容斥原理之三者容斥问题
三者容斥问题公式
三者容斥问题公式三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。
三者容斥问题有一个基本公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。
三者容斥问题的推导为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。
如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。
如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。
我们可以用下面的方法来计算：首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。
如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。
但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。
其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。
如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。
即63−4−7−6−7−5−7=27。
但是这个数又小于A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。
最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。
如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。
即27+7=34。
综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|三者容斥问题的应用三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。
2019国家公务员考试行测数量关系中的三者容斥
2019国家公务员考试行测数量关系中的三者容斥容斥问题是行测数量关系题型中的高频考点，在考试中经常出现。
对于三者容斥问题，看似简单，同学们在做题时却经常犯错误，究其原因，是对于三者容斥类题型的解题方法没有深入理解，只是一味的记公式，导致遇到一些变形题时容易解错。
下面专家就考试中经常出现的三者容斥问题进行详细的讲解。
三者容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C解决三者容斥问题，需要把握住此核心公式，但是，只是一味的记住核心公式是不够的，要应对一些变形题目，还需从解题原则入手，才能灵活掌握三者容斥问题的解题方法。
重复区域变一层容斥是一种计数问题，计数时要做到不重不漏，需要将图形中的重复区域变为一层。
【例1.】实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?【答案】22人【中公解析】根据前面所述公式：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人，故喜欢篮球和排球的人有22人。
【例2】某公司组织运动会，据统计，参加百米跑项目的有86人，参加跳高项目的有65人，参加拔河项目的有104人。
其中，至少参加两种项目的人数有73人，三项都参加的有32人。
则该公司参赛的运动员有( )人。
A.89B.121C.150D.185【答案】C【中公解析】设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C，根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
三集合容斥原理
三集合容斥原理三集合容斥原理是概率论和组合数学中一种重要的计数方法，它可以用来解决多个集合的交集和并集的计数问题。
在实际问题中，我们经常会遇到需要计算多个集合的交集或并集的情况，而三集合容斥原理可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
本文将介绍三集合容斥原理的定义、公式推导以及应用实例，希望能帮助读者更好地理解和运用这一原理。
三集合容斥原理的定义。
假设有三个集合A、B、C，我们希望计算它们的交集和并集的情况。
三集合容斥原理告诉我们，三个集合的交集和并集的计数可以通过容斥原理来进行计算。
具体来说，三集合容斥原理可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| +|A∩B∩C|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，|A∩B|表示集合A和集合B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和集合B的并集的元素个数。
通过这个公式，我们可以计算出三个集合的并集的元素个数，从而解决相关的计数问题。
