山东省淄博市高一上期末数学试卷

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2023届山东省淄博市部分学校数学高一上期末复习检测试题含解析

（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；
（3）求的最小值.
21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，点D，E分别为AB，AC的中点．求证：
（1）DE∥平面PBC；
（2）CD⊥平面PAB
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
【详解】∵ ，，∴ ，
∴ ，
即对任意的，都存在，使恒成立，
∴有 .
当时，显然不等式恒成立；
当时，，解得；
当时，，此时不成立.
综上， .
故答案为： .
13、2
【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以
考点：向量的坐标运算与向量夹角
14、
【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得 .
6．设全集U=N*，集合A={1，2，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）
A. B. 4，
C. D. 3，
7．若点在角的终边上，则（）
A. B.
C. D.
8．如图，正方体中，
① 与平行；
② 与垂直；
③ 与垂直
以上三个命题中，正确命题的序号是（）
A.①②B.②③
C.③D.①②③
【点睛】本题考查了直线与平面垂直、平行判定定理和直线与平面所成角的找法，证明直线与平面平行关键找出一条直线与平面内一条直线平行，直线与平面所成角的找法关键找出直线垂直平面的那条直线，建立角，解三角形，即可．
17、（1）见解析（2）增区间为，，减区间为（3）当时，；当时，

2022-2023学年山东省淄博市淄博高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

淄博四中2022级高一上学期期末线上考试数学试题一、单项选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，B ={3，4，5，6}，则（）{}14A x x =≤<A B = A. {1，3} B. {3}C. {3，4}D. {3，5}【答案】B 【解析】【分析】根据交集的概念即可求出结果.【详解】由已知可得，{3}A B ⋂=故选：B.2. 命题“”的否定形式是（）21,10∀>->x x A. B. C. D. 21,10∀>-≤x x 21,10∀≤-≤x x 21,10∃≤-≤x x 21,10∃>-≤x x 【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.【详解】命题“”的否定形式是 “”，21,10∀>->x x 21,10∃>-≤x x 故选：D3. 已知幂函数图象过点，则()f x (()9f =A. 3B. 9C. -3D. 1【答案】A 【解析】【详解】设幂函数f （x ）=x α，把点（3）代入得，3α，解得α=，12即f （x ）=，所以f （9），故选A ．12x 4. 函数的零点是（）()234f x x x =--A. 1，-4 B. 4，-1C. 1，3D. 不存在【答案】B【分析】令，根据函数的零点与方程的根的关系，解之即可求解.()2340f x x x =--=【详解】令，也即，()2340f x x x =--=(1)(4)0x x +-=解得：或，所以函数的零点为，4x ==1x -2()34f x x x =--4,-1故选：.B 5. 函数，其中，则函数的值域为（）3log y x =1813x ≤≤A.B. C.D.()0,∞+1,813⎛⎫⎪⎝⎭[]1,4-()1,4【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案.【详解】，1433331log log 31,log 81log 343-==-==在上递增，3log y x =1,813⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以.[]1,4y ∈-故选：C 6. 函数的零点所在区间为（）()2ln 6x f x x =+-A.B.C.D.()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】C 【解析】【分析】结合的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.()f x 【详解】在上递增，()f x ()0,∞+，()332ln 33ln 9ln 0f e =-=-<，()()()42ln 422ln 412ln 4ln 0f e =-=-=->，所以的唯一零点在区间.()()340f f ⋅<()f x ()3,47. 函数的值域是（）()213y x x x =+-≤≤A.B. C. D. []0,121,124éù-êúêúëû1,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域.【详解】令，配方得,2()f x x x =+()211()1324f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝≤≤⎭∴函数在上单调递减，在单调递增，()f x 11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又，∴，，(1)0,(3)12f f -==max()(3)12f x f ==min 11()()24f x f =-=-故函数的值域是，()f x 1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题.8. 已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c<a=0.3000.20.21,<<=01,c a c b<<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．9. 函数的图像大致是log (1)(01)a y x a =-<<A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】依题意，，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.01a <<log a y x =A 点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当log a y x =时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数01a <<()1,01a >()1,0()f x 的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.()f x a +10. 已知函数，若，则（）()23log ,031,0xx a x f x x +>⎧=⎨+≤⎩()15f f -=⎡⎤⎣⎦=a A. -2 B. 2C. -3D. 3【答案】B 【解析】【分析】先求出，再由得到关于的方程，从而可求的值.()1f -()15f f -=⎡⎤⎣⎦a a 【详解】，故，故，()141313f --=+=()214log 5f f a -=+=⎡⎤⎣⎦2a =故选：B.11. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A.B.1()|1|f x x =-1()1f x x =-C. D.21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B 【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得正确()01f =-选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ，()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ，0x =()01f =-()01f =故选：B.12. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦数的取值范围为（）a A.B.C.D.()0,1()0,2()0,3()1,3【答案】A 【解析】【分析】由可得或，数形结合可方程只有()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()f x a =()1f x =()1f x =解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.2y a =()y f x =3a 【详解】由可得或，()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()f x a =()1f x =当时，；当时，.0x ≤()[)21120,1x x f x =-=-∈02x <≤()2121x x f x =-=-作出函数、、的图象如下图所示：()f x 1y =y a =由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，1y =()y f x =2()1f x =2所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.()f x a=3y a =()y f x =301a <<故选：A.二、多项选择题（本题5小题，每题6分，共30分）13. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（）()0,1A. B.C.D. 12y x=()12log 1y x =+1y x =-12x y +=【答案】BC 【解析】【分析】A 选项根据幂函数的性质判断；B 选项根据对数函数图像的平移变换判断；C 选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D 选项根据指数函数图像的平移变换判断；【详解】A 选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；y x α=0α>()0+∞，B 选项:将图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题12log y x=()12log 1y x =+()+∞-1，意；C 选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在1y x =-x x x 1y x =-上单调递减，上单调递增，符合题意；()1∞-，()1+∞，D 选项：的图像由指数函数图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在12x y +=2x y =12x y +=R 上单调递增，所以不符合题意。

2019-2020学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（） A ．∅ B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．函数ln(1)y x =-的定义域为（）A ．(,0)-∞B 。

