立体几何中垂直的证明

全方位教学辅导教案

线面垂直的判定及其性质 ●知识要点 1.线面垂直 （1）定义： 如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足. （2）判定定理：（线线垂直→线面垂直） 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m α，n α，则l ⊥α. （3）性质定理：（线面垂直→线线平行） 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 （1）定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） （2）二面角的平面角： 在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围：000180θ<<. 3.面面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥. （2）判定定理：（线面垂直→面面垂直）

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （3）性质定理：（面面垂直→线面垂直）

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

4.在正方体''''ABCD A B C D -中，求直线'A B 和平面''''A B C D 所成的角.

题型一、线面垂直的判定与性质

1、已知：如图，P 是棱形ABCD 所在平面外一点，且PA=PC

求证：AC PBD ⊥平面

2、已知，如图，四面体A-BCD 中，

,,AB CD AD BC H BCD ⊥⊥V 为的垂心。

求证：AH BCD ⊥平面

3、如图，,,PA ABCD ABCD M N AB PC ⊥平面，是矩形，点分别为的中点， 求证：MN AB ⊥

4、如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为

CD 中点．

(1)求证：EF ⊥面BCD ；

A

D

C

B

P

H B

C

D

A

5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥平面，且

PA AB =,点E 是PD 的中点。

⑴求证：AC PB ⊥； ⑵求证：PB AEC ∥平面；

6、 如图，在四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA

＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．

(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE.

题型二、面面垂直的判定与性质

1、如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平

面PBC。

2、如图，棱柱111

ABC A B C

-

的侧面11

BCC B

是菱形，

11

B C A B

⊥

证明：平面

1

AB C⊥平面

11

A BC；

3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD

V折起，使点C移到点

1

C，且1

C AB

D O AB

在平面上的射影恰好在上。

1

1

(2).

BDC

⊥

⊥

1

1

（）求证：AD BC

求证：面ADC面

4、如图所示，在长方体

1111

ABCD A B C D

-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

O

B

C1

A

D

C

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

5、已知四面体ABCD中，CD

BD

AC

AB=

=,,平面⊥

ABC平面BCD,E为棱BC的中点。（1）求证：⊥

AE平面BCD;

（2）求证：BC

AD⊥;

6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.

7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

证明:AB⊥平面VAD

S

A

C

B

8、如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；

（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你

的结论.

题型三、平行与垂直的综合题

V

D C

B

A

(2)PDA=45.

PA ABCD

CD

MN PCD

⊥

⊥

∠⊥

。

1、已知矩形所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点。

（1）求证：MN

若，求证：平面

2、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.

（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；

（2）求证：A1B⊥AM；

（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；

3、如图，在四棱锥ABCD

P-中，平面PAD⊥平面ABCD，