2019-2020第二学期北京海淀高三期中数学数学答案

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②令 f '(x) 0 ，得 x 0 .
此时 f (x) ， f (x) 随 x 的变化如下：
x
( ,0)
0
(0, )
f (x)
0
f (x)
↘
极小值
↗
可知 f (x)min f 0 1，函数 f (x) 的最小值为 1.
（Ⅱ）由题意可知， x （0,). 令 g(x) ex ax lnx 1，则 g '(x) ex 1 a ． x
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结 论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.
（19）解：（Ⅰ）①当 a 1 时， f (x) ex x ，则 f (x) ex 1 ． 所以 f '(0) 0. 又 f (0) 1， 所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 1
如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 B xyz .
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则 B(0,0,0) ， E( 1 , 3,1) ， C(1,0,0) . 2
BC
(1,
0,
0)
，
BE
(
1 2
,
3,1) .
设平面 BCE 的法向量为 n (x, y, z) ，
n BC 0, 则
n BE 0.
4 1
.
所以
xM
=
8k 2 4k 2
2 1
，
yM
=
4k 4k 2
1
.
即
M
8Baidu Nhomakorabea 2 (
2
,
4k
).
4k2 1 4k2 1
因为 x [ , ] ,所以 2x+ [ 3 , 7] .
26
4 4 12
所以 1 sin（2x ) 1. 4
所以 1 2 f (x) 1 2 .
当 2x = 时，即 x= 3π 时，
42
8
f (x) 在 [ , ] 取得最小值1 2 . 26
选择条件②.
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x 0,
即
1 2
x
3y z 0.
令 y 3 则 x 0 ， z 3 ,
所以 n (0, 3,3) . 又因为平面 ABC 的法向量为 m (0,1,0) ， 所以 cos m, n m n 1 .
| m || n | 2
由题知二面角 A BC E 为锐角，所以其大小为 .
题号
11
12
13
7
8
D
C
14
9
10
A
B
15
答案
x 1
24
0
4 2，2 6
①②
注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其 他得 3 分。
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：（Ⅰ）因为 AB 平面 BB1C1C ， C1B 平面 BB1C1C
3
（17）解：（Ⅰ） f (0) 2cos2 0 sin 0 2 .
（Ⅱ）选择条件①. f (x) 的一个周期为 π . f (x) 2cos2 x sin 2x
(cos 2x 1) sin 2x
2( 2 sin 2x 2 cos 2x) 1
2
2
2 sin（2x ) 1 . 4
海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
题号
1
2
3
4
5
6
答案 A
B
B
D
C
C
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
由（Ⅰ）中可知 ex x 1，故 ex 1 x ．
因为 a （ 2,0)，
则 g '(x) ex 1 a x 1 1 a
x
x
2 x 1 a 1 3 a 0． x
所以函数 g(x) 在区间 (0,) 上单调递增．
因为 g(1)
1
ee
a
1
2 e2
2 0,
e
e
又因为 g(e) ee ae e2 2e 0 ，
所以 g(x) 有唯一的一个零点. 即函数 y f (x) 与 y 1 ln x 有且只有一个交点.
（20）解：（Ⅰ）由题
aacb
3， 2 2，
a2 b2 c2.
解得
a b
2， 1.
所以椭圆方程为 x2 y2 1 . 4
（II）解法 1
证明：设直线
A2 M
方程为
y k(x 2)(k
0且k
所以 AB C1B .
在△ BCC1 中， BC 1, BC1 3 , CC1 2 ,
所以 BC2 BC12 CC12 .
所以 CB C1B .
因为 AB BC B , AB, BC 平面 ABC ，
所以 C1B 平面 ABC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， AB C1B , BC C1B , AB BC ,
（18）解：（Ⅰ）设事件 A 为“从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，研发投入占当年总
营收的百分比超过 10%”，从 2010 年至 2019 年一共 10 年，其中研发投入
占当年总营收的百分比超过 10%有 9 年，
所以 P( A) 9 . 10
（Ⅱ）由图表信息，从 2010 年至 2019 年 10 年中有 5 年研发投入超过 500 亿元，
f (x) 的一个周期为 2π . f (x) 2cos2 x sin x
2(1 sin2 x) sin x
2(sin x 1)2 17 . 48
因为 x [ , ] ,所以 sin x [1, 1] .
26
2
所以 当 sin x= 1时，即 x= π 时， 2
f (x) 在 [ , ] 取得最小值 1 . 26
1) ，直线 2
A1B
方程为
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y 1 x 1 2
由
y y
k(x 1x 2
2), 1.
解得点
P( 4k 2k
2 1
,
4k 2k
) 1
.
y k(x 2)，
由
x
2
4
y2
1.
得 (4k 1)x2
16k 2 x 16k 2
40，
则
2
xM
=
16k 2 4k 2
所以 X 的所有可能取值为 0 ,1 , 2 .
且 P(X
0)
C52 C120
= 2 ； P(X 9
1)
C15C15 C120
= 5 ； P(X 9
2)
C52 C120
=2 9
.
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
2
5
2
P
9
9
9
故 X 的期望 E(X ) 0 2 1 5 2 2 1． 99 9