(,1)-∞C 。

(0,)+∞D 。

(1,)+∞ 【答案】B【解析】由01>-x ，得1<x ∴选B3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A ．π3B ．π6C ．-π3D ．-π6【答案】B【解析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为6π．【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转π6弧度. 故选B. 【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．4．下列函数是在(0,1)为减函数的是（） A ．lg y x = B ．2x y =C ．cos y x =D ．121=-y x 【答案】C【解析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意；指数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即[0,]x π∈上为减函数；反比例型函数，在1(,)2-∞与1(,)2+∞上分别为减函数，不满足题意；故选C. 【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键． 5．方程3log 280x x +-=的解所在区间是（）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)【答案】C【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案. 【详解】∵3()log 82f x x x =-+,∴3(1)log 18260f =-+=-<,3(2)log 2840f =-+<,3(3)log 38610f =-+=-<，3(4)log 40f =>,33(5)log 520,(6)log 640f f =+>=+>∴(3)(4)0f f ⋅<, ∵函数3()log 82f x x x =-+的图象是连续的, ∴函数()f x 的零点所在的区间是(3,4). 故选：C 【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力. 6．若点2cos,2sin66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α=（）A ．12B ．12-CD．【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】解：2cos,2sin66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Q1212sin 222sin2sinαππ-⨯∴====---故选：B 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 7．已知3sin()35x π-=，则7cos()6x π+等于( ) A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【答案】C【解析】由诱导公式化简后即可求值．【详解】7πcos x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝-π cos x 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin[26x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭]＝π3sin x 35⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．8．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①【答案】A【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值为正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足；③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2x y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A ．【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．二、多选题9．下列命题是真命题的是（）A ．若幂函数()a f x x =过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12α=-B ．(0,1)x ∃∈，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．(0,)x ∀∈+∞，1123log log x x >D ．命题“x ∃∈R ，sin cos 1x x +<”的否定是“x ∀∈R ，sin cos 1x x +≥” 【答案】BD【解析】根据幂函数的定义判断A ，结合图象判断BC ，根据特称命题的否定为全称命题可判断D . 【详解】解：对于A ：若幂函数()af x x =过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则142a骣琪=琪桫解得2α=-，故A 错误；对于B ：在同一平面直角坐标系上画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =两函数图象，如图所示由图可知(0,1)x ∃∈，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：在同一平面直角坐标系上画出13log y x =与12log y x =两函数图象，如图所示由图可知，当(0,1)x ∈时，1123log log x x>，当1x =时，1123log log x x=，当(1,)x ∈+∞时，1123log log x x<，故C 错误；对于D ：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“x ∃∈R ，sin cos 1x x +<”的否定是“x ∀∈R ，sin cos 1x x +≥”，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10．已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（） A ．,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【解析】根据所给条件，利用同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】解：1sin cos 5θθ+=Q ① ()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++= 242sin cos 25θθ∴=-(0,)θπ∈Qsin 0θ∴>，cos 0θ<,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-= 7sin cos 5θθ∴-=②①加②得4sin 5θ=①减②得3cos 5θ=- 4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--综上可得，正确的有ABD 故选：ABD 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 11．若0a b >>，则下列不等式成立的是（） A ．11a b+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+【答案】AC【解析】根据不等式的性质进行判断. 【详解】解：0a b >>Q ，由反比例函数1y x=的性质可知，11a b∴<，故A 正确； b a <Q ，且11a b<，根据不等式的同向可加性知11a b b a +>+，即C 正确，对于D ，0a b >>Q ，且11a b <，无法确定1a a+与1b b +的大小关系，当2a =，12b =时，11a b a b +=+故D 错误: 0a b >>Q0ab ∴>，()10a a +>a ab b ab ∴+>+ ()()11a b b a ∴+>+11b ba a+∴>+，故B 错误；综上可得，正确的有AC 故选：AC 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 12．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z时，0()2f x <≤【答案】CD【解析】求得()f x 的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．【详解】解：函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨>⎩„的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ππππ++剟，k Z ∈时， ()cos f x x =，当592244k x k ππππ+<+„，k Z ∈时， ()sin f x x =，可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-；当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x的最大值为()4f π=0()f x <„，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、填空题13．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________. 【答案】1；【解析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅Q222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21=1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 14．已知某扇形的半径为3，面积为3π2，那么该扇形的弧长为________. 【答案】π【解析】根据扇形面积公式可求得答案. 【详解】设该扇形的弧长为l ,由扇形的面积12S lr =,可得3π1322l =⨯,解得πl =. 故答案为π. 【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．已知0a >，且1a ≠，log 2a x =，则x a =________；22x x a a -+=_________. 【答案】2174【解析】(1)根据指对数的互化求解即可. (2)根据(1)中2x a =再求解22x x a a -+即可. 【详解】(1)由指对数的互化, log 22xa x a =⇒=(2)()()2222221117224x x x x a a a a -=+=+=+ 故答案为(1)2; (2)174【点睛】本题主要考查指对数的互化以及指数的基本运算等,属于基础题型.16．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(2,8)-.【解析】再由恒成立可得关于m 的不等式，解不等式即可. 【详解】解：1=Q44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.246x y m m +>-Q 恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈-故答案为：()2,8- 【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.四、解答题17．已知全集为R ，集合6|03x A x x -⎧⎫=∈>⎨⎬+⎩⎭R ，{}2|2(10)50B x x a x a =∈-++≤R .（1）若B A ⊆R ð，求实数a 的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B A ⊆R ð的什么条件（充分必要性）. ①[7,12)a ∈-；②(7,12]a ∈-；③(6,12]a ∈.【答案】（1）612a -≤≤（2）选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是是充分不必要条件.【解析】（1）解出集合A ，根据补集的定义求出A R ð，由B A ⊆R ð，得到关于a 的不等式，解得；（2）由（1）知B A ⊆R ð的充要条件为[6,12]a ∈-，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】解：（1）集合6|0(3)(6,)3x A x x -⎧⎫=∈>=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭R ，所以[3,6]A =-R ð，集合{}2|2(10)50{|(2)(5)0}B x x a x a x x a x =∈-++≤=∈--≤R R ，若B A ⊆R ð，且5[3,6]A ∈=-R ð，只需362a-≤≤，所以612a -≤≤.（2）由（1）可知B A ⊆R ð的充要条件是[6,12]a ∈-，选择①，[7,12)[6,12]-⊄-且[6,12][7,12)-⊄-，则结论是不充分不必要条件；选择②，[6,12]-(7,12]-，则结论是必要不充分条件；选择③，(6,12][6,12]-，则结论是充分不必要条件.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.18．已知,,a b c ∈R ，二次函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且()0f x >的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a ，b 的值；（2）若方程()7f x kx =+在(0,2)上有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）6a =-，1b =（2）(14,11)--【解析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.（2）由（1）知2()61f x x x =-++，得方程()7f x kx =+等价于方程26(1)60x k x +-+=，令2()6(1)6g x x k x =+-+，即()g x 的两个零点满足12,(0,2)x x ∈分析可得.【详解】解：（1）因为()f x 的图象经过点(0,1)，所以1c =，所以2()1f x ax bx =++，2()10f x ax bx =++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11()032f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且0a <，且1c =，得2()61f x x x =-++，故6a =-，1b =（2）由2()61f x x x =-++，得方程()7f x kx =+等价于方程26(1)60x k x +-+=，令2()6(1)6g x x k x =+-+，即()g x 的两个零点满足12,(0,2)x x ∈，所以必有(0)0(2)0102120g g k>⎧⎪>⎪⎪⎨-<<⎪⎪∆>⎪⎩，即142311311k k k k >-⎧⎪-<<⎨⎪><-⎩或，解得1411k -<<-，所以实数k 的取值范围是(14,11)-- 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题. 19．已知函数2()()4x bf x b x +=∈+R 为奇函数. （1）求b和log 22f f ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）判断并用定义证明()f x 在(0,)+∞的单调性.【答案】（1）0b =，log 202f f ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减,证明见解析【解析】（1）根据奇函数的性质，对x ∀∈R ，都有()() f x f x -=-，得到方程求出参数b的值，即可求出函数解析式，根据对数的性质可得log 2=得解. （2）利用定义法证明函数的单调性的一般步骤为：设元，作差，变形，判断符号，下结论. 【详解】解：（1）因为函数2()4x bf x x +=+为奇函数，所以对x ∀∈R ，都有()() f x f x -=-，即22()44x b x bx x -++=--++，解得0b =，所以2()4xf x x =+log22f f⎛⎫⎛⎫∴-+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f⎛=+⎝⎭⎝⎭=.（2）()f x在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.证明如下：12,(0,)x x∀∈+∞，且12x x<，有()()1212221244x xf x f xx x-=-++()()()()22122122124444x x x xx x+-+=++()()()()21122212444x x x xx x--=++因为120x x<<，所以21x x->，()()2212440x x++>当2x>时，1240x x->，()()()()21122212444x x x xx x-->++，()()12f x f x->即()()12f x f x>，此时()f x单调递减.当02x<<时，1240x x-<，()()()()21122212444x x x xx x--<++，()()12f x f x-<即()()12f x f x<，此时()f x单调递增.所以，()f x在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.【点睛】本题考查根据奇偶性求函数的解析式，定义法证明函数的单调性，属于基础题.20．已知函数()2sin124f x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）求函数()f x的最小正周期及其单调递减区间；（2）若1x，2x是函数()f x的零点，用列举法表示()12cos2x xπ+的值组成的集合.【答案】（1）最小正周期为4;单调递减区间是154,4()22k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭【解析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间.（2）首先求出函数的零点，得1x，2x是5|4,6A x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z或11|4,6B x x k k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z中的元素，再分类讨论计算可得.【详解】解：（1）()f x的最小正周期为：242Tππ==.对于函数()2sin124f x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，当322()2242k x k kππππππ+≤+≤+∈Z时，()f x单调递减，解得1544()22k x k k+≤≤+∈Z，所以函数()f x的单调递减区间是154,4()22k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）因为2sin1024xππ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即1sin242xππ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以函数()f x的零点满足：2246x kππππ+=-或2()246x k kπππππ+=++∈Z即546x k=-或114()6x k k=+∈Z所以1x，2x是5|4,6A x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z或11|4,6B x x k k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z中的元素当12,x x A∈时，()1252()26x xk kπππ+=-∈Z则()1255cos cos2cos266x xkππππ+⎛⎫=-==⎪⎝⎭当1x A∈，2x B∈（或1x B∈，2x A∈）时，()122()22x xk kπππ+=+∈Z则()12coscos 2cos 0222x x k ππππ+⎛⎫=+== ⎪⎝⎭当12,x x B ∈，()122()26x x k k πππ+=-∈Z ，则()12coscos 2cos 266x x k ππππ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭所以()12cos 2x x π+的值的集合是,0,22⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，以及函数的零点，特殊角的三角函数值，属于中档题. 21．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km 的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F （单位：L ）与速度v （单位：km /h ）（0120v ≤≤）的下列数据：为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：32()F v av bv cv =++，1()2vF v a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()log a F v k v b =+. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【答案】（1）选择函数32()F v av bv cv =++,32117()(0120)3840024024F v v v v v =-+≤≤（2）这辆车在该测试路段上以80km /h 的速度行驶时总耗油量最少【解析】（1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为[0,120]，且在[0,120]上为增函数，故选32()F v av bv cv =++，在代入数据计算可得.（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y ，行驶时间为t ，由题意得：y F t =⋅，根据二次函数的性质求出最值. 【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120]，且在[0,120]上为增函数；函数1()2vF v a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[0,120]是减函数，所以不符合题意；而函数()log a F v k v b =+的v 0≠，即定义域不可能为[0,120]，也不符合题意；所以选择函数32()F v av bv cv =++.由已知数据得：()()()22220404040365606060880808010a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解得：1384001240724a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以，32117()(0120)3840024024F v v v v v =-+≤≤（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y ，行驶时间为t ，由题意得：y F t =⋅321172403840024024v v v v ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭2170160v v =-+ 21(80)30160v =-+ 因为0120v ≤≤，所以，当80v =时，y 有最小值30.所以，这辆车在该测试路段上以80km /h 的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L . 【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题.22．已知函数()2x f x =，2()log g x x =.（1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根；（2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值.【答案】（1）证明见解析（2）72【解析】（1）因为0x 是方程3()2f x x =-的根，即00322xx =-，将02x 代入()g x 根据对数的运算性质可得. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-，设方程322t t =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，结合（1）的结论及函数的单调性可求. 【详解】解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根，所以00322x x =-，即00322x x =- ()0002032log 222x x x g x ===-所以，02x 是方程3()2g x x =-的根.（2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根.令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点，又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x+=+=【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题.。

