新湘教版八年级数学上册 导学案：第五章 二次根式(无答案)
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(导学案)第五章 二次根式 5.2 第2课时 二次根式的除法
5.2 二次根式乘法和除法第2课时 二次根式的除法一、学习目标1. 掌握二次根式根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
重点：运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简。
二、自主学习学一学：预习教材P162、163、164的内容.说一说：实数b a ,互为倒数是什么意思？有何条件？一个非零实数有几个倒数？填一填：由于=⨯313______ ，=⨯313______，所以_______和_______都是3的倒数，因此_______=_________. 一般地，如果a >0，则=a 1a1 三、合作探究学一学：设a >0，≥b 0，则 =⋅=a b a b 1__________=⋅b ______=a b ，即a b a b =（a >0,≥b 0）.议一议：上式中为什么规定0,0≥>b a ?如何用文字语言描述商的算术平方根的性质？ 选一选：当0,0≥>b a 时，a b=_________(①b a ②ab ) 填一填：=510____________;=330_____________;=72218________________;表示为____________________)0,0(≥>b a .注意：二次根式的运算结果一定要进行化简，化成最简二次根式。
四、基础演练1.计算：⑴1045 ⑵ 52607 ⑶ 152842.设,0,0>>y x 计算：⑴xy y x 262 ⑵ x y x 323÷3.已知直角三角形的两条直角边分别是AC=32，BC=23, 求斜边上的高CD 的长。
4.求下列各式当4,3==b a 时的值：⑴23ab b a ⑵ 5520a ab。
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(教学设计 教案)第5章 二次根式(全章 分课时 含反思)
第5章二次根式5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x＋2；(2)x－1x－2；(3)x2＋1；(4)－x2.解析：(1)要使x＋2有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使x－1x－2有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使x2＋1有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使－x2有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≠2，所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；(4)－x 2≥0，所以x ＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质－323)2. 解：(3)(【类型二】已知y ＝x －2－2－x ＋5，则y＝________．解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所以存在隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2－x ≥0，故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25.方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】 (1)22；(2)（－23）2； (3)－（－π）2.解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】 如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1， 则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b . 方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎨⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．第2课时 二次根式的化简1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)4×9，4×9； (2)16×25，16×25.观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质【类型一】利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简化简： (1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）；(3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b . 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≥1D ．0≤a ≤1解析：a 2－a 3＝a 2（1－a ）＝a 2·1－a ＝|a |·1－a ，又a 2－a 3＝a 1－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，1－a ≥0.解得0≤a ≤1，故选D. 方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．【类型三】解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．解：∵35＝32×5＝45，53＝52×3＝75， ∵75＞45，∴35＜5 3.方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．探究点二：最简二次根式【类型一】 最简二次根式的判定下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a 2＋a 2b解析：A 选项中8a 含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得：a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式；故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【类型二】二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式．(1)500；(2)3a 2b 3；(3)2512；(4)23ab2.解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a 2b 2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a ，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．解：(1)500＝100×5＝105；(2)3a 2b 3＝3b ·a 2b 2＝|a |b 3b ； (3)2512＝25×312×3＝563； (4)23ab 2＝2×3a 3ab 2·3a ＝6a3ab. 方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．三、板书设计1．积的算术平方根的性质 2．最简二次根式通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．5．2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点，难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋1≥0，2－x≥0.解得－1≤x≤2，故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125；(2)918×(－1654)；(3)135·23·(－3416)；(4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法运算法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35； (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．【类型二】 ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．