最新高二数学上册各章节知识点总结(大纲版)
高中数学高二上期知识点
高中数学高二上期知识点数学是一门重要的学科，对于高中生来说尤为关键。
下面将为大家总结高中数学高二上学期的知识点，帮助大家更好地掌握这门学科。
一、函数与方程式1. 二次函数及其性质：包括二次函数的定义、图像特征、顶点坐标、轴对称、增减性等。
2. 一次函数与二次函数的关系：通过变换或复合使一次函数变成二次函数。
3. 高次函数及其性质：了解高次函数的定义、图像特征、奇偶性等。
4. 根据函数的性质解方程：通过函数的图像和性质分析解方程。
5. 一元二次方程组：学习一元二次方程组的解法，掌握消元、代入法、图解法等。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列：了解等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质等。
2. 数列的前n项和：学习计算等差数列和等比数列的前n项和。
3. 数学归纳法：掌握数学归纳法的基本思想和运用，能够进行简单的数学归纳证明。
三、三角函数1. 三角函数的定义：了解正弦、余弦、正切等三角函数的定义及其图像特征。
2. 基本关系式：学习三角函数之间的基本关系式，如正弦定理、余弦定理等。
3. 三角函数的图像变换：通过变换函数的参数，学习三角函数图像的平移、伸缩与翻转等性质。
四、概率论1. 随机事件与概率：了解随机事件的概念、样本空间、事件的概率等。
2. 事件的关系：学习事件的包含关系、互斥关系等。
3. 条件概率：掌握条件概率的计算方法，了解独立事件的概念与性质。
五、向量与坐标系1. 向量的概念：了解向量的定义、性质及运算法则。
2. 向量的坐标表示：学习向量在坐标系中的表示方法。
3. 向量的数量积与向量的夹角：学习向量的数量积的计算方法、性质及与向量夹角的关系。
六、立体几何1. 空间直角坐标系：了解空间直角坐标系的表示方法及坐标运算法则。
2. 空间中的点、线、面：学习空间中点的坐标、直线的方程及平面的方程。
3. 空间几何图形的投影：学习空间图形在平面上的投影方法。
4. 空间几何图形的交点与距离：了解空间图形的交点、距离以及平面与直线的相对位置。
高二上册数学书知识点
高二上册数学书知识点高二上册数学书涵盖了许多重要的数学知识点，这些知识点是我们在学习和理解数学概念以及解题过程中所必须掌握的。
本文将会整理和总结这些数学知识点，以帮助大家更好地复习和掌握数学。
一、集合与函数1. 集合的概念和表示方法- 集合：由一些特定的元素构成的整体。
- 元素：属于一个集合的个体。
- 表示方法：列举法、描述法、解析法。
2. 集合的运算- 交集：包含属于两个（或两个以上）集合中的共同元素的集合。
- 并集：包含属于两个（或两个以上）集合中的所有元素的集合。
- 差集：属于一个集合而不属于另一个集合的元素所构成的集合。
- 互斥：两个集合没有共同元素。
3. 函数的概念和性质- 定义：函数是两个集合之间的对应关系。
- 性质：自变量、因变量、单射、满射、一一对应。
二、数列与数列的前n项和1. 等差数列- 定义：数列中任意两个相邻项之间的差值相等。
- 通项公式：an = a1 + (n-1)d。
- 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列- 定义：数列中任意两个相邻项之间的比值相等。
- 通项公式：an = a1 * r^(n-1)。
- 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
3. 递推数列- 定义：数列中的每一项都是前一项通过某种规则计算得到的。
三、平面向量与几何应用1. 向量的概念和运算- 定义：有大小和方向的量。
- 向量的表示：用有向线段表示，箭头指向表示方向。
- 向量的运算：加法、减法、数量积、向量积。
2. 向量的数量积与向量的模长- 定义：向量的数量积是两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积。
- 经验：两个向量的数量积等于其中一个向量在另一个向量上的投影与第二个向量的模长的乘积。
3. 向量的向量积与向量的模长- 定义：向量的向量积是两个向量的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积。
- 经验：两个向量的向量积等于以它们为两边的平行四边形的面积。
高二数学上知识点总结
高二数学上知识点总结高二数学上知识点学生掌握情况总结求解并证明不等式教师评价求点的运动轨迹求解双曲线的焦点、渐近线求解抛物线的焦点、焦距、渐近线判定直线和圆、圆和圆之间的位置关系求解最大值、最小值在生活中的应用扩展阅读：高二数学上册各章节知识点总结大纲版欢迎光临《中学数学信息网》127@不等式单元知识总结一、不等式的性质1．两个实数a与b之间的大小关系1a－b＞0a＞b；2a－b=0a=b；3a－b＜0a＜b．4ab＞1a＞b；若a、bR，则5ab=1a=b；6ab＜1a＜b．2．不等式的性质1a＞bb＜a对称性2a＞bb＞ca＞c传递性3a＞ba＋c＞b＋c加法单调性a＞bc＞0ac＞bc4乘法单调性a＞bc＜0ac＜bc5a＋b＞ca＞c－b移项法则6a＞bc＞da＋c＞b＋d同向不等式可加7a＞bc＜da－c＞b－d异向不等式可减8a＞b＞0c＞d＞0ac＞bd同向正数不等式可乘《中学数学信息网》系列资料欢迎光临《中学数学信息网》127@9a＞b＞00＜c＜dac＞bd异向正数不等式可除10a＞b＞0nNan＞bn正数不等式可乘方11a＞b＞0nNna＞nb正数不等式可开方12a＞b＞01a＜1b正数不等式两边取倒数3．绝对值不等式的性质1|a|≥a；|a|=aa≥0，－aa＜0．2如果a＞0，那么||＜a2＜a2－a＜＜a；||＞a2＞a2＞a或＜－a．3|ab|＝|a||b|．4|ab|＝|a||b|b≠0．5|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．6|a1＋a2＋＋an|≤|a1|＋|a2|＋＋|an|．二、不等式的证明1．不等式证明的依据1实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b2不等式的性质略3重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；a－b2≥0a、b∈R②a2＋b2≥2aba、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号③ab2≥aba、bR，当且仅当a=b时取“=”号2．不等式的证明方法1比较法：要证明a＞ba＜b，只要证明a－b＞0a－b＜0，这种证明不等式的方《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号．2综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．3分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类1解一元一次不等式．2解一元二次不等式．3可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：1正确应用不等式的基本性质．2正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．3注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性1fg＞0与f＞0g＞0或f＜0g＜0同解．2fg＜0与f＞0f＜0g＜0或同解．g＞0《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@3f＞0f＜0f＞0与或同解．g≠0gg＞0g＜0f＞0f＜0f4＜0与或同解．g≠0gg＜0g＞05|f|＜g与－g＜f＜g同解．g＞06|f|＞g①与f＞g或f＜－g其中g≥0同解；②与g＜0同解．f＞[g]27f＞g与f≥0或f≥0g≥0g＜0同解．8f＜g与f＜[g]2同解．f≥09当a＞1时，af＞ag与f＞g同解，当0＜a＜1时，af＞ag与f＜g同解．10当a＞1时，ogf＞gaf＞ogag与f＞0同解．f＜g当0＜a＜1时，ogaf＞ogag与f＞0同解．g＞0单元知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数，建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为的坐标为0，0，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：1M∈∈的坐标；②立式：写出适合条件的集合|}；③代换：用坐标表示条件，列出方程f，=0；④化简：化方程f，=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．2由方程画曲线图形的步骤：①讨论曲线的对称性关于轴、轴和原点；②求截距：方程组f，00的解是曲线与轴交点的坐标；《中学数学信息网》系列资料欢迎光临《中学数学信息网》127@方程组f，00的解是曲线与轴交点的坐标；③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f1，=0和f2，=0的交点的曲线系方程是f1，＋λf2，=0λ∈R．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合轨迹叫圆．2．圆的方程1标准方程－a2＋－b2=r2．a，b为圆心，r为半径．特别地：当圆心为0，0时，方程为2＋2=r22一般方程2＋2＋D＋E＋F=0 D2配方22E2DE24F24当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以－DE2，－2为圆心，以12D2E24F为半径的圆；当D2＋E2－4F=0时，方程表示点－D2，－E2当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．3参数方程以a，b为圆心，以r为半径的圆的参数方程为arcoθbrinθθ为参数特别地，以0，0为圆心，以r为半径的圆的参数方程为《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@rcoθrinθθ为参数3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．1点在圆外d＞r；2点在圆上d=r；3点在圆内d＜r．4．直线与圆的位置关系设直线：A＋B＋C=0和圆C：－a2＋－b2=r2，则d|AaBbC|A2B2．1相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；2相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；3相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0或d＞r．5．求圆的切线方法1已知圆2＋2＋D＋E＋F=0．①若已知切点0，0在圆上，则切线只有一条，其方程是D0E00022F0．当＋D000，0在圆外时，0＋02＋E2＋F=0表示过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点0，0，则设切线方程为－0=－0，再利用相切条件求，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于轴的切线．③若已知切线斜率为，则设切线方程为=＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．2已知圆2＋2=r2．①若已知切点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝ca0＜e＜1时，这个点的轨迹是椭圆．2图形和标准方程图8－1的标准方程为：22a2＋b2＝1a＞b＞08－2的标准方程为：22图b2＋a2＝1a＞b＞03几何性质《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@条件{M|MF1||MF2|=2a，2a＞|F1F2|}|MF|MF{M|1|2|点M到=1的距离点M到1}2的距离=e，0＜e＜标准方程2222a2b21a＞b＞0b2a21a＞b＞0顶点A1－a，0，A2a，0A10，－a，A20，aB10，－b，B20，bB1－b，0，B2b，0轴对称轴：轴，轴．长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1－c，0，F2c，0F10，－c，F20，c焦距|F1F2|=2cc＞0，c2=a2－b2离心率e＝ca0＜e＜1准线方程a2a2a21：＝c；＝a22：c1：＝c；2：＝c焦点半径|MF1|＝a＋e0，|MF1|＝a＋e0，|MF2|＝a－e0|MF2|＝a－e0＞外点和椭圆2200的关系a2b210,0在椭圆上＜内＝为切线斜率±a22，b2＝为切线斜率±b22，a2切线方程000a2＋b2＝10b2＋a2＝10，0为切点0，0为切点切点弦0，0在椭圆外0，0在椭圆外000方程a2＋b2＝1b2＋0a2＝1|－12－1|12或|12|12弦长公式其中1，1，2，2为割弦端点坐标，为割弦所在直线的斜率2．双曲线1定义定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点．《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数ee＞1时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点．2图形和标准方程图8－3的标准方程为：22a2－b2＝1a＞0，b＞0图8－4的标准方程为：22a2－b2＝1a＞0，b＞03几何性质《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．条件||MF1||MF2|点M到＝＝e，e＞1}．