2023-2024学年山东省淄博市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年山东省淄博市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知实数集R ，集合{}|02A x x =<<，集合{}|3B x x =≥-，则()R A B ⋂=ð（）A ．[)3,+∞B ．[]2,3C ．[][)3,02,-+∞D ．()[],02,3-∞ 【正确答案】C【分析】利用集合的补集、交集运算求解.【详解】因为{}|02A x x =<<，所以R {|0A x x =≤ð或2}x ≥，所以()R A B ⋂=ð[][)3,02,-+∞ .故选：C2．命题“x ∃∈R ，230x +≤”的否定为（）A ．x ∀∈R ，230x +>B ．x ∃∈R ，230x +>C ．x ∀∈R ，230x +≤D ．x ∃∈R ，230x +≥【正确答案】A【分析】根据存在量词的命题的否定法则判断可得.【详解】“x ∃∈R ，230x +≤”的否定为“x ∀∈R ，230x +>”故选：A ．3．如果0a b >>，且0a b +>，那么以下不等式正确的个数是（）①22a b >；②11a b <；③32a ab >；④23a b b <.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】由0a b >>知，0b <．又0a b +>，∴0a b >->，∴()22a b >-，即22a b >．又0a >，∴32a ab >，0b < ，∴23a b b <，故①正确，③正确，④也正确，又10a >，10b<，故②错误．故选：C ．4．设p ：m ≤1：q ：关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解，则p 是q 的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】B【分析】由关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解写出命题q 的等价命题，后判断命题p 与q 的关系即可.【详解】关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解()(]0,00,1440m m m ∞≠⎧⇔⇔∈-⋃⎨-≥⎩，则命题q .()(001,∪,m ⎤∈-∞⎦又p ：(],1m ∈-∞，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B5．设实数x 满足0x <，则函数1231y x x =++-的最大值是（）A ．1-B ．5+C ．1+D ．5-【正确答案】D【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值.【详解】因为0x <，所以10x ->，所以()()111232152155111y x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--++≤-⎢⎥---⎣⎦当且仅当1x =故选：D.6．若关于x 的不等式2210kx kx k +-->的解集为∅，则实数k 的取值范围是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】分0k =与0k ≠两种情况，当0k ≠时，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．【详解】当0k =时，不等式化为10,->此时不等式无解，满足题意，当0k ≠时，要满足题意，只需2Δ44(1)0k k k k <⎧⎨=---≤⎩，解得102k -£<，综上，实数k 的范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:C.7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则3131x y x y +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】A 【分析】将3131x y x y +--分离常数为112131x y ++--，由1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，可得1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，再结合基本不等式求解即可.【详解】由311311112131131131x y x y x y x y x y -+-++=+=++------，又1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，所以1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，所以()11111311311124131131311x y x y x y x y y x ⎛⎫--+=-+-+=+++≥+= ⎪------⎝⎭，当且仅当131311x y y x --=--，即32x =，12y =时，等号成立，故3131x y x y +--的最小值为6.故选：A.8．设函数的定义域是(0,1)，且满足：（1）对于任意的(0,1)x ∈，()0f x >；（2）对于任意的12,(0,1)x x ∈，恒有1122()(1)2()(1)f x f x f x f x -+≤-.则下列结论：①对于任意的(0,1)x ∈，()(1)f x f x >-；②()f x y x x=+在(0,1)上单调递减；③()f x 的图象关于直线12x =对称，其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】根据题意，令121x x =-，集合基本不等式的性质进行逐项判定，即可求解.【详解】由题意，令121x x =-，则不等式1122()(1)2()(1)f x f x f x f x -+≤-等价于2222(1)()2()(1)f x f x f x f x -+≤-，由（1）对于任意的(0,1)x ∈，()0f x >，则2222(1)()2()(1)f x f x f x f x -+≥-，所以2222(1)()2()(1)f x f x f x f x -+=-，当且仅当2222(1)()()(1)f x f x f x f x -=-，即22()(1)f x f x =-时成，此时函数()f x 关于12x =对称，所以③是正确的；令2x x =，可得()(1)f x f x =-，所以①不正确；又由1122()(1),()(1)f x f x f x f x =-=-则不等式1122()(1)2()(1)f x f x f x f x -+≤-等价与1122()()2()()f x f x f x f x +≤，可得12()1()f x f x ≤，因为对于任意的(0,1)x ∈，()0f x >，所以()()12f x f x ≤，所以()()12f x f x =恒成立，所以函数()f x 是常数函数，则()(0)f x ky x x k x x=+=+>，此时函数在单调递减，在)+∞单调递增，所以在(0,1)上不一定单调递减，所以②不正确.故选B.本题主要考查了抽象函数的应用，其中解答中合理赋值，结合基本不等式的性质求解是解答的关键，综合性强，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力.二、多选题9．以下结论正确的是（）A ．2212x x +≥B2C ．若2221a b +=，则22113a b +≥+D ．若1a b +=，则114a b+≥【正确答案】AC【分析】利用基本不等式的性质进行判断即可．【详解】对于A，2212x x +≥=，当且仅当221x x =时等号成立，故A 正确，对于B2+≥==231x +≠，故B 错误，对于C ，()222222222211112233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭21a =，222b =时等号成立，故C 正确，对于D ，当0a >，0b >，1a b +=时，()111124a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，但1a b +=，不一定0a >，0b >，故D 错误．故选：AC ．10．下列说法正确的是（）A ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点至多有1个C ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．关于x 的方程()230x m x m +-+=有一个正根，一个负根的充要条件是()0,m ∈+∞【正确答案】BC【分析】A 答案根据相等函数的概念即可判断，B 答案根据函数的定义即可判断，C 答案直接计算即可，D 答案结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可判断.【详解】对于A ，()xf x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()g x 定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误.对于B ，根据函数的定义可知，当()y f x =的定义域中含有1时，函数()y f x =的图象与直线1x =有一个交点()()1,1f .当()y f x =的定义域中不含1时，函数()y f x =的图象与直线1x =没有交点，综上所述：函数()y f x =的图象与直线1x =的交点至多有1个，故B 正确.对于C ，因为()1f x x x =--，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1012f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确.对于D ，设方程()230x m x m +-+=的正根为1x ，负根为2x ，则关于x 的方程()230x m x m +-+=有一个正根，一个负根的充要条件为：()212Δ3400m m x x m ⎧=-->⎪⎨⋅=<⎪⎩，解得0m <,故D 错误.故选：BC.11．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负“变换的函数是（）A ．()2f x x x=-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩【正确答案】BD【分析】根据中给出的“倒负”变换的函数的定义，对四个选项中的函数进行逐一的判断即可．【详解】解：对于A ，()2f x x x =-，则()2111f f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项A 错误；对于B ，1()f x x x=-，因为11()()f x f x x x =-=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项B 正确；对于C ，()1f x x x=+，因为11()()()f x f x f x x x =+=≠-，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项C 错误；对于D ，,01()0,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩，当01x <<时，11(()1f x f x x x=-=-=-，当1x =时，1()0()f f x x==-，当1x >时，111(()()f f x x x x==--=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项D 正确；故选：BD ．12．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（）A ．2B ．6C ．5D ．4【正确答案】ACD【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案.【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当0∆>时，即22a <时，1t =±，则0<≤故111<≤111≤<，当1t =()1f x =(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.三、填空题13．已知函数()325f x x x =-+在[]2,1x ∈--上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.【正确答案】3【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并检查区间的长度即精确度，直到符合要求为止．【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：取区间[2,1]--的中点121322x --==-，且32795502848f ⎛⎫-=--+=-< ⎪⎝⎭，(2)84570,(1)11530f f -=--+=-<-=--+=>所以03,12x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.取区间3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦的中点2315224x --==-，且3255550444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以035,24x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.取区间35,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦的中点353114228x --==-，且3211111150888f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0311,28x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.因为1130.282⎛⎫---< ⎪⎝⎭，所以区间311,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦的中点43112328216x --==-即为零点的近似值，即02316x ≈-，所以至少需进行3次函数值的计算.故314．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg x e +=，且对任意的[]1,2x ∈，()20x f x e m --≥恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【正确答案】(2,e -⎤-∞⎦【分析】由()()xf xg x e +=，再根据函数的奇偶性得()()x f x g x e ---=，两式联立可得()e e 2x x f x -+=，再由参变分离法得()2x xm f x e e -≤-=在[]1,2上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】函数满足()()x f x g x e +=①，所以()()xf xg x e --+-=，由函数的奇偶性可得，()()xf xg x e ---=②，由①②得，()e e 2x x f x -+=，因为对任意的[]1,2x ∈，()20xf x e m --≥恒成立，即对任意的[]1,2x ∈，()2x xm f x e e -≤-=恒成立，令()x h x e -=，则函数()x h x e -=在[]1,2上为减函数，所以2min ()(2)h x h e -==，所以2m e -≤.故(2,e -⎤-∞⎦15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】(]4,4-【分析】令23t x ax a =-+，由题设易知t 在[)2,+∞上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】由题设，令23t x ax a =-+，而2log y t =为增函数，∴要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，即t 在[)2,+∞上为增函数，∴222120aa a ⎧≤⎪⎨⎪∆=-<⎩或22212040a a a a ⎧≤⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪+>⎪⎪⎩，可得04a <≤或40a -<£，∴a 的取值范围是(]4,4-.故(]4,4-16．市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点.有下列结论：①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②函数()()e 21xf x x =+-仅有一个不动点③当312a ≤≤时，函数()()12log 421x x f x a =-⋅+在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点上述结论正确的是___________.【正确答案】②③【分析】对于①举反例，对于②研究函数()()g x f x x =-的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究()f x x =与()f x x =-分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.【详解】对于①，取函数()()2,00,0f x x f ==既是()f x 的不动点，又是()f x 的次不动点，故①错误，对于②，()()e 21xf x x x =+-=，令()e 2xg x x =+-，易知()g x 为R 上的增函数，又()()010e 020,1e 120,g g =+-<=+->由零点存在性定理得()g x 在区间()0,1存在唯一的零点，故②正确；对于③，当()12log 421x x a x -⋅+=时14212x xx a ∴-⋅+=，即211222x x x a =+-.令[]2112,1,2,x t t a t t t=∈∴=+-在区间[1，2]上单调递增，故211222xx x a =+-在[]0,1上单调递增，满足()12log 421x xa x -⋅+=有唯一解，则914a ≤≤.当()12log 421x xa x -⋅+=-时，4212x x x a ∴-⋅+=，即1212xxa =+-.令[]12,1,2,1x t t a t t=∈∴=+-在区间[]1,2上单调递增，故1212xx a =+-在[]0,1上单调递增，满足()12log 421x x a x -⋅+=-有唯一解，则312a ≤≤.综上312a ≤≤.故③正确；故②③.四、解答题17．（1）计算：112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）设45100a b ==，求122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（1）4；（2）2．【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；（2）通过换底公式可得100411log 4log 100a ==，100511log 5log 100b ==，进而可得解.【详解】（1）原式11332025354(lg5)149433-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）∵4100a =，∴4log 100a =．同理可得，5log 100b =，则100411log 4log 100a ==，100511log 5log 100b ==，∴()210010010010012log 42log 5log 45log 1001a b+=+=⨯==．∴1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．18．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数,()()f x f x ∴-=，即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，121,22x x x y ≥=+在[0,)+∞单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0∞-上单调递减，()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,∞∞--⋃+。

2020-2021学年淄博市高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年淄博市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知集合M ={x|lgx <1}，N ={x|−3x 2+5x +12<0}，则下列正确的是( )A. N ⊆MB. ∁R N ⊆MC. M ∩N =(3,10)∪(−∞,−43)D. M ∩(∁R N)=(0,3]2.若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面展开图(扇形)的圆心角是( )A. 90°B. 180°C. 120°D. 60°3.设g(x)为定义在R 上的奇函数，且g(x)不恒为0，若f(x)=(1a x −1−1b )g(x)(a >0且a ≠1)为偶函数，则常数b =( )A. −2B. 2C. 12D. −124.已知函数f(x)=ax −sinx 在区间(−π2,π2)上有且仅有一个零点，则a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≥1或a ≤2πC. a >1或a ≤0D. a <2π5.已知S ={y|y =2x }，T ={x|y =lg(x −1)}，则S ∩T =( )A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)6.已知函数f(x)=2x +2a−x 的图象关于直线x =1对称，若g(x)={|log a x|,0<x ≤46−x,4<x ≤6，且x 1<x 2<x 3，g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)，则x 1x 2x 3的取值范围为( )A. (0,2)B. (0,4)C. (4,6)D. (4,6]7.若正实数x ，y 满足43x+1+6y+4=1，则xy 的最小值是( )A. 9B. 12C. 15D. 188.已知函数f(x)={2x , x >0 −2−x , x <0 那么该函数是( )A. 奇函数，且在定义域内单调递减B. 奇函数，且在定义域内单调递增C. 非奇非偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D. 偶函数，且在(0,+∞)上单调递增二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)=|1−2sin2x|，下列结论正确的是( )A. f(x)的最小正周期为πB. 函数y =f(x)的图象关于直线x =−π4对称 C. 函数y =f(x)在(π4,5π12)上单调递增 D. 方程f(x)=1在[−π,π]上有7个不同的实根10. 已知sinθcosθ=12,π2<θ<2π，则( )A. θ的终边在第三象限B. sinθ+cosθ=√2C. sinθ−cosθ=0D. tanθ=−111. 设a ，b ，c ∈R ，a e −bC. ac 2<bc 2D. 1a >1b12. 设a >0，b >0，a +2b =1，则( )A. ab 的最大值为18 B. a 2+4b 2的最小值为12 C. 1a +2b 的最小值为8D. 2a +4b 的最小值为2√2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知函数f(x)={x +1,x ≥0x 2,x <0，则f[f(−2)]= ______ ．14. 设已知函数，正实数m ，n 满足，且，若在区间上的最大值为2，则．15. 15.已知奇函数f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，若f(m)+f(m −1)>0，则实数m 的取值范围为_____________．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =a −12c ，则角B 的大小为 (1) ；若b =1，则△ABC 的外接圆的面积为 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=x 2−kx +1，若存在α∈(0,π2)，使f(sinα)=f(cosα) (1)当k =15时，求tanα的值 (2)在(1)的成立的基础上，求2sin 2α−2sinα⋅cosα1+tanα的值．18. 已知集合A ={2,5}，B ={x|x 2+px +q =0}，A ∪B =A ，A ∩B ={5}，求p ，q 的值．19. 已知向量a ⃗ =(cosx,sinx)，b ⃗ =(1,−1)，x ∈[0,π]． (1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求x 的值；(2)设f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，若f(x)−m ≤0(m ∈R)恒成立，求m 的取值范围．20. 21.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (米)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域； (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 米，则其腰长x 应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．21. 已知不等式2x −1>m(x 2−1)．(1)若对于所有实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于m ∈[−2,2]不等式恒成立，求x 的取值范围．22. (1)计算：(214) 12−(−9.6)0−(338) −23+(1.5)−2(2)已知f(x)=log 142x −log 14x +5，x ∈[2,4]，求f(x)的最值．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵集合M={x|lgx<1}={x|0<x<10}，N={x|−3x2+5x+12<0}={x|x<−43或x>3}，∴∁R N={x|−43≤x≤3}，∴M∩(∁R N)={x|0<x≤3}=(0,3]．故选：D．先求出集合M，N，从而求出∁R N，由此能求出M∩(∁R N)．本题考查交集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集补集性质的合理运用．2.答案：B解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，∵它的轴截面是正三角形，∴R=2r，∴，解得n=180°，故选B．3.答案：A解析：解：∵g(x)为定义在R上的奇函数，且g(x)不恒为0，若f(x)=(1a x−1−1b)g(x)(a>0且a≠1)为偶函数，则函数ℎ(x)=1a x−1−1b也为奇函数，故ℎ(−x)=−ℎ(x)恒成立，即1a−x−1−1b+1a x−1−1b=1−a xa x−1−2b=−1−2b=0，解得：b=−2，故选：A若f(x)=(1a x−1−1b)g(x)(a>0且a≠1)为偶函数，则函数ℎ(x)=1a x−1−1b也为奇函数，即ℎ(−x)=−ℎ(x)恒成立，进而得到b值．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，正确理解并熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．4.答案：B解析：解：令y=sinx，则y′=cosx，当x∈(−π2,π2)时，y′>0，y=sinx为增函数，故y=sinx的图象如下图所示：当x=−π2时，y=−1，当x=π2时，y=1，此时a=2π，当x=0时，y′=1，若y=f(x)仅有一个零点，则函数y=sinx的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，由图可得：a≥1或a≤2π，故选：B．若y=f(x)仅有一个零点，则函数y=sinx的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，画出函数的图象，数形结合，可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的零点与函数图象交点的关系，难度一般．5.答案：C解析：解：由已知易得S={y∈R|y≥0}，T={x∈R|x>1}，∴S∩T=(1,+∞)．故选C ．先根据函数的值域和定义域化简集合S ，T ，再计算S ∩T 即可．本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．6.答案：C解析：解：∵f(a −x)=2a−x +2a−(a−x)=2a−x +2x =f(x)， ∴函数f(x)关于x =a2对称，即a2=1，解得a =2， ∴g(x)={|log 2x|,0<x ≤46−x,4<x ≤6，其图象如下图所示：由图可知，|log 2x 1|=|log 2x 2|，∴−log 2x 1=log 2x 2，即x 1x 2=1， ∴x 1x 2x 3=x 3∈(4,6)．故选：C ．先根据函数对称性的定义可推出a2=1，即a =2，再画出分段函数g(x)的图象，结合图象可知，x 1x 2=1，x 3∈(4,6)，从而得解．本题考查函数的对称性、分段函数的图象与性质以及对数函数的图象变换等，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题主要考查了用基本不等式a +b ≥2√ab 解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．先求出xy =2x +y +6，再根据左边是xy 的形式，右边是2x +y 和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy 的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式a +b ≥2√ab 转化后变成关于xy 的方程，可把xy 看成整体换元后求最小值．解：由43x+1+6y+4=1，得：xy =2x +y +6，利用基本不等式可得xy =2x +y +6≥2√2xy +6，当且仅当2x =y 时等号成立，令xy =t 2，即t =√xy >0，可得t 2−2√2t −6≥0．即(t −3√2)(t +√2)≥0，解得t ≤−√2或t ≥3√2．又t >0，故t ≥3√2，所以xy ≥18．故选：D ．8.答案：B解析：解：函数f(x)={2x , x >0 −2−x , x <0 ，定义域关于原点对称，当x >0时，−x <0， f(−x)=−2x =−f(x)，当x <0时，−x >0， f(−x)=2−x =−f(x)，则有对于x ∈{x|x ∈R,x ≠0}，都有f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，又x >0时，f(x)=2x 递增， x <0时，f(x)=−2−x 递增，又x <0时，f(x)<0，x >0时，f(x)>0，由单调性的定义可得f(x)在定义域内为递增函数．故选：B ．运用函数的奇偶性和单调性的定义，注意函数的定义域的运用，加以判断即可得到．本题考分段函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法的运用，属于中档题．9.答案：ABD解析：解：由函数f(x)=|1−2sin2x|={1−2sin2x,sin2x <122sin2x −1,sin2x ≥12，作出f(x)在[−π,π]的图象，将y =2sin2x 的图象向下平移1个单位可得y =2sin2x −1的图象，将所得图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，如图所示，可得f(x)的最小值正周期为π，故A 正确；图象关于直线x=π4对称，故B正确；通过图象可知函数y=f(x)在(π4,5π12)上单调递减，故C错误；方程f(x)=1在[−π,π]上有7个不同的实根，故D正确．故选：ABD．利用零点分段去掉绝对值，作出f(x)在[−π,π]的图象，逐项判断各选项即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了三函数的综合应用，作图能力，属于中档题．10.答案：AC解析：解：因为sinθcosθ=12,π2<θ<2π，则θ为第三象限角，A正确；由题意得sinθ<0，cosθ<0，B错误；因为(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=0，故sinθ−cosθ=0，C正确；结合选项C可知tanθ=1，D错误．故选：AC．由已知结合同角基本关系及三角函数定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查三角函数定义，同角基本关系，属于基础题．11.答案：AB解析：利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，属于基础题．解：∵a<b，∴a+c<b+c，e−a>e−b，ac2≤bc2(c=0时取等号)，1 a 与1b的大小关系不确定．故选：AB．12.答案：ABD解析：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．利用“乘1法”与基本不等式的性质，逐项分析即可得出．解：对于A ，1=a +2b ≥2√2ab ，得ab ≤18，当且a =12，b =14时取等号，故A 正确；对于B ，a 2+4b 2=(a +2b)2−4ab =1−4ab ≥12，当且仅当a =12，b =14时取等号，故B 正确；对于C ，1a +2b =(1a +2b )(a +2b)=5+2b a+2a b≥9，当且仅当a =b =13时取等号，故C 错误；对于D ，2a +4b ≥2√2a+2b =2√2，当且仅当a =12，b =14时取等号，故D 正确．故选：ABD ．13.答案：5解析：本题考查利用分段函数求函数的值的方法，求出f(−2)=4，是解题的关键．根据函数的解析式先求出 f(−2)=(−2)2=4>0，从而运算f[f(−2)]=f(4)的值．解：∵f(−2)=(−2)2=4>0，∴f[f(−2)]=f(4)=4+1=5，故答案为 5．14.答案：解析：15.答案：．解析：解析：利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式求解．解：由得即．又在上为减函数．，即，解得．16.答案：π3√33解析：解：(1)在△ABC中，有sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理得：a=bcosC+ccosB，又bcosC=a−12c，代入得：ccosB−12c=0，即cosB=12，又B为△ABC的内角，∴B=π3；(2)由正弦定理可得bsinB =2r，∴r=√33，故答案为：π3，√33．(1)由三角形的内角和为π得到A =π−(B +C)，利用诱导公式得到sinA 与sin(B +C)相等，再由正弦定理化简得到一个关系式，把已知的等式变形后代入这个关系式中，即可求出cosB 的值，然后由B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；(2)由正弦定理可得b sinB =2r ，即可求解，此题综合考查了正弦定理，以及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理、 17.答案：解：(1)把k =15代入方程得：f(x)=x 2−15x +1，∵f(sinα)=f(cosα)，∴sin 2α−15sinα+1=cos 2α−15cosα+1，整理得：sinα+cosα=15，两边平方得：1+2sinαcosα=125，即2sinαcosα=−2425<0，∴sinα>0，cosα<0，解得：sinα=45，cosα=−35，则tanα=−43；(2)原式=2×1625−2×45×(−35)1−43=−16825．解析：(1)当k =15时，求tanα的值(2)根据条件分别求出sinα，cosα，tanα的值代入即可．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 18.答案：解：∵A ={2,5}，A ∪B =A ，A ∩B ={5}，∴B ⊆A ，B ={5}，即方程x 2+px +q =0有两个相等的根5，则{△=p 2−4q =0−p 2=5，解得{p =−10q =25．解析：根据集合关系，即可得到结论．根据集合的基本关系，转化为一元二次方程根的关系．19.答案：解：(1)∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，且a⃗ =(cosx,sinx)，x ∈[0,π]， b ⃗ =(1,−1)，∴cosx×1−sinx×1=0，即tanx=1，又∵x∈[0,π]，∴x=π4；(2)易知，f(x)=a⃗⋅b⃗ =cosx−sinx=√2sin(π4−x)，∵x∈[0,π]，∴π4−x∈[−3π4,π4]，sin(π4−x)∈[−1,√22]，当π4−x=π4时，sin(π4−x)=√22，f(x)取得最大值：√2×√22=1，又f(x)−m≤0(m∈R)恒成立，即m≥(f(x))max故m∈[1,+∞)．解析：(1)通过向量的数量积列出方程求解即可．(2)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的最值即可推出结果．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：(1)；(2)；(3)外周长的最小值为米，此时腰长为米.解析：解析：试题分析：(1)将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；(2)由(1)可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；(3)即求(1)中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值．试题解析：⑴，其中，，∴，得，由，得∴；6分⑴得∵∴腰长的范围是10分⑴，当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。

2023届山东省淄博市部分学校数学高一上期末经典试题含解析

（2）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围
19．（1）已知，化简：；
（2）已知，证明：
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列各式不正确的是（）
A.sin(α+ )=－sinαB.cos(α+ )=－sinα
C.sin(－α－2 )=－sinαD.cos(α－ )=sinα
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
∵A∩B＝{x|1≤x≤3，x∈R}，
∴ ，解得m＝4
（2）∵﹁q是p的必要条件，
∴p是﹁q的充分条件，∴ ，
又，
∴ 或，
解得m＞6或m＜－4
21、 .
【解析】利用三角函数的定义可得，进而可求，利用同角关系式可求，再利用两角和的正切公式即得.

山东省淄博市高一上学期数学期末考试试卷

山东省淄博市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一上·尼勒克期中) 下列关系式中，正确的是（）A . ∈QB . {（a，b）}={（b，a）}C . 2∈{1，2}D . ∅=02. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是A .B .C .D .3. （2分）已知向量＝(1,1)，＝(2，x)．若＋与4－2平行，则实数x的值是（）A . －2B . 0C . 1D . 24. （2分） (2019高三上·东丽月考) 已知，则的大小关系为（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数．的最大值为（）A . 1+B . 2C . 1D .6. （2分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，则(+)的值为（）A .B . -C .D . -7. （2分）把函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为，则（）A .B . ω=2，=-C .D .8. （2分）(2017·合肥模拟) 已知射线OP：y= x（x≥0）和矩形ABCD，AB=16，AD=9，点A、B分别在射线OP和x轴非负半轴上，则线段OD长度的最大值为（）A .B . 27C .D . 29二、二.填空题 (共6题；共10分)9. （1分） (2017高一上·昆明期末) 函数ƒ（x）= 的定义域是________．10. （1分） (2018高三上·北京月考) 若，，，则a，b，c的大小关系为________．11. （1分） (2017高一下·郴州期中) 已知角α的终边过点P（﹣4m，3m），（m≠0），则2sinα+cosα的值是________．12. （1分） (2017高一下·肇庆期末) 已知向量 =（1，2）， =（1，﹣1）．若向量满足（）∥，⊥（），则 =________．13. （1分） (2018高一上·抚顺期中) 已知函数的图象必经过点Q，则点Q的坐标是________14. （5分） (2020高二下·西安期中) 已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．三、三.解答题 (共5题；共55分)15. （10分） (2016高一下·水富期中) 已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）（1）若f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点，求b2+c2+2的取值范围；（2）在b≥0的条件下，若f（x）的定义域[﹣1，0]，值域也是[﹣1，0]，符合上述要求的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式，若不存在，请说明理由．16. （15分）函数在同一个周期内，当x= 时y取最大值2，当x= 时，y取最小值﹣2．（1）求函数的解析式y=f（x）．（2）若x∈[0，2π]，且f（x）= 时，求x的值；（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（1＜a＜2），求在[0，2π]内的所有实数根之和．17. （10分） (2019高一上·永嘉月考) 设A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，为正三角形，AB//x轴，（1）求的三个三角函数值；（2）设，求的值..18. （5分） (2017高二下·鞍山期中) 设函数f（x）=ax2+bx+c （a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．19. （15分） (2016高二上·淄川开学考) 已知| |=1，| |= ，（1）若、的夹角为60°，求| + |；（2）若﹣与垂直，求与的夹角．（3）若∥ ，求• ．参考答案一、一.选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、二.填空题 (共6题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、三.解答题 (共5题；共55分) 15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、。