解析：根据矩形的面积等于“长×宽”、圆的面积等于“π×半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2.所以πr 2＝168π，r ＝242(cm)(r ＝－242舍去)．方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)在学习了积的算术平方根的基础上，这一节课学习了二次根式的乘法．这两个性质法则是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算．第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点) 2．掌握二次根式的除法法则并会运用进行计算．(重点，难点)一、情境导入一个长方形的面积为15，长为5，那么这个长方形的宽是多少？ 二、合作探究探究点一：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0.解得0≤a ＜2，故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179；(2)3c34a 4b2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点二：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算：(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b312ab2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)318×32÷(－512)； (2)166÷23412×12112. 解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根式． 解：(1)318×32÷(－512)＝(－3×12×15)18×312＝－31092＝－3109×22×2＝－310×322＝－9202； (2)166÷23412×12112＝(16÷23×12)6÷92×112＝(16×32×12)6×29×112＝319＝1. 方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．【类型三】 ，长为20cm ，宽为15cm ，求长方体的高．解析：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以高＝长方体的体积÷(长×宽)，代入计算即可．解：长方体的高为：3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计1．商的算术平方根的性质：b a ＝ba (a ＞0，b ≥0) 2．二次根式的除法：b a＝ba(a ＞0，b ≥0)本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移．5．3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加减运算1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B.32C.23D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B 中，32＝62与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．探究点二：二次根式的加减【类型一】 (1)8 (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3； (4)原式＝1866－32×46＝36－66＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(2)324x －3x9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝23－3－3＝0； (2)原式＝3x－x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5； (4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【类型三】 ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是：(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝(42－23)(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．三、板书设计二次根式的加减：合并同类二次根式通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．第2课时 二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)x (x ＋1)；(2)(3x 2y 2－2x 2y ＋xy 2)÷xy ； (3)(2x ＋3y )(2x －3y )；(4)(x －y )2＋(x －2y )2.在上述运算中，如果把x ，y 换成二次根式，以上运算怎样进行？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】二次根式的混合运算计算： (1)48÷3－12×12＋24； (2)12÷43×23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6； (2)12÷43×23－50＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)先分别用完全平方公式计算，最后再合并．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝18－126＋12－(18＋126＋12)＝－24 6. 方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －yx －xy，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算． 解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋yxy.∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2， ∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．【类型四】 33－2，求这个三角形的面积． 解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为：12×(63＋22)×(33－2)＝12×2×(33＋2)×(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．探究点二：二次根式的分母有理化 【类型一】 分母有理化计算：(1)215＋122；(2)3－23＋2＋3＋23－2.解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6；(2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成a ×a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .解析：，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，∵15＋14＞14＋13＞0，方法总结：两个正分数比较大小时可把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计1．二次根式的混合运算 2．分母有理化二次根式的混合运算可类比整式的混合运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯．第5章 二次根式【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 【教学方法】典例解析法 【教学准备】小黑板、三角尺 【教学过程】 【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
八年级数学上册 5.1 二次根式(第1课时)导学案(无答案)湘教版(2021学年)
