立体几何中的平行问题

1

思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD （你能思考出几种方法？）

【例3】如图，已知正方体

中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD .

例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D

【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：.

1111

A B C D A B C D -1A B 1

B C 11B E C F

=αβαβ//M N αA

B

C D F

E

C 1

B 1A 1

D 1

D 1 B 1

A 1

D C

B A

C 1α

β

A

B

C

D

M

N

P

C

2

变式1、如图，直线相交于点O ，,，

求证：平面ABC //平面

6、设是单位正方体的面、面的中心，如图

8-4，证明：⑴∥平面；⑵面

∥面.

变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四

边形

3．判断正误

(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.( )

'

''

,,CC BB AA

,'O A AO

=O

B BO '

=O

C CO

'

='

'

'

C

B A ,P Q 1A

C 11A A

D D 1111A B C D P Q

11A A B B 1D P Q

1C D

B

4．下列条件中，能判断两个平面平行的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面5．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

【例1】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

求证：GF∥平面ADE.

如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；

(2)证明：BD∥平面AB1D1.

3

4

【例2】 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD ，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．

【例3】 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH∥平面BED 1F.

4如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，

AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG.