无穷级数习题
(整理)无穷级数习题选择题
无穷级数习题一选择题1、若极限lim 0n n u →∞≠， 则级数1nn u∞=∑ ( )A 、 收敛；B 、 发散；C 、条件收敛；D 、绝对收敛。
2、如果级数1nn u∞=∑发散，k 为常数，则级数1nn ku∞=∑ ( )A 、 发散；B 、 可能收敛；C 、收敛；D 、无界。
3、如果级数1nn u∞=∑发散，下列结论正确的是（ ）A 、 lim 0;n n u →∞≠ B 、 lim 0;n n u →∞= C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-4、若级数1nn u∞=∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( )A 、 n sB 、 n uC 、 lim n x u →∞D 、 lim n x s →∞5、级数2221111()()()234++++是( )A 、 幂级数B 、 调和级数C 、p 级数 D.等比级数6、在下列级数中,发散的是 ( )A 、1n ∞=∑ B 、0.01+C 、111248+++D 、 2343333()()()5555-+-+7、下列级数中,发散的是( )A 、 2221111357-+-+B 、11(1)n n ∞-=-∑C 、 11(1)nn n ∞=-∑ D 、231(1)nn n∞-=-∑8、如果级数1nn u∞=∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=其和为,s 则级数11n nu ∞=∑（ ）； A 、收敛且其和为1s； B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散； D 、敛散性不能判定。
9、 下列级数发散的是 （ ） A 、n n n 1)1(11∑∞=-- B 、 )111()1(11++-∑∞=-n n n n C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-10、设常数0,a ≠几何级数1nn aq∞=∑收敛，则q 应满足( )A 、 1;q <B 、 11;q -<<C 、1;q <D 、 1.q >11、若p 满足条件( ),则级数211p n n∞-=∑一定收敛 ；A 、 0;p >B 、 3;p >C 、 2;p <D 、 23.p <<12、若级数211p n n∞-=∑发散，则有 （ ） ；A 、 2;p >B 、 3;p >C 、 3;p ≤D 、 2.p ≤13、 下列级数绝对收敛的是（ ）A 、∑∞=-2)1(n nnnB 、nn n 1)1(21∑∞=-- C 、 ∑∞=-1ln )1(n nn D 、 ∑∞=--2321)1(n n n14、下列级数收敛的是（ ）A 、∑∞=+1)1ln(1n n B 、 ∑∞=+-1)1ln()1(n n n C 、 ∑∞=+-112)1(n nn nD 、 ∑∞=+112n n n15、下列级数中条件收敛的是（ ）A 、 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-132)1(n nn；B 、∑∞=--11)1(n n n ； C 、∑∞=-+-1112)1(n n n n ；D 、∑∞=--13151)1(n n n。
(完整版)第六章无穷级数(典型例题)
第六章 无穷级数（3-4道小题，5分一个题）例1、 考察下述级数的敛、散性（不用全部讲）（1）∑∞=1n n ； （2)().111∑∞=+n n n ； （3） (81)614121++++；（4） (71)615141++++； （5)1ln 2124n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；（6）111111 (392)3nn +++++++ ; （7） (4)33221+++; （8）....cos ...3cos 2cos cos +++++n ππππ； （9）12nn n n ∞=-⎛⎫⎪⎝⎭∑ 例2、 已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时,求n u .例3、 若级数1n n u ∞=∑收敛，记1nn i i S u ==∑，则()B().lim0n n A S →∞=； ()lim n n B S →∞存在； ().lim n n C S →∞可能不存在； (){}.n D S 是单调数列。
例4、 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是：(AE ）A 110nn u ∞=∑ B 1(10)n n u ∞=+∑ C 110n n u ∞=∑ D 1(10)n n u ∞=-∑ E 110n n u ∞=∑例5、 设1150100n n n n u v ∞∞====∑∑，，则()123n n n u v ∞=+∑（D)A 发散B 收敛，其和为100C 收敛,其和为50D 收敛，其和为400例6、 下列条件中,使级数()1n n n u v ∞=+∑一定发散的是()A()1.n n A u ∞=∑发散且1n n v ∞=∑收敛； ()1.n n B u ∞=∑发散；()1n n C v ∞=∑发散； ()1.n n D u ∞=∑和1n n v ∞=∑都发散.例7、 设级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，则lim 1n x u →∞=.例8、 判别下列级数的敛、散性.(1）2111n nn ∞=++∑（讲直接用极限形式的） （2）n ∞=；(3）∑∞=11sin n n （注意可推广1sin 0)pn aa n ∞=>∑（ ）； （4）12sin3n nn π∞=∑;例9、 判别下列级数的敛散性：、(1）12!nn n ∞=∑； （2）12!n n n n n ∞=∑；（3) 132n n n n ∞=∑。
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。
3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。
4.证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。
5.在区间(1,1)-求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。
6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。
7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。
8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。
9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。
10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。
无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。
2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。
无穷级数练习题
n1
n1
n1
7 o 若
u n收敛 ,则
u
2 n
收
敛
.
（
n1
n1
）
）
）
）
）
）
.
）
.
8 o 若
u
2 n
收
敛
,则
u n收敛 .
（）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（）
10 o
若 u n发散， 则
n1
1 n1 u n
(1f)(x)的麦克劳林 (2)f级 (x)在 数 x； 1处的泰.勒
7 求 幂 级 nn x数 的 和 函数 (n1)， n (1)的 并. 和 求
n1(n1)!
n1
n !
8.
将函f(数 x)πx在 (π,π)上展2成 π为 以周期的傅 2
级数，分 f(x别 )以画 及 级出 数的s和 (x)的 函图 数 .并 形 求 s(5π). 4
第十一部分：无穷级数 练习题
一 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（
n1
高数一 第7章无穷级数作业解答
u
n
的部分和为 sn
3．已知 lim nun 0 ，级数
n
(n 1)(un1 un ) 收敛，证明级数 un 也收敛.
n 1 n 1 n n n i 1 i 1 i 1
证明： sn
(i 1)(ui1 ui ) [(i 1)ui1 iui ] ui (n 1)un1 u1 ui ，
2．若级数
an2 及 bn2 都收敛，证明级数 (an bn )2 也收敛.
n 1 n 1 n 1
证明：因级数
a
n 1
2 n
及
b
n 1
2 n
都收敛，所以级数
(2a
n 1
2 n
2bn2 ) 收敛. 又因
2 2 (an bn ) 2 2an 2bn2 (an bn ) 2 2an 2bn2 ，
i 1 n i 1
n
n ui (n 1)un 1 u1 sn .
因 lim nun 0 ，且 lim sn 存在，所以 lim n 存在，也即级数
n n n
u
n 1
n
收敛.
无穷级数作业 2
1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：
cos 2 n （2） ； n2 n 1
解：因
1 cos 2 n 1 ，且 收敛，所以原级数也收敛. 2 2 2 n n n 1 n
（3）
sin 2
n 1
n
；
解：因 sin
2
n
(整理)第七章 无穷级数
第七章无穷级数一、选择题1．下列关于级数的论述中一定错误的是(A) 若，则．(B) 若，则．(C) 若un≥0，且，则．(D) 若un≥0，且不存在，则．2．下列结论正确的是(A) 发散级数加括弧所成的级数仍发散．(B) 若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛．(C) 若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。
(D) 若去括弧后的级数发散，则原级数发散．3．设都是正项级数，且级数收敛，则下列结论正确的是(A) 若un ＞vn，则级数发散． (B) 若，则级数收敛．(C) 若，则级数收敛． (D) 若，则级数发散．4．设级数，则下列结论正确的是(A) 因为，所以与p-级数比较得收敛．(B) 因为，所以．(C) 因为，所以收敛．(D) 因为，所以发散．5．设正项级数与任意项级数具有关系，则下列结论正确的是(A) 由收敛推知收敛． (B) 由发散推知发散．(C) 由收敛推知收敛． (D) 由发散不能断定的敛散性．6．下列命题中正确的是(A) 设正项级数发散，则．(B) 设收敛，则收敛．(C) 设至少有一个发散，则发散．(D) 设收敛，则均收敛．7．下列命题正确的是(A) 若收敛，则收敛．(B) 若条件收敛，则发散．(C) 若收敛，则收敛．(D) 若，则收敛．8．下列命题正确的是(A) 设复敛，则收敛．(B) 设收敛且n→∞时，an ，bn是等价无穷小，则收敛．(C) 设收敛，则．(D) 设收敛，令，且Sn为正项级数的前n项部分和(n=1，2，…)，则发散．9．下列命题正确的是(A) 若都收敛，则也收敛．(B) 若收敛，发散，则必发散．(C) 若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．(D) 若条件收敛，绝对收敛，则条件收敛．10．已知都发散，则(A) 必发散． (B) 必发散．(C) 必发敞． (D) 必发散．11．设绝对收敛，则(A) 发散． (B) 条件收敛．(C) 绝对收敛． (D)12．对于常数k＞0，级数(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性与k的取值有关．13．设级数收敛，则其中的常数(A) a=-2，b=1． (B) a=b=1．(C) a=1，． (D) a=b=-2．14．设正项级数收敛，且bn =(-1)n ln(1+a2n)(n=1，2，…)，则级数(A) 发散． (B) 绝对收敛．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性不能仅由所给条件确定．15．下列级数①②③④中收敛的个数是(A) 1个． (B) 2个． (C) 3个． (D) 4个．16．设有幂级数，则R为其收敛半径的充要条件是(A) 当|x|≤R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(B) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|≥R时发散．(C) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(D) 当-R＜x≤R时，收敛，且当R＜x或x≤-R时发散．17．下列命题正确的是(A) 若幂级数的收敛半径为R≠0，则．(B) 若不存在，则幂级数没有收敛半径．(C) 若的收敛域为[-R，R]，则幂级数的收敛域为[-R，R]．(D) 若的收敛域为(-R，R)，则的收敛域可能是[-R，R]．18．设收敛，则(A) 条件收敛． (B) 绝对收敛．(C) 发散． (D) 的敛散性仅由此还不能确定．19．设幂级数在x=-1处收敛，则此级数在x=1处(A) 绝对收敛． (B) 发散．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性仅由此不能确定．20．