广西北海市八年级数学上册5．1 二次根式(第1课时）导学案(无答案）（新版)湘教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(广西北海市八年级数学上册５．1 二次根式（第1课时）导学案（无答案)（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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５.1二次根式(第１课时)一、新课导入(一)复习导入 １、４的平方根是 ；4的算术平方根是 ；２、２的平方根是 ;2的算术平方根是 ;3、０的平方根是 ;0的算术平方根是 ；4、16的算术平方根是 ;5、23= ;=2)4( 。
(二)、教学目标：(1）能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围。
（2）掌握并运用二次根式的两个基本性质：a a a a a =≥=22),0()(。
（3)培养学生由特殊到一般的数学思维能力.重点、难点1、重点:二次根式的概念以及二次根式的基本性质．2、难点:根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围。
二、预习导学预习课本Ｐ１5５说一说、例1、例2、做一做、例3、议一议,解答下列问题1、形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作2、二次根式在实数范围内有意义的条件:被开方数是 实数.3二次根式的性质： (1)=2)(a )0(≥a（２）==a a 2三、合作探究(一）二次根式的概念例1、判断下列各式:1,5,4,16,323+--x 哪些是二次根式?哪些不是?为什么?(二）确定被开方数中字母的取值范围例2、求下列二次根式中字母x 的取值范围:(1）1+x （2）x -3 (3）12+x（三)二次根式的性质例3、计算：=-2)5( =2)32(=27 =2)21(=-2)43( =-+22)5(2四、解法指导五、堂上练习:课本P157——练习1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义?(1)x -1 (2)32-x2、计算：（１）2)3(- （2）2)25(3、计算:(1)27 （２）2)3(-(3）2)43(- (4)2)01.0(-六、课堂小结七、作业(新课程P96页)１、有下列各式：①21，②x 2,③22y x +,④ 5-，⑤35。
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的混合运算教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的混合运算教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍二次根式的混合运算。
本章内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行讲解的，目的是让学生能够灵活运用二次根式的性质和运算法则进行混合运算，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，但对于二次根式的混合运算，可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次根式知识运用到实际问题中，通过具体例子的讲解，让学生理解并掌握二次根式的混合运算方法。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。
2.培养学生将二次根式知识运用到实际问题中的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。
2.难点：将二次根式知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用讲解法、例题解析法、练习法、小组合作法等教学方法，通过具体例子的讲解，让学生理解并掌握二次根式的混合运算方法，再通过练习和小组合作，巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学素材（例题、练习题等）。
3.粉笔、黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次根式的混合运算，激发学生的学习兴趣。
示例：某工厂生产一批产品，其中正品率为90%，次品率为10%。
现在有一批产品中有3个次品，问这批产品共有多少个？2.呈现（10分钟）讲解二次根式的混合运算方法，让学生理解并掌握。
示例：计算以下二次根式的混合运算：（1）( + 2)（2）( - 3 + 4)（3）( )3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的混合运算练习，巩固所学知识。
（1）计算以下二次根式的混合运算：( + 2 - 3 + 4)( 2)（2）某学校进行一次数学竞赛，共有100名学生参加。
其中八年级学生占60%，九年级学生占40%。
新湘教版数学八年级上册小节学案：第5单元 二次根式(无答案)
新湘教版八年级数学上册导学案：《二次根式》小结与复习学习目标：1.通过对本章知识的回顾与小结，形成系统的知识结构。
2.熟练掌握二次根式的化简及二次根式的概念和性质的应用。
重点：二次根式性质的应用及其混合运算。
教学过程：学一学：阅读教材P151小结与复习，补全知识结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=⎩⎨⎧<≥==≥=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥乘法公式仍适用，多项式的运算法则及混合运算：实数运算律相加减，再把被开方数相同的加减：先除法：乘法：运算（二次根式的性质的式子形如二次根式的概念二次根式_______)0,0_______()0,0_________(________)(_______,)0,0_________()0______()0______()0())0(0)0______(22b a b a b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a a 补充：1.最简二次根式必须满足的两个条件是：⑴________________________________________________;⑵______________________________________________.2.在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：移到根号外的数必须是__________).3.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_______.3.二次根式的和相乘，类似于____的乘法运算，注意利用乘法公式。
课堂展示：一、填空：1.式子：21、42-x 、39、4、a 6、2x 中，是二次根式的有_ .2.要使二次根式42-x 有意义，那么x 的取值范围是_______.3.化简：48=_____；321=_______， 38x =_____。
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
其中，课题二次根式的除法是本章的重要内容。
通过本节课的学习，学生需要掌握二次根式除法的运算方法，并能灵活运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和加减法运算。
但学生在进行二次根式除法运算时，容易混淆概念和运算规则，对分母中含有未知数的情况处理不够灵活。
因此，在教学过程中，需要引导学生清晰地理解二次根式除法的运算规则，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式除法的运算规则，并能熟练进行二次根式除法运算。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：二次根式除法的运算规则。
2.难点：分母中含有未知数时的二次根式除法运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次根式除法的实际意义。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究二次根式除法的运算规则。
3.引导发现法：教师引导学生发现二次根式除法的运算规律，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式除法的运算过程。
2.练习题：准备相应的练习题，巩固学生对二次根式除法的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，如计算一个物体在空气中上升的高度，引入二次根式除法的学习。
提问：如何计算这个物体上升的高度？引发学生思考，引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）教师展示课件，介绍二次根式除法的运算规则。
通过举例，讲解二次根式除法的运算过程，让学生直观地理解二次根式除法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探究二次根式除法的运算规则。
