大学逻辑学第7章 模态逻辑

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逻辑学第七章.ppt

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2021/3/2
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下列推理属于何种推理?是否正确?为什么?
1.当事人在法庭上可以提出新的证据,所以,当事人在法庭 上也可以不提出新的证据。
2.最早印刷纸币的人可能是古代中国人,最早使用纸币必然 是最早印刷纸币的人,所以,最早使用纸币的人必然是古代中国人。
3.想出国留学必须学外语,我不想出国留学,所以,我不必 须学外语。
第七章 模态逻辑
教学重点与难点
模态命题及其种类 模态命题的真假与可能世界的理论 基本模态命题之间的对当关系 道义命题及其种类 模态命题推理、道义命题推理在法律中的应用
2021/3/2
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谁打了纳粹军官
第二次世界大战德国占领法国期间,在法国巴黎一 家旅馆里,四个人同乘一部电梯。其中一位是穿军 装的纳粹军官,一名是当地的法国人,他是地下抵 抗组织的成员,第三位是个漂亮的少女,还有一位 是老妇人,他们相互都不认识。突然,电源发生故 障,电梯停住不动,电灯也熄灭了,电梯内漆黑一 团。这时传出一声接吻的声音,随后是拳打在脸上 的声音。过了一会儿,电灯亮了,纳粹军官的一只 眼睛下面出现了一块青紫的伤痕。
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逻辑分析:
原来,这位聪明的法国小伙子先吻了一下自己 的手,然后打了纳粹军官一拳。这里,我们感 兴趣的是其中所出现的判断“一定是他吻了这 位老妇人或那位小伙子”,“可能是这个法国 男子想吻这位姑娘”。第一个判断是断定他吻 了这位老妇人或那位小伙子的必然性,而第二 个判断则断定这个法国男子想吻这位姑娘的可 能性。这种断定事物可能性与必然性的判断就 是模态命题。
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模态的种类
(1)狭义模态和广义模态 (2)客观模态和主观模态 (3)逻辑模态和非逻辑模态 (4)命题的模态与事物的模态

公安部规划大学教材逻辑学教程经典教案第七章模态命题及其推理 (1)

公安部规划大学教材逻辑学教程经典教案第七章模态命题及其推理 (1)

第七章模态命题及其推理第一节模态命题一、什么是模态命题?模态命题,有广义和狭义之分,广义是指一切包含有模态词的命题,狭义的主要是指其中包含有“必然”和“可能”这类模态词的命题。

定义:模态命题是反映事物可能性或必然性的命题。

例如:1、社会必然不断进步。

2、明天可能不下雨这些都是模态命题。

例1反映了社会进步的必然性。

例2反映了“明天不下雨具有可能性”。

二、模态命题的种类根据命题所反映的是事物可能性还是必然性,可以把模态命题分为可能命题和必然命题。

1、可能命题。

反映事物情况可能性的命题是可能命题。

可能命题又分为两种:肯定可能命题和否定可能命题。

(1)肯定可能命题:是反映事物情况可能存在的命题。

例1、火星上可能有生命存在。

例2、今天可能下雨。

前者反映火星上存在生命具有可能性,后者反映今天下雨的具有可能性。

公式:“S可能是P”或“S是P是可能的”简化为:“可能P”或“◇P”(在这里,P表示命题,“◇”模态算子,表示“可能”)。

(2)否定可能命题:是反映事物情况可能不存在的命题。

例1、明天可能不下雨。

例2、他可能没有20岁。

前者反映“明天下雨”这种情况可能不存在,后者反映“他有20岁”这种情况可能不存在。

公式:“S可能不是P”或“S不是P是可能的”,也可简化为“可能┒P”(即可能非P“或”◇┒P)。

2、必然命题。

反映事物情况必然存在的命题是必然命题。

(1)肯定必然命题。

是反映事物情况必然存在的命题。

例如:a.生物必然进行新陈代谢。

b.我国的四个现代化必然能实现。

前者反映了“生物进行新陈代谢”的必然性,后者反映了,“我国实现四个现代化的必然性”。

公式:“S必然是P”或“S是P是必然的”简化为“必然P”,“或□P”,(“□”是模态算子,表示“必然”)。

(2)否定必然命题。

是反映事物情况必然不存在的命题,例:a.谎言是必然不能长久骗我的。

b. 客观规律不依人们意志为转移是必然的。

前者反映了“谎言能长久骗人”是必然不存的。

7形式逻辑-第七章 模态命题及其推理

7形式逻辑-第七章 模态命题及其推理

d.根据模态命题的差等关系的直接推理
□p→◇p; ﹁◇p→﹁□p;
□﹁p→◇﹁p; ﹁◇﹁p→﹁□﹁p。
⑵根据“实然”和“必然”、“可能”的关系进行推 演的模态推理。
□p→p;p→◇p;□﹁p→﹁p;﹁p→◇﹁p。 ⑶模态三段论
模态三段论就是在三段论中引入模态词而进行的 推理。
模态三段论推理要遵循“结论从弱”的原则∶从较 强前提可以推出较弱的结论,但不能由较弱前提可以 推出较强的结论。(必然命题最强,实然命题次之, 可能命题最弱)
模态三段论又有两种形式: A.纯模态三段论,即其前提全都是模态命题的模态推 理。它们或是由同一种模态命题构成,或是由不同种 的模态命题构成。具体地说有纯必然模态三段论、纯 可能模态三段论和必然与可能结合的模态三段论等。 当前提是由不同种的模态命题组成时,推理的结论应 该同前提中那个确然程度较低的模态命题相一致。
根据对当关系,同样可以由一个模态命题的真或假, 来确定与其同素材的另外几个模态命题的真或假。
必然p
必然非p
可能p
可能非p
□p、□﹁p、◇p、◇﹁p之间在真假值上有以下四 种关系情况∶
⑴反对关系∶ □p与□﹁p
⑵矛盾关系∶ □p与◇﹁p;□﹁p与◇p
⑶差等关系∶ □p与◇p;□﹁p与◇﹁p ⑷下反对关系∶ ◇p与◇﹁p
第七章 模态命题及其推理
一、模态命题
1.狭义模态命题及其结构
模态命题就是断定思维对象不同确然程度的命题。
模态命题在结构上的特点是:它总是包含有“可能” 或“必然”之类的模态词。
例如:今天晚上他一定不会来。
这部小说可能畅销。
我们主要讨论逻辑上的“必然”和“可能”两种模 态,即真值模态命题及其推理。所以真值模态命题又 称断定思维对象之可能性或必然性的命题。在现代逻 辑中,用“□”表示“必然”,用符号“◇”表示 “可能”,用p,q,r,…表示命题。它的公式为:

逻辑学课件第七章模态命题及其推理

逻辑学课件第七章模态命题及其推理
• 必然命题又可分为肯定命题和否定命题; 可能命题又可分为肯定命题和否定命题。
二、模态命题的种类
• 所以,模态命题共有四种: • 1、必然肯定命题 必然p • 2、必然否定命题 必然非p • 3、可能肯定命题 可能p • 4、可能否定命题 可能非p
□p
□¬p
◇p
◇¬p
三、模态命题之间的关系
• 以上四种模态命题之间,也可用逻辑方阵表示 它们之间的真假关系。
该”)、“允许”、“禁止”这些规范 模态词的命题。
• 例如:1、公民必须遵守宪法和法律。

2、允许开办私营企业。
• 这些都是规范命题。前者表示公民遵守 宪法和法律是必须的;后者表示开办私
营企业是允许的。
二、规范命题的种类
• 在现代规范逻辑中,作为逻辑常项的规 范模态词有三个:
• (1)“必须”(用“O”表示)。现代汉 语中表示这一规范词的还有“应当”、 “应该”、“有义务”等等。
二、根据“必须”与“禁止” 之间的等值关系进行的推理
• 有效式:
• 1、必须p →禁止非p • 2、必须非p →禁止p • 3、禁止p →必须非p • 4、禁止非p →必须p
三、规范三段论
• 规范三段论就是在三段论中引入规范词 的三段论。其大前提是规范命题,小前
提是性质命题,结论是规范命题。
• 常见的规范三段论有三种:
第七章 模态命题及其推理
第一节 模态命题
• 一、什么是模态命题? • 模态命题是反映事物可能性或必然性
的命题。 • 例1:共产主义必然胜利。 • 例2:明天可能不下雨。 • 这些都是模态命题。前者反映了共产主
义胜利具有必然性。后者反映了明天不 下雨具有可能性。
二、模态命题的种类

