高等数学第三章第四讲概要

变 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
率 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 问
题 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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二、导数的概念
1. 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. x0 x U( x0 )
h0
h
x
x0
x lim
f ( x) f ( x0 ) .
x x0 x x0
3°在一点的导数是因变量在点 x0处的变化率, 它反映了因变量随自变量的变化而变化的
快慢程度.
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2. 区间上可导
若函数 f (x) 在开区间 I 内每点都可导, 则称
以讲授为主。 课时安排：2课时。
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导入：导数的思想最初是由法国数学家费马为研 究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的 是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线 求其切线，这是由英国数学家牛顿（Newton）和德 国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几 何学过程中建立起来的。
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例 1 求函数y x2 ,在x0 1和任何点x0处的导数.
解 求x0 1处的导数.
第一步计算y.即y=f ( x0 x ) f ( x0 ) 2x ( x )2.
第二步计算 y ,即 y = 2x ( x )2 =2+x.
瞬时速度 v lim f (t) f (t0 ) tt0 t t0
切线斜率
k
lim
x x0
f
(x) x
f ( x0 ) x0
两个问题的共性 :
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
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类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
y f ( x0 x) f ( x0 )
若
lim
x0
y x
lim f ( x0
x0
x) x
f ( x0 )
(1)
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 并称此极限
值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0)
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第一讲 导数的概念
一、实例分析 二、导数的概念 三、利用定义求导数举例 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系
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教学目标：
1、理解导数的概念和几何意义； 2、了解函数的可导性与连续性的关系。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念及利用导数可导性求一些待定的参数。 教学方法：引导学生自己利用导数定义来总结求导的三步法，
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一、 实例分析
1. 变速直线运动中某时刻的瞬时速度问题 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v
f (t) f t t0
(t0 )
而在 时刻的瞬时速度为
v
lim
tt0
f
(t) t
f (t0) t0
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本章的教学目标：
1、理解导数的概念和导数的几何意义； 2、掌握导数的四则运算法则； 3、掌握复合函数的求导法则； 4、熟练掌握基本初等函数的求导法则与导数公式； 5、理解微分的概念及几何意义； 6、熟练掌握基本初等函数的微分公式与运算法则。
教学重点：导数的四则运算，复合函数的求导法则。 教学难点：隐函数的求导。 教学方法：以老师教授为主，学生大量做题为辅。 课时安排：12课时，6讲。
2. 曲线的切线问题
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
割线 M N 的斜率
tan f ( x) f ( x0 )
x x0
切线 MT 的斜率
lim tan
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
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注
f ( x0 ) f ( x) x x0 .
一般地，
f ( x0 )
[
f
( x0 )]
d f ( x0 ) dx
如： f ( x) x， f ( x) 1
x x
百度文库
x
第三步取极限，即 lim y = lim(2+x)=2.
x x0
x0
即y( 1 ) 2.
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2°导数的其它形式
f ( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
x h lim f ( x0 h) f ( x0 )
也可记作:
y x x0 ;
dy
;
dx x x0
df (x) dx x x0
注 1° 若极限(1)不存在，则称 f (x)在点 x0 处不可导.
特别地，当 lim f ( x0 x) f ( x0) 时，则称 f ( x)
x0
x
在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在；
若 f ( x)在x0处连续，则有几何意义： 曲线上对应点有垂直于x 轴的切线.
第三章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
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函数 f (x)在 I 内可导. 此时，对于任 一 xI ,
都对应着 f ( x ) 的 一个确定的导数值，所构成的
新函数称为导函数. 记作
y ; f ( x) ; dy ; d f ( x) .
dx dx
即
f ( x)
lim
x0
f (x x) x
f (x)
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