教师巡回指导，解答学生的问题。
八年级数学上册 第5章 二次根式章末复习教案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年级上册数学教案
第5章二次根式【知识与技能】1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值X围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.【过程与方法】经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.【情感态度】通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值X围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数X围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m m能取的最小整数值是（B）31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.。
(湘教版)八年级数学上册教案：第五章课题 二次根式的除法
课题二次根式的除法【学习目标】1．掌握二次根式除法法则．2．理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b>0)，能熟练进行二次根式的除法运算及化简．【学习重点】二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究．【学习难点】运用二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1．积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则分别是什么？积的算术平方根的性质；a·b＝a·b(a≥0，b≥0)．二次根式的乘法法则：a·b＝a·b(a≥0，b≥0)．2．计算：(1)3×15；(2)6×12.解：(1)原式＝3×15＝45＝35；(2)原式＝6×12＝72＝6 2.自学互研生成能力知识模块一探究商的算术平方根的性质(一)合作探究教材P162“动脑筋”．(1)49＝23，49＝23；(2)1649＝47，1649＝47．观察上面的式子，将得的结论用字母表示为ba＝ba(a>0，b≥0)．利用这个等式可以化简二次根式．知识链接：最简二次根式的条件是：(1)被开方数中不含开得尽方的因数；(2)被开方数中不含分母．行为提示：这一类题可以让学生展示时多出几个仿例进行巩固．方法指导：从两个方面考虑x 的取值范围．一是被开方数是非负数；二是分母不能为零．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．(二)自主学习教材P 163例4. 化简下列二次根式 (1)2516；(2)92；(3)162169. 解：(1)原式＝2516＝54； (2)原式＝92＝322； (3)原式＝162169＝9213. 知识模块二二次根式的除法法则的探究与运用(一)自主学习认真阅读教材P 164例5，注意计算过程(二)合作探究通过例5的计算理解由b a ＝b a (a>0，b ≥0)反过来可得：b a ＝b a(a>0，b ≥0)． 结论：二次根式相除，先把被开方数相除，再把所得的商化简．1．计算下列各题(1)273；(2)315÷5；(3)24×12÷2. 解：(1)原式＝273＝9＝3； (2)原式＝3155＝3155＝33； (3)原式＝24×12÷2＝12×2×12÷2＝122＝12.2．若x x －2＝x x －2成立，则x 的取值范围是x>2． 知识模块三二次根式除法的应用自主学习阅读教材P164例6，进一步理解二次根式的除法运算．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究商的算术平方根的性质知识模块二二次根式的除法法则的探究与运用知识模块三二次根式除法的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的混合运算学案新版湘教版
课题二次根式的混合运算学习目标1．理解二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在根式的运算中仍然适用．2．会进行二次根式的混合运算．学习重点二次根式的运算顺序．学习难点二次根式的混合运算在实际中的运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识链接：(1)实数、整式混合运算的顺序；(2)整式的乘法公式．情景导入生成问题知识回顾：计算下列各题 (1)48＝43；(2)5×10＝52；(3)46÷23＝22；(4)27＋12＝53；(5)27－12＝3．自学互研生成能力知识模块一仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算(一)合作探究教材P 169“动脑筋”．归纳：二次根式的混合运算是根据有理数的运算律进行的．(二)自主学习1．自主教材P 170例3.2．计算下列各题．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋1412÷27； (2)8－2(2＋2)；(3)(2＋3)(2＋5)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋123÷33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋123÷33＝32； (2)原式＝22－2－22＝－2；(3)原式＝2＋52＋32＋15＝17＋8 2.注意：(1)利用乘法分配律进行计算；(2)计算过程要注意符号的变化；(3)最后结果要化成最简二次根式．注意：最后的结果分母中不能含有二次根式．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．知识模块二仿照乘法公式进行二次根式的计算(一)自主学习阅读教材P170例4并与有理数的乘法公式运算进行比较．(二)合作探究已知：a＝3－1，求a3＋2a2＋a的值．解：a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a＋1)＝a(a＋1)2当a＝3－1时，原式＝(3－1)(3－1＋1)2＝(3－1)·3＝33－3.知识模块三仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算自主学习阅读教材P171例5进一步理解二次根式的运算．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算知识模块二仿照乘法公式进行二次根式的计算知识模块三仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________。
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的概念及性质教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的概念及性质教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的概念及性质。
这一章节的内容是学生学习二次根式的基础，对于后续学习二次根式的运算和应用具有重要意义。
教材从实际问题出发，引导学生认识二次根式，并探究其性质，使学生能够在理解的基础上掌握二次根式的基本概念和性质。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和推理能力。
但对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体实例和实际问题来引导学生理解和掌握。
同时，学生对于数学概念的理解往往需要从具体到抽象的过程，因此在教学过程中，需要注重从实际问题出发，引导学生逐步抽象出二次根式的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够运用二次根式的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念的理解。
2.二次根式的性质的掌握和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引出二次根式，使学生能够在具体的情境中理解和掌握二次根式。
2.引导发现法：引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次根式的性质。