1的距离点M到2的距离标准方程2a2－2b ＝1a＞0，b＞0222a2－b2＝1a＞0，b＞0顶点A1－a，0，A2a，0A10，－a，A20，a轴对称轴：轴，轴，实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b焦点F1－c，0，F2c，0F10，－c，F20，c焦距|F1F2|＝2cc＞0，c2＝a2＋b2离心率e＝cae＞1a2a2准线方程a2a21：＝－c；2：＝c1：＝－c；2：＝c渐近线＝±b或22＝±a 程2－方aab2＝0b或22a2－b2＝0共渐近线222的双曲线a2－b2＝≠0a2－2b2＝≠0系方程焦点半径|MF1|＝e0＋a，|MF1|＝e0＋a，|MF＝2|＝±e0a2－2ab2|MF＝2|＝±e0b2－2aa2＞为切线斜率bba 或＜－a＞为切线斜率aab或＜－b切线方程00a2－0b2＝1a2－0b2＝10＝，a2的切线方程：0为切点000为切点2＝，a200，0为切点切点弦0，0在双曲线外0，0在双曲线外方程00a2－0b2＝1a2－0b2＝1|12－1|12或|1－2|12弦长公式其中1，1，2，2为割弦端点坐标，为割弦所在直线的斜率3．抛物线1定义《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②的几何意义：焦点F到准线的距离．③弦长公式：设直线为＝＋b抛物线为2＝2，|AB|＝12|2－1|＝112|2－1|焦点弦长公式：|AB|＝＋1＋24．圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程1．定义缺项的二元二次方程A2＋C2＋D＋E＋F＝0A、C不同时为0※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．2．对于缺项的二元二次方程：A2＋C2＋D＋E＋F＝0A，C不同时为0利用平移变换，可把圆锥曲线的一般《中学数学信息网》系列资料迎光临《中学数学信息网》127@方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．h22h2a2＋b2＝1或b2＋2椭圆：a2＝1中心O′h，双曲线：h222h2a2－b2＝1或a2－b2＝1中心O′h，抛物线：对称轴平行于轴的抛物线方程为－2＝2－h或－2＝－2－h，顶点O′h，．对称轴平行于轴的抛物线方程为：－h2＝2－或－h2＝－2－顶点O′h，．以上方程对应的曲线按向量a＝－h，－平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．《中学数学信息网》系列资料。
最全面高二上册数学知识点归纳总结
最全面高二上册数学知识点归纳总结高二上册数学知识点归纳总结一、函数的基本知识1. 概念：函数可以理解为一种变量间关系，在数学上，常用符号表示为y=f(x)，y是自变量x的函数。
2. 函数的定义域：指函数中自变量的取值范围。
3. 函数的值域：指函数值的取值范围。
4. 奇偶性：奇函数指f(-x)=-f(x)，偶函数指f(-x)=f(x)，若函数同时满足这两个限制，则称其为周期为2的函数。
5. 函数图象：表示函数在坐标系中的图形。
6. 函数的单调性：函数的单调性可以分为单调递增和单调递减，指的是函数在定义域上单调的增加或者减少。
7. 函数的极值：指函数在定义域上取到的最大值或最小值，可以分为极大值和极小值。
二、三角函数1. 正弦函数sina和余弦函数cosa：定义在坐标平面上以x轴为横轴为一周期的函数。
2. 正切函数tana和余切函数cota：正切函数定义为y=tanx=sinx/cosx，余切函数定义为y=cotx=cosx/sinx。
3. 三角函数的诱导公式：即sin(a±b)=sinacosb±cosasinb，cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb，tan(a±b)=(tana±tanb)/(1∓tana*tanb)。
4. 三角函数的基本关系：根据定义，sin^2x+cos^2x=1，1+tan^2x=sec^2x，1+cot^2x=csc^2x。
三、解方程1. 一元一次方程：即形如ax+b=0的方程，通过变形可解得x=-b/a。
2. 一元二次方程：即形如ax^2+bx+c=0的方程，通过配方法、求根公式或者绝对值法可解。
3. 不等式：可以通过加缀、化解绝对值、移项变形、整体乘除等方法进行求解。
4. 二元一次方程组：即形如ax+by=c，dx+ey=f的两个方程，通过消元法（加减、代入、变形）可以求解方程组。
四、图像的性质1. 轨迹：指定一条件，在坐标系中任取一点，不断执行该条件操作，所得的点形成的图形。
高二上期数学知识点总结
高二上期数学知识点总结数学是一门理性而富有挑战性的学科，深入理解和掌握数学知识点对于高二学生来说至关重要。
本文将对高二上学期的数学知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地学习和应用这些知识。
一、函数与方程1.一元二次函数一元二次函数是高中数学中的重要内容，其标准式为f(x) = ax²+ bx + c。
我们学习了二次函数的图像、顶点坐标、对称轴、判别式、根的性质等。
通过做题巩固对二次函数的理解和应用能力。
2.指数与对数函数指数与对数函数是数学中的常见函数类型，我们了解了指数函数的性质以及对数函数的定义和性质。
应用方面，涉及到指数方程和对数方程的解法，并且要掌握指数和对数函数的图像和性质。
二、三角函数1.三角函数的定义与性质三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
我们学习了三角函数的定义、性质以及图像特征，要掌握它们之间的关系，并能够灵活运用到解决问题中。
2.三角函数的应用三角函数广泛应用于几何、物理等领域。
我们需要熟悉三角函数在直角三角形以及一般三角形中的应用，包括解决相关角、正弦定理、余弦定理等问题。
三、立体几何1.平面与空间几何关系高二上学期我们学习了平面与空间几何中的基本概念和性质，包括平面的方程、直线与平面的位置关系等。
在解决平面与直线或平面与平面的交点问题时需要灵活运用这些知识。
2.立体图形的计算在立体几何的学习中，我们需要了解球体、正方体、长方体等立体图形的性质和计算方法。
掌握这些知识能够帮助我们解决体积、表面积等相关问题。
四、解析几何1.坐标系与向量我们学习了平面直角坐标系和向量运算的基本概念，了解了向量的加减、数量积、向量积等运算规则，并要能够运用到解决平面几何问题中。
2.直线与圆的性质通过学习直线与圆的方程及其性质，我们能够解决直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系问题。
此外，还要掌握切线与法线的定义和性质。
五、概率与统计1.概率论基础在概率与统计的学习中，我们了解了事件、样本空间、概率等基本概念，并学习了概率的计算方法，包括加法定理、乘法定理、条件概率等。
数学高二上册知识点归纳
数学高二上册知识点归纳
第一篇
嘿，亲爱的小伙伴！今天咱们来唠唠高二上册数学那些重要的知识点哟。
先说不等式这一块儿吧。
不等式的性质可得搞清楚啦，像什么传递性啊，加法、乘法法则啥的。
解不等式的时候，可别粗心大意，要注意变号的情况。
函数也很关键哟！函数的单调性、奇偶性得好好琢磨。
知道怎么通过求导来判断单调性，那做题就会轻松不少。
奇偶性嘛，就看是不是关于原点或者 y 轴对称。
还有数列！等差数列和等比数列的通项公式、求和公式要牢记在心。
知道首项、公差或者公比，就能算出好多东西呢。
解析几何也不能落下。
直线的方程，什么点斜式、斜截式，得会根据条件灵活选择。
还有圆的方程，圆心、半径要搞明白。
第二篇
哈喽呀！咱们来一起瞅瞅高二上册数学的知识点哈。
先说向量吧，向量的运算规则可得记牢，加法、减法、数乘，一个都不能错。
还有向量的坐标表示，用坐标来计算可方便啦。
圆锥曲线也挺有趣的。
椭圆、双曲线、抛物线，它们的方程和性质都不一样哦。
要注意焦点在哪个轴上，离心率是多少。
导数也很重要哟！它能帮我们求函数的极值和最值。
通过导数的正负来判断函数的增减，是不是很神奇？
概率这块儿也不能忽略。
古典概型、几何概型，要分清楚条件，算对概率。
数学虽然有时候有点难，但只要咱们一步一个脚印，把每个知识点都弄明白，就不怕它啦！小伙伴们，一起加油，让数学变得小菜一碟！。
数学高二上册知识点归纳
数学高二上册知识点归纳数学高二上册知识点归纳一：总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。
②把每个研究对象叫做个体。
③把总体中个体的总数叫做总体容量。
④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x1，x2，....，研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。
简单随机抽样也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随。
机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础,高三。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
数学高二上册知识点归纳二：简单随机抽样常用的方法①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
抽签法①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查。
数学高二上册知识点归纳三：函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;数学高二上册知识点归纳四：立体几何初步(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
高二数学知识点总结上学期
高二数学知识点总结上学期在高二上学期的数学学习中，我们接触了许多重要的数学知识点。
这些知识点不仅是数学学科的基础，也是我们今后学习更高级数学的基石。
在本文中，我将对高二上学期的数学知识点进行总结和梳理。
1.函数与方程函数与方程是数学中最基本的概念之一。
我们学习了线性方程、二次函数、指数函数、对数函数等不同类型的函数形式。
同时，我们也学习了求解各种类型的方程，如一元一次方程、一元二次方程等。
掌握了这些概念和方法后，我们能够解决很多实际问题，如求最值、求解交点等。
2.三角函数三角函数是高中数学中的重要内容。
我们学习了正弦函数、余弦函数、正切函数等各种三角函数的性质和图像。
同时，我们也学习了如何利用三角函数解决实际问题，如求角度、求边长等。
掌握了三角函数的概念和性质，我们能更好地理解几何形体之间的关系，并解决与几何相关的问题。
3.数列与数学归纳法数列是按一定规则排列的一组数。
我们学习了等差数列、等比数列等常见数列的概念和求解方法。
通过数学归纳法，我们能够推导数列的通项公式，并求解数列的各种问题，如求和、判断递增递减等。
数列与数学归纳法在数学中具有广泛的应用，尤其在数学证明中扮演着重要角色。
4.平面向量平面向量是高中数学中的重点内容之一。
我们学习了向量的概念、运算法则以及向量的线性运算等。
通过平面向量的知识，我们可以解决许多几何和物理问题。
同时，平面向量也是向量代数的基础，为我们学习更高级的向量知识奠定了基础。
5.导数与微分导数与微分是高中数学中的难点内容。
我们学习了函数的导数定义、导数的运算法则以及导数的应用。
通过导数，我们可以求解函数的极值、判定函数的单调性等问题。
微分则是导数应用的一种具体方式，能够帮助我们求函数在某一点的近似值，以及解决曲线的切线问题。
6.立体几何立体几何是高中数学中的重要内容之一。
我们学习了空间中点、线、面的性质和运算，以及立体图形的特征和计算方法。
通过立体几何的知识，我们能够解决许多实际问题，如计算物体的体积、表面积等。
高二数学上册各章节知识点总结(大纲版)
高二数学上册各章节知识点总结(大纲版) 不等式单元知识总结一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系：1) a-b>0 ⇔ a>b；2) a-b=0 ⇔ a=b；3) a-b<0 ⇔ a<b；4) a/b>1 ⇔ a>b (若a、b∈R+)5) a/b=1 ⇔ a=b (若a、b∈R+)6) a/b<1 ⇔ a<b (若a、b∈R+)2.不等式的性质：1) a>b ⇔ b<a (对称性)2) a>b ∧ b>c ⇒ a>c (传递性)3) a>b ⇔ a+c>b+c (加法单调性)4) a>b ∧ c<0 ⇒ ac<bc (乘法单调性)5) a+b>c ⇔ a>c-b (移项法则)6) a>b ∧ c>d ⇒ a+c>b+d (同向不等式可加)7) a>b ∧ cb-d (异向不等式可减)8) a>b ∧ c>d ⇒ ac>bd (同向正数不等式可乘)9) a>b ∧ cd (异向正数不等式可除)10) a>b ∧ n∈N ⇒ a^n>b^n (正数不等式可乘方)11) a>b ∧ n∈N ⇒ n√a>n√b (正数不等式可开方)12) a>b ⇒ 1/a<1/b (正数不等式两边取倒数)3.绝对值不等式的性质：1) |a|≥a；|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)2) 若a>0，则 |x|a ⇔ x^2>a^2 ⇔ x>a 或 x<-a。
3) |a·b|=|a|·|b|4) |a/b|=|a|/|b| (b≠0)5) |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|6) |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|二、不等式的证明1.不等式证明的依据：1) 实数的性质：a、b同号⇔ ab>0；a、b异号⇔ ab0 ⇔a>b；a-b<0 ⇔ a<b；a-b=0 ⇔ a=b2) 不等式的性质 (略)3) 重要不等式：①|a|≥a^2；②a^2+b^2≥2ab (a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)；③(a+b)/2≥√(ab) (a、b∈R+，当且仅当a=b时取“=”号)2.不等式的证明方法 (略)直线方程的基本形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式、参数式和一般式。
