解析式为y =-23x 2+43x +2；(2)当x =0时，y =2，即：C 0,2 ，则OC =2，OB =3，BC =13，设BC 的解析式为：y =kx +b 1，将B 3,0 ，C 0,2 代入可得：b 1=23k +b 1=0 ，解得：k =-23b 1=2，∴BC 的解析式为：y =-23x +2，设P t ,-23t 2+43t +2 ，∵点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，∴t >0t <3-23t 2+43t +2≤2，则2≤t <3，当x =t 时，点N 的纵坐标为：y =-23t +2，则PN =-23t 2+43t +2--23t +2 =-23t 2+2t =-23t -32 2+322≤t <3 ，∴当t =2时，PN 有最大值为：-23×2-32 2+32=43，由题意可知，∠BOC =∠P =90°，PN ∥y 轴，则∠PNM =∠OCB ，∴△BOC ∽△MPN ，则OC PN =OB PM =BC MN，则PM =32PN ，MN =132PN ，△PMN 的周长为PN +PM +MN =PN +32PN +132PN =5+132PN ，则当PN 最大时，△PMN 的周长有最大值，即：△PMN 的周长的最大值为5+132×43=10+2133；(3)存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，①以BC 为对角线，过C 作CM ∥x 轴交抛物线与M ，点N 在x 轴上，NB =2=MC ，M 2,2 ；②以BC 为边，过M 作MG 垂直抛物线对称轴于G ，当MG =OB =3，且OC =GN 时，四边形CNMB为平行四边形，M 点横坐标x =3+1=4，纵坐标y =-23×42+43×4+2=-103，M 4,-103；③过N作NH∥x轴，与过M作MH∥y轴交于H，当MH=CO=2，NH=BO=3时，四边形CMNB为平行四边形，M点横坐标为x=1-3=-2，纵坐标y=-23×-22+43×-2+2=-103，M-2,-103 ；综上所述：点M的坐标为2,2或4,-10 3或-2,-103．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA +PC 的最小值等于45时，求m 的值及此时点P 的坐标；(3)当m 取(2)中的值时，若∠APC =2∠ABC ，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)A -2，0 ，B 2m ，0 ，C 0，m(2)m =4，P 3，52 (3)P 点坐标为3，0 或3，52 【分析】(1)将x =0，y =0，分别代入y =-14x 2+12m -1 x +m ，计算求解即可；(2)如图1，连接PB ，由题意知，PA =PB ，则PA +PC =PB +PC ，可知当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 值最小，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =5m ，由PA +PC 的最小值等于45，可得5m =45，计算m 的值，然后得出B ，C 的点坐标，待定系数法求直线BC 的解析式，根据P 是直线BC 与直线l 的交点，计算求解即可；(3)由(2)知m =4，则B 8，0 ，C 0，4 ，抛物线的对称轴为直线x =3，勾股定理逆定理判断△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，记D 为直线l 与x 轴的交点，如图2，连接CD ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD =BD =AD ，由等边对等角可得∠DCB =∠ABC ，由三角形外角的性质可得∠ADC =∠DCB +∠ABC =2∠ABC ，进而可得∠ADC =∠APC ，即P 与D 重合，求此时的P 点坐标；过A ，C ，D 三点作⊙O ，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O 与直线l =3交点即为P ，设P 3，a ，由题意知，圆心O 在直线x =12上，设圆心坐标为12，n ，则AO 2=CO 2=PO 2，根据AO 2=CO 2，可求n 值，根据AO 2=PO 2，可求a 值，进而可得此时的P 点坐标．【详解】(1)解：当x =0时，y =m ，当y =0时，-14x 2+12m -1 x +m =0，整理得x 2-2m -1 x -4m =0，即x -2m x +2 =0，解得x 1=2m ，x 2=-2，∴A -2，0 ，B 2m ，0 ，C 0，m ，(2)解：如图1，连接PB ，由题意知，PA =PB ，∴PA +PC =PB +PC ，∴当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 值最小，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =OB 2+OC 2=4m 2+m 2=5m ，∵PA +PC 的最小值等于45，∴5m =45，解得m =4，∴B 8，0 ，C 0，4 ，∴抛物线的对称轴为直线x =3，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B 8，0 ，C 0，4 代入得，0=8k +b 4=b，解得k =-12b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-12x +4，。
二次函数配方法求最值例题
二次函数配方法求最值例题
一、题目描述
求函数f(x)=ax2+bx+c在定义域上的最小值或最大值。
二、解题思路
二次函数在定义域内具有最小值或最大值，通过配方法可以求得函数的最值。
配方法的核心思想是将二次函数表示为完全平方形式，并通过完全平方形式的性质来求解最值。
步骤如下：
1.将二次函数化简为完全平方的形式。
2.利用完全平方的性质求得最值。
三、例题解析
例题：求函数f(x)=x2−6x+5的最值。
解析：
1. 化简函数
将二次函数f(x)=x2−6x+5化简为完全平方的形式。
注意到x2−6x可以写为(x−3)2−9，则原函数可以化简为f(x)=(x−
3)2−9+5。
2. 求解最值