2021-2022学年山东省淄博市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. tan(−32π3)的值是( )A. √3B. √33C. −√3D. −√332. “xy >0”是“x >0，y >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角θ为第四象限角，则点P(sinθ,tanθ)位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知a =0.30.2，b =log 0.23，c =log 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >b >aB. b >c >aC. c >a >bD. a >c >b5. 若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为( )A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 无法确定6. 定义在[−7,7]上的奇函数f(x)，当0<x ≤7时，f(x)=2x +x −6，则不等式f(x)>0的解集为( )A. (2,7]B. (−2,0)∪(2,7]C. (−2,0)∪(2,+∞)D. [−7,−2)∪(2,7]7. 函数f(x)=e x −e −x 2x 2+2cosx部分图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知f(x)={(5a −1)x +2a,x ≤1log a x,x >1(a >0,a ≠1)是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (0,17]B. (0,15)C. [17,1)D. [17,15)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设集合A ={x|y =lnx}，B ={y|y =lnx}，则下列关系中正确的有( )A. A ∪B =BB. A ∩B =⌀C. A =BD. ∁R A ⊆B10. 下列函数既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =−x 3B. y =1|x|C. y =ln(x 2+1)D. y =x 2−1x 211. 如果函数f(x)对其定义域内的任意两个不等实数x 1，x 2都满足不等式f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2，那么称函数f(x)在定义域上具有性质M ，则下列函数具有性质M 的是( )A. y =1xB. y =x 2C. y =e xD. y =lgx12. 已知函数f(x)={|sinx|,(sinx ≥cosx)|cosx|,(cosx >sinx)，则下列结论正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)是偶函数C. f(x)在区间(π,5π4)上单调递增D. f(x)的对称轴方程为x =kπ+π4(k ∈Z)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.2lg5−1log 45=______．14. 函数f(x)=2a x−3+1(a >0且a ≠0)的图象必经过点______． 15. 已知扇形弧长为20cm ，圆心角为5π9，则该扇形的面积为______cm 2．16. 某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(时)之间近似满足如图所示的关系．若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病的有效时间为______小时．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设非空集合P是一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集．若A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，满足P∩A=⌀，P∩B=P，求b+ca的值．18.已知a>0，b>0，函数f(x)=7−bxax2+1．(1)当a=b=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(2)=1，求12a +4b的最小值，并求此时a，b的值．19.设ω>0，函数f(x)=2sin(ωx−π6)+1在[π3,5π6]上单调递减．(1)求ω；(2)若函数g(x)=f(x)+k在区间[−π12,5π12]上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．20.已知f(x)=a2x+m(其中a为常数，且a>1)是偶函数．a x(1)求实数m的值；−f(x)+a−x=0有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为x0，(2)证明方程1x试比较x0与log a(2−x0)的大小．21.已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若f(x)有两个零点α，β(α<β)，且f(x)的最小值为−4a，当0<a≤1时，判断2函数g(x)=ax2+(b−2)x+c在(α,β)上的单调性，并说明理由；(2)设b=2a，记ℎ(t)为集合{f(x)|t−1≤x≤t+1}(t∈R)中元素的最大者与最小者之差．若对∀t∈R，ℎ(t)>a2−a恒成立，求实数a的取值范围．22.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元．2019年1月1日起实施新年征收个税．表1个人所得税税率表(执行至2018年12月31日)表2个人所得税税率表(2019年1月1日起执行)(1)小王在某高新技术企业工作，全年税前收入为180000元．执行新税法后，小王比原来每年少交多少个人所得税？(2)有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数．①请计算表1中的数X；②假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额．答案和解析1.【答案】A【解析】解：tan(−32π3)=−tan(11π−π3)=tanπ3=√3．故选：A．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：xy>0⇒x>0，y>0或x<0，y<0，x>0，y>0⇒xy>0．故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为角θ为第四象限角，则sinθ<0，tanθ<0，所以点P在第三象限，故选：C．根据角的范围以及正弦，正切的三角函数值符号即可判断求解．本题考查了三角函数值的符号问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<0.30.2<0.30=1，log 0.23<log 0.21=0，log 34>log 33=1， ∴c >a >b ．故选：C ．根据指数函数和对数函数的单调性即可得出0<a <1，b <0，c >1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵(sinα+cosα)2=125，∴2sinαcosα=−2425， ∵α是三角形的一个内角，则sinα>0， ∴cosα<0，∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．故选A ．把所给的等式两边平方，得2sinαcosα<0，在三角形中，只能cosα<0，只有钝角cosα<0，故α为钝角，三角形形状得判．把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状．6.【答案】B【解析】解：∵当0<x ≤7时，f(x)=2x +x −6； ∴f(x)在(0,7]上单调递增，且f(2)=0；∴2<x ≤7时，f(x)>0；0<x <2时，f(x)<0； ∵f(x)是定义在[−7,7]上的奇函数； ∴x ∈(−2,0)时，f(x)>0；∴不等式f(x)>0的解集为：(−2,0)∪(2,7]．故选：B ．根据题意即可判断f(x)在(0,7]上单调递增，并且f(2)=0，从而得出2<x ≤7时，f(x)>0；0<x <2时，f(x)<0；再根据f(x)在[−7,7]上是奇函数即可得出−2<x <0时f(x)>0，从而得出原不等式的解集．义．7.【答案】A【解析】解：函数的定义域为R ，f(−x)=−f(x)，函数为奇函数，故排除B ， f(x)=0，解得x =0，故函数只有一个零点，故排除CD ．故选：A ．先判断函数的奇偶性，再判断函数零点的个数，即可判断．本题考查了函数的图象和识别，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意可得{5a −1<00<a <17a −1≥0，解得17≤a <15，故选：D ．对应的每一段都是减函数，其前一段的最小值大于等于后一段的最大值，列出关于a 的不等式，解不等式即可求出结论．本题主要考查函数的单调性的应用，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：∵A ={x|y =lnx}={x|x >0}，B ={y|y =lnx}=R ， ∴A ∪B =B ，A 正确， A ∩B ={x|x >0}，B 错误， A ≠B ，C 错误，∁R A ={x|x ≤0}⊆B ，D 正确，故选：AD ．根据集合的交集、并集运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10.【答案】CD【解析】解：y =−x 3为奇函数，故A 不符合题意；y =1|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，(−∞,0)上单调递增，故B 不符题意；y =ln(x 2+1)为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，(−∞,0)上单调递减，故C 符合题意； y =x 2−1x 2为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，(−∞,0)上单调递减，故D 符合题意．故选：CD ．由常见函数的奇偶性和单调性判断可得结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：根据题意，若任意两个实数x 1，x 2都满足不等式f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2，则函数f(x)的图象向下凹，而函数y =x 2和y =e x 符合这个特点，函数y =1x 的图象是双曲线，函数y =lgx 的图象向上凸，故选：BC ．根据题意，分析满足f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2的函数图象上的特点，分析选项可得答本题考查函数的图象特点，注意满足f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2的函数图象上的特点，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)={|sinx|,(sinx ≥cosx)|cosx|,(cosx >sinx)={|sinx|,2kπ+π4≤x ≤2kπ+5π4,k ∈Z|cosx|,2kπ−3π4≤x ≤2kπ+π4,k ∈Z ，作出函数f(x)的大致图象，如图示：，易知f(x)的最小正周期为2π，故A正确；由函数f(x)的图象可得，函数f(x)的图象不关于y轴对称，故f(x)不是偶函数，故B错误；由函数f(x)的图象可得，函数f(x)在区间(π,5π4)上单调递增，故C正确；当x=kπ+π4，k∈Z，函数f(x)=1，为最大值，f(x)的对称轴方程为x=kπ+π4(k∈Z)，故D正确，故选：ACD．