高二数学上学期知识点
高二数学上学期知识点第一部分：三角恒等变换1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1注意正用、逆用、变形用。
例如：tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2⋅，cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-。
3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+2sin 2cos 12αα=-。
4．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=。
5.万能公式：sin α=2tan12tan22αα+ cos α=2tan12tan 122αα+- tan α=2tan12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
2sin2cos 12αα=-，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，sin α ，cos α可凑倍角公式；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等． （4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角。
（5）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
高二上数学知识点总结
高二上数学知识点总结在高二上学期的数学学习中，我们学习了许多重要的数学知识点。
下面将对这些知识点进行总结，以帮助大家更好地回顾和巩固所学内容。
一、集合与函数1. 集合的概念与表示方法：集合是由一些确定的对象构成的整体，可以使用列举法、描述法和集合间关系表示。
2. 集合运算：交集、并集、差集与补集等。
3. 函数的概念与性质：函数是两个集合之间的一种特殊关系，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等概念。
二、三角函数与解三角形1. 弧度制与角度制：介绍了弧度制与角度制的相互转换关系。
2. 正弦定理与余弦定理：通过正弦定理与余弦定理可以求解任意三角形的边长和角度。
3. 解三角形：利用已知条件和三角函数的性质来求解三角形的各边长和角度。
三、平面向量1. 向量的概念与表示方法：向量是具有大小和方向的量，可以使用有向线段表示，也可以使用坐标表示。
2. 向量的运算：向量的加法、减法、数量积和向量积等。
3. 向量的应用：向量的平移、共线、垂直等应用。
四、导数与函数的应用1. 导数的定义与性质：介绍了导数的概念，导函数的性质以及一阶导数与高阶导数。
2. 函数的极值与最值：利用导数的应用来求解函数的极值和最值问题。
3. 函数与图像：介绍了函数的单调性、凹凸性等性质与函数图像的关系。
五、数列与数学归纳法1. 数列的概念与表示方法：数列是一系列按照一定规律排列的数。
2. 数列的通项与求和公式：数列的通项公式表示了数列中的任意一项与项号之间的关系，求和公式表示了数列前n项和的计算方法。
3. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种常用方法，包括基本步骤和归纳假设。
六、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件与样本空间、必然事件、不可能事件等概念的引入，及概率的计算方法。
2. 离散型随机变量与概率分布：介绍了离散型随机变量的概念，概率分布的计算和性质。
3. 统计学应用：对样本调查的数据进行统计分析，包括频数分布、频率分布、累积频率等。
新课标高二上册数学知识点
新课标高二上册数学知识点一、函数与导数函数的概念：函数是一种映射关系，每一个自变量（x）对应一个唯一的因变量（y），记作y = f(x)。
二、数列与数列极限数列的概念：数列是按照一定规律排列的一串数。
三、不等式与不等式解集不等式的概念：不等式是指两个数之间存在着大小关系的数学表达式。
四、立体几何与立体几何题解题方法立体几何的概念：立体几何是研究空间中的平面、直线、点及其相互位置关系的分支学科。
五、解三角形与三角函数三角函数的概念：三角函数是描述角和边之间关系的一类函数。
六、数列及数列的概念、数列的通项与求和数列的概念：数列是按照一定规律排列的一串数。
七、函数的极限与函数的连续性函数极限的概念：函数极限是研究函数在自变量趋于某一值时的变化趋势。
八、平面向量与空间向量向量的概念：向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
九、立体几何中球与二次曲面球的概念：球是由空间中的一点到所有与这点距离相等的点构成的几何图形。
十、统计与概率概率的概念：概率是指某个事件在重复试验中发生的可能性。
十一、数学思维与数学方法数学思维的概念：数学思维是以数学为基础，通过对问题的分析、推理、抽象、概括和创造等思维活动，来解决实际问题的能力。
以上是新课标高二上册数学的知识点概述。
每个知识点都涉及到具体的概念和定义，并且有相关的解题方法和应用。
通过学习这些知识点，可以提高学生的数学思维能力和问题解决能力，为进一步的学习打下扎实的基础。
数学作为一门重要的学科，对培养学生的逻辑思维和分析问题的能力有着重要的作用。
因此，学生在学习过程中应注重理解和掌握这些知识点，并能灵活运用于实际问题的解决中。
对于数学学科来说，重要的不仅是掌握知识点，更重要的是培养学生的数学思维能力，提高问题解决的效率和准确性。
通过不断的练习和思考，相信学生们能够在数学学习中取得更好的成绩。
高二数学知识点上学期
高二数学知识点上学期上学期，高二学生在数学学科中学习了许多重要的知识点，这些知识点为他们今后的学习打下了坚实的基础。
本文将详细介绍高二数学上学期的主要知识点，帮助学生回顾和巩固所学内容。
一、函数与方程1. 二次函数二次函数是高中数学中重要的知识点之一。
我们学习了二次函数的定义、性质以及图像的特征。
二次函数的标准方程为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为零。
我们学习了如何通过图像的形状和位置，确定二次函数的性质，如顶点、对称轴、开口方向等。
2. 三角函数在上学期，我们学习了常用的三角函数：正弦、余弦和正切函数。
通过学习三角函数的定义及其性质，我们可以求解各种三角函数方程，解决与角度有关的问题。
同时，还学习了三角函数的图像和周期性等特点。
3. 指数与对数指数和对数是数学中常见的运算方法。
上学期，我们学习了指数与对数的定义、性质以及运算规则。
通过掌握指数与对数的基本知识，我们可以解决各种与指数对数有关的问题，如指数方程、对数方程等。
二、解析几何1. 平面向量平面向量是解析几何的重要内容之一。
我们学习了平面向量的定义、运算规则以及与向量相关的性质。
通过学习平面向量，我们可以解决各种几何问题，如线段的中点、向量共线与垂直关系等。
2. 平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础。
我们学习了如何在平面直角坐标系中表示点、直线和圆等几何对象。
通过掌握平面直角坐标系的基本概念，我们可以进行几何图形的性质研究和计算。
三、概率与统计1. 随机事件与概率概率与统计是数学的一个重要分支，也是现实生活中常用的一种分析方法。
我们学习了随机事件的基本概念和性质，并通过概率的定义和公式计算事件出现的可能性。
概率与统计的应用涉及到生活中的许多问题，如抽样调查、样本空间等。
2. 统计分布与统计参数在统计学中，我们学习了统计分布与统计参数的概念和计算方法。
通过统计分布和统计参数的研究，我们可以描述和分析样本数据的特征，进而作出推断和判断。
高二数学上知识点
高二数学上 知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征----棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球： 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2S rl r ππ=+4 圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++5 球的表面积24S R π= 6扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） （二）空间几何体的体积1柱体的体积 V S h =⨯底2锥体的体积 13V S h =⨯底3台体的体积1)3V S S h =+⨯下上（4球体的体积343V R π= 第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。
2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：222rrl S ππ+=（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A l B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭ 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 ⇒ 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
高二数学上册各章节知识点 总结(大纲版)
不等式单元知识总结一、不等式的性质1．两个实数a与b之间的大小关系2．不等式的性质(4) (乘法单调性)3．绝对值不等式的性质(2)如果a＞0，那么(3)|a·b|＝|a|·|b|．(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．(6)|a1＋a2＋……＋a n|≤|a1|＋|a2|＋……＋|a n|．二、不等式的证明1．不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2．不等式的证明方法(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．(9)当a＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．单元知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则|P1P2|=|y2－y1|(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则|P1P2|=|x2－x1|3．线段的定比分点(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是公式二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜∴当k≥0时，α=arctank．(锐角)当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为2．直线的方程(1)点斜式已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则其方程为：y－y0=k(x－x0)(2)斜截式已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b(3)两点式已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为：(4)截距式已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：(5)参数式已知直线过点P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．(7)特殊的直线方程①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1≠b2．(2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l1和l2是(3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k24．点P(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C=0的位置关系：5．两条平行直线l1∶Ax＋By＋C1=0，l2∶Ax＋By＋C2=0间6．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．当λ=0时，即得A1x＋B1y＋C1=0，此时表示l1．(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是：Bx－Ay＋λ=0．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；②求截距：③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)为圆心，r为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x2＋y2=r2(2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．4．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C=0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，则5．