三集合容斥原理的公式推导。
为了更好地理解三集合容斥原理，我们可以通过公式推导来解释这一原理的由来。
假设集合A、B、C的元素个数分别为|A|、|B|、|C|，我们希望求出三个集合的并集的元素个数。
首先，我们可以将三个集合的并集表示为：A∪B∪C = A + B + C A∩B A∩C B∩C + A∩B∩C。
通过这个公式，我们可以看出，当我们计算三个集合的并集时，需要减去两两交集的元素个数，再加上三个集合的交集的元素个数，这样才能得到正确的并集的元素个数。
这就是三集合容斥原理的由来。
三集合容斥原理的应用实例。
为了更好地理解三集合容斥原理的应用，我们可以通过一个实际的例子来说明。
假设有一个班级，其中有60名学生，其中30名学生会打篮球，40名学生会踢足球，50名学生会打乒乓球。
我们现在希望知道至少会一项运动的学生人数是多少。
根据三集合容斥原理，我们可以通过以下步骤来计算至少会一项运动的学生人数：1. 首先，计算三项运动的并集，即篮球、足球和乒乓球的并集，即A∪B∪C。
三集合容斥原理
三集合容斥原理
三集合容斥原理是一种常见的概率理论，它有助于解决一些复杂的概率问题。
它可以用来解释一些现象，如天气预报中的概率降雨或概率暴风雨。
三集合容斥原理的核心思想是：如果有三个互不相交的集合A，B 和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C 的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C 的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
用数学表示，三集合容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
三集合容斥原理可以被用来研究一些概率问题。
例如，假设有三个不同的事件A，B和C，计算它们的概率的总和，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
另一个例子是，假设有三个不同的事件A，B和C，那么在这三个事件中，有多少种可能的组合，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=2^3-1=7 。
总之，三集合容斥原理是一种有用的概率理论，它可以帮助我们解决一些复杂的概率问题。
它的核心思想是：如果有三个互不相交的
集合A，B和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
容斥原理之三者容斥问题
容斥原理之三者容斥问题浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：由题意可画图如下：则有上述公式可知：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
三量容斥原理的公式
三量容斥原理的公式
三量容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法。
它可以用来计算多个集合的交集、并集和补集的元素数量。
三量容斥原理的公式可以用于解决包含多个条件的计数问题。
设A、B、C为三个集合，我们有以下三量容斥原理的公式：
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
上述公式中，|X| 表示集合X的元素数量。
公式的含义是，将A、B、C集合的元素数量相加，然后减去所有两两交集的元素数量，再加上所有三个集合的交集的元素数量，即可得到三个集合的并集的元素数量。
这个公式的原理可以理解为，在计算多个条件同时满足的情况时，我们需要考虑重叠的部分。
公式中的加减项就是为了排除重复计算的部分。
例如，当我们计算A、B、C三个集合的并集时，我们首先将A、B、C的元素数量相加，然后减去A 与B的交集、A与C的交集、B与C的交集的元素数量，以避免重复计算。
最后再加上A、B、C三个集合的交集的元素数量，确保所有重叠的部分被正确计算。
三量容斥原理的公式在解决概率、组合计数、集合论等领域的问题时都具有广泛的应用。
它能够帮助我们更准确地计算多个条件组合下的元素数量，提供了一种简单而有效的计算方法。
通过灵活运用这一原理，我们可以更好地解决实际问题，满足计数需求。
三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式三集合容斥问题是公考中的常客，主要通过公式法和画图法解决，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式记得特别溜，做题时却不知用哪个好。
如何用1秒的时间快速准确挑选出公式呢？这是我们必须要具备的能力，今天我们一起来习得。
首先，何时能用公式解决三集合容斥问题？题目中没有“只”，即题目中没有出现只满足一个条件的表述。
其次，三集合容斥常用的三个公式是什么？（1）标准型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总-都不的（2）拓展1：A+B+C-同时满足两项的-2ABC=总-都不的（3）拓展2：A+B+C-满足两项以上的-ABC=总-都不的再次，如何1秒挑选三集合容斥公式？三个公式中，差别最明显的是关于两项的描述。
若题目给出“满足AB、满足AC、满足BC”的排比式描述，应用标准型公式；若题目给出同时满足两项的描述，则用拓展1公式；若题目给出满足两项以上的描述，则用拓展2公式。
其他的条件在选公式的时候，一点也没用，直接找题目中关于两项的描述即可，选公式1秒足已。
最后，如何快速解呢？大部分题目，尾数不同，用尾数法。
来来来，上菜了。
【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。
A.14B.15C.18D.17【秒选公式】题目中出现“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种”这种排比式的满足两项的描述，选标准型。
【答案】C【解析】本题考查三集合容斥。
设三种食品添加剂都不达标的有x种，代入三集合容斥原理标准公式可得：68+77+59-54-43-35+30=120-x，解得x=18（尾数为8）。
故本题答案为C选项。
集合问题(容斥原理)4丨三者集合文氏图法
集合问题（容斥原理）4丨三者集合文氏图法用文氏图来表示集合A、B和C：通常而言，可以从三者都满足的A∩B ∩C入手，逐渐剔除即可。
确定分类标准→把集合对应圈圆→确定各圆圈位置关系→确定各集合逻辑、数量关系。
（部分题目圆因制图问题，省略，请读者朋友自学时，自行补充）2005年A45.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）。
A.22人B.28人C.30人D.36人【解析】A。
根据仅喜欢看戏剧人=38-12-6-4=16，故而?=100-58-4-16=22 2015年B45.外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（）。
A.4人B.5人C.6人D.7人【解析】B。
设只能教法语为x人，即x=27-8-6-5-4-3-2+2+3=5，故选B。
2006年B43.某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3 人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（）。
A.1人B.2人C.3人D.5人【解析】C。
通过图形简单得知，只懂英语、法语和西班牙语的人数分别为2，1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12-(2+2+1+1+l+1+2)＝2，5-2＝32006年江苏C19.某研究室有12人，其中：7人会英语，7人会德语，6人会法语，4人既会英语又会德语，3人既会英语又会法语，2人既会德语又会法语，1人英语、德语、法语三种语言都会。
三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式容斥问题一直是公务员考试备考中不可缺少的一部分。
很多同学在做容斥问题，尤其是三者容斥问题的时候常常会考虑不周，缺了一个部分又多了一个部分。
所以接下来要给大家提供一个万能型的容斥公式，所有的三者容斥问题就迎刃而解了。
如图所示，我们用同一字母表示同一属性的区域。
斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。
因此，根据图形，就有了以下几个公式：1.a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)2.a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)3.b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C 的有Y人，喜欢B和C的有Z人)那么我们接下来就利用这个公式来练习几道题目：例1某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程，兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人、甲乙丙三门课程均选的有20人，三门课程均未选的有2人。
该专业共有学生多少人?A .48 B. 50 C. 52 D.54解析：直接套用公式:(1)根据题中“有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程”得：a+2b+3c=40+36+30=106(2)根据题中“兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人”得：b+3c=28+26+24=78(3) 根据题中“甲乙丙三门课程均选的有20人”得：c=20(4)根据题中“三门课程均未选的有2人”得：d=2.最终求出总集I=a+b+c+d=10+18+20+2=50人，所以答案为B例2 某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查、共抽取了40名消费者、发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的几个人?A. 1B.3C.5D.7解析：套用公式:(1)根据题中“共抽取了40名消费者”a+b+c+d=40(2)根据题中“发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色”a+2b+3c=20+20+15=55(3)根据题中“至少喜欢两种颜色的有19人”b+c=19(4)根据题中“喜欢三种颜色的有3人”c=3.求d=?根据列出的四个式子，可求得d=40-14-16-3=7人答案选B通过这两道题目，同学们可以发现，掌握好这个公式，题目中的每句话就可以列出一个式子，就可以达到机械化解题的效果，减少思考时间。