由题意，结合函数的图象以及函数的单调性和奇偶性分别判断即可．本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道中档题．13.【答案】2【解析】解：原式=lg100lg5−log54=log5100−log54=log525=2．故答案为：2．根据换底公式和对数的运算即可求出答案．本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】(3,3)【解析】解：由题意得：x−3=0，解得：x=3，此时f(3)=2+1=3，故函数f(x)过(3,3)，故答案为：(3,3)．根据指数幂的运算性质求出定点的坐标即可．本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是基础题．15.【答案】360π【解析】解：设扇形的半径为r，则r=弧长弧度=205π9=36π，所以扇形的面积为S=12×20×36π=360πcm2，故答案为：360π．设扇形的半径为r，然后根据弧长，弧度，半径的关系求出半径，再利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形面积公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】318【解析】解：当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，y=kt的函数图象过点(1,4)，故y=4t，当t≥1时，函数的解析式为y=(12)t−a，∵y=(12)t−a过点(1,4)，∴a=3，故y=(12)t−3，∵每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，∴{4t≥0.5(12)t−3≥0.5，解得{t≥18t≤4故服药一次治疗疾病的时间为4−18=318个小时．故答案为：318．根据图象中特殊点，求出函数f(t)的解析式，构造不等式f(t)≥0.5，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查分类讨论的思想，属于中档题．17.【答案】解：∵P∩B=P，P⊆B，又A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集非空，且P∩A=⌀，所以P⊆{6,8}，即P={6}，{8}，{6,8}满足题意．当P={6}时，由韦达定理得−ba =12，ca=36，此时b+ca=24：当P={8}时，由韦达定理得−ba =16，ca=64，此时b+ca=48；当P={6,8}时，由韦达定理得−ba =14，ca=48，此时b+ca=34．【解析】由题意可得P⊆{6,8}，然后分P={6}，{8}，{6,8}三种情况讨论求解即可．本题考查一元二次方程的解，集合的交集，集合与集合的关系，是基础题．18.【答案】解：(1)当a=b=1时，f(x)=7−xx2+1，因为x2+1>0由f(x)>1整理得x2+x−6<0，解得−3<x<2，所以不等式f(x)>1的解集是(−3,2)，(2)方法一：因为f(2)=1，所以2a+b=3，1 2a +4b=13(12a+4b)⋅(2a+b)=13(5+b2a+8ab)，因为b2a +8ab≥2√b2a⋅8ab=4，所以12a +4b≥3，即12a+4b的最小值是3．当且仅当b2a =8ab即b=4a时等号成立，又2a+b=3，所以a=12，b=2，方法二：因为f(1)=1，所以2a+b=3，12a +4b=13−b+4b=12−3b3b−b2=3(4−b)3b−b2，令t=4−b，因为0<b<3，所以1<t<4，则12a +4b=3t−t2+5t−4=35−(t+4t)，因为t+4t ≥2√t⋅4t=4，当且仅当t=2时等号成立，所以4≤t+4t <5，所以0<5−(t+4t)≤1，所以12a +4b≥3，即12a+4b的最小值是3．当且仅当t=4−b=2，b=2时等号成立，所以a=12，b=2．【解析】(1)把a=b=1代入已知函数解析式，然后结合二次函数的性质可求不等式的解集；(2)方法一：由f(2)=1，代入得2a+b=3，然后结合乘1法，利用基本不等式可求；方法二：由f(1)=1，得2a+b=3，让进行变形得12a +4b=13−b+4b=12−3b3b−b2=3(4−b)3b−b2，利用换元法进行变形后，利用基本不等式可求．本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的变形配凑基本不等式的应用条件，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为ω>0，函数f(x)=2sin(ωx−π6)+1在[π3,5π6]上单调递减，所以，12⋅2πω≥5π6−π3，解得ω≤2．又ω⋅π3−π6≥π2，且ω⋅π3−π6≥3π2，解得2≤ω≤5.综上，ω=2．(2)由(1)知f(x)=2sin(2x−π6)+1，所以，g(x)=2sin(2x−π6)+1+k．由于函数g(x)在区间[−π12,5π12]上有且只有一个零点，等价于函数y=sin(2x−π6)的图象与直线y=−k+12在区间[−π12,5π12]上有且只有一个交点．在区间[−π12,5π12]上，2x−π6∈[−π3,2π3].当2x−π6∈[−π3,π2]时，函数y=sin(2x−π6)单调递增，且sin(2x−π6)∈[−√32,1]；当2x−π6∈[π2,2π3]时，函数y=sin(2x−π6)单调递减，且sin(2x−π6)∈[√32,1]，∴−√32≤−k+12<√32，或−k+12=1．解得−1−√3<k≤−1+√3，或k=−3．故k的取值范围为(−1−√3,−1+√3]∪{−3}．【解析】(1)由题意，利用正弦函数的单调性，求得ω的值．(2)由题意，函数y=sin(2x−π6)的图象与直线y=−k+12在区间[−π12,5π12]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象和性质，求得k的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为f(x)=a2x+ma x是偶函数，所以对于任意的实数x，有f(x)=f(−x)，所以a2x+ma x =a−2x+ma−x对任意的实数x恒成立，即(1−m)(a x−a−x)=0恒成立，所以1−m=0，即m=1，(2)证明：设g(x)=1x −f(x)+a−x=1x−a x，当x∈(−∞,0)时，g(x)<0，所以g(x)=0在区间(−∞,0)上无实数根，当x∈(0,+∞)时，因为g(1)=1−a<0，g(1a)=a−a1a>0，所以∃x0∈(1a,1)，使得g(x0)=0，又g(x)=1x −a x在(0,+∞)是单调递减，所以g(x)=0存在唯一实数根x0∈(1a,1)；因为1x0−a x0=0，所以log a x0+x0=0，又x0+1x0>2，所以2−x0<1x0，所以log a(2−x0)<log a1x=−log a x0=x0．【解析】(1)通过f(x)=f(−x)，说明a2x+ma x =a−2x+ma−x对任意的实数x恒成立，然后求解m即可．(2)设g(x)=1x −f(x)+a−x=1x−a x，当x∈(−∞,0)时，g(x)=0在区间(−∞,0)上无实数根，当x∈(0,+∞)时，利用函数的单调性说明g(x)=0存在唯一实数根x0∈(1a,1)；通过log a x0+x0=0，转化比较x0与log a(2−x0)的大小．本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)方法1：因为f(x)=ax2+bx+c=a(x+b2a )2+4ac−b24a，由题意得4ac−b24a=−4a，即b2−4ac=16a2，所以α=−b2a −2，β=−b2a+2，对于任意x 1，x 2∈(α,β)设x 1<x 2，所以g(x 1)−g(x 2)=a(x 1−x 2)+(x 1+x 2+b−2a)，因为x 1+x 2<2β=2(−b2a +2)=−ba +4，又0<a ≤12，所以x 1+x 2+b−2a<−b a +4+b−2a=−a 2+4≤0，而x 1−x 2<0，所以g(x 1)−g(x 2)=a(x 1−x 2)(x 1+x 2+b−2a)>0，所以g(x 1)>g(x 2)，所以函数g(x)在区间(α,β)上是单调递减的．方法2：因为f(x)=ax 2+bx +c =a(x +b 2a)2+4ac−b 24a，由题意得4ac−b 24a =−4a ，即b 2−4ac =16a 2，所以α=−b2a −2，β=−b2a +2，因为g(x)=ax 2+(b −2)x +c ，所以函数g(x)图像的对称轴方程为x =−b−22a=1a−b 2a，因为0<a ≤12，所以1a −b2a −β=1a −2≥0，即1a −b2a ≥β，所以函数g(x)在(α,β)上是单调递减的．(2)设ℎ(t)=max{f(x)}−min{f(x)}，x ∈[t −1,t +1]，因为函数f(x)对称轴为x =−b2a =−1，①当t +1≤−1即t ≤−2时，f(x)在[t −1,t +1]上单调递减，ℎ(t)=f(t −1)−f(t +1)=−4at −4a ，②当{t −1≤−1<t +1−1−(t −1)≥t +1−(−1)即−2<t ≤−1时，ℎ(t)=f(t −1)−f(−1)=at 2， ③当{t −1≤−1<t +1t +1−(−1)>−1−(t −1)即−1<t ≤0时，ℎ(t)=f(t +1)−f(−1)=a(t +2)2，④当−1<t −1即t >0时，f(x)在[t −1,t +1]上单调递增，ℎ(t)=f(t +1)−f(t −1)=4at +4a ，综上可得：ℎ(t)={−4at −4a,t ≤−2at 2,−2<t ≤−1a(t +2)2,−1<t ≤04at +4a,t >0ℎ(t)在(−∞,−1]上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，所以ℎ(t)最小值为ℎ(−1)=a ，对∀t ∈R ，ℎ(t)>a 2−a 恒成立，只需a >a 2−a 即可，解得0<a <2，所以a 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)根据最小值找出a，b，c三者之间关系，从而表示α，β，单调性的判断可利用定义，也可利用二次函数对称轴．(2)找出ℎ(t)解析式，∵a2−a<ℎ(t)恒陈立，故找出ℎ(t)的最小值，a2−a<ℎ(t)min即可．本题主要考查函数值域及单调性的判断，及函数含参的恒成立问题．属于较难题目．22.【答案】解：(1)由于小王的全年税前收入为180000元，按照旧税率，小王的个人所得税为：30000×25%+54000×20%+36000×10%+ 18000×3%+42000×0%=22440元，按照新税率，小王的个人所得税为：84000×10%+36000×3%+60000×0%=9480元，22440−9480=12960元，小王比原来每年少交12960元个人所得税．(2)①按照表1，假设个人全年应纳税所得额为x元，可得：25%x−X=(x−108000)×25%+54000×20%+36000×10%+18000×3%，X=12060．②按照表2中，级数3，300000−(300000×20%−16920)=256920，按照级数2，144000−(144000×10%−2520)=132120；显然132120+60000=192120<200000<316920=256920+60000，所以应该参照“级数3”计算，假设他的全年应纳税所得额为t元，所以此时t−(t×20%−16920)=200000−60000，解得t=153850，即他的税前全年应纳税所得额为153850元．【解析】(1)分别根据新旧税率表，即可求解．(2)①，根据已知条件，结合速算法，即可求解．②，根据已知条件，结合速算法，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查分类讨论的思想，属于中档题．。