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛域包含点集(A) {2，3，4，e}． (B)(C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}．21．设在x=1处收敛，则在x=0处(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性取决于{an}的给法．22．设级数收敛，则级数的收敛半径(A) R=2． (B) R=3． (C) R＞2．(D) R≥2．23．下列结论不正确的是(A) 若函数f(x)在区间[a，a+2π]上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有(B) 若函数f(x)在区间[-π，π]上有则必有(C) 设连续函数f(x)满足f(x)+f(x+π)=0，则f(x)在[-π，π]上展开成傅里叶级数时，必有a 0=a2k=b2k=0(k=1，2，…)．(D) 若函数f(x)满足狄利克雷条件，则必有其中24．下列命题①若函数f(x)为[-π，π]上的奇(偶)函数，则f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数②若函数f(x)在[0，π]上有定义，则f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的③设，不论收敛与否，总有④将函数f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到令x=2得中正确的是(A) ①、③．(B) ①、④．(C) ②、③．(D) ②、④．25．将函数在[0，π]上展开为余弦级数，则其和函数在x=0，1，π处的函数值分别为(A) (B) 0，2，0．(C) 1，2，π+1． (D)1．设，则=______．2．设幂级数的收敛半径是2，则幂级数的收敛半径是______．3．设幂级数，则该幂级数的收敛半径等于______．4．若幂级数的收敛域是(-8，8]，则的收敛半径R=______，的收敛域是______．5．已知幂级数当x=-2时条件收敛，则该幂级数的收敛区间为______．6．设幂级数的收敛区间为(-2，4)，则幂级数的收敛区间为______．7．幂级数的收敛域为______．8．幂级数的收敛域为______．9．函数展开成x的幂级数及其收敛区间分别为______．10．设函数f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里叶级数展开式为，则其中系数b=______．n11．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于______，在x=2π处收敛于______．1．判别下列级数的敛散性：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)2．讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)3．设常数p＞0，试判断级数的敛散性．4．设b=1，，讨论级数的敛散性．1=1，对于n=1，2，…，设曲线上点处的切线与x轴交5．已知a1点的横坐标是a．n+1(Ⅰ)求a(n=2，3，…)；n(Ⅱ)设Sn 是以和(an+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数的和．6．设un＞0(n=1，2，…)，证明：(Ⅰ)若存在常数a＞0，使当n＞N时，，则级数收敛；(Ⅱ)若当n＞N时，，则级数发散．7．设函数f(x)在区间[0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设，证明级数绝对收敛．8．设f(x)在|x|≤1有一阶连续导数且，证明级数发散而级数收敛．9．设f(x)是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f(0)=1，试证明级数绝对收敛．10．设函数f(x)在|x|≤1上具有二阶连续导数，当x≠0时f(x)≠0，且当x→0时f(x)是比x高阶的无穷小．证明级数绝对收敛．11．求下列幂级数的收敛域：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)12．求下列幂级数的和函数：(Ⅰ) (Ⅱ)13．已知a0=3，a1=5，且对任何自然数n＞1，，证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数．14．分别求幂级数的和函数与幂级数当x≥0时的和函数·15．将函数展开为x的幂级数．16．(Ⅰ)将展开成x-1的幂级数；(Ⅱ)在区间(-1，1)内将展开为x的幂级数，并求f(n)(0)．17．将展开成x的幂级数．18．求证：19．将展开成以2π为周期的傅里叶级数．20．将函数展开成正弦级数，并求级数的和．一、选择题1．A[分析] 由级数发散．而只在级数收敛时才成立，故(A)不正确．应选(A)．2．C[分析] 对于(A)：例如级数，它是发散的，但添加括号后的级数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0是收敛的．故(A)不对．对于(B)：例如级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的．故(B)不对，同时也说明(D)也不对．这说明：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛．由排除法可知，应选(C)．3．C[分析] 根据比较原理的极限形式：设有正项级数，又设，则1°当0＜l＜+∞时，级数〈A〉与〈B〉有相同的敛散性；2°当l=0时，若级数〈B〉收敛，则级数〈A〉也收敛；3°当l=+∞时，若〈B〉发散，则〈A〉也发散．由此可知(C)正确，应选(C)．4．D[分析] 设〈A〉：为正项级数，1°若，即为有限数，即a与n为同阶无穷小，则p＞1时，〈A〉收敛；p≤1时，〈A〉发散．2° 若，且p＞1，则〈A〉收敛．3° 若即a是比低阶的无穷小，p≤1，则n〈A〉发散．由此可知(D)正确．应选(D)．5．A[分析] 由于，由比较判别法可知，级数与级数有相同的敛散性，即由收敛推知收敛．故(A)正确，应选(A)．6．C[分析] 对于(A)：令，则正项级数发散，但，故(A)不正确．=(-)n，则收敛，但发散，所以(B)不正对于(B)：令an确．对于(D)：令，则收敛，但发散，所以(D)不正确．若收敛，则由比较判别法知都收敛，因此都收敛，矛盾，所以发散，(C)正确．故应选(C)．7．B[分析] 令，则收敛，但发散，故(A)不正确．令u=(-1)n，则收敛，但发散，所以(C)不正确．n令un=(-1)n，则，但发散，所以(D)不正确．对于(B)，可用反证法证明其成立．若收敛，则收敛，说明绝对收敛，与题设矛盾．故发散．所以应选(B)．8．D[分析] 对于(A)：令，则收敛，但发散，故(A)不对．对于(C)：令，则收敛，但，故(C)不对．对于(B)：令，则收敛且当n→∞时an 与bn是等价无穷小，但发散，故(B)也不对．对于(D)：由于收敛，根据收敛的必要条件可得，又，所以，故发散．因此选(D)．9．C[分析] 令，则都收敛，但发散，所以(A)不正确．令，则收敛，发散，而绝对收敛，所以(B)、(D)不正确．事实上，由于收敛，所以，因此数列{an}有界，不妨假设存在M＞0，对任意的n都有|an |≤M，从而|anbn|≤M|bn|，又绝对收敛，从而根据正项级数的比较判别法知，收敛，所以绝对收敛．故应选(C)．10．C[分析] 取，则都收敛．又因为都发散，故都是发散的正项级数，从而必发散．故应选(C)．11．C[分析] 由于绝对收敛，所以，从而存在正整数N，当n＞N 时，有，而，所以，由正项级数的比较判别法可得都收敛．故(A)不成立，而(C)成立．令，则绝对收敛，但(B)、(D)不成立，所以应选(C)．12．B[分析] 因为数列单调下降，且，故级数收敛．但，由于，而发散，因此条件收敛．故应选(B)．13．A[分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)]由题设知，故应选(A)．14．B[分析] 由于正项级数收敛，所以正项级数收敛，从而，因此有|bn |=|(-1)n|ln(1+a2n)|～a2n(n→∞)，由正项级数的比较判别法可知绝对收敛．应选(B)．15．C[分析]对，由于，所以该级数收敛．对，由于，而级数收敛，故该级数收敛．对级数，由于，所以n充分大时ln(lnn)·lnlnlnn＜lnn，从而．由于发散，所以该级数发散．由于，所以级数条件收敛．16．C[分析] 由幂级数的收敛半径的定义：“如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：(i)当|x|＜R时，幂级数绝对收敛；(ii)当|x|＞R时，幂级数发散；(iii)当x=R 与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散，则称正数R为该幂级数的收敛半径．”可知，(C)正确，应选(C)．17．D[分析] 对任意的幂级数都存在收敛半径，收敛半径R可为R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正确．对任意的幂级数不一定存在．例如，收敛半径为，由于a2n =2n，a2n+1=0，于是不存在，因此(A)也不正确．(C)也不正确，如收敛域为[-1，1]，但收敛域为[-1，1)．事实上，若，则其收敛域为(-1，1)，而的收敛域为[-1，1]，所以应选(D)．18．B[分析] 考察幂级数，由于收敛，所以幂级数在x=-2处收敛，根据阿贝尔定理可得当|x|＜|-2|时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当x=1时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为．所以应选(B)．19．A[分析] 根据阿贝尔定理可得：当|2x-1|＜|-2-1|=3时，幂级数绝对收敛．而当x=1时|2·1-1|＜3，因此与x=1对应的级数绝对收敛．故应选(A)．20．A[分析] 由于有相同的收敛半径，所以当|x-3|＜2时级数3)n绝对收敛，显然只有集合{2，3，4，e}中的点都满足不等式|x-3|《2，因此应选(A)．21．D[分析] 令，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数发散．所以选项(A)，(B)不正确．又如，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数收敛．所以选项(C)不正确．由排除法可知应选(D)．22．D[分析] 由于收敛，所以级数在x=-1处收敛，根据阿贝尔定理得：当|x-1|＜2时，对应的级数都绝对收敛，再根据收敛半径的定义可知R≥2，故选(D)．23．[分析] 对于(A)：将函数f(x)作周期延拓，所得周期函数仍记为f(x)，则f(x)cosx是周期为2π的周期函数，从而积分与a无关(事实上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，则同理可证：故(A)正确．对于(B)：设，则应用三角函数系的正交性可得代入上述不等式，整理得式中右端为一与m无关的数，这说明级数收敛，于是，即．故(B)正确．对于(C)：据题设知函数f(x)是周期为2π的连续函数，则两式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，则可得a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，…)．故(C)也正确．对于(D)：若函数f(x)满足狄利克雷条件，则有其中，当x为f(x)的连续点时，故(D)不正确，应选(D)．24．A=0[分析] 对于①：设f(x)为奇函数，则f(x)cosnx也为奇函数，从而an(n=0，1，2，…)，因此f(x)～．故①正确．对于②：在区间[0，π]上定义的函数f(x)既可以做偶延拓展成余弦级数，也可以做奇延拓展成正弦级数．故②不正确．对于③：设，可证F(x)在[-π，π]上连续，且以2π为周期，从而满足狄利克雷条件，可将F(x)展成傅里叶级数其中，令z=0得为了求A即因此即故③正确．对于④：由于f(2)=f(0)=0，即，故④不正确．