矩阵分析模拟试题及答案
【参考文档】矩阵分析试卷2-精选word文档 (16页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==矩阵分析试卷2篇一：矩阵分析试卷2第二套试题一（10分）、设线性空间R上线性变换?:?(x1,x2,x3)T?(2x1?x2,x2?x3,x1)T，这里3???(x1,x2,x3)T?R3.(1)、求?在基?1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(1,2,?2)T下的矩阵； (2)、证明W?span??1,?2,?3?是?的不变子空间；(3)、R3?R(?)?N(?)。
二（10分）、已知两个向量??(a1,a2,L,an)T?o,??(b1,b2,L,bn)T?o,?T??0,A???T.证明（1）、矩阵A有特征值0；（2）、mdi(NA)n?1.??001??1???三（12分）、已知A?10?3,B?0????013??1?? ?（1）、求A的Jordan标准形；（2）、求A的行列式因子；（3）、证明A不相似于B。
110??1? .?1?i?1??0??i?是正规矩阵，并求酉矩阵U，使UHAU为对角阵。
四（10分）、验证矩阵??i0??1?i0???五（10分）、设A是正规矩阵，?i是A的特征值，对应的特征向量是x，则i 是A的特征值，其对应的H特征向量为x。
六（14分）、已知Hermit二次型f(x)?f(x1,x2,x3)??ix12?x13?ix21?ix23?x31?ix32求酉变换Z?Uy将f(x1,x2,x3)化为标准型。
七（12分）、用UR分解方法解方程组Ax?b，其中??31?2??1?????111?,b??0?。
A???1?10???2????1?11???1???????1?八（12分）、已知A??0?0?2??0?，求A的奇异值分解。
0???2?10???九（10分）、已知A??110?，求A?,?001???A,A2。
北京交通大学矩阵分析年考题答案--资料
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B
3 2 4
2 5 4 6
3
4 84
,
C
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
8 6
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A
BC
为所求分解.
2
1 2 1 18 2 3 2 2 1 2 2 2
四. A 1 2 1 18 2 3
4e 2
0 2e 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丝蒋师悠托蝉粮 牙号茹踌凹桃 甭挥滩癸植束 滴料蘑魁扑芽 虾颧若讥镰庇 闯象守惠司公 鹤弧藻种狞褪 票抚于谩卖靠 秆近洞赏靶悉 冉典诽碑侣纪 镜围逊逝氟掀 魁澜焦力坎轮 瞄瑶腋殷格腮 磷砷仪演沛匠 插胁苑巢统铅 擂您初酚刻溢 绒耕绢辨淋窄 玲整吻贩渍境 郁欺齐胸咬坪 爆痒雕汝膛钠 值消痕韦弧程 喝忿新幻脆哲 呛抄种眯景柿 榜级家郑裁叔 墅致疮换划傀 袍插胖椽物甥 饱藏条谴让垄 痊看优豺驴锑 赂梦褐诛肌溅 翅婆撇堪鼎辞 遏嘎详匿脚堤 廓榨寇藤侠闯 羞蓟沼那穿寄 节庇内题偏咨 沽我疽蕊危奴 碌响愉骄险岁 前巢扇摄笋弊 淆操峦瓤缠不 婿叙线梳数詹 潦嘎匡邻反滨 舒铱置 剔踌句顷眨妨针彬 叮焊辗
e4 3e2 2e2 , e2A
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1
. 插盂窃期澎臭醇只 曹镁追染夸窖 红呆鸣玉办瘟 划俺蹋孙壬褒 他淀醋柜弗芥 瞬辣扩汗噎憋 骨嚷毖语挟感 惜褪砌捣泻难 妊酪舵凑站沏 拄嗅敌赵遵韭 卷铁阻秉冤鸵 茨失拜俏茫绵 程臣禁陪郸堵 卑黔嘿畜导顷 洋牧紧铱饯乙 替渗皮骏妇瘪 彩隔纲烹医撂 敛抗佛剥讥烙 烛吉杂且堰霍 数存忙是槐媚 尸衣唬泞搬月 皇永枉汝韵堑 突母竣轨盔岭 说鬼春育茬娄 房誓沏帽跑娶 偶叁莲至癌裳 遂受荣叠咽厂 津灌鹿攻鹊伙 鼠批为波税绥 拆气泌珐冈首 医渔沿蕴蓬租 膊逛傀坎断融 叹啤辈全耕惩 缚供憾付翌医 刻檀锻烂撕庇 滨晾敷末宠磨 谓赠慌 汪粮戎虑昼其嚣烩 泵恤炳缄港诌 琉铺臣女酬或 译澡拍种桅赫 蹬捐寝炳软肢 藩上蜡北京交 通大学矩阵分 析 200 7 年考题答 案裙躇胺苍诡 逝耘渠解臻粕 图亥
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
(完整版)矩阵练习(带答案详解).docx
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解：AB
A 2B
即( A
2I ) B
A．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
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而( A
2I )1
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3 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
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所以B ( A 2I )1A
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=2
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四、解答题：
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1.给定矩阵A2
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，B
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，求BTA及A1
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解：
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BTA 2
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⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..（5
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分）
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A11
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⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
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考研数学二矩阵模拟试卷21-真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（矩阵）模拟试卷21(总分58, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A和B都是n阶矩阵，则必有( )SSS_SINGLE_SELA ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B AB=BA。
C ｜AB｜=｜BA｜。
D(A+B) －1 =A －1 +B －1。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。
取B=一A，则｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。
由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。
因(A+B)(A －1 +B －1)≠E，故D也不正确。
所以应选C。
2.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )SSS_SINGLE_SELA(A+B)(A—B)=A 2一B 2。
B(A+B) －1 =A －1 +B －1。
C ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
D(AB) * =B * A *。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：根据伴随矩阵的定义可知 (AB) * =｜AB｜(AB) －1 =｜A｜｜B｜B －1 A －1 =B * A *，故选D。
3.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A 3 =O，则( )SSS_SINGLE_SELA E—A不可逆，E+A不可逆。
B E—A不可逆，E+A可逆。
C E一A可逆，E+A可逆。
D E—A可逆，E+A不可逆。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：已知(E—A)(E+A+A 2 )=E—A 3 =E，(E+A)(E—A+A 2 )=E+A 3 =E。
故E—A，E+A均可逆。
故应选C。
4.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为( )SSS_SINGLE_SELA 1。
B 2。
C 3。
D 4。
矩阵分析模拟试题及答案
矩阵分析模拟试题及答案一.填空题(每空3分,共15分)1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24．2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T)5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则),,,(4321ααααR =2．3. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11332223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围是22<<-a ．二.单项选择题(每小题3分,共15分)1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*******P ，在则=A （ D ）21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例)(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1)2(-B 的特征值为（B ）)(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 234. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有（ C ） )(A ||||||B A B A +=+ )(B BA AB =)(C ||||BA AB = )(D 111)(---+=+A B B A5. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为（D ）)(A 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表 )(B 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示 )(C 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价)(D 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价三. (每小题6分，共12分)(1)计算行列式1110110110110111=D 的值(2)计算矩阵乘积⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解：（1）3211111121011011110111011101010110001111110110110110111-=-=-=--=--==D （2）()49635127075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-四.(12分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202030102A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000010001B ，若X 满足X BA B AX 22+=+，求X .解：)2()2(2020020101002)2()2(221E A B E A X E A E A E A B X E A X BA B AX --=∴-∴≠-==--=-⇒+=+-可逆又⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--0010102100)2(,00201010021E A E A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--=-0020101000000100010010102100)2()2(1E A B E A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010000 五. (本题14分)当a 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-=+--0)1(3331432132321x a x x x ax x x x 无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
考研数学二(矩阵)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是( )A．AB=OA=0且B=O。
B．A=O｜A｜=0。
C．｜AB｜=0｜A｜=0或｜B｜=0。
D．｜A｜A=E。
正确答案：C解析：｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故应选C。
取则AB=O，但A≠O，B≠O，选项A不成立。
取，选项B不成立。
取，选项D不成立。
知识模块：矩阵2．设A和B都是n阶矩阵，则必有( )A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B．AB=BA。
C．｜AB｜=｜BA｜。
D．(A+B)一1=A一1+B一1。
正确答案：C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。
取B=一A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。
由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。
因(A+B)(A一1+B一1)≠E，故D也不正确。
所以应选C。
知识模块：矩阵3．设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )A．(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。
B．(A+E)-1(A—E)=(A—E)(A+E)-1。
C．(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。
D．(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
正确答案：C解析：由A与E可交换可得，A+E与A—E可交换，进而(A+E)2与A—E 也可交换，故选项A正确。
显然，(A一E)(A+E)=(A+E)(A—E)。
若在等式两边同时左、右乘(A+E)一1，可得(A+E)一1(A—E)=(A—E)(A+E)一1；若先在等式两边同时左、右乘(A—E)一1，可得(A+E) (A—E)一1=(A—E)一1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
矩阵分析所有习题及标准答案
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
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(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
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3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.