模态逻辑资料

模态逻辑资料

模态逻辑模态逻辑是哲学、数学和计算机科学领域中一个重要的研究方向,它探讨的是命题之间的必然性、可能性和真假性等概念。

模态逻辑的研究对象包括命题、语句、命题之间的关系以及其真值的运算规则等。

模态逻辑的基本概念命题是具有真假性的陈述句,模态逻辑中的命题可以分为确定命题和可能命题。

确定命题是指在任何情况下都为真或为假的陈述句,而可能命题是指在某些情况下为真,在其他情况下为假的陈述句。

可能性和必然性是模态逻辑中的重要概念。

可能性指的是在某种情况下某个命题为真的情况,而必然性则指在任何情况下某个命题都为真的情况。

模态逻辑的分类模态逻辑可以根据命题之间的关系分为不同的类型,常见的模态逻辑包括:•命题逻辑:研究命题之间的真假关系,不涉及可能性和必然性的问题。

•范式逻辑:研究命题的可能性和必然性,并通过“◇”和“□”等符号进行表示。

•世界逻辑:研究不同世界之间的命题真值关系,用以表达在不同情境下命题的真假性。

模态逻辑的应用在哲学中的应用模态逻辑在哲学中被广泛应用于形式化分析各种哲学问题,如自由意志与宿命、时间旅行等。

通过模态逻辑的形式化表达,可以清晰地展现不同命题之间的关系,帮助哲学家更准确地进行思考和讨论。

在计算机科学中的应用在计算机科学领域,模态逻辑被应用于人工智能、数据挖掘等领域。

通过模态逻辑的形式化描述,可以有效地推理出系统中各种情况下的可能性和必然性,为计算机系统的设计和优化提供了理论基础。

结语模态逻辑作为一种重要的逻辑体系,不仅在哲学和数学领域有着广泛的应用,还在人工智能、计算机科学等领域具有重要价值。

通过深入研究模态逻辑,我们可以更好地理解命题之间的关系,推动各领域的发展和应用。

愿我们在模态逻辑的世界里不断探寻新的真知,开拓思维的边界。

大学逻辑学第7章 模态逻辑

大学逻辑学第7章 模态逻辑
们认识的必然性、可能性、确定性、不确 定性等等。
• 模态词的非真值函项性或内涵性:命题的 真值不能由非模态命题的真值来确定。它 的语义解释比非模态命题要复杂得多。
第二节 模态命题及其推理
1. 基本模态命题及其符号化
• 简单模态命题 – 定义:凡包含着“必然”、“可能”等词的命 题,就叫真性模态命题。由模态词和基础命题 组成。
– 但是,模态命题对当关系的合理性, 没有相应的简单方法得以证明。
4. 简单模态命题推理
• (1)对当关系推理 • 根据六边形对当关系图,可以得到一
系列直观上成立的模态命题推理形式。
• 根据矛盾关系的直接推理:8个
1. □p↔¬◇¬p
2. □¬p↔¬◇p
3. ◇p↔¬□¬p
4. ◇¬p↔¬□p
– 上述的公式是等值式,即每个公 式可以构成两个推理。两个实然 命题之间的矛盾关系,不构成模 态推理。
¬◇¬p→p(同6)
p→¬□¬p(同7)
• 根据反对关系直接的推理:2个
13.□p→¬□¬p 14.□¬p→¬□p
• 根据下反对关系的直接推理:2个
15.¬◇p→◇¬p 16.¬◇¬p→◇p
• 其中1、3、5、6、7是基本的,其 他的可以从这几个中变换出来。
• (2)必然、可能、偶然的相互定 义
• 非有效但可满足:
– p→□p(所有现实的,都是合理的[黑格尔语]) – ◇p→□p(可能的,就是必然的[默菲法则]) – ◇p→p(可能的,就是现实的) – □p→□(p∧q) – (◇p∨◇q)→◇(p∧q)
• 根据差等关系的直接推理:12个
5. □p→◇p
6. □p→p
பைடு நூலகம்
7. p→◇p

模态逻辑的推理规则和证明方法

模态逻辑的推理规则和证明方法

模态逻辑的推理规则和证明方法模态逻辑是一种专门研究命题含有模态词的推理规则和证明方法的逻辑系统。

模态逻辑主要研究命题的可能性、必然性、推断和推理等问题,以及与经典逻辑的关系。

本文将介绍模态逻辑的基本概念和常用的推理规则和证明方法。

一、模态逻辑的基本概念1. 模态词模态词是指用于表示可能性、必然性、可能真或必然真等概念的词语,如“可能”,“必然”,“或许”等。

模态词可以分为“必然性”和“可能性”两大类别。

2. 推理规则推理规则是指用于进行命题推理的基本规则,它们描述了命题在逻辑上的相互关系和推导转换的合法性。

在模态逻辑中,常用的推理规则有必然推理规则、可能推理规则、非必然推理规则等。

3. 证明方法证明方法是指用于证明模态逻辑命题成立或推导出结论的方法。

常见的证明方法包括形式证明、条件证明、反证法等。

二、模态逻辑的推理规则1. 必然推理规则必然推理规则描述了命题在必然性逻辑上的推导关系。

其中包括必然条件推理规则和必然蕴含推理规则。

- 必然条件推理规则:如果P必然蕴含Q,且P成立,则可以推导出Q成立。

- 必然蕴含推理规则:如果P必然蕴含Q,且Q成立,则可以推导出P成立。

2. 可能推理规则可能推理规则描述了命题在可能性逻辑上的推导关系。

其中包括可能条件推理规则和可能蕴含推理规则。

- 可能条件推理规则:如果P可能蕴含Q,且P成立,则可以推导出Q可能成立。

- 可能蕴含推理规则:如果P可能蕴含Q,且Q成立,则可以推导出P可能成立。

3. 非必然推理规则非必然推理规则描述了命题在非必然性逻辑上的推导关系。

其中包括非必然条件推理规则和非必然蕴含推理规则。

- 非必然条件推理规则:如果P非必然蕴含Q,且P成立,则可以推导出Q可能成立。

- 非必然蕴含推理规则:如果P非必然蕴含Q,且Q成立,则可以推导出P可能成立。

三、模态逻辑的证明方法1. 形式证明形式证明是一种使用推理规则和逻辑步骤来证明模态逻辑命题的方法。

它通常基于公理系统或证明系统进行推导,以确定给定命题的正确性。

大学模态逻辑教案

大学模态逻辑教案

大学模态逻辑教案大学模态逻辑教案一、教学目标1.了解模态逻辑的概念与重要性。

2.掌握各种模态表达式的符号表示法。

3.掌握经典命题逻辑的基本知识,如语言、符号、公式、语义等概念。

4.能够运用模态逻辑及其推理方法,分析、评价和应用实际问题。

二、教学内容1.模态逻辑的概念与分类2.模态表达式的符号表示法3.常用的模态词及其意义4.经典命题逻辑的基本概念及推理方法5.模态逻辑的应用实例三、教学过程1.模态逻辑的概念与分类模态逻辑是研究推理中涉及到特殊的语气词(即模态词)和它们的语义关系的逻辑学。