综上分析，应选(A)．25．D[分析] 将f(x)延拓成[-π，π]上的偶函数F(x)，根据狄利克雷定理可得所以选(D)．二、填空题1．8[分析] 1°先求由2°3°由收敛而是添加括号而得．因此，由2．2[分析] 由于有相同的收敛域，而所以与有相同的收敛半径，而有相同的收敛域．因此有相同的收敛半径，故的收敛半径为2．3．[分析] 由于令ρ(x+1)＜1，可得，所以收敛半径为．4．(-2，2][分析] 因幂级数的收敛域为(-8，8]，所以其收敛半径R=8．又因幂级数是由幂级数逐项求导两次所得，从而幂级数的收敛半径R=8．对于=，因-8＜x3≤8-2＜x≤2，所以的收敛域为(-2，2]．5．[-2，4)[分析] 由于级数存x=-2处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=3，故收敛区间为[-2，4)．6．(-4，2)[分析] 由于幂级数有相同的收敛域，所以收敛区间也一样；而幂级数有相同的收敛区间和收敛半径．又幂级数和幂级数有相同的收敛域，综上可得：级数有相同的收敛区间．又因为收敛半径一样，由的收敛区间为(-2，4)可得的收敛半径为3，所以收敛半径为3．从而幂级数的收敛区间为(-4，2)．7．[-1，1)[分析] 因为当x→0时，故，于是幂级数的收敛半径R=1．易知当x=1时幂级数发散，x=-1时幂级数收敛．故幂级数的收敛域为[-1，1)．8．[-1，1)[分析] 收敛半径幂级数在x=1对应的级数，发散；在x=-1时对应的级数收敛．所以收敛域为[-1，1)．9．[分析] 由于所以故10．[分析]11．，1[分析] 根据狄利克雷定理知：f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=2π处收敛于三、解答题1．(Ⅰ)由于以及级数收敛，故由正项级数比较判别法可得：收敛．(Ⅱ)此题用比值判别法失效，所以选用比较判别法．注意，常数k＞0有极限，因此，因为级数收敛，所以由正项级数的比较判别法知级数收敛．(Ⅲ)该正项级数的通项是以积分形式给出的，因此需对积分进行估值．显然这是正项级数，因当时，所以由于收敛，所以原级数收敛．(Ⅳ)因为又收敛，所以原级数绝对收敛．2．(Ⅰ)先讨论级数的敛散性，因为而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．又因为级数用比值判别法可得，级数收敛，所以绝对收敛，又因为收敛，所以级数收敛，因此原级数条件收敛．(Ⅱ)先讨论级数的敛散性，由于而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．由于级数是交错级数，但不单调，莱布尼兹判别法不适用．注意到，由于是收敛交错级数，级数是收敛的正项级数，根据级数的性质可得条件收敛。
无穷级数经典习题
一. 选择题1. 设α为常数, 则级数(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关.解. 绝对收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案2. 设, 则(A) 与都收敛. (B) 与都发散.(C) 收敛, 而发散. (D) 发散, 收敛.解. 由莱布尼兹判别法收敛, . 因为, 发散, 所以发散. ( C)是答案.3. 设函数, 而. 其中, 则等于(A) , (B) , (C) , (D)解. 是进行奇展拓后展成的富氏级数. 所以=. (B)是答案.4. 设条件收敛, 则(A) 收敛, (B) 发散, (C) 收敛,(D) 和都收敛.解. 因为条件收敛, 所以. 对于(C),所以. (C)是答案.5. 设级数收敛, 则必定收敛的级数为(A) (B) (C) (D)解. 收敛, 所以收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反例: , , . 所以发散.6. 若在处收敛, 则此级数在处(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定.解. 因为在收敛, 所以收敛半径大于2. 幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛. (B)是答案.7. 设幂级数的收敛半径为3, 则幂级数的必定收敛的区间为(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2)解. 和有相同收敛半径. 所以,在(－2, 4)中级数一定收敛, 在端点级数不一定收敛. 所以答案为(A).二. 判断下列级数的敛散性:1.解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 又因为发散, 由积分判别法知发散. 所以原级数发散.2.解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛.3.解. , 所以级数发散.4.解. , 所以级数收敛.5.解. ，所以级数收敛.6.解. 拉阿伯判别法: , .> 1, 所以级数收敛.7.解. , 级数收敛.8.解. , 级数收敛.9.解. 考察极限令,=所以, 即原极限为1. 原级数和有相同的敛散性. 原级数发散.10.解. , 级数发散.三. 判断下列级数的敛散性1.解. 因为, 级数发散.2.解. , 令当x > 0时, , 所以数列单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛.因为, 而发散, 所以发散. 原级数条件收敛.3.解. 因为, 所以收敛, 原级数绝对收敛.4.解. 因为所以收敛, 原级数绝对收敛.5.解. =1, 收敛, 原级数绝对收敛.6.解. .因为, 又因为, 条件收敛, 所以原级数条件收敛.四. 1.设正项数列单调下降, 且发散, 证明: 级数收敛.2. 设正项数列, 满足为常数), 证明: 级数收敛.证明: 1. 因为正项数列单调下降, 且发散, 由莱布尼兹判别法,存在, 且. 容易证明:.(反设存在N, 使得. 则, 令, 得到, 矛盾). 所以. 因为收敛, 所以收敛.2. 考察数列,因为为常数), 所以, 即该数列递减有下界, 于是存在. 