3.巩固练习法：通过大量的练习，使学生熟练掌握二次根式的概念和性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示二次根式的概念和性质。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如：一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
引导学生思考如何表示这个对角线的长度，从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，并用PPT展示一些二次根式的例子。
引导学生观察和分析这些例子，发现二次根式的共同特点，从而归纳出二次根式的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，互相出题，运用二次根式的性质进行解答。
新湘教版八年级数学上册导学案：5.2二次根式的乘法和除法
新湘教版八年级数学上册导学案：5.2二次根式的乘法和除法一、学前反馈二、导入目标1. 掌握二次根式的乘法法则:).0,0(≥≥=⋅b a ab b a2. 熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
重点：理解并掌握二次根式的乘法法则。
三、自主学习学一学：预习教材P161、162的内容。
说一说：积的算术平方根的性质是什么？)0__,0__(b a b a b a ⋅=⋅把这个公式从右到左写写看：_____________=)0,0(≥≥⋅b a b a ,能当公式用吗？ 四、合作探究⑴105⨯ ⑵ 64138⨯⑶ )0,0(182≥≥⋅b a a ab议一议：1.乘法运算律和乘法公式在二次根式运算中仍然适用吗？2.二次根式的运算结果要注意什么？【归纳总结】1.二次根式的乘法法则是：)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a ，语言叙述为两个二次根式相乘，把_____________相乘，根指数不变。
2.二次根式的运算结果一定要化简，化简时，通常是先把根号下的每个数分解因数, 然后把每一个_______________去掉平方号后移到____________外。
3.乘法运算律和乘法公式在二次根式运算中仍然_______________. 学一学：阅读教材P139的“说一说”知识点一： 二次根式的乘法填一填：⑴在Rt ΔAEM 中，∠A=︒90，AE=21AB=621,AM=21_____=_______则斜边ME=22AM AE +=__________.L ENFM 菱形=4ME=_____________. ⑵因为:MN______AB=6㎝; EF_____BC=3所以：S ENFM 菱形=21MN·EF=21AB·BC=3621⨯=______________.1.下列计算错误的是（ ）A.2173=⨯B.14278=⨯C.562332=⨯D.342232=⨯⨯ 2.计算下列各题,其中0,0≥≥b a 。
八年级数学上册5.1二次根式导学案(无答案)(新版)湘教版
二次根式一、学前反馈二、导入目标1. 了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2. 掌握二次根式有意义的条件。
3. 掌握二次根式的基本性质：a ≥0（a ≥0）和(a )2=a (a ≥0).和a a =2重点：理解并掌握二次根式有意义的条件。
三、自主学习学一学：自主预习教材P156~P157的内容，完成下面各题。
试一试：1. 每一个正实数a 有且只有_______个平方根，其中一个平方根是_______,记作_______,称它为a 的算术平方根,另一个平方根是_________。
2. 0的平方根是_________，记作0，0=_________。
3. 我们把形如________(a ≥0)的式子叫做二次根式。
4. 二次根式a 有意义的条件是__________，a 是一个_________数。
四、合作探究 选一选：已知各式：①12+a , ②3-x , ③a , ④b (b ≥0), ⑤2)1(-x ⑥42-x (x ≥2),⑦ 5, ⑧x2(x >0);是二次根式的有______________________.议一议：当x 是怎样的实数时，二次根式2-x 在实数范围内有意义？【归纳总结】1.形如_________)0(≥a 的式子叫做二次根式。
“”称为___________，“”下的数叫做______________。
2.二次根式的两个要求：⑴必须含有___________，即根指数为_______；⑵在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是____________。
3.二次根式有意义的条件：由算术平方根的意义可知，当a ≥0时，a 有意义，是二次根式。
所以要使二次根式有意义，只要使____________为非负数。
填一填：1.2)(a =_______)0(≥a ,利用这个性质可以求二次根式的平方，如2)5(=________; 2)22(=_______⨯2)2(=____________. 2.教材P131做一做内容。
最新湘教版八年级数学上册 第5章 二次根式 教案教学设计(含教学反思)
第5章二次根式5.1 二次根式 (1)第1课时二次根式的概念及性质 (1)第2课时二次根式的化简 (4)5.2 二次根式的乘法和除法 (8)第1课时二次根式的乘法 (8)第2课时二次根式的除法 (12)5.3二次根式的加法和减法 (15)第1课时二次根式的加减运算 (15)第2课时二次根式的混合运算 (19)章末复习 (23)5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质【知识与技能】1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.【过程与方法】经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况. 二、思考探究，获取新知 1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a 的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u 与地球半径R 之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a .【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = .【归纳结论】2a =a(a ≥0)4.议一议： 当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.使式子()25x --有意义的未知数x 有（B ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 1231x x ++23x +中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值． 答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时 二次根式的化简【知识与技能】1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.【过程与方法】进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.【情感态度】通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（1）18（2）20（3）72【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.16x (x>0)2.化简26.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法【知识与技能】=≥0,b≥0).1.a b ab2.2a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.【过程与方法】通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.【情感态度】培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm2，已知2=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？=（a≥0,b≥0)a b a b··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⨯⋅⨯⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师应引导【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因为当a<0，b<0a b在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立．