三集合容斥原理公式
三集合容斥原理公式三集合容斥原理是概率论中一个重要的计算方法，用来求解多个事件的概率问题。
它基于集合的概念，在概率计算中起到很大的作用。
下面将详细介绍三集合容斥原理的概念和公式，并且通过实例进行说明。
在概率论中，我们常常需要计算多个事件同时发生的概率。
例如，假设有三个事件A、B、C，我们想要知道同时发生A、B、C这三个事件的概率是多少。
如果每个事件的概率都已知，我们可以通过直接计算来得到答案。
但是当事件的数量更多时，这样的计算会变得非常繁琐和复杂。
三集合容斥原理可以帮助我们简化多事件概率的计算。
它的基本思想是将多个事件的概率表示为各个事件概率之和减去各个事件交集的概率之和，再加上各个事件的交集交集的概率之和。
具体而言，对于三个事件A、B、C，三集合容斥原理的公式可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(C)表示事件C发生的概率。
P(A∩B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(A∩C)表示事件A和事件C同时发生的概率，P(B∩C)表示事件B和事件C同时发生的概率。
P(A∩B∩C)表示事件A、B和C同时发生的概率。
通过这个公式，我们可以将三个事件的概率问题转化为计算各个事件和交集的概率问题。
这样就能够简化计算过程，提高计算效率。
下面给出一个实例来说明三集合容斥原理的应用。
假设我们有一个班级，里面有40个学生。
其中，有20个学生会打篮球，15个学生会踢足球，10个学生会打乒乓球。
现在我们想要知道至少会打一项球类运动的学生有多少人。
我们可以将打篮球的学生集合表示为A，踢足球的学生集合表示为B，打乒乓球的学生集合表示为C。
则至少会打一项球类运动的学生集合可以表示为A∪B∪C。
根据三集合容斥原理的公式，我们可以计算出至少会打一项球类运动的学生数量为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A|表示打篮球的学生数量，|B|表示踢足球的学生数量，|C|表示打乒乓球的学生数量。
三级容斥原理公式
三级容斥原理公式一、引言在数学领域中，容斥原理是一种常用的计数方法，用于解决集合问题。
它通过排除重复计数的方式，帮助我们求解复杂的计数问题。
二、一级容斥原理一级容斥原理是容斥原理的最基本形式，它可以帮助我们解决两个集合的计数问题。
假设我们有两个集合A和B，我们想要求解同时属于集合A和集合B的元素个数。
根据一级容斥原理，我们可以得到以下公式：|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|其中，|A∩B|表示集合A和集合B的交集的元素个数，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∪B|表示集合A和集合B的并集的元素个数。
三、二级容斥原理二级容斥原理是一级容斥原理的扩展，用于解决三个集合的计数问题。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要求解同时属于这三个集合的元素个数。
根据二级容斥原理，我们可以得到以下公式：|A∩B∩C| = |A| + |B| + |C| - |A∪B| - |A∪C| - |B∪C| + |A∪B∪C|其中，|A∩B∩C|表示集合A、B和C的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和集合B的并集的元素个数，|A∪C|表示集合A和集合C 的并集的元素个数，|B∪C|表示集合B和集合C的并集的元素个数，|A∪B∪C|表示集合A、B和C的并集的元素个数。
四、三级容斥原理三级容斥原理是二级容斥原理的进一步扩展，用于解决四个集合的计数问题。
假设我们有四个集合A、B、C和D，我们想要求解同时属于这四个集合的元素个数。