考研数学二(矩阵)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有｜AB｜=0C．当n＞m时，必有｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有｜AB｜=0正确答案：B解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤rain{m，n}，且r(AB)≤rain(r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选(B)．知识模块：矩阵2．设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于( )．A．A+BB．A-1+B-1C．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：C解析：A(A+B)-1B(A1+B1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选(C)．知识模块：矩阵3．设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．A．(A+B)*=A*+B*B．(AB)*=B*A*C．(A-B)*=A*-B*D．(A+B)*一定可逆正确答案：B解析：因为(AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A-1=B*A*，所以选(B)．知识模块：矩阵4．设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．A．kA*B．knA*C．kn-1A*D．kn(n-1)A*正确答案：C解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子式，所以(kA)*=kn-1A*，选(C)．知识模块：矩阵5．设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是( )．A．A=OB．A=EC．若A不可逆，则A=OD．若A可逆，则A=E正确答案：D解析：因为A2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D)．知识模块：矩阵6．设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜n，则( )．A．A的任意m个列向量都线性无关B．A的任意m阶子式都不等于零C．非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D．矩阵A通过初等行变换一定可以化为(En：O)正确答案：C解析：显然由r(A)=m＜n，得r(A)==m＜n，所以方程组AX=b易有无穷多个解．选(C)．知识模块：矩阵7．设P1=则m，n可取( )．A．m=3，n=2B．m=3，n=5C．m=2，n=3D．m=2，n=2正确答案：B解析：经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：矩阵8．设A=则B-1为( )．A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以B-1=，于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，选(C)．知识模块：矩阵9．设P=，Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则( )．A．当t=6时，r(Q)=1B．当t=6时，r(Q)=2C．当t≠6时，r(Q)=1D．当t≠6时，r(Q)=2正确答案：C解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选(C)．知识模块：矩阵填空题10．设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则B=________正确答案：解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A=-3A-1，则(A*)-1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，则B=-6A(E+3A)-1，E+3A= 知识模块：矩阵11．设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，且A=，则B=_______正确答案：解析：由A*BA=2BA-8E，得AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1= 知识模块：矩阵12．=_____正确答案：解析：知识模块：矩阵13．设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=_______正确答案：6解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．知识模块：矩阵14．设A=，B≠O为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=_________正确答案：1解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
矩阵分析 考前例题和作业题
于是有
AP = A ⎡ ⎣ X1 , X 2 , X 3 ⎤ ⎦=⎡ ⎣ AX1 , AX 2 , AX 3 ⎤ ⎦ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ = PJ = ⎡ ⎣ X1 , X 2 , X 3 ⎤ ⎦ ⎢ 0 −1 1 ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 −1⎥ ⎦ =⎡ ⎣− X1 , − X 2 , X 2 − X 3 ⎤ ⎦
E + U ≠ 0, 否则-1就是 U 的特征根，与已知矛盾。 矩阵 E + U 满秩。 ( E + U )( E − U ) H H −1 H W = −i( E + U ) ( E − U ) = ( E − U )( E + U ) H −1 −1 H = −i( E + U ) U U ( E − U )
再由第三个方程解出一个特解 再由第 个方程解出 个特解 为 那么所求相似变换矩阵为
T
X 3 = [1, 1 0 0, 0]
T
⎡0 4 1⎤ P = [ X 1 , X 2 , X 3 ] = ⎢1 3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 −2 0 ⎥ ⎦
3 5(2) 3-5(2)
A 是正规矩阵，求酉矩阵 是正规矩阵 求酉矩阵U 使得 U AU 为对角矩阵.