时，虽然ab有意义，而，3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法【知识与技能】会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.【过程与方法】经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.【情感态度】培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值. 【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算【知识与技能】1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.【过程与方法】经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.【情感态度】通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算【知识与技能】使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.【过程与方法】讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.【情感态度】培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42 m,下底宽62 m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.答案：432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习【知识与技能】1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.【过程与方法】经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.【情感态度】通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.。
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的化简教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的化简教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的化简。
这部分内容是学生在学习了实数、分数、代数等基础知识后的进一步拓展，也是后续学习二次函数、不等式等的重要基础。
教材通过实例引导学生掌握二次根式的化简方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、分数、代数等基础知识，具备一定的运算能力和逻辑思维能力。
但二次根式的化简相对于之前的学习内容来说，较为复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行变形和化简。
同时，学生可能对二次根式的概念理解不够深入，需要在教学中加以引导和巩固。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的化简方法。
2.能够灵活运用所学知识，进行二次根式的化简。
3.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念理解。
2.二次根式的化简方法的掌握。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
通过实例讲解，引导学生掌握二次根式的化简方法；通过练习和讨论，巩固所学知识，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板、粉笔等教学用具。
2.相关的练习题和讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的化简。
例如：已知一个正方形的对角线长为8，求这个正方形的面积。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念，以及二次根式的化简方法。
通过PPT展示相关的例子，引导学生理解和掌握二次根式的化简方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些二次根式的化简题目。
教师选取一些题目进行示范，然后让学生进行练习。
4.巩固（15分钟）通过一些练习题，巩固学生对二次根式的化简方法的掌握。
教师可以和学生一起讨论，解答他们在练习中遇到的问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次根式化简的更深入的问题，例如：如何判断一个二次根式是否可以化简？如何化简含有分数的二次根式？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调二次根式的化简方法。
新湘教版八年级数学上册导学案：5.3二次根式的加、减法
新湘教版八年级数学上册导学案：5.3二次根式的加、减法一、学前反馈二、导入目标1.知道二次根式加减运算首要步骤是把各个二次根式化简，然后才加减。
2.掌握二次根式加减的法则：把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。
重点：二次根式加减运算法则的形成与应用。
三、自主学习学一学：自主阅读教材P167、168的内容。
说一说：1.矩形ABCD 的面积与矩形BEFC 的面积之和与矩形AEFD 的面积有什么关系？用式子表示:=+5352（ 5)=55.2.上式中第一个等号成立的理由是：实数的运算满足乘法对加法的__________ .四、合作探究 学一学：阅读教材P145的例题，回答下列问题。
试一试：二次根式的加、减运算需要运用实数的加法_______、________，以及乘法对于加法的__________.2.27的系数是_____,23-的系数是_____,2的系数是_____,2-的系数是________.议一议：被开方数相同的二次根式的加减法容易吗？与整式加减法的合并同类项相类似吗？【归纳总结】被开方数相同的二次根式的相加减，只要将系数相______,被开方数_______.议一议：被开方数不相同的二次根式能加、减（合并）吗？学一学：教材P145中的“说一说”.记住：先________,再加、减。
填一填：⑴ 化简=85__________;125=__________;75=___________;知识点一： 被开方数相同的二次根式的加、减法知识点二：二次根式的加、减法⑵=+8523+23_______=+23_______=+23_____=(______)2=_____⑶ 755125--=_______________________=__________.【归纳总结】二次根式的加、减的运算，首先要把每个根式_______,然后再把__________相同的二次根式的______相加、减，___________不变。
八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的混合运算学案新版湘教版_
课题 二次根式的混合运算【学习目标】1．理解二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在根式的运算中仍然适用．2．会进行二次根式的混合运算．【学习重点】二次根式的运算顺序．【学习难点】二次根式的混合运算在实际中的运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识链接：(1)实数、整式混合运算的顺序；(2)整式的乘法公式．情景导入 生成问题知识回顾：计算下列各题(1)48(2)5×10(3)46÷23(4)27＋12(5)27－12自学互研 生成能力知识模块一 仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算(一)合作探究教材P 169“动脑筋”．归纳：二次根式的混合运算是根据有理数的运算律进行的．(二)自主学习1．自主教材P 170例3.2．计算下列各题．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋1412÷27； (2)8－2(2＋2)；(3)(2＋3)(2＋5)． 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋123÷33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋123÷33＝32； (2)原式＝22－2－22＝－2；(3)原式＝2＋52＋32＋15＝17＋8 2.注意：(1)利用乘法分配律进行计算；(2)计算过程要注意符号的变化；(3)最后结果要化成最简二次根式．注意：最后的结果分母中不能含有二次根式．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．知识模块二仿照乘法公式进行二次根式的计算(一)自主学习阅读教材P170例4并与有理数的乘法公式运算进行比较．(二)合作探究已知：a＝3－1，求a3＋2a2＋a的值．解：a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a＋1)＝a(a＋1)2当a＝3－1时，原式＝(3－1)(3－1＋1)2＝(3－1)·3＝33－3.知识模块三仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算自主学习阅读教材P171例5进一步理解二次根式的运算．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算知识模块二仿照乘法公式进行二次根式的计算知识模块三仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________。