已知函数f(x)=(x−3)2−9+5，要求函数的最值。
其中(x−3)2的取值大于等于 0，所以(x−3)2−9的取值范围为 $[-9, +\\infty)$。
因此，最小值为−9+5=−4，最大值为 $+\\infty$。
即函数f(x)=x2−
6x+5在定义域上的最小值为 -4，最大值为正无穷。
四、总结
通过配方法，我们可以求得二次函数在定义域上的最值。
首先将二次函数化简为完全平方的形式，然后利用完全平方的性质来求解最值。
化简时，可以利用二次项前面的系数和x的系数之和的一半配方。
最终，通过完全平方形式的性质，我们可以得到函数的最值。
五、参考链接无。
二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
专题01 二次函数的图象与性质重难点题型专训(原卷版)
【题型目录】题型一a< a>0向上向下增减性在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y 有最小值，抛物线有最高点，当时，y 有最大值， 知识点三：二次函数的图象与a ，b ，c 的关系学生对二次函数中字母系数a 、b 、c 及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y 轴的交点位置，看与x 轴的交点个数．“四看”是对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．2．组合二看 (1)三全看点在a 、b 、c 间的加减组合式中，最常见的如“a ＋b ＋c"，“a －b ＋c”，“4a ＋2b ＋c”，“4a －2b ＋c”等类型的式子，这类式子a 、b 、c 三个字母都在，并且c 的系数通常为1，这时只要取x 为b 前的系数代入二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 就可以得到所需的形式，从而由其对应的y 的值时进行判断即可． (2)有缺看轴当a 、b 、c 三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a 、b 之间的转换关系，如果少的是字母c ，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a 或b ，则可利用对称轴提供的a 、b 间转换信息，把a （或b ）用b （或a ）代换即可．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．2b x a <-2b x a>-2b x a<-2b x a>-2b x a =-244ac b y a -=最小值2bx a=-244ac b y a-=最大值二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出,,a b c 与0的大小关系及含有,,a b c 的代数式的值的大小关系. (1)a 决定开口方向:当0a >时抛物线开口向上;当0a <时抛物线开口向下.(2),a b 共同决定抛物线的对称轴位置:当,a b 同号时，对称轴在y 轴左侧;当,a b 异号时，对称轴在y 轴右侧(可以简称为“左同右异”);当0b =时，对称轴为y 轴.(3)c 决定与y 轴交点的纵坐标:当0c >时，图象与y 轴交于正半轴;当0c =时，图象过原点;当0c <时，图象与y 轴交于负半轴.(4) 24b ac -的值决定了抛物线与x 轴交点的个数:当240b ac ->时，抛物线与x 轴有两个交点;当240b ac -=时，抛物线与x 轴有一个交点;当240b ac -<时，抛物线与x 轴没有交点.(5) a b c ++的符号由1x =时，y 的值确定:若0y >，则0a b c ++>;若0y <，则0a b c ++<. (6) a b c -+的符号由1x =-时，y 的值确定:若0y >，则0a b c -+>;若0y <，则0a b c -+<.知识点四：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线2()y a x h k =-+(0a ¹)的图象是由抛物线2y ax =(0a ¹)的图象平移得到的.在平移时，a 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的h 或k 发生变化(图象的位置发生变化)。
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微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练 3. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售 量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数y＝－10x＋500，在销售过程 中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的60%. (1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的 函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
针对演练 1. 如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙(墙长15 m)，另三 边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30 m，门宽是2 m，若设这块场地的 宽为x m，养殖场地的面积为y m2，当x为何值时，y有最大值？最大值为多 少？
第1题图
微专题 利用二次函数性质求最值
1. 解：由题意得y＝x(30－2x＋2)＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128， ∵墙长15 m， ∴30－2x＋2≤15，解得x≥8.5. 又∵32－2x>0， ∴x<16. ∴8.5≤x<16. ∵y＝－2(x－8)2＋128， ∴当x≥8时，y随x的增大而减小． ∴当x＝8.5时，y取得最大值，最大值为y＝－2×(8.5－8)2＋128＝127.5 m2. 答：当场地的宽为8.5 m时，矩形场地的面积取得最大值，最大值为127.5 m2.