根据三级容斥原理，我们可以得到以下公式：|A∩B∩C∩D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∪B|- |A∪C| - |A∪D| - |B∪C| - |B∪D| - |C∪D| + |A∪B∪C| + |A∪B∪D| + |A∪C∪D| + |B∪C∪D| - |A∪B∪C∪D|其中，|A∩B∩C∩D|表示集合A、B、C和D的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和集合B的并集的元素个数，|A∪C|表示集合A 和集合C的并集的元素个数，|A∪D|表示集合A和集合D的并集的元素个数，|B∪C|表示集合B和集合C的并集的元素个数，|B∪D|表示集合B和集合D的并集的元素个数，|C∪D|表示集合C和集合D的并集的元素个数，|A∪B∪C|表示集合A、B和C的并集的元素个数，|A∪B∪D|表示集合A、B和D的并集的元素个数，|A∪C∪D|表示集合A、C和D的并集的元素个数，|B∪C∪D|表示集合B、C和D的并集的元素个数，|A∪B∪C∪D|表示集合A、B、C和D的并集的元素个数。
三者容斥问题3个公式
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
核心公式：
（1）两个集合的容斥关系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B
（2）三个集合的容斥关系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
原理一
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B)
原理二
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A 类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B 类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个
数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。
三集合容斥原理公式
三集合容斥原理公式三集合容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合的交集和并集问题。
它是一种通过排除重复计数来求解集合元素个数的方法，可以帮助我们简化复杂的计数问题。
在实际应用中，三集合容斥原理常常被用于计算概率、统计学、组合优化等领域。
本文将介绍三集合容斥原理的基本概念和公式，并通过实例演示其应用方法。
三集合容斥原理公式如下：设 A、B、C 为三个集合，|A|、|B|、|C| 分别表示集合 A、B、C 的元素个数，|A∩B|、|A∩C|、|B∩C| 分别表示集合 A 和 B、A 和 C、B 和 C 的交集元素个数，|A∩B∩C| 表示三个集合的交集元素个数，则三集合容斥原理公式可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
其中，|A∪B∪C| 表示集合 A、B、C 的并集元素个数。
在使用三集合容斥原理时，我们可以通过这个公式来计算三个集合的并集元素个数，从而解决集合的交集和并集问题。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示三集合容斥原理的应用方法。
假设有三个集合 A、B、C，它们的元素个数分别为 |A| = 5，|B| = 6，|C| = 7，交集元素个数分别为 |A∩B| = 2，|A∩C| = 3，|B∩C| = 4，三个集合的交集元素个数为 |A∩B∩C| = 1。
我们需要计算三个集合的并集元素个数。
根据三集合容斥原理公式，我们可以进行如下计算：|A∪B∪C| = 5 + 6 + 7 2 3 4 + 1 = 10。
因此，三个集合的并集元素个数为 10。
通过以上实例，我们可以看到三集合容斥原理的应用方法。
在实际问题中，我们可以根据具体情况，利用三集合容斥原理来简化计算，解决集合的交集和并集问题。
同时，我们也可以根据实际需求，将三集合容斥原理扩展到更多集合的情况，从而应对更复杂的计数问题。
总之，三集合容斥原理是组合数学中的重要方法，它通过排除重复计数来求解集合元素个数，可以帮助我们简化复杂的计数问题。
三元容斥原理公式
三元容斥原理公式三元容斥原理是组合数学中的一个重要原理，它可以用于解决概率问题以及集合问题。
该原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，计算多个集合的交集与并集的大小。
我们来介绍一下三元容斥原理的基本概念。
假设有三个集合A、B、C，我们要计算它们的交集的大小。
根据容斥原理，交集的大小等于每个集合的大小减去它们两两交集的大小再加上它们三个集合的交集的大小。
用数学公式表示就是：|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A|表示集合A的大小，|A ∩ B|表示集合A与B的交集的大小。
三元容斥原理的应用非常广泛。
例如，我们可以利用它来计算三个事件同时发生的概率。
假设事件A、B、C是相互独立的，且它们发生的概率分别为P(A)、P(B)、P(C)，那么它们同时发生的概率可以通过容斥原理计算得到：P(A ∩ B ∩ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)这个公式可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率，从而更好地理解概率问题。