求圆的切线方法(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．(2)已知圆x2＋y2=r2．①若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为x0x＋y0y=r2．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则单元知识总结一、圆锥曲线1．椭圆(1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常(2)图形和标准方程(3)几何性质2．双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程图8－3的标准方程为：图8－4的标准方程为：(3)几何性质3．抛物线(1)定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p的几何意义：焦点F到准线l的距离．焦点弦长公式：|AB|＝p＋x1＋x24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程1．定义缺xy项的二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A、C不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．2．对于缺xy项的二元二次方程：Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．中心O′(h，k)中心O′(h，k)抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为(y－k)2＝2p(x－h)或(y－k)2＝－2p(x－h)，顶点O′(h，k)．对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x－h)2＝2p(y－k)或(x－h)2＝－2p(y－k)顶点O′(h，k)．以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．。
高二数学上知识点总结
高二数学上知识点总结高二数学上知识点总结高二数学上知识点学生掌握情况总结求解并证明不等式教师评价求点的运动轨迹求解双曲线的焦点、渐近线求解抛物线的焦点、焦距、渐近线判定直线和圆、圆和圆之间的位置关系求解最大值、最小值在生活中的应用扩展阅读：高二数学上册各章节知识点总结(大纲版)欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@不等式单元知识总结一、不等式的性质1．两个实数a与b之间的大小关系(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；(3)a－b＜0a＜b．(4)ab＞1a＞b；若a、bR，则(5)ab=1a=b；(6)ab＜1a＜b．2．不等式的性质(1)a＞bb＜a(对称性)(2)a＞bb＞ca＞c(传递性)(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)a＞bc＞0ac＞bc(4)(乘法单调性)a＞bc＜0ac＜bc(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)(6)a＞bc＞da＋c＞b＋d(同向不等式可加)(7)a＞bc＜da－c＞b－d(异向不等式可减)(8)a＞b＞0c＞d＞0ac＞bd(同向正数不等式可乘)《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》 1欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@(9)a＞b＞00＜c＜dac＞bd(异向正数不等式可除)(10)a＞b＞0nNan＞bn(正数不等式可乘方)(11)a＞b＞0nNna＞nb(正数不等式可开方)(12)a＞b＞01a＜1b(正数不等式两边取倒数)3．绝对值不等式的性质(1)|a|≥a；|a|=a(a≥0)，－a(a＜0)．(2)如果a＞0，那么|某|＜a某2＜a2－a＜某＜a；|某|＞a某2＞a2某＞a或某＜－a．(3)|ab|＝|a||b|．(4)|ab|＝|a||b|(b≠0)．(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．(6)|a1＋a2＋＋an|≤|a1|＋|a2|＋＋|an|．二、不等式的证明1．不等式证明的依据(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)③ab2≥ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)2．不等式的证明方法(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(1)f(某)g(某)＞0与f(某)＞0g(某)＞0或f(某)＜0g(某)＜0同解．(2)f(某)g(某)＜0与f(某)＞0f(某)＜0g(某)＜0或同解．g(某)＞0 《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@(3)f(某)＞0f(某)＜0f(某)＞0与或同解．(g(某)≠0)g(某)g(某)＞0g(某)＜0f(某)＞0f(某)＜0f(某)(4)＜0与或同解．(g(某)≠0)g(某)g(某)＜0g(某)＞0(5)|f(某)|＜g(某)与－g(某)＜f(某)＜g(某)同解．(g(某)＞0)(6)|f(某)|＞g(某)①与f(某)＞g(某)或f(某)＜－g(某)(其中g(某)≥0)同解；②与g(某)＜0同解．f(某)＞[g(某)]2(7)f(某)＞g(某)与f(某)≥0或f(某)≥0g(某)≥0g(某)＜0同解．(8)f(某)＜g(某)与f(某)＜[g(某)]2同解．f(某)≥0(9)当a＞1时，af(某)＞ag(某)与f(某)＞g(某)同解，当0＜a＜1时，af(某)＞ag(某)与f(某)＜g(某)同解．(10)当a＞1时，logf(某)＞g(某)af(某)＞logag(某)与f(某)＞0同解． f(某)＜g(某)当0＜a＜1时，logaf(某)＞logag(某)与f(某)＞0同解．g(某)＞0单元知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(某，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P1(某1，y1)，P2(某2，y2)，则两点间的距离|P1P2|=(某22某1)(y2y1)2《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当某1=某2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则|P1P2|=|y2－y1|(2)当y1=y2时(两点在某轴上或两点连线平行于某轴)，则|P1P2|=|某2－某1|3．线段的定比分点(1)定义：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是P点分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1PPP，点P叫做分线段P1P2为定比λ的定比分点．2当P点内分P1P2时，λ＞0；当P点外分P1P2时，λ＜0．(2)公式：分P1(某1，y2)和P2(某2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是某某1λ某21λ(λ≠1yy1λy)21λ特殊情况，当P是P1P2的中点时，λ=1，得线段P1P2的中点坐标公式某1某2某2yy1y22二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和某轴相交时，把某轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和某轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@率，直线的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠π2)．∴当k≥0时，α=arctank．(锐角)当k＜0时，α=π－arctank．(钝角) (3)斜率公式：经过两点P1(某1，y1)、P2(某2，y2)的直线的斜率为k=y2y1某(某1≠某2)2某12．直线的方程(1)点斜式已知直线过点(某0，y0)，斜率为k，则其方程为：y－y0=k(某－某0)(2)斜截式已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=k某＋b(3)两点式已知直线过两点(某1，y1)和(某2，y2)，则其方程为：yy1y=某某1某(某1≠某2)2y1某21(4)截距式已知直线在某，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：某ayb1(5)参数式已知直线过点P(某0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，则其参数式方程为某某0atyy(t为参数)，特别地，当方向向量为0btv(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为某某0tcosαyy0tsinα(t为参数)这时，t的几何意义是tv=p→→0p，|t|=|p0p|=|p0p|(6)一般式A某＋By＋C=0(A、B不同时为0)．(7)特殊的直线方程①垂直于某轴且截距为a的直线方程是某=a，y轴的方程是某=0．②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，某轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1≠b2．《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@当l1和l2是一般式方程时，A1B1CA≠12B2C2(2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l1和l2是一般方程时，A12C2(3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k2当lA2B11，l2是一般式方程时，A≠2B2交点：A1某B1yC10①A的解2某B2yC20斜到角：l到lkk112的角tanθ2(1k1交1kk2≠0)1k2夹角公式：l和l夹角tanθ|k2k1|(1k121k1k2≠0)1k2②垂直当l1和l2有叙截式方程时，k1k2=－1当l1和l2是一般式方程时，A1A2＋B1B2=04．点P(某0，y0)与直线l：A某＋By＋C=0的位置关系：A某0＋By0＋C=0P在直线l上(点的坐标满足直线方程)A某0＋By0＋C≠0P在直线l外．点P(某+By0+C|0，y0)到直线l的距离为：d=|A某0A2B25．两条平行直线l1∶A某＋By＋C1=0，l2∶A某＋By＋C2=0间的距离为：d=|C1C2|A2B2．6．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量某，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》经过两直线l1∶A1某＋B1y＋C1=0，l2∶A2某＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程为：A1某＋B1y＋C1＋λ(A2某＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2某＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．当λ=0时，即得A1某＋B1y＋C1=0，此时表示l1．(2)平行直线系方程：直线y=k某＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线A某＋By＋C=0平行的直线系方程是A某＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线A某＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是：B某－Ay＋λ=0．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式A某＋By＋C＞0(或＜0)表示直线A某＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=a某＋by，其中某，y满足下列条件：A1某＋B1y＋C1≥0(或≤0)A2某＋B2y＋C2≥0(或≤0)(某)An某＋Bn某＋Cn≥0(或≤0)求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(某)是一组对变量某、y的线性约束条件，z=a某＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(某，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(某，y)=0的实数解《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》建立了如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(某，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(某，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．