向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C

D P

Q 向量法求空间角

1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2

1==．

（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．

2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为

2

6．

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；

（2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；

（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．

B

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.

（1）求证:AF//平面BCE;

（2）求证:平面BCE⊥平面CDE;

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.

P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD

ABCD为正方形,G

PD

=分别为CB

PC,

,的中点．

=

PD

F

,2

E

AD,

,

AP平面EFG;

（1）求证://

（2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

H

P

G

F

E D

C

B 5．如图，在直三棱柱111AB

C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==.

（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6

π,求锐二面角1A A C B --的大小.

6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．

（1）求证：FG 平面PED ；

（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

参考答案

1．（1）详见解析；（2）4

π 【解析】

试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，则可表示出),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a -=，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于⊥DC 平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ；设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅QB n ，02=⋅QC n

，故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,

0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n ，转化为两个法向量的夹角，设1n 与2n 的夹角为θ，则222

1||||cos 2121==⋅=n n n n θ．即可求出平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.

试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，

即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， 又DC

DQ D = 所以，⊥PQ 平面DCQ ．

（2）因为⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量

为)1,0,0(1=n

，

点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a -=，),,(a a a --=，

设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅QB n ，02=⋅n ，

故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,

0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，

故)1,1,0(2=n ．

设1n 与2n 的夹角为θ，则222

1||||cos 2121==⋅=n n n n θ． 所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4

π 考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系

2．（1）60︒; （2）5

102; （3）F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置. 【解析】

试题分析：（1）取AD 中点M ，连接MO ，PM ，由正四棱锥的性质知∠PMO 为所求二面角P －AD

－O 的平面角，∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角∴tan ∠PAO ＝26

，设AB ＝a ，则AO ＝22a ，PO ＝23a ，MO=12a , tan ∠PMO ＝3,∠PMO ＝60°; （2）依题意连结AE ，OE ，

则OE ∥PD ，故∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角，由正四棱锥的性质易证OA ⊥平面POB,

故AOE ∆为直角三角形，OE ＝21

PD ＝2122DO PO +＝45a ∴tan ∠AEO ＝EO AO ＝510

2；（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ，易得BC ⊥平面PMN ，故平面PMN ⊥平面PBC ，而△PMN 为正三角形，易证MG ⊥平面PBC ，取MA 的中点F,连EF,则四边形MFEG 为平行四边形，从而MG//FE,EF ⊥平面PBC,F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置.

试题解析：（1）取AD 中点M ，连接MO ，PM ，依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角 （2分） M D

B A C

O E

P