它强调推理中对事实可能性和必然性的判断,属于形式逻辑学的一个分支。

其中,常见的模态词有必须、可能、不一定、可能不等等。

2.模态表达式的符号表示法在模态逻辑中,用符号表示可能性和必然性的方式,通常称为模态表达式。

常用的符号表示法如下:必须:□可能:◇否定:¬3.常用的模态词及其意义常见的模态词有必须、可能、不一定等。

具体解释如下:必须:表示某个命题在任何情况下都是真的,即必然成立。

例如:□P表示P是必须成立的。

可能:表示某个命题在某些情况下是真的,即有可能成立。

例如:◇P表示P是可能成立的。

不一定:表示某个命题真假情况无法确定,即不一定成立。

例如:□¬P表示P不一定成立。

4.经典命题逻辑的基本概念及推理方法经典命题逻辑是一种推理方法,将陈述的判断视为真或假,然后进行逻辑推理。

其概念如下:命题:陈述一个完整的判断,认为它有意义并且可以被分类为真或假。

公式:由命题符号和逻辑符号构成,用来表示命题的逻辑关系。

语义:指的是一个公式的真值,即其是真还是假。

推理方法:通过逻辑规则推导出命题间的逻辑关系,从而得到新的命题判断。

5.模态逻辑的应用实例模态逻辑可以应用于多种实际问题,如:1. 知识表示与推理:模态逻辑可以帮助我们表示知识和进行推理,以便更好地理解、分析和解决问题。

2. 人工智能系统:模态逻辑在人工智能系统中得到了广泛应用,如机器翻译、自动推理等。

第七章 模态判断及其推理

第七章 模态判断及其推理
“必然”这类模态词的模态判断,或真*例或析假*,有其确定的
逻辑值,所以称之为真值模态判断。 2、广义模态判断
含有“必*须例”析、* “允许”、“禁止”等规范词的判断是规
范模态
第七章 模态逻辑
1、凶手必然有作案时间。 2、合法行为必然不会受到法律制裁。 3、某甲的代理行为可能是无权代理。 4、某甲可能不是原告的法定代理人。 5、他的行为可能是无因管理,也可能是不当得利。 6、故意杀人或故意伤害致人毙命必然会受到法律的严惩。 7、领导干部必须以身作则。 8、公民必须遵纪守法。 9、禁止随地吐痰。 10、公共场所,不准吸烟。 11、允许公民信教自由。 12、如夫妻感情已破裂,准予离婚。
第七章 模态逻辑
对模态词的语言理解
某大学校长在校庆大会上讲话时说:“我们有许多毕业同学以 自己的努力在各自领域获得了优异的成绩。他们有的成为科学 家、将军、市长、大企业家,我们的学校以他们为骄傲。毋庸 置疑,我们已毕业同学中有许多女同学。” 如果校长讲话中的断定都是真的,以下哪项必定是真的? A、取得优异成绩的至少有女同学。 B、取得优异成绩的男同学多于女同学 C、取得优异成绩的女同学多于男同学 D、取得优异成绩的可能没有女同学
第七章 模态逻辑
第 七章
一 模态逻辑概论 二 真值模态逻辑 三 规范模态逻辑
关于包括广义模态词即 “必然”、“可能”、 “ 应当 ” “允许”等词的判断和推理 的逻辑。
第七章 模态逻辑
概述
所谓模态判断就是含有模态词的判断。通常所说的模态 词主要有“可能”、“必然”、“必须”、“允许”、
“禁止”等 1、狭义模态判断 包含可能、必然等模态词的判断。由于包含有“可能”、
◇p
◇¬p
下反对关系
¬□¬p ◇p ◇p ¬□¬p

模态逻辑的基本概念和符号

模态逻辑的基本概念和符号

模态逻辑的基本概念和符号模态逻辑是哲学和数理逻辑的一个分支领域,研究的是基于陈述句的语言中涉及到可能性、必然性和可能世界等概念的推理和判断。

本文将介绍模态逻辑的基本概念和符号,并探讨其在知识表示和推理中的应用。

一、模态逻辑的基本概念1. 可能性和必然性在模态逻辑中,我们关注的是陈述句的可能性和必然性。

可能性表示一个陈述句在某个情境下可能为真,而必然性表示该陈述句在任何情境下都为真。

2. 模态词模态词是模态逻辑中用来表示可能性和必然性的词语,常见的模态词包括“可能”、“必然”、“或许”等。

3. 模态操作符模态操作符是模态逻辑中用来表示可能性和必然性的符号,常用的模态操作符有“◇”和“□”。

其中,“◇”表示可能性,即至少存在一个情境使得该陈述句为真;而“□”表示必然性,即在所有情境下都使得该陈述句为真。

二、模态逻辑的符号系统为了形式化地描述模态逻辑的推理和判断,我们需要使用一套符号系统。

以下是模态逻辑中常用的符号及其定义:1. 命题变元命题变元是用来代表命题的符号,通常用大写字母表示。

例如,命题变元p和q可以分别表示命题“今天下雨”和“明天晴天”。

2. 逻辑连接词逻辑连接词是用来表示命题之间关系的符号。

在模态逻辑中,常用的逻辑连接词有“∧”(合取,表示逻辑与)、“∨”(析取,表示逻辑或)和“→”(蕴含,表示逻辑蕴含)。

3. 模态操作符如前所述,“◇”表示可能性,而“□”表示必然性。

我们可以将模态操作符应用到命题变元上,构成复合命题。

例如,“◇p”表示命题p可能为真,“□q”表示命题q必然为真。

三、模态逻辑的应用模态逻辑在知识表示和推理领域有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景:1. 知识表示模态逻辑可以帮助我们表示和推断关于世界的知识。

通过使用模态操作符,我们可以表示某个命题在不同的情境下是真还是假,从而进行推理和判断。

2. 模态推理基于模态逻辑的推理方法可以帮助我们从已知的命题中推断出新的命题。

模态逻辑的概念与研究

模态逻辑的概念与研究

模态逻辑的概念与研究模态逻辑是哲学和数理逻辑研究中的一个重要分支,主要研究与特定语义标记有关的命题逻辑推理模式。

在逻辑学中,模态逻辑是一种扩展了传统命题逻辑的形式系统,通过引入一种或多种模态操作符来表示可能性、必然性、知识和信念等概念。

本文将讨论模态逻辑的定义和基本原理,以及其在哲学和人工智能领域的应用。

一、模态逻辑的定义模态逻辑是一种通过添加模态操作符来扩展命题逻辑的形式系统。

模态操作符表示的是一种特定的语义标记或陈述的修饰。

常见的模态操作符包括可能性操作符(◊)、必然性操作符(□)和信念操作符(B)。

这些操作符可以用来表示可能性、必然性、知识、信念、时间和行动等概念。

二、模态逻辑的基本原理模态逻辑的基本原理可以总结为以下几点:1. 可能性公理:模态逻辑中的可能性操作符(◊)满足可靠性、反自反性和传递性等性质。

可靠性表示任何命题都可能是真的;反自反性表示任何真命题都是可能的;传递性表示如果一个命题可能是真的,那么它的逻辑后继也可能是真的。

2. 必然性公理:模态逻辑中的必然性操作符(□)满足真可排序和保真性等性质。

真可排序表示任意两个真命题可以同时成立;保真性表示必然性操作符的后继必然是真的。

3. 知识公理:模态逻辑中的知识操作符(K)满足真可排序、保真性和知识的传递性等性质。

知识的传递性表示如果一个命题是已知的,那么它的逻辑后继也是已知的。

三、模态逻辑的应用1. 哲学领域:模态逻辑在哲学领域中被广泛应用,特别是在形而上学和认识论方面。

模态逻辑的概念可以帮助人们分析和理解世界的可能性和必然性。

比如,人们可以用模态逻辑来探讨自由意志和宿命论之间的关系,以及道德责任和道德义务的逻辑基础。

2. 人工智能领域:模态逻辑在人工智能领域中有广泛应用。

通过使用模态逻辑,人工智能系统可以表示和推理关于世界的不同可能状态和必然性。

比如,人工智能系统可以使用模态逻辑来推理和规划机器人的行动,以及模拟和理解人类的信念和知识。

模态逻辑—模态命题和推理

模态逻辑—模态命题和推理

二、规范命题的分类
必须型规范命题,也称为义务性规范或强制性规范命题.
允许型规范命题,也称为授权性规范命题 禁止型规范命题,(可不列为一种单独类型)
三、对当关系(指“规范”妥当或不妥当的关 系)
¬OA ↔ P ¬A ¬ P¬A ↔ OA
¬P A ↔ O¬ A ¬O¬ A ↔P A
OA →P A
O¬ A→P¬A
在逻辑上把包含模态词“可能”、“必然”等命题叫做模态命题。 模态命题分为四类: 必然命题;必然p;□p。 必然非命题;必然﹁p;□﹁p。 可能命题;可能p; ◇p。 可能非命题。可能﹁p; ◇﹁p。
真值模态对当推理是根据真值模态命题对当关系 所进行的演绎推理。
例如,根据 ¬ ◊ p ↔ □¬p 有
下面那句话与王见明说的意思相似?
A.这次考试老师不可能不出那种难题。 B.这次考试老师必定不出那种难题了。 C.这次考试老师可能不出那种难题了。 D.这次考试老师不可能出那种难题了。 E.这次考试老师不一定不出那种难题。
(二)复合真值模态命题推理 复合真值模态命题推理是根据复合真值模态命题 之间的等值关系或蕴含关系而进行的演绎推理。 例如,根据 □(pΛq) ↔ □pΛ□q 便有 甲胜诉而乙败诉,这是必然的; 所以,甲必然胜诉,而乙必然败诉。
练习2:在市场预测中,专家说:明年电脑不降 价是不可能的。
以下哪项和专家说的同真?
A.明年电脑一定降价。 B.明年电脑可能降价。 C.不可能预测明年电脑是否降价。 D.明年电脑可能不降价。 E.明年电脑一定不降价。
练习3:不可能所有的错误都能避免。 以下哪项最接近于上述断定的含义?
A. 所有的错误必然都不能避免。 B. 所有的错误可能都不能避免。 C. 有的错误可能不能避免。 D. 有的错误必然不能避免。

大学逻辑学第7章 模态逻辑

大学逻辑学第7章 模态逻辑
生不死。(□p→¬◇¬p)
• (2)叠置模态命题
– 叠置模态命题是指对一个已含有模 态词的命题再加上模态词。
• 例:
– 永动机不可能制造出来是必然的。 □¬◇p (等值于 □□¬p)
–张三不可能必然是小偷。 ¬◇□p
3. 模态命题之间的对当关系
□p 反对关系
□p
从矛
矛从

盾盾

关 系
关关


关 系
2、模态的分类
பைடு நூலகம்• (1)客观模态与主观模态
– 客观模态是指客观事物本身存在的 必然性或可能性。
• 例如:汽车的速度不可能超过光速。
– 主观模态是指认识中的确定性或不 确定性。
• 例如:地球上可能来过外星人。
• (2)逻辑模态和非逻辑模态
–逻辑模态是指逻辑上的必然性和 可能性。
• 例如:太阳可能每天从西方升起。 • 否定逻辑必然性必引发逻辑矛盾。
– 但是,模态命题对当关系的合理性, 没有相应的简单方法得以证明。
4. 简单模态命题推理
• (1)对当关系推理 • 根据六边形对当关系图,可以得到一
• 模态逻辑旨在描述那些本质上包含必然性 或可能性概念的论证。
• 因为涉及到必然性与可能性这样一些哲学 概念,模态逻辑又称为哲学逻辑,是哲学 逻辑中最先发展起来的一个重要分支。
• 例:
– 汽车的速度不可能超过光速。 – 地球上可能来过外星人。 – X=5或x ≠ 5是必然的。
• 以上三个命题也可以表述为:
– 例: 事物必然是运动的。 地球以外的天体可能存在生物。 – 符号规定: 必然用□表示;可能用◇表示;而p表示基础命题:即事
物是运动的;地球以外的天体存在生物。 以上两个命题的逻辑形式为:

模态逻辑的基本概念

模态逻辑的基本概念

模态逻辑的基本概念模态逻辑是一种扩展传统命题逻辑的形式,它引入了模态词来描述命题的性质。

模态逻辑在哲学、数学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍模态逻辑的基本概念,并探讨其在不同领域中的应用。

一、命题逻辑与模态逻辑的区别命题逻辑是研究命题之间的关系,它使用逻辑运算符(如与、或、非)来表示命题之间的连接。

而模态逻辑则引入了模态词,用于描述命题的性质或状态。

常见的模态词有必然(necessity)、可能(possibility)、不可能(impossibility)等。

例如,在命题逻辑中,我们可以表示“P与Q都成立”;而在模态逻辑中,我们可以表示“必然P与必然Q都成立”。

二、模态词的语义解释在模态逻辑中,模态词的语义解释有多种方式。

其中一种常见的解释方式是基于Kripke语义。

Kripke语义认为,命题的真值取决于它在不同世界中的真假情况。

每个世界都有一个可能性分布,用来描述不同命题在该世界中的真值。

通过这种方式,我们可以定义模态词的含义,例如“必然P”可以表示在所有可能的世界中,P都是真的。

三、模态逻辑的公理系统模态逻辑也有自己的公理系统,用于推导命题之间的关系。

其中,最常用的公理系统是S5系统。

S5系统包括一组公理和一组推理规则,可以用来推导出模态逻辑中的命题。

这些公理和规则可以保证模态逻辑的一致性和完备性。

四、模态逻辑的应用模态逻辑在哲学、数学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。

在哲学中,模态逻辑被用来研究命题的可能性和必然性,以及时间和空间等概念。

在数学中,模态逻辑被用来研究证明论和模型论等领域。

在计算机科学中,模态逻辑被用来描述系统的性质和约束条件,例如形式化验证和人工智能等领域。

五、模态逻辑的拓展除了基本的模态逻辑,还有其他形式的模态逻辑,如时序逻辑(temporal logic)、动态逻辑(dynamic logic)等。

时序逻辑用于描述时间序列中的命题关系,动态逻辑用于描述命题的变化和演化过程。

模态逻辑

模态逻辑

• 客观模态包括逻辑模态和非逻辑模态.逻辑模态是 指逻辑上的必然性和可能性。例如,“x=5或 x≠5是必然的”、“太阳可能每天从西方升起”等 命题中所表达的模态都是逻辑模态,前者反映了 逻辑上的必然性,后者则反映了逻辑上的可能性。 逻辑上的必然性是指,否定一个具有必然性的命 题,必然会引起逻辑上的矛盾。例如,“x=5或 x≠5”是必然的,也就意味着否定“x=5或x≠5”必 然会导致逻辑上的矛盾,即出现“x=5且x≠5”的 矛盾情况。逻辑上的可能性是指逻辑上的不矛盾 性,一切逻辑上不矛盾的东西都是可能的。
模态逻辑
模态逻辑概述 真值模态逻辑 道义模态逻辑
一 模态逻辑的概述
• • • • • • 1.为什么要研究模态逻辑? .模态的含义 3.模态的种类 4.模态命题的特性 5.模态命题形式 6.模态逻辑的范围
1.为什么要研究模态逻辑?
• 例如,不出交通事故不具有必然性,所以,可能要 出交通事故。
• 上述推理的形式结构如果用经典命题逻辑 来分析,是“p→q”,不是有效式。但它确 实是一个正确的推理。这一推理的有效性 与其中所包含的模态词“必然”、“可能” 等密切相关,需要分析这些模态词的具体 含义才能确定推理的有效性。模态逻辑的 主要目的就是要基于“必然”、“可能” 等模态词考虑推理的形式结构是否有效, 这是经典逻辑所无法回答的。
3.模态逻辑语义学
• “可能世界”这个概念最初是由莱布尼茨提出来的。在他 看来,凡不违反逻辑,能够为人们所想象的情况或场合, 都是可能世界。我们生活在其中的现实世界,是众多可能 世界中的一个,并且是最好的一个。例如,我们生活在其 中的世界是一个有核武器的世界,但我们可以设想一下所 有现存的核武器都被销毁了并且世界各国都不再制造核武 器的无核世界,我们也可以设想一下所有现存的核武器都 爆炸了,地球和人类社会都毁灭了的无地球、无人类的世 界,它们都是可能世界。随后,莱布尼茨应用“可能世界” 这一概念定义了模态词“必然”和“可能”,即: • 必然就是在所有可能世界中真。 • 可能就是在有些可能世界中真。