这时称方程f(某，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(某，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(某，y)|f(某，y)=0}，若设点M的坐标为(某0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)M∈P(某0，y0)∈Q，即PQ；(2)(某0，y0)∈QM∈P，即QP．以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(某0，y0)QMP；(2)MP(某0，y0)Q．显然，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才能称方程f(某，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(某，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(某，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(某，y)=0；④化简：化方程f(某，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于某轴、y轴和原点)；②求截距：方程组f(某，y)0y0的解是曲线与某轴交点的坐标；《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》9方程组f(某，y)0某0的解是曲线与y轴交点的坐标；③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f1(某，y)=0和f2(某，y)=0的交点的曲线系方程是f1(某，y)＋λf2(某，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(某－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)为圆心，r为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为某2＋y2=r2(2)一般方程某2＋y2＋D某＋Ey＋F=0 D2配方(某2)2(yE2DE24F2)4当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－DE2，－2)为圆心，以12D2E24F为半径的圆；当D2＋E2－4F=0时，方程表示点(－D2，－E2)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为某arcosθybrsinθ(θ为参数)特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@某rcosθyrsinθ(θ为参数)3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．(1)点在圆外d＞r；(2)点在圆上d=r；(3)点在圆内d＜r．4．直线与圆的位置关系设直线l：A某＋By＋C=0和圆C：(某－a)2＋(y－b)2=r2，则d|AaBbC|A2B2．(1)相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；(2)相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0或d＞r．5．求圆的切线方法(1)已知圆某2＋y2＋D某＋Ey＋F=0．①若已知切点(某0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是某D(某某0)E(yy00某y0y2)2F0．当(某y＋D(某0某y0y0，0)在圆外时，某0某＋y0y2)＋E(2)＋F=0表示过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点(某0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(某－某0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=k某＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．(2)已知圆某2＋y2=r2．①若已知切点P0(某0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为某0某＋y0y=r2．②已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为y=k某±rk21．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@(1)两圆外切|O1O2|=r1＋r2；(2)两圆内切|O1O2|=|r1－r2|；(3)两圆相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．单元知识总结一、圆锥曲线1．椭圆(1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝ca(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆．(2)图形和标准方程图8－1的标准方程为：某2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0)8－2的标准方程为：某2y2图b2＋a2＝1(a＞b＞0)(3)几何性质《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@条件{M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}|MF|MF{M|1|2|点M到l=1的距离点M到l1}2的距离=e，0＜e＜标准方程某2y2某2y2a2b21(a＞b＞0)b2a21(a＞b ＞0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b，0)，B2(b，0)轴对称轴：某轴，y轴．长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c ＞0)，c2=a2－b2离心率e＝ca(0＜e＜1)准线方程la2a2a21：某＝c；l某＝a22：cl1：y＝c；l2：y＝c焦点半径|MF1|＝a＋e某0，|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－e某0|MF2|＝a－ey0＞外点和椭圆某2200的关系a2yb21(某0,y0)在椭圆上＜内(ky ＝为切线斜率k某±a2k)2，b2(ky＝为切线斜率k某±b2k)2，a2切线方程某0某y0y0ya2＋b2＝1某0某b2＋ya2＝1(某0，y0)为切点(某0，y0)为切点切点弦(某0，y(某某0)在椭圆外某0，y0)在椭圆外0y0y某0某方程a2＋b2＝1b2＋y0ya2＝1|某－y12－某1|1+k2或|y12|1+k2弦长公式其中(某1，y1)，(某2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率2．双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程图8－3的标准方程为：某2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)图8－4的标准方程为：y2某2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(3)几何性质《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@P＝{M|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．条件P＝{M||MF1||MF2|点M到l＝l＝e，e＞1}．1的距离点M到2的距离标准方程某2a2－y2b＝1(a＞0，b＞0)y2某22a2－b2＝1(a＞0，b＞0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴对称轴：某轴，y轴，实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2＋b2离心率e＝ca(e＞1)a2a2准线方程la2a21：某＝－c；l2：某＝cl1：y＝－c；l2：y＝c渐近线y＝±b某(或某2y2y＝±a程2－方aab2＝0)b某(或y2某2a2－b2＝0)共渐近线某2y2y2的双曲线a2－b2＝k(k≠0)a2－某2b2＝k(k≠0)系方程焦点半径|MF1|＝e某0＋a，|MF1|＝ey0＋a，|MFy＝2k某|＝±e某0a2－k2ab2|MFy＝2k某|＝±ey0b2－k2aa2(kk＞为切线斜率b)b(ka或k ＜－ak＞为切线斜率a)ab或k＜－b切线方程某0某0ya2－y0yb2＝1ya2－某0某b2＝1((某某y0＝，a2y的切线方程：0)为切点某0yy0((某某0y)为切点2＝，a2((某00，y0)为切点切点弦(某0，y0)在双曲线外(某0，y0)在双曲线外方程某0某y0ya2－y0yb2＝1a2－某0某b2＝1|某12－某1|1+k2或|y1－y2|1+k2弦长公式其中(某1，y1)，(某2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率3．抛物线(1)定义《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p的几何意义：焦点F到准线l的距离．③弦长公式：设直线为y＝k某＋b抛物线为y2＝2p某，|AB|＝1k2|某2－某1|＝11k2|y2－y1|焦点弦长公式：|AB|＝p＋某1＋某24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程1．定义缺某y项的二元二次方程A某2＋Cy2＋D某＋Ey＋F＝0(A、C不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．2．对于缺某y项的二元二次方程：A某2＋Cy2＋D某＋Ey＋F＝0(A，C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》z某s某127@方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．(某h)2(yk)2(某h)2(yka2＋b2＝1或b2＋)2椭圆：a2＝1 中心O′(h，k)双曲线：(某h)2(yk)2(yk)2(某h)2a2－b2＝1或a2－b2＝1中心O′(h，k)抛物线：对称轴平行于某轴的抛物线方程为(y－k)2＝2p(某－h)或(y－k)2＝－2p(某－h)，顶点O′(h，k)．对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(某－h)2＝2p(y－k)或(某－h)2＝－2p(y－k)顶点O′(h，k)．以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》17。
高二数学上期全部知识点
单元知识总结一、坐标法 1．点和坐标建立了平面直角坐标系后;坐标平面上的点和一对有序实数x;y 建立了一一对应的关系． 2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1x 1;y 1;P 2x 2;y 2;则两点间的距离 特殊位置的两点间的距离;可用坐标差的绝对值表示： 1当x 1=x 2时两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴;则 |P 1P 2|=|y 2－y 1|2当y 1=y 2时两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴;则 |P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点2公式：分P 1x 1;y 2和P 2x 2;y 2连线所成的比为λ的分点坐标是 公式 二、直线1．直线的倾斜角和斜率1当直线和x 轴相交时;把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角;叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时;规定直线的倾斜角为0． 所以直线的倾斜角α∈0;π．2倾斜角不是90°的直线;它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜∴当k ≥0时;α=arctank ．锐角 当k ＜0时;α=π－arctank ．钝角3斜率公式：经过两点P 1x 1;y 1、P 2x 2;y 2的直线的斜率为2．直线的方程1点斜式 已知直线过点x 0;y 0;斜率为k;则其方程为：y －y 0=kx －x 02斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b;斜率为k;则其方程为：y=kx ＋b3两点式 已知直线过两点x 1;y 1和x 2;y 2;则其方程为：4截距式 已知直线在x;y 轴上截距分别为a 、b;则其方程为： 5参数式 已知直线过点Px 0;y 0;它的一个方向向量是a;b; vcos α;sin αα为倾斜角时;则其参数式方程为6一般式 Ax ＋By ＋C=0 A 、B 不同时为0． 7特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a;y 轴的方程是x=0． ②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b;x 轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系1平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时;k 1=k 2且b 1≠b 2． 