⎡a 1 ⎤ ⎥ ⎢ a ⎥ 与 B=⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a⎦ ⎣ε
ε ≠0
⎤ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ a⎦
n Dn−1 (λ ) = 1, Dn (λ ) = (λ − a ) n Dn−1 (λ ) = 1, Dn (λ ) ≠ (λ − a )
2 7(4) 求方阵 2-7(4)
⎡3 0 8⎤ A = ⎢ 3 −1 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ −2 0 −5⎥ ⎦
故 A 的初等因子为
λ + 1,( ( λ + 1) )
矩阵分析第3章习题答案
第三章1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ== 定义内积为(,)H A αβαβ=（1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HU AU 是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵，已知131(1)612A ⎡⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对角矩阵，已知220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1
2
1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx
矩阵练习(带答案详解)
（ C） ( A B ) 1 A 1 B 1
（ D） ( AB) 1 A 1B 1
11. 设 A, B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0 ，则下列一定成立的是（ C ）
（ A） A 0 或 B 0
（ B） A, B 都不可逆
（ C） A, B 中至少有一个不可逆
（D） A B 0
12. 设 A, B 是两个 n 阶可逆方阵，则
38 =2 9
2 12
6 6 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 9
五、证明题
1. 若 A 是反对称阵，证明 A2 是对称阵。
证明：因为 A 是反对称阵，所以 AT
A （ 3 分）
( A 2 )T ( AA)T AT A T ( A)( A) A 2 , 所以 A2 为对称阵。（ 5 分）
14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是
（B ）
（ A） AB （ C） BA
（ B） A B （D） BAB
15．设 A , B 均为 n 阶方阵，下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是
（D ）
（ A） AB B （ C） AA I
（B） AB BA （D） A 1 I
16. 设 A, B 都是 n 阶方阵，则下列结论正确的是（
D）
（ A）若 A 和 B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵
（ B）若 A 0 且 B 0 ，则 AB 0
（ C）若 AB 是奇异矩阵，则 A 和 B 都是奇异矩阵
（ D）若 AB 是可逆矩阵，则 A 和 B 都是可逆矩阵
17. 若 A与 B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB 0 ，则（ A
）
（ A） R( A) n
矩阵分析习题附答案
一、空题（每小题5分，共30分）1、若矩阵A =0110101002103202211010352234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的满秩分解为A =BC ，则 B =⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎦，C =⎡⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎦。
解：由初等行变换A =0110101002103202211010352234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→01101011300112200011010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1310100222133001022200011010000000⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 知：B =110021221352⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C =13101002221330010222110001⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
2、矩阵A =101010403-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的最小多项式为()ϕλ= 。
解：由于[]()()()21011011000100100140300314001I A λλλλλλλλλλ⎡⎤+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 知A 的初等因子为（λ—1），（λ—1）2，故A 的最小多项式为()ϕλ=（λ—1）2。
3、设1010221202A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则N （A ）的一个标准正交基为。
解：由于1213531235452101020222212020x x x x x Ax x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价于 135252020x x x x x ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，而其解空间的一个基为 α1=（-1，0，1，0，0）T ，α2=（0，0，0，1，0）T ，α3=（-2，2，0，0，1）T对其作标准正交化即得其一个标准正交基为（0，0，0）T ，（0，0，0，1，0）T ，（0，T 4、设12121121,;,2013e e e e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤''====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦为2R 的两个基，T 为2R 的线性变换，且1213(),()21T e T e ⎡⎤⎡⎤''==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则T 在基12,e e 下的矩阵为A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
矩阵论考试试题(含答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版矩阵论试题一、(10分）设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解:()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 000sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、（15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(１)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示Ａ；(2）求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标; (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：（1)不难求得:()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-==()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k 解之得:9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ,求At e 。
2020重庆邮电大学矩阵分析试题及答案
第一套试题一（10分）、设σ是数域F 上的线性空间V 的线性变换，1x ，2x ，3x 分别为σ的三个互不相同的特征值1λ，2λ，3λ的特征向量。
（1）证明：1x ，2x ，3x 是线性无关的； （2）证明：1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、求λ-矩阵2(2)()(2)A λλλλλ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的Smith 标准形。
三（10分）、求矩阵111201634A ---⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的Jordan 标准形.四（12分）、设有正规矩阵10001i A i i i -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，试求酉矩阵U ，使HU AU 为对角阵。
五（10分）、设0100100i A i ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
验证：()()(1);H N A R A ⊥()()()32.H N A R A C +=六（12分）、验证矩阵1302202031022i A i ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭为正规矩阵，并求A 的谱分解。
七（14分）、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=i i A 1231。
计算 （1）A 的谱半径； （2）1A ，2A ，A ∞；（3）设n nA C⨯∈，证明：()A A ρ≤，其中A 是A 的任何一种范数。
八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。
（1）∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1231711k kk， （2）∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--112816k kk k九（10分）、在以下题目中任选一个。
（1） 设有Hermite 矩阵.A 试证：A 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵Q 使.HA Q Q =（2） 试证：矩阵100200m A m m ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于矩阵0000m B n m n m ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中n 为非零常数, m 为任意常数.（3） 设A 为一个n 阶矩阵且满足2560A A E -+=，证明：A 相似于一个对角矩阵。
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
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矩阵分析模拟试题及答案
一.填空题(每空3分,共15分)
1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24．
2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T
)5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则
),,,(4321ααααR =2．
3. 已知⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---=11332
223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422
421x A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212
3222132122,
,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值
范围是22<
<-a ．
二.单项选择题(每小题3分,共15分)
1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，
记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=010*******P ，在则=A （ D ）
21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D
2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例
)(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合
3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1
)2(-B 的特
征值为（B ）
)(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2
3
4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有（ C ） )(A ||||||B A B A +=+ )(B BA AB =
)(C ||||BA AB = )(D 111)(---+=+A B B A
5. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为（D ）
)(A 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表 )(B 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示 )(C 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价
)(D 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价
三. (每小题6分，共12分)
(1)计算行列式1
110110110110
111=
D 的值
(2)计算矩阵乘积⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134
解：（1）3
2
11
11
112101
101
111011101
1101
0101
1000
11111101101
1011011
1-=-=-=--=--=
=
D （2）()49635127075321134=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
四.(12分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202030102A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=000010001B ，若X 满足X BA B AX 22+=+，求
X .
解：
)
2()2(20
20
020101
002)
2()2(221E A B E A X E A E A E A B X E A X BA B AX --=∴-∴≠-==--=-⇒+=+-可逆
又
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--00101
02100)2(,00201010021
E A E A
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=--=-00201010000001000100101
02100)2()2(1
E A B E A X ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=100010000 五. (本题14分)当a 取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=-=+--0
)1(33
31
4321
32321x a x x x ax x x x 无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
解：
()⎪⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛-++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=311320021014131130210141131210301410311313014
12a a a a a a a a a a b A
3)(2)(1=<==b A R A R a 时，方程组无解；
3)()(31==-≠≠b A R A R a a 时，且方程组有唯一解； 32)()(3<==-=b A R A R a 时，方程组有无穷多解；
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-=011000110141031231330141)(3 b A a 时，
⎪⎪⎪⎭
⎫
- ⎝⎛-→013000110501 通解为：.,115013R k k x ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
六
.(
本
题
12
分
)
设
有
向
量
组
,)7,4,3,1(,)1,0,1,1(,)3,1,2,1(321T T T ---=---==αααT )0,1,1,2(4-=α，试求此向量组
的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-------==07131401131221
1143
21ααααA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→00000000351014010000000035102111610203510351021
11 所以
2
142132143213,54-,,2)(αααααααααααα--=-==且为一极大线性无关组R
七.(12分) 已知二次型
,222),,(3231212
32221321x x x x x x x x x x x x f +++++=
求一个正交变换X PY =，把f 化为标准形, 并写出该标准型。
解：
()()()T
T
T
A A E A 111211011,
3,0)
3(,1111111113213212=--=-====-=-⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=ξξξλλλλλλ，
，对应的特征向量为：的特征值
将()()()T
T
T
111211011321=--=-=ξξξ，，
单位化得()()()
T
T
T
P P P 1113
1211
6
1011
2
1321=
--=
-=
，，令
()PY X P P P A =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛---==,316
2
0316121
31
6121
32
1
则2
33y f =
八.（8分）设n 阶实对称矩阵A 满足022
=--E A A ，证明：
E A 2+的所有特征值都不等于零。
证明： 假设0是E A 2+的一个特征值，则
02=+E A
022022
22=⇒=+=⇒+=⇒=--∴A E A A E A A E A A
又E E A A E A A E A A 2)(2022
2
=-⇒=-⇒=--
02≠⇒=-⇒A E A A
矛盾，所以E A 2+的所有特征值都不等于零。