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★每每问题——售价变化引起销量变化 满分技法
1.注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量； 2．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减性求得最大值； 4．若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后在确 定销售单价时注意找准基础量．
微专题 利用二次函数性质求最值
解：(1)由题意得w＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000， ∵每件护眼台灯的利润不高于成本价的60%， ∴销售单价不能超过20×(1＋60%)＝32元， 即w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)； (2)由(1)得w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250， ∵a＝－10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大， ∴当x＝32时，w取得最大值，最大值为－10×(32－35)2＋2250＝2160. 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
第2题图
微专题 利用二次函数性质求最值
∴ AP DG ，
AH BC
∴ AP x ，
80 100
∴AP＝ 4 x，
5
∴DE＝PH＝80－
4
x，
5
∴y＝DG·DE＝x(80－ 4 x)＝－4 x2＋80x＝－ 4 (x－50)2
5
5
5
＋2000.
∵0<x<100，－
4 5
＜0，
∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为2000，
∴DE＝80－ 4 ×50＝40.
5
答：当矩形的长DG为50米，宽DE为40米时，矩形DEFG
的面积最大，最大为2000平方米．
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★利润问题
类型二 销售问题
满分技法
1.根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”或“总利润＝售价×销售量 －总成本”，列出函数关系式； 2．根据题干信息找自变量x的取值范围及是否为整数； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量取值范围内 的最大值；若对称轴为小数，则要注意x的取值是否有两个．
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解：(1)观察表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量减少40瓶．设在进价基 础上增加x元后，日均销售利润为y元， 这时日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x， 故y关于x的函数解析式为y＝x(520－40x )－200＝－40x2＋520x－200(0＜x＜13)； (2)由(1)得y＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1490， ∵0＜6.5＜13， ∴当x＝6.5时，即销售单价定为11.5元，日均毛利润达到最大值1490元． 答：销售单价定为11.5元时，日均毛利润最大，最大值为1490元．
微专题 利用二次函数性质求最值
微专题 利用二次函数性质求最值
(10年3考，常在二次函数压轴题中涉及考查) 类型一 面积问题
★篱笆问题
满分技分 设一边长x，结合题意用含x的代数式表示出另一边，利用矩形的面积公式得出S与x 之间的函数关系式，化为顶点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
微专题 利用二次函数性质求最值
微专题 利用二次函数性质求最值
★几何图形中的面积最值问题
满分技分 设矩形的一边长为x，结合相似三角形的性质，对应边成比例，用含有x的代数式 表示出另一边长，利用矩形的面积公式得出S与x之间的函数关系式，化为顶点式 即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练
微专题 利用二次函数性质求最值
针对演练 4. 某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元．销售单 价与日均销售量的关系如下：
售价单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240 (1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本) 为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？
2. 如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着
底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在
边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面
积为多少？ 解：设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y， ∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AP⊥DG，