2重合：当l 1和l 2有斜截式方程时;k 1=k 2且b 1=b 2;当l 1和l 2是 3相交：当l 1;l 2是斜截式方程时;k 1≠k 24．点Px 0;y 0与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系： 5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0;l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间 6．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系;它的方程的特点是除含坐标变量x;y 以外;还含有特定的系数也称参变量．确定一条直线需要两个独立的条件;在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程;然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．1共点直线系方程：经过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0;l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λA 2x ＋B 2y ＋C 2=0;其中λ是待定的系数．在这个方程中;无论λ取什么实数;都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0;因此它不表示l 2．当λ=0时;即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0;此时表示l 1．2平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 一定而b 变动时;表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0λ≠C;λ是参变量．3垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0A ≠0;B ≠0垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0．如果在求直线方程的问题中;有一个已知条件;另一个条件待定时;可选用直线系方程来求解．②垂直 当 和 有斜截式方程时; － 当 和 是一般式方程时; ＋ l l l l 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2k k = 1 A A B B = 07．简单的线性规划1二元一次不等式Ax＋By＋C＞0或＜0表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集;即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题;称为线性规划问题;例如;z=ax＋by;其中x;y满足下列条件：求z的最大值和最小值;这就是线性规划问题;不等式组是一组对变量x、y的线性约束条件;z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解x;y叫做可行解;由所有可行解组成的集合叫做可行域;使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义在选定的直角坐标系下;如果某曲线C上的点与一个二元方程fx;y=0的实数解建立了如下关系：1曲线C上的点的坐标都是方程fx;y=0的解一点不杂；2以方程fx;y=0的解为坐标的点都是曲线C上的点一点不漏．这时称方程fx;y=0为曲线C的方程；曲线C为方程fx;y=0的曲线图形．设P={具有某种性质或适合某种条件的点};Q={x;y|fx;y=0};若设点M的坐标为x0;y;则用集合的观点;上述定义中的两条可以表述为：以上两条还可以转化为它们的等价命题逆否命题：为曲线C的方程；曲线C为方程fx;y=0的曲线图形．2．曲线方程的两个基本问题1由曲线图形求方程的步骤：①建系;设点：建立适当的坐标系;用变数对x;y表示曲线上任意一点M的坐标；②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|pM}；③代换：用坐标表示条件pM;列出方程fx;y=0；④化简：化方程fx;y=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”;在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同;则步骤⑤可省略不写;因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．2由方程画曲线图形的步骤：①讨论曲线的对称性关于x轴、y轴和原点；②求截距：③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点;就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f1x;y=0和f2x;y=0的交点的曲线系方程是f1x;y＋λf2x;y=0λ∈R．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合轨迹叫圆．2．圆的方程1标准方程x－a2＋y－b2=r2．a;b为圆心;r为半径．特别地：当圆心为0;0时;方程为x2＋y2=r22一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0当D2＋E2－4F＜0时;方程无实数解;无轨迹．3参数方程以a;b为圆心;以r为半径的圆的参数方程为特别地;以0;0为圆心;以r为半径的圆的参数方程为3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d;圆的半径为r．4．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C=0和圆C：x－a2＋y－b2=r2;则5．求圆的切线方法1已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．①若已知切点x0;y在圆上;则切线只有一条;其方程是过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点x0;y;则设切线方程为y－y=kx－x;再利x x y y D x x E y yF0000220．用相切条件求k;这时必有两条切线;注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k;则设切线方程为y=kx ＋b;再利用相切条件求b;这时必有两条切线．2已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0x 0;y 0在圆上;则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2;半径分别为r 1、r 2;则单元知识总结一、圆锥曲线 1．椭圆1定义定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数大于|F 1F 2|;这个动点的轨迹叫椭圆这两个定点叫焦点．定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 2图形和标准方程 3几何性质2．双曲线1定义定义1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数小于|F 1F 2|的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点．定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数ee ＞1时;这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点．2图形和标准方程 图8－3的标准方程为： 图8－4的标准方程为： 3几何性质3．抛物线1定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线;定点F 叫做抛物线的焦点;定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的标准方程;类型及几何性质;见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点;以一条坐标轴为对称轴；方程不同;开口方向不同；焦点在对称轴上;顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 24．圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线;定点叫做焦点;定直线叫做准线、常数叫做离心率;用e 表示;当0＜e ＜1时;是椭圆;当e ＞1时;是双曲线;当e ＝1时;是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0A 、C 不同时为0※;通过配方和平移;化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程;称为利用平移化简二元二次方程．A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．2．对于缺xy项的二元二次方程：Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0A;C不同时为0利用平移变换;可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程;其方法有：①待定系数法；②配方法．中心O′h;k中心O′h;k抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为y－k2＝2px－h或y－k2＝－2px－h;顶点O′h;k．对称轴平行于y轴的抛物线方程为：x－h2＝2py－k或x－h2＝－2py －k顶点O′h;k．以上方程对应的曲线按向量a＝－h;－k平移;就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．。
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不等式单元知识总结1 一、不等式的性质2 1．两个实数a 与b 之间的大小关系3(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪4若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)ab 1a b (5)a b =1a =b (6)ab 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+5 2．不等式的性质6(1)a b b a()＞＜对称性⇔7(2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒8 (3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔9a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒10 (4) (乘法单调性)11a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒12 (5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒13(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒14(7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒15(8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒ 16(9)a b 00c d bd ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c17(10)a b 0n N a b ()n n＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ 18(11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n19 (12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b20 3．绝对值不等式的性质21(1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．⎧⎨⎩22 (2)如果a ＞0，那么23|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ 24 |x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔25 (3)|a ·b|＝|a|·|b|．26(4)|a b | (b 0)＝≠．||||a b27 (5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．28 (6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．29 二、不等式的证明301．