由此推出收敛. , 所以级数收敛.五. 求下列级数的收敛域:1.解.第一个级数的收敛半径为, 第二个级数的收敛半径为1. 所以它们的共同收敛区域为. 考察端点:当时, 得第一个级数发散, 第二个级数收敛. 所以该级数发散. 原级数的收敛区域为.2.解. , 于是.当时, 得, 收敛;当时, 得, 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1].3.解. . 当时, 得数项级数及, 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为.4.解.第一个级数的收敛区域(－1, 1); 第二个级数的收敛区域. 所以公共收敛区域为.5.解. . 当时得数项级数, 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4).6.解. . 当时, 得收敛, 当时, 得发散敛. 该级数的收敛区域为[4, 6).。
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数必考经典习题(附答案).pdf
无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。
无穷级数题(含答案)
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；
(完整版)无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n n nn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
7、111()2n n n ∞-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 .9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R =、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑是( ）.（A ）发散 (B ）条件收敛 （C)绝对收敛 （D)收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是( ）。
（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定.（D ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不定。
无穷级数习题
1 时发散； 4 1 （C）在 x < 4 时绝对收敛； （D）在 x > 时发散. 2 3．将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间. （A）在 x < 2 时绝对收敛； （B）在 x > （1） ln(a + x) (a > 0) （2） sin 2 x （3） x2 (1 + x 2 ) 2
π 4．将 f ( x) = cos x 展开成 ( x + ) 的幂级数. 3
1 展开成 ( x − 3) 的幂级数. x 1 6．将函数 f ( x) = 2 展开成 ( x + 4) 的幂级数. x + 3x + 2 5．将 f ( x ) =
第七节
傅里叶级数
1 ( x + π )2 , −π ≤ x < 0 π ，写出 f ( x ) 的以 2π 为周期的傅里叶级数的和函 1．设 f ( x) = 1 x2 , 0 ≤ x ≤ π π 数 S ( x ) 在 [−π , π ] 上的表达式. 2．将 f ( x) = e 2 x (−π ≤ x < π ) （ f ( x ) 周期为 2π ）展开成傅里叶级数. x + 1, 0 ≤ x ≤ π 3．将 f ( x ) = 展开为傅里叶级数. x , −π < x < 0 4．将函数 f ( x) = 2 x 2 (0 ≤ x ≤ π ) 展开成余弦级数. 5．将函数 f ( x ) = π−x (0 ≤ x ≤ π ) 展开成正弦级数. 2
8．利用级数收敛的必要条件证明 lim
第三节 1． 求下列幂级数的收敛域. （1） x x2 x3 xn + + + L + +L 1 ⋅ 3 2 ⋅ 32 3 ⋅ 33 n ⋅ 3n ( x − 5) n n n =1
无穷级数练习及答案
第九章 无穷级数 测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（ ） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （ ）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（ ）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散 （D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。
（ ）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛 （B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散 （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是 ，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。
无穷级数(习题及解答).doc
第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。
无穷级数习题及详细解答
(1,5]
n1
(4) 设函数 f (x) x 1 ( x ) 的傅里叶级数的和函数为 S(x),则S(5 ) 等于 1
(5) 设 函 数 f (x) x2 (0 x ) 的 正 弦 函 数 bn sin nx 的 和 函 数 n1
S(x),则当x( , 2 )时，S(x)
( 2 x 2)
0
（1）证明 an
an2
1 (n n 1
3, 4,) ，并求级数
n3
1 n
(an
an2 )
的和；