新湘教版八年级数学上册导学案：5.3《二次根式的加法和减法(2)》
新湘教版八年级数学上册导学案：5.3《二次根式的加法和减法（2）》【学习目标】：1.类比实数的混合运算顺序归纳出二次根式的混合运算顺序.2.会进行二次根式的混合运算，灵活解决二次根式的综合问题.【情境导入】1、要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？（同类二次根式）(1)说出52的三个同类二次根式； (2)试举出一组同类二次根式； (3) 3+5=8正确吗?为什么?2、上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【带问自学】阅读教材第169-171页的内容，自主探究，思考：1.二次根式的混合运算类似于实数的混合运算，其运算顺序是怎样的？2.阅读例3、例4，二次根式的乘法运算类似于多项式的乘法运算，那么在例4中分别运用[来源:学§科§网Z §X §X §K]了什么乘法公式？[来源:学科网ZXXK]3.例5（1）题，除了教材给出的方法外，你还有别的方法吗？4.例5（2）题中的运算类似于我们之前学过的哪种代数式的运算？【交流质疑】根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：[来源:Z&xx&]1.选择：（1）已知132a =+，32b =-，则a 与b 的关系是( )[来源:Z+xx+] A.a b = B.0a b += C.1a b= D.1ab = （2）2与下列哪个数相乘，结果是有理数？( )A.32B.32+C.32-D.23+2.计算：（1）24)8322(⨯+ （2）)323)(232(--（3）31)31- （4）|21|)21(18)14.3(10---++--π3.计算：（1） )623)(623(--- （2） )223)(223(---+（3） 22)23()23(--+ （4） 20122013(76)(76)+-※【综合提升】先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 4.已知52+-=a ， 52--=b .（1）求a b ab ++的值.（2）求22a b - 的值. （3）求a b的值.5.先化简，再求值：2222223a b a b a a ab a ⎛⎫-+÷-+ ⎪-⎝⎭，其中65a =+，65b =-.【练习反馈】[来源:学_科_网]1.计算:（1）（2(72)- （2）()2682-÷（3）33368⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭（4）21212121+---+2.已知一个直角三角形的两直角边的长分别是35+、53-，求这个直角三角形的周长与面积.[来源:学科网ZXXK]3.若三角形的面积是12，一边长是21-，求该边所对应的高长是多少？[来源:学+科+网Z+X+X+K]※4.解方程：()()31221x x +=-.※5. 12233499100+++++。
湘教版八年级上册第5章二次根式复习导学案无答案
学习目标：1.巩固理解二次根式概念。
2.巩固理解二次根式的性质。
3.巩固理解二次根式的运算法则。
4.较熟练地运用二次根式知识正确解题，提高分析问题与解决问题能力。
5.学会复习,发展观察、分析、发现问题的能力。
【理解概念】1.形如____(a ≥0)的式子叫作二次根式。
2.二次根式有意义的条件：被开方数为 。
3.最简二次根式：(1)被开方数不含 ；(2)被开方数不含 .4.化简为最二次根式后被开方数相同的二次根式叫做__________________.【理解性质】1.具有双重非负性：(1)a _____0,(2)a_____0。
2. (a )2=_______.3.2a =_____=⎩⎨⎧).0__________(),0_________(a a 4.ab =a • b (a___0,b____0), 5.ab =_________ .(a___0,b____0),【运算法则】 1. a •b=ab ,用语言叙述为：两个二次根式相乘，仍得二次根式，把_________________。
2.=b a, 用语言叙述为：两个二次根式相除，仍得二次根式，把_________________。
3.二次根式的加法和减法运算要：先_______________________；再合并被开方数相同的二次根式.4.二次根式的混合运算顺序是：先算_____，再算_____，最后算______，如果有括号，先算括号里面的.【基础练习】1.在①2,②π,③||x ,④1-x ,⑤12+m ,⑥38-,⑦35.0,⑧122++x x ，⑨12+x 中二次根式有___________________________.2..若3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____________.3.计算：(1)_____,.916=+(2)______,1227=- (3)_____,312=⨯(4)____28=÷【提升练习】1.目前我们主要遇到三种非负数：|a |≥0，a 2≥0, ___≥0，如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的方法。
秋八年级数学上册 第五章 二次根式 课题 二次根式的乘法学案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年
课题二次根式的乘法【学习目标】1．掌握二次根式乘法法则．2．熟练运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)进行乘法运算．【学习重点】理解并掌握二次根式的乘法法则．【学习难点】二次根式的乘法法则运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识：最简二次根式的条件是：(1)被开方数中不含开得尽方的因数；(2)被开方数中不含分母．注意：(1)应把被开方数分解成两个数的乘积形式；(2)两个数中一个能开得尽方，一个完全开不出来．(3)n就是这个开不尽方的因数．情景导入生成问题知识回顾：1．积的算术平方根的性质：a·b＝a·b(a≥0，b≥0)．2．计算或化简：(1)2×8＝4；(2)5×10＝52；(3)13×9 (4)0.4×3.6＝．自学互研 生成能力知识模块一 探究二次根式的乘法运算法则(一)合作探究教材P 161“说一说”．我们把a ·b ＝a ·b (a≥0，b ≥0)式，可以进行二次根式的乘法运算．讨论如何计算232·38？解：232·38＝2×3×32×8＝6256＝96. (二)自主学习 计算下列各题：(1)3×15；(2)6×12；(3)22×210×5；(4)8×(－18)； (5)5ab ·(－4a 3b (a≥0，b ≥0)． 解：(1)原式＝3×15＝45＝35；(2)原式＝6×12＝72＝62； (3)原式＝2×2×2×10×5＝4100＝40；(4)原式＝－8×18＝－4×2×2×9＝－42×32＝－12；(5)原式＝5×(－4)×a·a 3·b ·b ＝－20a 2b.知识模块二 二次根式的乘法的运用(一)自主学习认真阅读教材P 162例3，分析二次根式的乘法是怎样在实际问题中运用的？(二)合作探究1．一个直角三角形的两条直角边分别为a ＝23cm ，b ＝36cm ，那么这个直角三角形的面积为2.2．已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是( C)A．3B．5C．15D．25行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究二次根式的乘法运算法则知识模块一二次根式的乘法的运用课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________________________________。
