基本不等式的证明问题共42页

(2)∵a、b、c 是△ABC 的三边， 不妨设 a≥b≥c>0，则 a>b－c≥0， b>a－c≥0，c>a－b≥0，平方得： a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab， 三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab， ∴2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2.
1．注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形 式”还要注意“反向”不等式a＋2 b≤ a2＋2 b2在解题中的灵 活运用．
2．注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加 或迭乘使问题获解．
3．重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不 等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等．要 把握准转化的条件，达到化归目的．
[解析] 先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 再证 a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)， ∵a2b2＋b2c2＝b2(a2＋c2)≥2ab2c (等号在 a＝c 时成立)．
熟练应用基本不等式，进行不等式的证明．
1．试证下列不等式
(1)已知 a，b，c 为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab
＋bc＋ca.
(2)设 a、b、c 是不全相等的正数，求证：bac＋abc＋acb>a＋
b＋c.
(3)若 a，b，c 是不全相等的正数，求证 lga＋2 b＋lgb＋2 c＋
方法二：∵a，b，c∈R＋， ∴a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，c＋2 a≥ ac>0，且上述三 个不等式中等号不能同时成立， ∴a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>acb. ∴lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a>lg a＋lg b＋lg c.
重点：应用基本不等式进行不等式的证明． 难点：1.不等式的综合应用． 2．反向不等式的运用．
同理 a2b2＋a2c2≥2a2bc，(等号在 b＝c 时成立)． b2c2＋a2c2≥2abc2，(等号在 a＝b 时成立)． 三式相加得：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c) (等号在 a＝b＝c 时成立)
巩固练习 若 a，b，c 均为正数，求证 a3＋b3＋c3≥3abc.
Baidu Nhomakorabea
[解析] 我们先证 a3＋b3≥a2b＋ab2，① ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2， 同理可得 b3＋c3≥b2c＋bc2，② a3＋c3≥a2c＋ac2.③ 将①②③式两边分别相加，得
命题方向 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
[例 1] 求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b ＋c)．
[分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式 中字母轮换 a→b→c→a 后表达式不变，这类问题证明一般变 为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而 获解．
c＋a lg 2 >lg
a＋lg
b＋lg
c.
[证明] (1)∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca， 以上三式相加：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca， ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. (2)∵a、b、c∈R＋∴bac＋abc＝c(ba＋ab) ≥2c ba·ab＝2c 等号在ba＝ab即 a＝b 时成立．
2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2 ＝(a2b＋bc2)＋(ab2＋ac2)＋(b2c＋a2c) ＝b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2) ≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab＝6abc， ∴a3＋b3＋c3≥3abc. 显然，当且仅当 a＝b＝c 时， a3＋b3＋c3＝3abc.
[解析] (1)我们已知a＋2 b≤ a2＋2 b2，∴ a2＋b2≥a＋2b＝ 22(a＋b)(a，b∈R 等号在 a＝b 时成立)．
同理 b2＋c2≥ 22(b＋c)(等号在 b＝c 时成立)． a2＋c2≥ 22(a＋c)(等号在 a＝c 时成立)．
三式相加得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2 ≥ 22(a＋b)＋ 22(b＋c)＋ 22(a＋c) ＝ 2(a＋b＋c)(等号在 a＝b＝c 时成立)．
[点评] 在 a3＋b3＋c3≥3abc 中，令 x＝a3，y＝b3，z＝c3， 则变为：
x＋3y＋z≥3 xyz(x、y、z∈R＋，当且仅当 x＝y＝z 时取等号)． 我们也把a＋3b＋c，3 abc分别叫做三个正数 a，b，c 的算 术平均数与几何平均数．于是a＋3b＋c≥3 abc. 此式可以说成：三个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
*合作探究 (1)求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)． (2)设 a，b，c 为△ABC 的三条边，求证 a2＋b2＋c2<2(ab ＋bc＋ca)． 你通过上面题目的证明有什么体会？对什么是“字母轮 换对称关系”的不等式你会识别了吗？对这样的不等式的证 法你把握了吗？望今后解题后多做这种反思，对提高你的数学 思维能力会很有帮助的．
同理可得：bac＋acb≥2b(a＝c 时等号成立)． abc＋acb≥2a(b＝c 时等号成立)． 三式相加得：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c(等号在 a＝b＝c 时成立)．
(3)方法一：∵a，b，c，∈R＋. ∴lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a>lg a＋lg b＋lg c ⇔lga＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>lg abc ⇔a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>abc. 因为a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，c＋2 a≥ ac>0，且以上 三个不等式中等号不能同时成立，所以a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>abc 成 立，从而原不等式成立．