（2）证明级数
an 收敛.
n1 n
证：（1） an
4 tan2 x tann2 xdx
0
4 sec2 x tann2 xdx
0
4 0
tan n2
xdx
1 n 1
an2 ,
即有
an
1
x cos
x2dx
1 sin
x2
1
sin1.
2 6 2! 10 4! 14 6!
0
2
02
13.
将函数
f
x
x 2 x x2
展开成 x 的幂级数.
f
x
2
x x x2
1 3
2 2
x
1 1
x
1 1
3
1
x
1 1
x
2
而
1
1n xn
1 x n0
x 1,1
1
1 x
n0
x n 2
2
x 2, 2
(x)
1
x2
a0 2
n1
an
cos nx
1
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
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第十二章 无穷级数习题课资料丁金扣一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。
幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。
二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
三、本章难点用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
四、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。
（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。
例2：证明级数2cos cos(1)n n n n ∞=-+∑收敛。
（利用柯西审敛原理） 证明：1cos cos(1)n pn p n m n m m S S m ++=+-+-=∑ ()()()11cos 1cos 11()cos 111n p m n n n p m n mm n p +-=+++=--+-+++∑ 得1111112()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑，对任意的0ε>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，对所有p N ∈，都有n p n S S ε+-<，故原级数收敛。
例3：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑ ，（0x ≥） （6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭， 有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
（2）因为 2221ln lim lim n n n n n u n n →∞→∞==-，又211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛。
（3）用根值法11212lim n n n n →∞→∞==<+ ，所以原级数收敛。
（4）()()()()1!2!!11!!211!n n n n n n +++<--+=--()2!1!2!n n n =--<所以 ()()()()12!212!122122n n n u n n n n n -<=<++- 有比较法知，原级数收敛。
（5）比值法：111lim lim n n n n n u xu x ++→∞→∞=+， 当01x ≤<时，11lim n n nu x u +→∞=<，级数收敛， 当1x =时，1112lim n n nu u +→∞=<，级数收敛，当1x >时，101lim n n nu u +→∞=<，级数收敛。
所以，当0x ≥时，级数收敛。
（6）101133ln 31yx y e dx dy ∞∞==-⎰⎰，所以原级数收敛。
例4：判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性。
解：()11sinln nn u n=- 1sin ln n u n =，又11ln n n >，知级数21ln n n ∞=∑发散，从而2n n u ∞=∑发散，即级数非绝对收敛。
因为1sin0ln lim n n→∞=，且1sin ln x 在()2+∞，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。
例5：证明级数()n-1211n ∞=⎛⎫--- ⎝∑收敛。
证：设()1f x =-，则原级数为()()n-121n f n ∞=-∑， 又()32110,(0)2f x x x -⎛⎫'=-<> ⎪ ⎪⎝⎭，即()f x 在()0,+∞内单调下降， 从而()()1f n f n >+，且()0lim n f n →∞=，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。
例6：设数列{}n a 为单调增加的有界正数列，证明级数211n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
证明：因为数列{}n a 为单调增加有上界，所以极限存在。
设lim nn aa →∞=，考虑1111101n n n n n n n n a a a a au a a a ++++--<=-=< 而级数()()11112lim n n n n n aa a a a a ∞++→∞=-=-=-∑存在，由比较审敛法知，原级数收敛。
例7：求下列幂级数的收敛域（1）12n n n x n ∞=∑ ， （2）2112sin 22nn x n x ∞=+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ，（3）()()2321nn nn x n ∞=+-+∑解：（1）()11212lim lim n n n n a n a n +→∞→∞==+，所以收敛半径为2R =，收敛区间()2,2-。
2x =时，级数11n n ∞=∑发散；2x =-时，()111n n n ∞=-∑收敛。
所以收敛域为[)2,2-。
（2）令122x t x +=-，原级数为21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑因为()11s i n 2111sin 2lim lim n n n n n a a n +→∞→∞⎛⎫⎪+⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以收敛半径1R =。
又1t =时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，1t =-时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故其收敛域为[)1,1D =-：再由12112x x +-≤≤-，解得原级数的收敛域为13,3D ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭。
（3）()1121331112333lim lim n n nn n na n a n ++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以收敛半径13R =，收敛区间为： 11133x -<+<，即4233x -<<- 当43x =-时，原级数收敛，当23x =-时，原级数发散。
得原级数的收敛域为42,33D ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭。
例8：求下列级数的和函数（1）21021!n n n x n ∞+=+∑ ，（2）221212n nn n x ∞-=-∑ ，（3）()()()201123!nn n n x n ∞=-++∑ 解（1）()()12(1)1!230(1)!21121lim lim lim n n n n na n n n a n n n n +→∞→∞→∞+++===++++ 所以收敛半径R =∞，收敛域为：(),-∞+∞。
2122120000212121!!!!n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n ∞∞∞∞+-====++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ ()22222222122(12)!n x x x x x n x x x xe x e x e xe xe x n ∞='⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭∑ 即和函数22()2(12)x s x xe x =+。
（2）()()1121212122lim lim n n n n n nn a a n ++→∞→∞+==-，所以收敛半径R ==又x =(D =。
设级数的和函为()s x ，对幂级数逐项积分得，()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -∞∞-==-==∑∑⎰⎰21211()222212n n x x xxx x ∞-====--∑ ，(x ∈ 对上式两边求导得()()2222222x x s x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，(x ∈。
（3）易求级数的收敛域为(),-∞+∞。
记级数的和函为()s x ，因为()()()()121230011sin 21!23!n n n n n n x x x x n n -∞∞++==--==-++∑∑，所以()()1231sin 23!n n n xx x n -∞+=-=-+∑， (),x ∈-∞+∞ 即()()12201sin 123!n n n xxn x-∞+=-=-+∑， ()0x ≠ 对上式两端求导得：()()()()12122111cos sin 23!n n n n x x x x n x -∞+=+-=--+∑故有()()()()()1213111cos sin 23!2n n n n S x x x x x n x -∞+=+-==--+∑， ()0x ≠ 当0x =时，由所给级数知()106S =。
因此 ()()31cos sin 02106x x x x x S x x ⎧--≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩例9 把级数 ()()121221121!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展开成1x -的幂级数。
解：记级数的和函为()s x ，即()()()()()11212122111122sin 21!221!22n n n n n n n x x s x x n n ---∞∞--==--⎛⎫=== ⎪--⎝⎭∑∑ ，()()()()()()22101111111sin 2(sin cos cos sin )222221111112sin12cos 122!2221!2nn n n n n x x x s x x x n n -∞∞==+---==+--⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ (),x ∈-∞+∞例10 求级数()22112nn n∞=-∑的和。
解：设()()()()()22222112221021111111112112121111212111ln 122121ln 1ln 12221ln 122n n n nn n n n n n n n n n s x x x x xn n n n n x x x n x n x x x x x x n x x x x x x x x ∞∞∞∞====∞∞-+==∞+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=----- ⎪+⎝⎭⎛⎫=------- ⎪⎝⎭=--+∑∑∑∑∑∑∑()2ln 12x x x x -++1,0x x <≠故级数()22111111153ln ln ln 22422288412nn S n ∞=⎛⎫==-+++=- ⎪-⎝⎭∑。