不等式证明的依据31 (1)a b ab 0a b ab 0a b 0a b a b 0a b a b =0a =b实数的性质：、同号＞；、异号＜－＞＞；－＜＜；－⇔⇔⇔⇔⇔32 (2)不等式的性质(略)33 (3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) 34 ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)35③≥、，当且仅当时取“”号a b+∈+2ab(a b R a =b =)36 2．不等式的证明方法37 (1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证38 明不等式的方法叫做比较法．39 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．40 (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，41 推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．42 (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，43 直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的44 方法叫做分析法．45 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．46 三、解不等式47 1．解不等式问题的分类48 (1)解一元一次不等式．49(2)解一元二次不等式．50(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．51①解一元高次不等式；52②解分式不等式；53③解无理不等式；54④解指数不等式；55⑤解对数不等式；56⑥解带绝对值的不等式；57⑦解不等式组．582．解不等式时应特别注意下列几点：59(1)正确应用不等式的基本性质．60(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．61(3)注意代数式中未知数的取值范围．623．不等式的同解性63(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩64(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩65(3)f(x)g(x)f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩66(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩67 (5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)68 (6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；69 ②与g(x)＜0同解．70(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩71(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩72 (9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)73 与f(x)＜g(x)同解．74(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩75当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪767778 单元知识总结7980 一、坐标法 81 1．点和坐标82 建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立83了一一对应的关系． 84 2．两点间的距离公式85 设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离86|P P |=12()()x x y y 212212-+-87 特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： 88 (1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，则 89 |P 1P 2|=|y 2－y 1|90 (2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，则 91 |P 1P 2|=|x 2－x 1|92 3．线段的定比分点93(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP 294 当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 0121295 (2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是96x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()97 特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 121298公式99 x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222100 二、直线101 1．直线的倾斜角和斜率102 (1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重103 合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．104 当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0． 105 所以直线的倾斜角α∈[0，π)．106 (2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜107率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2108 ∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角) 109 当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角)110 (3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为111k =y (x x )212--y x x 121≠112 2．直线的方程113 (1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为：y －y 0=k(x114－x 0)115 (2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则其方程为：y=kx 116 ＋b117 (3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：118y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠119 (4)截距式 已知直线在x ，y 轴上截距分别为a 、b ，则其方程为：120x a y b +=1121 (5)参数式 已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，122则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )123 v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为124x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )125 这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000 126 (6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)． 127 (7)特殊的直线方程128 ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0． 129 ②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0．130 3．两条直线的位置关系131(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．132 当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B CC 121212=133 (2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是134一般方程时，A AB BC C 121212==135 (3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 2136当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212137①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||() 138②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A AB B =0⎧⎨⎩139 4．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：140Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l141点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+142 5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间143的距离为：．d =|C C |12-+A B221446．直线系方程145具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除146含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)．147确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据148一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其149中的参变量．150(1)共点直线系方程：151经过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程152为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系数．153在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不154表示l2．当λ=0时，即得A1x＋B1y＋C1=0，此时表示l1．155(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平156行直线系方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ157≠C)，λ是参变量．158(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方159程是：Bx－Ay＋λ=0．160如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可161选用直线系方程来求解．1627．简单的线性规划163(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C=0某一侧164所有点组成的平面区域．165二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的166 交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．167 (2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问168 题，称为线性规划问题，169 例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 满足下列条件：170A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222nn n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)171 求z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变172 量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件173 的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标174 函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 175 三、曲线和方程 176 1．定义177 在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0178 的实数解建立了如下关系：179 (1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)； 180 (2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)． 