除了计算概率，三元容斥原理还可以用于解决集合问题。
例如，我们可以利用它来计算三个集合的并集的大小。
根据容斥原理，三个集合的并集的大小等于每个集合的大小减去它们两两交集的大小再加上它们三个集合的交集的大小。
这个公式可以帮助我们计算多个集合的并集的大小，从而更好地理解集合问题。
三元容斥原理的应用不仅限于三个集合，对于更多的集合也是适用的。
例如，对于四个集合A、B、C、D，我们可以利用四元容斥原理计算它们的交集的大小：|A ∩ B ∩ C ∩ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|这个公式可以推广到任意多个集合的情况，帮助我们解决更复杂的集合问题。
三者容斥极值公式
三者容斥极值公式为了更好地理解这个公式，我们来看一个具体的例子。
假设有三个集合A、B和C，我们要找到一个集合X，使得X既包含于A，又包含于B，还包含于C。
同时，我们还有一个目标函数f(X)，我们要找到使f(X)取得最大值的X。
根据三者容斥极值公式，我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 首先，我们计算单个集合的目标函数值。
即分别计算f(A)，f(B)和f(C)的值。
2. 然后，我们计算两个集合的交集的目标函数值。
即计算f(A∩B)，f(A∩C)和f(B∩C)的值。
3. 接下来，我们计算三个集合的交集的目标函数值。
即计算f(A∩B∩C)的值。
4. 最后，我们根据三者容斥原理计算出目标函数的最大值。
即通过以下公式计算：f(X) = f(A) + f(B) + f(C) - f(A∩B) - f(A∩C) - f(B∩C) + f(A∩B∩C)通过这个公式，我们可以得到使目标函数取得最大值的集合X。
现在，我们来看一个实际的例子来应用这个公式。
假设我们有三个集合A、B和C，分别表示三个班级的学生。
我们的目标函数f(X)表示某个集合X的平均分数。
我们要找到一个集合X，使得X既包含于A，又包含于B，还包含于C，并且X的平均分数最高。
根据三者容斥极值公式，我们可以按照以下步骤来解决这个问题：1. 计算每个班级的平均分数。
即计算f(A)，f(B)和f(C)的值。
2. 计算两个班级的交集的平均分数。
即计算f(A∩B)，f(A∩C)和f(B∩C)的值。
3. 计算三个班级的交集的平均分数。
即计算f(A∩B∩C)的值。
4. 最后，根据三者容斥原理计算出平均分数的最大值。
即通过以下公式计算：f(X) = f(A) + f(B) + f(C) - f(A∩B) - f(A∩C) - f(B∩C) + f(A∩B∩C)通过这个公式，我们可以找到使平均分数最高的学生集合X。
通过这个例子，我们可以看到三者容斥极值公式的强大之处。
三容斥原理所有公式
三容斥原理所有公式三容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合中元素的计数问题。
它通过排除重复计数的方法，有效地求解了复杂的计数问题，是组合数学中的重要工具之一。
在实际应用中，三容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
首先，我们来介绍一下三容斥原理的基本概念。
三容斥原理是指对于三个集合A、B、C，它们的元素个数分别为|A|、|B|、|C|，则它们的并集元素个数可以用如下公式表示：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| +|A∩B∩C|。
其中，|A∩B|表示A与B的交集元素个数，|A∩C|表示A与C的交集元素个数，|B∩C|表示B与C的交集元素个数，|A∩B∩C|表示A、B、C的交集元素个数。
这个公式就是三容斥原理的核心公式，通过这个公式我们可以有效地求解集合的并集元素个数，避免了重复计数的问题。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明三容斥原理的应用。
假设有三个集合A、B、C，它们的元素个数分别为|A| = 5，|B| = 6，|C| = 7，而且它们的交集元素个数分别为|A∩B| = 2，|A∩C|= 3，|B∩C| = 4，|A∩B∩C| = 1。
那么根据三容斥原理的公式，我们可以计算出它们的并集元素个数为：|A∪B∪C| = 5 + 6 + 7 2 3 4 + 1 = 10。
这样，我们就通过三容斥原理的公式，准确地求解出了集合A、B、C的并集元素个数为10。
这个例子展示了三容斥原理在实际计算中的应用，通过巧妙地排除重复计数，我们可以高效地求解集合的并集元素个数。
除了三个集合的情况，三容斥原理也可以推广到更多集合的情况。
对于n个集合A1、A2、...、An，它们的并集元素个数可以用类似的方法求解，公式为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| +Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
三者容斥的2个公式
三者容斥的2个公式
三者容斥是组合数学中的一种计算方法，用于解决多个集合的并、交运算问题。