第七章 模态推理

第七章      模态推理

③规范对当关系
Op 差 等 Pp 反对 矛盾 O ¬p (禁止p) 差 等 P¬p
下反对
二、模态对当关系推理
矛盾关系推理:12个有效式 反对关系推理:6个有效式 下反对关系推理:6个有效式 差等关系推理: 12个有效式
习题
1.甲:明天必然下雨。 乙:明天可能不下雨。 第二天果然下雨。 甲:我说对了,你错了。 乙:你没有说对,我也没有说错。 谁对谁错,为什么? 2.下列推理形式中有效的是( )。 (1) M¬p┣ ┫¬Lp (2) p┣ ┫ L¬p (3) LP┣ ┫ P (4) ¬p┣ Mp (5) Lp ┣ ¬p
4.模态对当关系
反对
Lp 差 等 Mp
矛盾
L¬p 差 等 M¬p
下反对
5.模态六角对当关系
Lp
反对
L¬p
p
矛盾
¬p
Mp
下反对
M¬p模Biblioteka 六角对当关系1.矛盾关系:Lp与M¬p、L¬p与Mp、p与¬p 2.反对关系:Lp与L¬p、Lp与¬p、L¬p与p 3.下反对关系:Mp与M¬p、p与M¬p、 ¬p与Mp 4.差等关系:Lp与Mp、Lp与p、p与Mp L¬p与M¬p、L¬p与¬p、¬p与M¬p
第七章
模态推理
一、模态命题 1.定义 2.模态命题种类 ①必然模态命题 模态算子:必然、必定、一定…… 命题形式:Lp(□p)、L¬p(□ ¬p) ②可能模态命题 模态算子:可能、或许、…… • 命题形式:Mp(◊p)、M¬p(◊ ¬p) p是实然命题
3.模态命题中的模态词和否定词
①模态词在命题的前面、中间和后面一视同仁。如: 必然犯罪要受惩罚。 犯罪必然要受惩罚。 Lp 犯罪要受惩罚是必然的。 ②在模态词前面的否定词是否定整个模态命题。 今天不可能下雨。 ¬ Mp ③在模态词后面的否定词是否定整个实然命题命题。 如: 今天可能不下雨。 M¬p 今天不必然不下雨 ¬ L¬ p
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• 从对当关系看,两个定义可以互换。
(3)直观成立的推理
• 直观上成立的公式(5,6,7三个蕴涵 式):
– D公式:□p→◇p – T公式:□p→p (必然性公理) – T◇公式:p→◇p
• 直观上不成立的公式(5,6,7的逆)
:
–Dc: ◇p→□p –Tc: p→□p –Tc◇: ◇p→p
• 直观上无法确定的公式:
◇SIP
◇SEP ◇SOP
• 反对:两个必然全称命题之间的关系,有 一对;
• 下反对:两个可能特称命题之间关系,有 一对;
• 矛盾:质量模态三者都相反的命题间关系, 共有四对;
• 从属:质相同但量与模态不同的命题之间 的关系,共有10对。
– 必然全称蕴涵可能特称; – 模态相同时,全称蕴涵特称; – 量相同时,必然蕴涵可能; – 必然特称不能蕴涵可能全称。
– 例: 事物必然是运动的。 地球以外的天体可能存在生物。 – 符号规定: 必然用□表示;可能用◇表示;而p表示基础命题:即事
物是运动的;地球以外的天体存在生物。 以上两个命题的逻辑形式为:
必然p 或写成:□p 可能p 或写成:◇p
• 模态命题的类型:
– 必然肯定命题:必然p 或□p – 必然否定命题:必然非p或□p – 可能肯定命题:可能p 或◇p – 可能否定命题:可能非p或◇p 注意:这里的否定词,是对基础命题的否定,而不是对
– 不可能“汽车的速度超过光速”。 – 可能“地球上来过外星人”。 – 必然“X=5或x ≠ 5是必然的”。
• 对必然与偶然的一般理解:
– 必然真理就是一种不能不如此的真 理,一个偶然真理就是一种可以不 如此的真理;
或者
– 一个必然真理的反面是不可能的或 矛盾的,一个偶然真理的反面是可 能的或不矛盾的。
广义模态除了包括真性模态,还包 括关于应该、允许、禁止等的道义 模态,关于知道、相信等的认知模 态等,以及过去、过去一直、将来、 将来永远等时间模态,相应地有道 义逻辑和认知逻辑和时态逻辑(广 义模态逻辑)。
3、模态命题及其特征
• 模态命题就是包含模态内容的命题。 • 从语言形式上看,模态命题都含有模态词。 • 从内容上看,模态命题反映客观事物和人
第七章
模态逻辑
本章主要内容
• 模态逻辑概述 • 模态命题及其推理 • 道义命题及其推理
第一节 模态逻辑概述
对蕴涵式的困惑
• 日常语言中“蕴涵”有很多意义,经典逻 辑中采用了一种用法,把“A蕴涵B”解释 为“并非A真B假”。例:
1.如果所有人都有死并且苏格拉底是人,那么苏 格拉底有死。
2.如果莱士里是单身汉,那么莱士里是未婚的。 3.如果把这张蓝色石磊纸放入酸液中,那么它会
逻辑考试可能不难。(真)
明天必然会下雨。(真假不定) 明天可能会下雨。 明天必然不会下雨。(假)
明天可能不会下雨。(真假不定)
他明天必然过来。(假) 他明天可能不过来。 他明天必然不过来。(真假不定)
他明天可能过来。(真假不定)
• 关于模态命题对当关系合理性的说 明:
– 直言命题对当关系可以通过分析主 谓项外延间关系的分析,来判定其 合理性。
• 克里普克的可能世界语义学与莱布尼 茨的有三个方面的不同:
– 一个命题的真假是相对一个可能世界而 言的,不能抽象谈论一个命题的直假;
– 可能世界之间发生一定的关系,即可通 达关系,记作R。
– 因此,必然性与可能性也是相对一个可 能世界而言的。
• 以下给出可能世界语义学的符号表示:
– 模型:<W, R, V>。其中W是全部可能世界的 集合,W的元素是一个一个的可能世界wi, wj, …,即
¬◇¬p→p(同6)
p→¬□¬p(同7)
• 根据反对关系直接的推理:2个
13.□p→¬¬p 14.□¬p→¬□p
• 根据下反对关系的直接推理:2个
15.¬◇p→◇¬p 16.¬◇¬p→◇p
• 其中1、3、5、6、7是基本的,其 他的可以从这几个中变换出来。
• (2)必然、可能、偶然的相互定 义
• 可满足:一个模态公式a在某个模型中的某 个可能世界wi中真,称a在该模型中可满足。
• 有效:如果a在某个模型的所有可能世界中 为真,则称a在该模型中有效。
• 如果a在某个模型类中的所有模型下有效, 则称a在该模型类中有效。
• 如果a在所有模型组成的模型类下有效, 即在所有模型下有效,则称a为普遍有 效或逻辑有效。经典命题逻辑中所有 重言式都是普遍有效的。
– 但是,模态命题对当关系的合理性, 没有相应的简单方法得以证明。
4. 简单模态命题推理
• (1)对当关系推理 • 根据六边形对当关系图,可以得到一
系列直观上成立的模态命题推理形式。
• 根据矛盾关系的直接推理:8个
1. □p↔¬◇¬p
2. □¬p↔¬◇p
3. ◇p↔¬□¬p
4. ◇¬p↔¬□p
– 上述的公式是等值式,即每个公 式可以构成两个推理。两个实然 命题之间的矛盾关系,不构成模 态推理。
• 非有效但可满足:
– p→□p(所有现实的,都是合理的[黑格尔语]) – ◇p→□p(可能的,就是必然的[默菲法则]) – ◇p→p(可能的,就是现实的) – □p→□(p∧q) – (◇p∨◇q)→◇(p∧q)
–[7] ◇(p∨q)↔(◇p∨◇q) –[8] □p∨□q→□(p∨q) –[9] ◇(p∧q)→(◇p∧◇q) –[10] (□(p∨q)∧□¬p)→□q –[11] □p→□□p –[12] ◇p→□◇p –[13] p→□◇p
6. 直言模态对当关系推理
□SAP
□SEP
□SIP
□SOP
◇SAP
• 模态逻辑旨在描述那些本质上包含必然性 或可能性概念的论证。
• 因为涉及到必然性与可能性这样一些哲学 概念,模态逻辑又称为哲学逻辑,是哲学 逻辑中最先发展起来的一个重要分支。
• 例:
– 汽车的速度不可能超过光速。 – 地球上可能来过外星人。 – X=5或x ≠ 5是必然的。
• 以上三个命题也可以表述为:
◇p 下反对关系 ◇p
包含实然命题的对当关系:
必然P