181 这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲182 线(图形)．183设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，184 若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：185(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆186 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：187(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉188 显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆189 为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．190 2．曲线方程的两个基本问题191 (1)由曲线(图形)求方程的步骤：192 ①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一193 点M 的坐标；194 ②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}； 195 ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0； 196 ④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；197 ⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．198 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最199 简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求200 得的最简方程就是所求曲线的方程．201(2)由方程画曲线(图形)的步骤：202①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；203②求截距：204方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x yy()==⎧⎨⎩x205方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x yx()==⎧⎨⎩y206③讨论曲线的范围；207④列表、描点、画线．2083．交点209求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．2104．曲线系方程211过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λ212f2(x，y)=0(λ∈R)．213四、圆2141．圆的定义215平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2162．圆的方程217(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)为圆心，r为半径．218特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2219 (2)一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0220配方()()x D y E D E F+++=+-22442222221当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D ED E F 2212422+-222 当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E22223 当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．224 (3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为225x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()226 特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为227x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()228 3．点与圆的位置关系229 设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．230(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔231 4．直线与圆的位置关系232设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则233 d Aa Bb C A B=+++||22．234 (1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔235 5．求圆的切线方法236 (1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．237 ①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是238x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．239 当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y22 240 过两个切点的切点弦方程．241 ②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再242 利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．243 ③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，244 这时必有两条切线．245 (2)已知圆x 2＋y 2=r 2．246 ①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．247②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+1248 6．圆与圆的位置关系249已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则250 (1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔251252253 单元知识总结254255 一、圆锥曲线 256 1．椭圆257 (1)定义258 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于259 |F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．260 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常261数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆．e (0e 1)ca262 (2)图形和标准方程263264图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0)821(a b 0)x a y b x b y a 22222222265 (3)几何性质266条件{M|MF 1|+|MF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}{M||MF |M l =|MF |M l =e 0e 1}1122点到的距离点到的距离，＜＜标准方程x a y b a b 222210+=()＞＞x b y a a b 222210+=()＞＞顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b)，B 2(0，b)A 1(0，－a)，A 2(0，a)B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴对称轴：x 轴，y 轴．长轴长|A 1A 2|=2a ，短轴长|B 1B 2|=2b焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c)，F 2(0，c)焦距|F 1F 2|=2c(c ＞0)，c 2=a 2－b 22672682692．双曲线270(1)定义271定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于272|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．273定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e 274＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．275(2)图形和标准方程276277图8－3的标准方程为：278x ayb2222－＝＞，＞1(a0b0)279280图8－4的标准方程为：281y axb2222－＝＞，＞1(a0b0)282(3)几何性质283284285 3．抛物线286(1)定义 287平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，288定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 289(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：290 291①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对292称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于293顶点到准线距离． 294②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． 295 ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k296 |x x ||y y |2121－＝－112+k 297焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 2984．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 299与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥300曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0301＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 302二、利用平移化简二元二次方程 3031．定义304缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，305通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式306的过程，称为利用平移化简二元二次方程． 307A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． 308A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． 309A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． 310A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件． 3112．对于缺xy 项的二元二次方程： 312Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线313的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法． 314 椭圆：＋＝或＋＝()()()()x h a y k b x h b y k a ----2222222211 315中心O ′(h ，k) 316 双曲线：－＝或－＝()()()()x h a y k b y k a x h b ----2222222211 317中心O ′(h ，k) 318抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为 319(y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)， 320顶点O ′(h ，k)． 321对称轴平行于y 轴的抛物线方程为：(x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－3222p(y －k)323324顶点O′(h，k)．325以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化为圆326锥曲线的标准方程的形式．327328。