高等数学第三章第四讲概要
《高等数学(上册)》 第三章
证明 设 f (x) arcsin x arccos x ，则
f (x) 1 1 0 ， x (1，1) ， 1 x2 1 x2
所以 f (x) C ， x (1，1) ．
又因为 f (0) arcsin 0 arccos0 0 ，所以 f (x) f (0) ，结论得证．
又因为
H (x) F(x)[G(b) G(a)] G(x)[F(b) F(a)] ，
所以
H ( ) F( )[G(b) G(a)] G( )[F(b) F(a)] 0 ．
又因为 x (a ，b) 时，G(x) 0 ，则 G( ) 0 ，G(b) G(a) 0（ G(x) 在[a ，b] 上
设
F ( x)
，
G(x)
是
x
x0
时的无穷小量，即
lim
x x0
F ( x)
lim
xx0
G(x)
0
，且
F (x) ， G(x) 在 (x0 ，x) （或 (x ，x0 ) ）内可导，且 G(x) 0 ，令 F(x0 ) 0 ，
G(x0 ) 0 ，则由柯西中值定理可知
lim
x x0
F (x) G(x)
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 ) ． 假设 f ( ) 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) 0 ，而 x1 ， x2 在区间 I 上的选取是任意 的，因此 f (x) 在区间 I 上是一个常数．
3.1.2 拉格朗日中值定理
例 4 证明 arcsin x arccos x ， x (1，1) ． 2
例 2 证明 f (x) x(x 2)(x 4)(x 6) 1的导函数 f (x) 有 3 个零点分别位 于区间 (0 ，2) ， (2 ，4) ， (4 ，6)
高等数学 第三章
例 4 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间[3 ，4] 上的最大值和最小值． 解 因为函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间 [3，4] 上连续，所以在该区间上一定存在最大值和 最小 值． 该函数的导数为 f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，令 f (x) 0 ，得驻点 x1 2 ， x2 1 ． 因为 f (2) 20， f (1) 7 ， f (3) 9， f (4) 128 ，
arcsin x arccos x π ． 2
（二）柯西中值定理
定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数 f(x)和F(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x属于(a,b)，F,(x)≠0
那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f (ξ ) F (b) F (a) F (ξ )
第四节
曲率
一、曲率的概念与曲率的计算公式
（一）曲率的概念
如图 3-11 所示设 A ，B 是光滑曲线 L 上的两点，弧段 AB 的长度为 | s | ，曲线 L 在 A 点处的 切线倾斜角为 .
记 K ，称 K 为弧段 AB 的平均曲率． s
记 K lim ，称 K 为曲线 L 在点 A 处的曲率． s0 s
定理1 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和 二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内f,,(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的； （2）若在(a,b)内f,,(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．
例 5 判定曲线 y ln x 的凹凸性． 解 函数 y ln x 的定义域为 (0 ， ) ，其导数为
高数第三章(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000 00)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 00)(0x x x x dxdy x f y ==='='2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件： 定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件： 定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。
5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导。
)(x f6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ()00,y x M 处切线的斜率。
x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2vv u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===dxdu du dy dx dy ⋅=，或)()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别： })]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。
高二数学第三章总结知识点
高二数学第三章总结知识点高二数学第三章是关于函数与初等函数的学习，涵盖了函数的定义、性质以及初等函数的分类与性质等内容。
通过本章的学习，我们深入了解了函数的基本概念和性质，并学会了如何应用初等函数解决实际问题。
以下是对本章重点知识点的总结：1. 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将自变量的值映射到唯一的因变量的值。
函数的定义包括定义域、值域、图像和反函数等。
其中： - 定义域是自变量的取值范围；- 值域是函数在定义域内取得的所有可能的值；- 图像是函数的所有点在坐标系中的表示；- 反函数是将因变量的值映射回自变量的值的逆向映射函数。
2. 初等函数的分类与性质初等函数是由常见的代数函数、三角函数、指数函数和对数函数组成的函数。
常见的初等函数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
初等函数具有以下特点： - 多项式函数在定义域内处处连续，并且是可导的；- 幂函数的性质随幂指数的不同而有所变化；- 指数函数和对数函数是一一对应的；- 三角函数是周期函数，具有对称性和周期性。
3. 函数的运算函数之间可以进行加减乘除等运算，从而得到新的函数。
常见的函数运算包括：- 函数的加法与减法，即将两个函数对应位置的值相加或相减；- 函数的乘法，即将两个函数对应位置的值相乘；- 函数的除法，即将两个函数对应位置的值相除。
4. 函数的图像与性质图像可以帮助我们直观地了解函数的特点和性质。
通过对函数的图像的观察，我们可以判断函数的单调性、奇偶性、周期性以及极值等。
具体来说：- 单调性指的是函数在定义域内的增减关系；- 奇偶性指的是函数的对称性；- 周期性指的是函数在某个区间内的重复性；- 极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
5. 方程与不等式的解法函数的应用能够帮助我们解决各种方程与不等式。
通过使用函数的性质和图像，我们可以确定方程的解集和不等式的解集。
具体解法包括：- 方程的解法，根据方程两边的函数表达式相等的性质，确定方程的解集；- 不等式的解法，根据不等式两边的函数表达式的大小关系，确定不等式的解集。
大学数学高数微积分第三章线性方程组第四节课件课堂讲解
因
为向量组1 , 2 , 3 , 4 中含有零向量，它必线性相
关，故向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩为 3 .
矩阵 A 的列向量组为
1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 2, 0, 0), 3 = (3, -1, 0, 0), 4 = (1, 4, 5, 0). 用同样的方法可证， 1 , 2 , 4 线性无关，而
3 721122 ,
所以向量组1 , 2 , 3 , 4 线性相关，其秩为 3 .
因此，矩阵 A 的行秩和列秩都是 3 .
2. 行秩与列秩的性质
例 1 中矩阵 A 的行秩和列秩相等，这一点不 是偶然的，下面来一般地证明行秩等于列秩.
作为一个准备，我们先利用行秩的概念把第
一节中的
定理 1 在齐次线性方程组
知，如果 A 的 r + 1 级子式全为零，那么 A 的 r + 2
级子式也一定为零，从而 A 的所有级数大于 r 的子
式全为零.
设 A 的秩为 t . 由必要性，t 不能小于 r ，否
则 A 的 r 级子式就全为零了.
同样，t 也不能大于
r ，否则 A 就要有一个 t ( t r + 1 ) 级子式不为零,
也线性无关. 它们正好是矩阵 A 的 r 个列向量，由
它们的线性无关性可知矩阵 A 的列秩 r1 至少是 r ,
Байду номын сангаас
也就是说 r1 r .
用同样的方法可证 r r1 .
这样就证明了行秩
与列秩相等.
证毕
3. 矩阵的秩 定义17 把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵 的秩.
二、矩阵的秩与行列式的关系
1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件
《高数》第3章
t =ξ
f (b ) f ( a ) = f ′ (ξ ) g ′ (ξ ) g (b ) g ( a )
从而得
f (b) f (a ) f ′ (ξ ) = g ( b ) g ( a ) g ′ (ξ )
注：柯西中值定理包含拉格朗日中值定理和罗尔中值 定理．在柯西中值定理中令g 定理．在柯西中值定理中令 (x)=x，可得到拉格朗日 ， 中值定理，再令f (a)=f (b)则可得罗尔中值定理． 中值定理，再令 则可得罗尔中值定理． 则可得罗尔中值定理 习题3 习题3-1 1． 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件 ， ． 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件， 如满足求出使得的f′(ξ)=0． 如满足求出使得的 ． 1 2 x ∈ [ 1,1] ． （2） ( x ) = 2 ， ∈ [ 1,1]． x f （1）f ( x ) = x ， ） ） x 2．下列函数在给定区间上能否满足拉格朗日定理的条 ． 如果满足求出定理中的ξ. 件，如果满足求出定理中的
由拉格朗日中值定理可得出下面两个重要的推论： 由拉格朗日中值定理可得出下面两个重要的推论： 推论1 如果函数 在区间 如果函数f(x)在区间 在区间(a，b)内每一点处的导数都 推论 内每一点处的导数都 等于零， 则函数f(x)在该区间内是一个常数 在该区间内是一个常数. 等于零，即 f '( x ) = 0，则函数 在该区间内是一个常数 推论2 如果函数f(x)与 ( x) 在区间(a，b)内每一点都 推论 如果函数 与 在区间 内每一点都 ) 内仅差一个常数， 有 f ′( x ) = ′( x，则f(x) 与 ( x) (a，b)内仅差一个常数， 在 内仅差一个常数 f ( x) = '( x) =(C是常数 是常数). 即 ， 0 是常数 π ,使得． 使得． 例2 由f(x)=sinx证明 ξ ∈ 0, 使得 证明 2
高等数学第三章知识要点
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
2) 求驻点
令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
因 f (0) 6 0 , 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y
1 O 1 x
四、函数的最大、最小值
1、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在 [a, b]上的
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
最大值与最小值存在 .
如果函数除个别点外处处可导,并且至多有有限个
高等数学-第3章课件
第二节 洛必达法则
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f (x) 与 F(x) 都趋于零或都趋于无穷大,那么 极限 lim f (x) 可能存在,也可能不存在.通常
xa F(x)
( x )
把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
一、0 型未定式 0
定理3.2.1 (洛必达法则)
(1) lim f (x) lim g(x) 0 ;
第三节 函数单调性的判定法
定理3.3. 1 (函数单调性的判别法) 设函数 y=f (x)在开区间(a,b)的内可导，则 (1) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) >0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调增加; (2) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) <0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调减少.
第五节 函数曲线 y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线. 如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凹区间. 如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凸区间.
函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与 极小值点统称为极值点.
定理3.4.1 (极值存在的必要条件) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 必有 f'(x0) =0 . 定义3.4.2 使导数 f'(x)等于零的点 x0 ,称为函数 f(x)的驻点.
定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件)
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 (拉格朗日中值定理) 若函数 f(x) 满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)的内至少存在一点 ξ ,使得 f(b) - f(a)= f'(ξ )(b-a)
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).
高数第三章
f ( ) n1 ( x x0 ) ( 在 x 0 与 x之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
( n1)
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) ( x x0 )k k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 次近似多项式
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
x 例3 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
x 0
0 ln 0 取对数 ln 1 0 . 0 ln
x
例
求 lim x . 原式 lim e
x 0 x ln x
( 00 )
1 x 1 x2
解
e x 0
lim x ln x
e
ln x x 0 1 x lim
e
a cos ax sin bx cos bx 解 原式 lim lim 1. x 0 b cos bx sin ax x 0 cos ax
高数大一知识点第三章
高数大一知识点第三章第三章是高等数学课程中的重要一章，主要讨论的内容是函数的极限和连续性。
这两个概念是数学分析的基础，对于理解高数课程后续的内容和应用具有重要意义。
1. 函数的极限在第三章中，我们首先学习了函数的极限概念。
函数的极限可以用于描述函数在某一点的“趋势”或者“接近程度”。
通过函数值的无限接近某一特定值，可以得出函数的极限。
在文中我们学习了极限的定义、性质以及如何求解。
首先要掌握的是数列的极限。
数列可以看作是函数在自然数域上的特殊情况，因此掌握了数列的极限求解方法，对后续函数的极限求解有很大帮助。
我们学习了数列极限的夹逼定理、单调有界数列的极限定理以及常见数列的极限求解方法。
接着，我们进一步将极限的概念拓展到函数上。
学习了函数无穷远处的极限，以及两个重要的一致收敛定理：柯西收敛原理和黎曼-斯蒂尔杰斯定理。
这两个定理对于证明函数极限的存在性以及计算极限具有重要意义。
2. 连续性第三章的另一个重要内容是函数的连续性。
连续性是函数的一个重要特征，它决定了函数在给定区间上的行为。
在文中，我们学习了函数的连续性概念以及一些重要的连续性判定定理。
首先，我们需要了解什么是函数的连续性。
一个函数在某一点上连续，意味着函数在该点的函数值与极限值相等。
在连续性的学习中，我们学习了间断点的分类，如可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等等。
学会了如何求解函数的间断点，对于函数在某一区间上的连续性分析具有重要意义。
在掌握了连续性的基本概念以后，我们进一步学习了连续函数的性质和判定定理。
例如，我们学习了闭区间上的连续函数有最大值和最小值，以及介值定理和零点定理等等。
这些定理能够帮助我们分析函数在给定区间上的行为，解决实际问题。
3. 数学建模与应用第三章的最后一个部分是数学建模与应用。
高等数学作为一门应用数学课程，强调将数学理论应用于实际问题的能力。
在第三章中，我们学习了如何利用函数的极限和连续性解决实际问题。
例如，我们可以利用函数的极限求解问题中的最优解、极值点和最大值最小值等。
《高等数学》 课件 高等数学第三章
（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学 第三章. 第一节
第4 页
定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学 第三章. 第二节
第 18 页
例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在， 所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
高等数学 第三章. 第二节
第 24 页
例11 求 lim x．x x0
高等数学第三、四章 核心知识点
()()()0000'lim x x f x f x f x x x ++→-=-()()()0000lim x xf x f x f x x x --→-'=-第三章 导数知识及常用公式一、 导数 1.导数的概念()()()()()()()0000000000'lim lim =limx h x x f x x f x f x h f x f x f x f x x h x x ∆→→→+∆-+--===∆- 2.单侧导数 （1）左导 （2）右导()()()''000'f x f x f x -+，存在且相等则存在3.基本初等函数的导数公式（课本99页），必须熟练记忆！！！4高阶导公式： 高频：（1）()()n x x e e = (2)()()!n n x n =低频： (3)()()sin sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭(4)()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭5.函数可导性与连续性的关系：可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导. 6.导数的几何意义（1）曲线切线斜率0'()k f x =，切线方程：()()000y y f x x x '-=-； （2）切线与法线相互垂直（ =1k k -切法） 二、求导法则 1.导数四则运算：（1）()u v u v '''±=± （2）()uv u v uv ''=+'（3）()(C )u x u x C C ''=⎡⎤⎣⎦，为常数 （4）2,()u u v uv v o v v '''⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭- 2.复合函数求导法则:()()=dy dy duy f u x u x dx du dx'''==⎡⎤⎣⎦ 解题方法：从外到内逐级求导，所有项相乘. 3.反函数求导：()()1y f x ϕ'=' 口诀： ()1'='反（原）4.隐函数求导：方程两边同时求导，只要对y 求过导就在后面乘以'y 5.参数方程的导数：()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩一阶导数：()()t dy dx t ϕψ'='；二阶导数： 22()1=()()d y d t dx dt t t ϕψϕ'⎛⎫⋅ ⎪''⎝⎭. 6.对数求导法：等号两边取自然对数，隐函数求导法求导 三、微分()'dy f x dx =口诀：d 谁就对谁求导，再乘以dx .连续第四章 导数及微分的应用知识及常用公式一、 中值定理二、边际函数（1） 边际成本：总成本的导数； （2） 边际收益：总收益的导数； （3） 边际利润：总利润的导数. 三、导数的应用 1.函数单调性的判定法()'0f x ⇒＞ ()f x 单调递增； ()'0f x ⇒＜ ()f x 单调递减.2.极值：（1） 确定()f x 的定义域；（2） 令()'0f x =求出驻点及导数无意义的点； （3） 极值点：0x x =；极值：()0f x .注：一上一下中间为极大值，一下一上中间为极小值。
《高等数学》课件第三章
07
错!
08
上面两式相比即得结论.
证: 作辅助函数
注意:
弦的斜率
切线斜率
A
B
C
柯西定理的几何意义:
例8. 设
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
设
则
在 [0, 1] 上满足柯西中值
定理条件,
因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,
使
即
证明
例9. 试证至少存在一点
使
证:
法1 用柯西中值定理 .
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
令
因此
即
分析:
使
1
法2 令则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
2
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
3
使
4
因此存在
5
例9. 试证至少存在一点
例11.
且
试证存在
在 I 上为常数 .
08
令
09
则
10
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
若函数
在区间(a , b)内每一点 x 处都有
则
和
最多相差一个常数,
即
(其中C为常数).
推论2:
设
01
证明对任意
02
有
03
证：
04
例5.
05
不妨设
06
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
11
思考与练习
1. 填空题
1) 函数
高等数学第三章
高等数学第三章第三章导数与微分一、本章摘要1.基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主成分，微分。
2基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法（1）利用导数的定义计算导数；⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；（7）使用微分算法计算微分或导数二、要点解析问题1讨论了瞬时速度导数的实际意义，并列出了一些常见的变化率解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为sS（T），当T从T变为T？？T、间隔时间？以t为单位的平均速度为s(t??t)?s(t)，此式只反T反映了T点附近速度变化的速度，也就是说，时间T处速度的近似替代。
为了使其转换为精确值，我们必须？T也就是说，时间t的瞬时速度是V（t）？lims（t？？t）？S（T），即瞬时速度反射函数t0tss(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度常见的变化率：（1） y曲线？F（x）切斜率的意义；dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何dxdq是电荷q对时间t的变化率；dtdm⑶线密度是质量m对长度l的变化率；Dldq（4）比热容是热Q与温度之比θ的变化率，dθ⑵电流强度以及出生率、经济增长率、化学反应率等等问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？分析1我们知道函数的连续性只是可微性的一个必要条件。
函数f（x）在点x0处可微的充要条件是左导数f′？（x0）和右导数f′？（x0）存在且相等，即f'(x0)?f'?(x0)?f'?(x0)一因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：（1）直接使用的定义；⑵求左、右导数看其是否存在而且相等．当然，您也可以直接使用两种方法，而无需先检查连续性，但对于不连续函数，请先检查连续性往比较方便．2.科学、技术和工程中遇到的大多数功能都是基本功能。
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y f ( x0 x) f ( x0 )
若
lim
x0
y x
lim f ( x0
x0
x) x
f ( x0 )
(1)
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 并称此极限
值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0)
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本章的教学目标：
1、理解导数的概念和导数的几何意义； 2、掌握导数的四则运算法则； 3、掌握复合函数的求导法则； 4、熟练掌握基本初等函数的求导法则与导数公式； 5、理解微分的概念及几何意义； 6、熟练掌握基本初等函数的微分公式与运算法则。
教学重点：பைடு நூலகம்数的四则运算，复合函数的求导法则。 教学难点：隐函数的求导。 教学方法：以老师教授为主，学生大量做题为辅。 课时安排：12课时，6讲。
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一、 实例分析
1. 变速直线运动中某时刻的瞬时速度问题 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v
f (t) f t t0
(t0 )
而在 时刻的瞬时速度为
v
lim
tt0
f
(t) t
f (t0) t0
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也可记作:
y x x0 ;
dy
;
dx x x0
df (x) dx x x0
注 1° 若极限(1)不存在，则称 f (x)在点 x0 处不可导.
特别地，当 lim f ( x0 x) f ( x0) 时，则称 f ( x)
x0
x
在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在；
若 f ( x)在x0处连续，则有几何意义： 曲线上对应点有垂直于x 轴的切线.
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第一讲 导数的概念
一、实例分析 二、导数的概念 三、利用定义求导数举例 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系
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教学目标：
1、理解导数的概念和几何意义； 2、了解函数的可导性与连续性的关系。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念及利用导数可导性求一些待定的参数。 教学方法：引导学生自己利用导数定义来总结求导的三步法，
第三章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
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h0
h
x
x0
x lim
f ( x) f ( x0 ) .
x x0 x x0
3°在一点的导数是因变量在点 x0处的变化率, 它反映了因变量随自变量的变化而变化的
快慢程度.
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2. 区间上可导
若函数 f (x) 在开区间 I 内每点都可导, 则称
2. 曲线的切线问题
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
割线 M N 的斜率
tan f ( x) f ( x0 )
x x0
切线 MT 的斜率
lim tan
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
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x x
x
第三步取极限，即 lim y = lim(2+x)=2.
x x0
x0
即y( 1 ) 2.
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2°导数的其它形式
f ( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
x h lim f ( x0 h) f ( x0 )
变 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
率 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 问
题 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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二、导数的概念
1. 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. x0 x U( x0 )
瞬时速度 v lim f (t) f (t0 ) tt0 t t0
切线斜率
k
lim
x x0
f
(x) x
f ( x0 ) x0
两个问题的共性 :
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
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类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
注
f ( x0 ) f ( x) x x0 .
一般地，
f ( x0 )
[
f
( x0 )]
d f ( x0 ) dx
如： f ( x) x， f ( x) 1
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例 1 求函数y x2 ,在x0 1和任何点x0处的导数.
解 求x0 1处的导数.
第一步计算y.即y=f ( x0 x ) f ( x0 ) 2x ( x )2.
第二步计算 y ,即 y = 2x ( x )2 =2+x.
函数 f (x)在 I 内可导. 此时，对于任 一 xI ,
都对应着 f ( x ) 的 一个确定的导数值，所构成的
新函数称为导函数. 记作
y ; f ( x) ; dy ; d f ( x) .
dx dx
即
f ( x)
lim
x0
f (x x) x
f (x)
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以讲授为主。 课时安排：2课时。
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导入：导数的思想最初是由法国数学家费马为研 究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的 是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线 求其切线，这是由英国数学家牛顿（Newton）和德 国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几 何学过程中建立起来的。