实然P



可能P
反对关系 予 盾
关 系 下反对关系
必然P


实然 P


可能 P
物质必然是不运动的。(假) 物质必然是运动的。 物质可能是运动的。(真)
物质可能是不运动的。(假)
逻辑考试必然难。(假) 逻辑考试必然不难。 逻辑考试可能难。(假)
模态词的否定。
• 例:
– 物质必然是运动发展的。 – 逻辑考试必然不难。 – 明天可能会下雨。 – 他明天可能不过来。
2. 复合模态命题和叠置模态命题
• (1)复合模态命题
– 复合模态命题是用命题联结词联结模态 命题构成的命题。
• 例:
– 科学不可能是一个人的事业。(¬◇p) – 如果生物必然有死,那么生物不可能长
• 如果a在任意模型的任一可能世界上都 假,则称a为不可满足。不可满足的公 式都是逻辑矛盾,并且也只有逻辑矛 盾才是不可满足的。
• 普遍有效:
– K公式:□(p→q)→(□p→□q)
• 有效:
–D公式: □p→◇p –T公式: □p→p (必然性公理) – T◇公式:p→◇p –4 □p→□□p –B p→□◇p –E ◇p→□◇p
7. 真值条件--可能世界理论
• (1)可能世界 • 凡是不违反逻辑,能够为人们所想
象的情况或场合,都是“可能世 界”。现实世界是可能世界中的一 种。
• (2)莱布尼茨的可能世界理论
• 一个命题必然真就是在所有可能 世界中真。
• 一个命题可能真就是在至少一个 可能世界中真。
(3)克里普克的可能世界语义学
2、模态的分类
• (1)客观模态与主观模态
– 客观模态是指客观事物本身存在的 必然性或可能性。
• 例如:汽车的速度不可能超过光速。
– 主观模态是指认识中的确定性或不 确定性。
• 例如:地球上可能来过外星人。
• (2)逻辑模态和非逻辑模态
–逻辑模态是指逻辑上的必然性和 可能性。
• 例如:太阳可能每天从西方升起。 • 否定逻辑必然性必引发逻辑矛盾。
若wRw’,则V(a, w’)=1。
• ◇ a命题在w可能世界中真的定义: • V(◇a, w)=1, 当且仅当a存在w’, 使
得wRw’且V(a, w’)=1。
图示
…… ……
·a=1
·
·a=1
·
W □a=1
W ◇a=1
·w’ a=1
·a=1
·
(4)模态公式的有效性
• 模态公式有效性可分为三种:有效、非有 效但可满足、不可满足的
们认识的必然性、可能性、确定性、不确 定性等等。
• 模态词的非真值函项性或内涵性:命题的 真值不能由非模态命题的真值来确定。它 的语义解释比非模态命题要复杂得多。
第二节 模态命题及其推理
1. 基本模态命题及其符号化
• 简单模态命题 – 定义:凡包含着“必然”、“可能”等词的命 题,就叫真性模态命题。由模态词和基础命题 组成。
W={ wi, wj, …}。 – R是定义在可能世界W上的二元关系:两个世
界wi, wj具有可通达关系,表示为wiRwj 或R (wi, wj ),读作“wi可通达 wj”。 – V是一个赋值,V(a, wi)=1(0)表示在赋值 V下,a在可能世界wi,中真(假)。
• □ a命题在w可能世界中真的定义: • V(□a, w)=1,当且仅当任给w’,
–由对当关系推理(公式1,3),可 以构成必然与可能之间的相互定义。
–根 据◇p⇔□p ,就可以得到◇p
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