矩阵分析模拟试题及答案

矩阵分析模拟试题及答案

一.填空题(每空3分,共15分)

1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24．

2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T

)5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则

),,,(4321ααααR =2．

3. 已知⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛---=11332

223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422

421x A 与⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212

3222132122,

,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值

范围是22<

<-a ．

二.单项选择题(每小题3分,共15分)

1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，

记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=010*******P ，在则=A （ D ）

21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D

2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例

)(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合

3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1

)2(-B 的特

征值为（B ）

)(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2

3

4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有（ C ） )(A ||||||B A B A +=+ )(B BA AB =

)(C ||||BA AB = )(D 111)(---+=+A B B A

5. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为（D ）

)(A 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表 )(B 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示 )(C 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价

)(D 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价

三. (每小题6分，共12分)

(1)计算行列式1

110110110110

111=

D 的值

(2)计算矩阵乘积⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134

解：（1）3

2

11

11

112101

101

111011101

1101

0101

1000

11111101101

1011011

1-=-=-=--=--=

=

D （2）()49635127075321134=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

四.(12分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202030102A ，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=000010001B ，若X 满足X BA B AX 22+=+，求

X .

解：

)

2()2(20

20

020101

002)

2()2(221E A B E A X E A E A E A B X E A X BA B AX --=∴-∴≠-==--=-⇒+=+-可逆

又

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--00101

02100)2(,00201010021

E A E A

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=--=-00201010000001000100101

02100)2()2(1

E A B E A X ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=100010000 五. (本题14分)当a 取何值时，线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=-=+--0

)1(33

31

4321

32321x a x x x ax x x x 无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

解：

()⎪⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛-++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→⎪⎪

⎪

⎭⎫ ⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=311320021014131130210141131210301410311313014

12a a a a a a a a a a b A

3)(2)(1=<==b A R A R a 时，方程组无解；

3)()(31==-≠≠b A R A R a a 时，且方程组有唯一解； 32)()(3<==-=b A R A R a 时，方程组有无穷多解；

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-=011000110141031231330141)(3 b A a 时，

⎪⎪⎪⎭

⎫

- ⎝⎛-→013000110501 通解为：.,115013R k k x ∈⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

六

.(

本

题

12

分

)

设

有

向

量

组

,)7,4,3,1(,)1,0,1,1(,)3,1,2,1(321T T T ---=---==αααT )0,1,1,2(4-=α，试求此向量组

的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-------==07131401131221

1143

21ααααA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→00000000351014010000000035102111610203510351021

11 所以

2

142132143213,54-,,2)(αααααααααααα--=-==且为一极大线性无关组R

七.(12分) 已知二次型

,222),,(3231212

32221321x x x x x x x x x x x x f +++++=

求一个正交变换X PY =，把f 化为标准形, 并写出该标准型。 解：