在实际应用中，了解并掌握三者容斥的公式可以帮助我们更高效地解决相关问题。
第一个公式是针对三个集合A、B和C的情况。
假设我们要计算这三个集合的
并集的大小，我们可以利用以下公式：
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
其中，|A|表示集合A的大小（元素个数），|B|表示集合B的大小，|C|表示集
合C的大小。
|A∩B|表示A和B的交集的大小，|A∩C|表示A和C的交集的大小，
|B∩C|表示B和C的交集的大小，|A∩B∩C|表示A、B和C的交集的大小。
这个公式的原理是，首先将三个集合的大小相加，然后减去两两交集的大小，
再加上三个集合的交集的大小，即可得到三个集合的并集的大小。
第二个公式是针对三个集合A、B和C的交集的情况。
假设我们要计算这三个
集合的交集的大小，我们可以利用以下公式：
|A∩B∩C| = |A| + |B| + |C| - 2 * (|A∪B| + |A∪C| + |B∪C|) + 3 * |A∪B∪C|
注意，此公式中的集合并集和交集的符号相反，即并集用∪表示，交集用∩表示。
这个公式的原理是，首先将三个集合的大小相加，然后减去两两并集的大小的
两倍，再加上三个集合的并集的大小的三倍，即可得到三个集合的交集的大小。
三者容斥的公式在解决多个集合的并、交运算问题时非常有用。
通过灵活运用
这些公式，我们可以更加高效地求解相关问题，提高计算的准确性。
三集合容斥两个公式的用法
三集合容斥两个公式的用法一、引言在概率论、组合数学和数论等领域中，集合容斥原理是一种重要的计数方法。
它被用于解决包含多个集合的交集、并集和补集等问题，具有广泛的应用价值。
在本文中，我们将重点介绍三集合容斥原理以及其中两个常用的公式的用法。
二、三集合容斥原理三集合容斥原理是指对三个集合的交集、并集和补集运算进行计算的方法。
假设有三个集合 A、B、C，那么它们的交集、并集和补集分别表示为：交集：A ∩ B ∩ C并集：A ∪ B ∪ C补集：A' ∩ B' ∩ C'三集合容斥原理的主要思想是通过适当的排列组合，利用并集和交集的关系来计算各个集合的元素数量。
其基本原理如下：三集合容斥原理：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|“|A|”表示集合 A 的元素数量，其他符号含义类推。
三集合容斥原理的应用广泛，可以解决许多关于三个集合的计数问题。
接下来，我们将介绍两个常用的三集合容斥公式及其用法。
三、三集合容斥公式的用法1. 三集合容斥公式的计算以集合 A、B、C 的元素数量为例，我们来看一下三集合容斥公式的具体计算过程。
对于三集合容斥公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|可以逐步计算各项的值，然后带入公式计算得到并集的元素数量。
2. 三集合容斥公式的应用举例以一个实际问题为例，假设有三个班级，分别为 A 班、B 班和 C 班，学生在各班中的分布如下：A 班有 30 名学生，B 班有 25 名学生，C 班有 35 名学生，A 班和 B 班共有 10 名学生，A 班和 C 班共有 12 名学生，B 班和 C 班共有 8 名学生，A 班、B 班和 C 班共有 5 名学生。
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容斥原理之三者容斥问题
浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?
中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有
A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C
这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?
中公教育解析：由题意可画图如下：
则有上述公式可知：
58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人
故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?
中公教育解析：本题和上题相比，较一般的三者容斥更为复杂。
因为，题干中所出现的喜欢篮球、喜欢足球、喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查，且题干中出现了同时不属于这三种集合的元素。
中公点拨：此类型题的做法大家只要记住构造全集即可，题干中不知道的设为未知数。
外框的长方形代表全集，用I来表示，D代表同时不属于集合A，B，C三个集合的元素。
构造全集I= A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+D
由此可得本题：设篮球和排球都喜欢的有x人，则有
100=58+68+62-45-33-x+12+5
解得x=27。
中公教育专家提醒考生：容斥问题的关键在于计数时不能重复，不能漏掉。
如三者容斥这种比较复杂的容斥问题可以现根据题意画出其图形(叫文氏图)，然后再根据公式及题干所求问题计算。
本文来源：金华中公教育。