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新湘教版八年级数学上册导学案：第五章 二次根式5.1.1二次根式的概念及性质学习目标：1.会确定二次根式里被开方数中字母的取值范围;2.进行二次根式的化简及计算。
课前小测1.6的平方根是 ；0的平方根是 ；正实数a 的平方根是 ．2.计算： 16＝ ， －9＝ ， ±491＝ ，04.0＝ ， ±25.0＝ ，2)8(-＝ ．观察上面几个式子的特点，总结它们的被开方数都 ．自主学习1.我们把形如 （a ≥０）的式子叫作二次根式，根号下的数叫作 ．实际上是一个非负的实数a 的算术平方根的表达式． 同学们应注意：二次根式的概念有两个要点：（１）一是从形式上看，应含有 ，(2)二是被开方数的取值范围有限制，被开方数a 必须是 ．例如：2-是二次根式吗？2)2(-呢？ ． 2.计算：（7）2＝ ， （3.0）2＝ ， （31）2＝ ， （23）2＝ ． 根据计算结果，你能得出结论：（a ）2＝ ．（其中a ０.）3.计算：（1）23＝ ， （2）2)32(＝ ，（3）23.1＝ ， （4）2)5(-＝ ．（5）2)31(-＝ ， （6）2)6.4(-＝ ．由（1）（2）（3）小题，你能得出结论：2a ＝ ，（a 0).由（4）（5）（6）小题，你能得出结论：2a ＝ ，（a 0).基础演练1.当X 取何值时，下列二次根式有意义？ （1）13-x （2）21-x2.计算：（1）－（3)2 （2）（51）2（3） （２5)23.化简下列各式：（1）28 （2）2)71( （3）2)6(- （4）2)54(-拓展延伸1.化简：2)14.3(π-＝ ，2.若x <2，则2)2(-x ＝ .当堂检测1.化简：(1)27= (2)2)35(= (3) 2)23(-=(4)2)431(-= （5）-2)2(-= (6)(27)2=课后反思：5.1.2二次根式的化简学习目标：1.知道最简二次根式的概念；2.会利用二次根式的性质熟练地进行二次根式的化简及计算。
课前小测1.计算：（1）（52)2＝ ； （2）（－35)2＝ ； （3）26＝ ； （4）－2)(π-＝ .自主学习1.完成下列各式，你能发现什么规律吗？ （1）94⨯＝ ； 4×9＝ ；（2）169⨯＝ ；9×16＝ .问题1：观察上面的结果你得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a,b 有限制条件吗？归纳：公式： ． 文字表达：积的算术平方根等于 ． 2.化简：8149⨯＝ × ＝ ；322⨯＝ × ＝ ．注意：化简二次根式时，首先把根号下的 挑出来，然后根据积的算术平方根的性质b a ⋅=a b ⋅(0,0≥≥b a )和公式2a ＝a （a ≥０），就可以把根号下的 去掉平方号后移到 外面． 3.化简：31＝ ＝ ＝ ．54＝ ＝ ＝ ． 从2，3题可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点： (1)被开方数中不含 的因数（或因式）；(2)被开方数不含 ．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作 ．基础演练1.化简下列二次根式：(1)72 （2）0.160.25⨯ （3）2(2)6-⨯2.化简下列二次根式： (1)1627 （2）75.0 （3）－412拓展延伸1.化简下列各题．(1)32x (2)228n m （m>0,n>0)当堂检测1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51B.5.0C.5D.50 2.等式)2(-a a ＝a ×2-a 成立的条件是 ． 3.化简：（1）12＝ ． （2）306⨯＝ ． （3）27＝ ． （4）98＝ ．（5）2294⨯＝ . （6）221020-＝ ．课后反思：5.2.1二次根式的乘法学习目标：1.记住二次根式的乘法法则；2.能熟练地应用二次根式的乘法法则进行计算.课前小测1.化简下列各式： (1)32 （2) 8116⨯ （3）427 （4）52自主学习1.二次根式的乘法法则是：a b ⋅＝ （a ≥0,b ≥0),语言叙述为：两个二次根式相乘，把 相乘， 不变．2.计算：（1）7×3＝ ＝ ， （2）105⨯＝ ＝ ， （3）2731⨯＝ ＝ ， （4）26⨯＝ ＝ ． 3.计算：（1）4554⨯＝ ＝ ， （2）2432⨯＝ ＝ ， （3）218⨯＝ ＝ ， （4）8523⨯＝ ＝ ．基础演练1.计算:(1) 818⨯ (2)51125⨯2.计算：（1）21238⨯ （2）5)218(2-⨯拓展延伸1.计算： (1)22163⨯⨯ （2）)1021(32531-⨯⨯当堂检测1.已知长方形的长是6，宽是2，则该长方形的面积是（ ） A.8 B.3 C.12 D.232.计算53×102的结果应该是（ ）A.300B.230C.560D.300 3.28a a ⋅a ≥0)的结果是 ．4.一个长方体的长，宽，高分别是5，2，10，求它的体积是多少？课后反思：5.2.2二次根式的除法学习目标：1.记住二次根式的除法法则及相关性质；2.能熟练地进行二次根式的除法运算.课前小测1.计算： (1)14441⨯ （2）－03.027.0⨯自主学习1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？ (1)94= , 94= ； (2)2516= , 2516= . 总结：商的算术平方根性质：ab ＝ （a>０，b ≥0) ① 把公式①从右至左看就可得到：ab ＝ ．（a>0,b ≥0)利用上述公式，可以进行二次根式的除法运算．总结：二次根式的除法法则为： （ ） 2.化简或计算：413＝ ， 1080＝ ，575÷＝ ，1079035÷＝ ．基础演练1.化简下列二次根式： (1)645（2）5162.计算：（1）654÷ （2）63422拓展延伸计算：（1）621218÷⨯ （2）5232232⨯÷当堂检测1.化简22405的结果是（ ）A.2025 B.55 C.525 D.5452.计算：8185⨯÷的结果是（ ）A.5B.52C.85D.553.计算： 1124÷14832÷⨯课后反思：5.3.1二次根式的加法和减法学习目标：1.知道同类二次根式的概念；2.能熟练地进行二次根式的加减法运算，及加减混合运算.课前小测1.计算：（1）822332÷⨯ （2）323113÷自主学习1.计算：（1）5452+＝（ ＋ ）5＝ ， （2）2326-＝（ - ）2＝ ．2.312-＝ ＋ （化成最简二次根式）＝ （分配律） ＝ ．小结：在进行二次根式的加减运算时，应先将每个二次根式 ，然后再将被开方数相同的二次根式的 相加减，但 不变． 3.计算：(1) －3334+ （2）483122+(3)28- （4）818-注意：二次根式的加减与合并同类项类似．基础演练1.计算：（1）18825-+ （2）485127189+-（3）341227-+ （4）a a a 94-+拓展延伸1.计算:()23122()8233+-+ )728053(202+--2.要用钢丝制成面积分别为２cm 2,8cm 2,72cm 2的三个正方形，求所用钢丝的总长度．当堂检测1.下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）A.12与72B.63与78C.38x 与x 22D.18与6 2.在二次根式①45,②18,③75,④8,⑤32中，化成最简二次根式后，与3的被开方数相同的有 ．（填序号） 3.若x －27＝3，则x 的值为 ． 4.计算：(1) 497175483+- （2）5.01812--课后反思：5.3.2二次根式的混合运算学习目标：1.能熟练地进行二次根式的混合运算,2正确的使用运算律，简化计算.课前小测1.二次根式的乘法法则：a ⨯b = （a ≥0,b ≥0).2.二次根式除法法则：b a = (a ≥0,b>0).3.二次根式的加减法法则：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并4.填空：（1）（a ）2= （2）（a+b)(a-b)=（3）(a ±b)2= （4）2⨯6=自主学习例：计算： (1))23(6+⨯ （2）（2+32）（1-2） 解：原式=6⨯3+6⨯2 解：原式=2-22+32-6 =36⨯+ ==(3))32)(32(-+ （4） 2)37(-解：原式=()22-()23 解：原式= == =基础演练 1.计算：3)272483(÷- )32(312-÷-本题用了哪条运算定律？ 本题用了哪个乘法公式 在二次根式乘法中，多项式乘法法则仍然成立)35)(35(+- 1110(25)(25)+⋅-拓展延伸 1.如果梯形上、下底分别为22，43，高为6，则梯形的面积是多少？2.已知：a =3+2，b =3-2，求a 2-ab+b 2的值 解：当a =3+2，b =3-2时原式=【当堂检测】)212(8-⨯ 311824⨯-)15()15(2++- 241221348+⨯-÷梯形面积公式：S=21(a+b)h 想想本题有几种方法解决？课后反思：。