山东省淄博市淄博实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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试卷第 2页，共 4页
16．已知函数
f
x
x2 5, x
x lg x
2
2, x
2
，若方程
f
x
1的实根在区间
k,k
1 k
Z
上，则 k 的所有可能值是
．
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．已知集合 A {x | a 1 x 2a 4} ， B {x | x2 4x 12 0} .
2022-2023 学年山东省淄博实验中学高一（上）期末
数学试卷
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“ x R，x2 x 1 0 ”的否定是（）
A． x R，x2 x 1 0
B． x R，x2 x 1 0
有两个不同的零点
x 1
，
x
2
，则
1 x1
1 x2
1
12．已知函数 f x 的定义域为 R ，对于任意的实数 x, y ，都有 f x y f x f y .且
当 x 0 时， 0 f x 1.则下列结论正确的是（）
A． f 0 1
B．对于任意的 x R ，有 f x 0
C．4 C． 3
3
D．5 D． 3
3
A．0
B．1
C．2
5．函数
f
x
ln x x2 1
的部分图象大致为（
）
D．3
A．
B．
C．
D．
6．设 a 3 3 ， b 0.90.8 ， c log0.9 0.8 ，则（）

2023届山东省淄博第一中学高一数学第一学期期末检测试题含解析

试题解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(3)＋f(－1)＝f(3)－f(1)＝23－1－2＋1＝6.
(2)设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝2－x－1，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
∴f(x)＝
19、（1）；
（2） .
【解析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.
【详解】因为在上是增函数，又，所以，所以，
故选B.
【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数（且）：若，则是上增函数；若，则是上减函数.
4、D
【解析】由已知得，，，判断可得选项.
【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，
【详解】
，
又，
∴函数的最大值为 .
故答案为： .
15、12
【解析】，展开后利用基本不等式可求
【详解】∵ ，，且，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为12
故答案为：12
16、
【解析】分类讨论解一元二次不等式，然后确定参数范围
【详解】，
若，则或，此时时，不等式成立，
若，则或，要满足题意，则，即
1、C
【解析】计算得出的符号，由此可得出结论.
【详解】由已知条件可得，因此，函数的零点个数为 .
故选：C.
2、C
【解析】由指数式与对数式互化为相同形式后求解
【详解】由题意得：，，， ①，
又，，
，
和是方程的根，

2022-2023学年山东省淄博市高一年级上册学期期末数学试题1【含答案】

2022-2023学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（）{1|,|1A x y B y y x ⎧⎫====⎨⎬-⎩⎭A B = A ．B ．且{|0}x x {0x x ≥}1x ≠C ．D ．{|1}x x ≠{|0}x x >【答案】D【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集.,A B 【详解】由函数定义域可得：，{}0A x x =≥由值域可得，故.{}|0B y y =≠{}0A B x x ⋂=>故选：D2．下列式子的值为的是（）32a -A B C D 【答案】D【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果.，23a =32a =23a-=32a-=故选:D.3．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为，经过时间天之后的新闻热度变为0(0)N >(t )，其中为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数，要使该新闻的热度降到初始热0()e t N t N α-=α0.3α=度的以下，需要经过天（参考数据：）（）10%ln10 2.303≈A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，()00e 0.1t N t N N α-=<，，0.3ln10 2.303e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3t t t -∴<-<=->≈≈即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）(2)xy f =[1,4](1)1f x y x +=-A ．B ．C ．D ．[1,1)-(1,15][0,3][0,1)(1,3]⋃【答案】B【分析】由函数的定义域求出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即(2)xy f =()y f x =可得解.【详解】解：由函数的定义域为，得，(2)xy f =[1,4][]22,16x ∈所以函数的定义域为，()y f x =[]2,16由函数，(1)1f x y x +=-得，解得，211610x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩115x <≤所以函数的定义域为.(1)1f x y x +=-(1,15]故选：B.5．函数的部分图象大致为（）3222xx x x y--=+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除选项和，再利用特殊值排除选项即可求解.C D B 【详解】因为函数的定义域为，32()22xx x xy f x --==+R 且，所以函数为奇函数，故排除选项和；3322()()2222x x x xx x x xf x f x ---+--==-=-++C D又因为当时，，当时，，且当时，，故排除选项.1x =(1)0f <2x =(2)0f >x →+∞0y >B 故选：.A 6．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（）()25400ax x a ++=≠A ．B ．a<00a >C ．D ．2a <-1a >【答案】A【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解.0∆>0【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，()25400ax x a ++=≠1x 2x 所以，解得，故.212Δ544040a x x a ⎧=-⨯>⎪⎨=<⎪⎩25160a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩a<0故选：A.7．已知，，）0.33a =12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭5log c =A ．B ．C ．D ．a b c >>c b a >>b a c >>a c b>>【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断的大致范围，即可得出结果.,,a b c 【详解】因为，，0.30331a =>=1111222b π⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，551log log 2c =>=5log 1c =<所以.a c b >>故选：D.【点睛】本题主要考查比较指数幂与对数的大小，属于基础题型.8．已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若[]7,7-()f x ()()0f x f x -+=，当时，总有，则满足的实(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2112f x f x x x >()()()()212144m f m m f m --≤++数的取值范围为（）m A ．B ．C ．D ．[]1,3-[]1,5-[]3,5-[]3,3-【答案】A【解析】根据，当，时，总有，转化为，当(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2112f x f x x x >(]12,0,7x x ∀∈，时，总有，令，则在上递增，再根据12x x <()()2211x f x x f x >()()g x xf x =()g x (]0,7，得到在上是偶函数，将，转化()()0f x f x -+=()g x []7,7-()()()()212144m f m m f m --≤++为求解.()()214g m g m -≤+【详解】令，()()g x xf x =因为，当时，总有，(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2112f x f x x x >即，当时，总有，(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2211x f x x f x >即，当时，总有，(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()21g x g x >所以在上递增，()g x (]0,7又因为，()()0f x f x -+=所以在上是偶函数，()g x []7,7-又因为，()()()()212144m f m m f m --≤++所以，即，()()214g m g m -≤+()()214g m g m -≤+所以即，21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩解得，13m -≤≤所以实数的取值范围为 m []1,3-故选：A【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在()()g x xf x =()g x (]0,7()g x 上是偶函数，将问题转化为求解.[]7,7-()()214g m g m -≤+二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（）A ．B ．1010x xy -=-()22log 1y x =+C ．D ．3y x=1y x=-【答案】AC【分析】利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】对于选项A ：记，函数的定义域为，定义域关于()1010x x f x -=-()1010x xf x -=-(),-∞+∞原点对称，又，所以函数是奇函数，又因为是增()1010()x x f x f x --=-=-()1010-=-x xf x 10x y =函数，是减函数，所以是增函数，符合题意，A 正确；10xy -=1010x x y -=-对于选项B ：记，函数的定义域为，定义域关于原点对称，()22()log 1=+g x x ()22()log 1=+g x x (),-∞+∞且，所以函数是偶函数，不符合题意，B 错误；()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ()22()log 1=+g x x 对于选项C ：记，函数的定义域为，定义域关于原点对称，3()h x x =3()h x x =(),-∞+∞且，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是33)()()(=-=--=-h x h x x x 3()h x x =3()h x x =增函数，符合题意，C 正确；对于选项D ：记，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又1()t x x =-1()t x x =-()(),00,∞-+∞ ，所以函数为奇函数，当时，，当时，11()()t x t x x x -=-==--1()t x x =-=1x -(1)1t -=1x =，所以在定义域上不是单调递增函数，D 错误.(1)1t =-1y x =-故选：AC.10．给出下列结论，其中正确的结论是（）A ．函数的最大值为2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭12B ．若幂函数的图象经过点，则解析式为1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭13y x -=C ．函数与函数互为反函数2xy =2log y x =D ．若，则的最小值为1,0,3x y x y xy >++=xy 【答案】BC【分析】根据指数函数，幂函数和对数函数的性质即可判断选项；利用基本不等式即可判断A,B,C选项.D 【详解】因为函数有最大值，由指数函数的单调性可知：函数取最小值，故21x -+12112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭12选项错误；A 设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，则，y x α=1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭1(28α=13α=-所以函数解析式为，故选项正确；13y x -=B 根据指数函数与对数函数的关系可知：函数与函数互为反函数，故选项正确；2xy =2log y x =C 因为，所以当且仅当时取等，,0,3x y x y xy >++=3xy x y-=+≥1x y ==则，解得：，则，所以有最大值，故选项错误，230+≤01<≤1xy ≤xy 1D 故选：.BC 11．已知函数，下列论述中正确的是（）()()2lg 1f x x ax =++A ．当时，的定义域为0a =()f x RB ．的定义域为，则实数的取值范围是()f x R a ()2,2-C ．的值域为，则实数的取值范围是()f x R a ][(),22,∞∞--⋃+D ．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是()f x ()2,+∞a [)4,-+∞【答案】ABC【分析】由对数型复合函数的定义域可判断AB ；由对数函数的值域判断C ；由复合函数的单调性可判断D【详解】对于A ：当时，，由解得，故A 正确；0a =()()2lg 1f x x =+210x+>x ∈R 对于B ：的定义域为，则恒成立，则，()f x R 210x ax ++>240a ∆=-<解得，故B 正确；22a -<<对于C ：的值域为，则能取完所有正数，此时，()f x R 21t x ax =++240a ∆=-≥解得，故C 正确；][(),22,a ∈-∞-⋃+∞对于D ：因为复合函数是由，，复合而成，而在()()2lg 1f x x ax =++lg y t =21t xax =++lg y t =上单调递增，又在区间上单调递增，()0,+∞()()2lg 1f x x ax =++()2,+∞所以在上单调递增，则有，解得，21t x ax =++()2,+∞22a -≤4a ≥-又在上恒成立，则有，解得，210x ax ++>()2,+∞22210a ++≥52a ≥-综上，，故D 错误；52a ≥-故选：ABC12．已知函数有三个不同的零点，则实数a 的取值可以为（）()||2fx x x a =--A ．0B ．C ．3D ．4【答案】CD【分析】确定时，在区间上无零点，题目转化为或有3个解，0x ≤()f x (,0]-∞2a x x =-=a 2x x +得到有两个正数解，解得答案.220x ax -+=【详解】当时，恒成立，即在区间上无零点，0x ≤()0f x <()f x (,0]-∞所以当时，有三个正根，解得或.0x >||2x x a -=2a x x =-=a 2x x +当时，单调递增，且，则方程有一个根，0x >2y x x =-2Rx x -∈2a x x =-则方程要有两个根，即有两个正数解，则，2a x x =+220x ax -+=212Δ80a x x a ⎧=->⎨+=>⎩解得CD 项正确.a >故选：CD三、填空题13．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为1()2x af x a x -=++0a >1a ≠P P ____________.【答案】()1,4【解析】结合指数函数和幂函数的性质求解．【详解】时，，所以函数图象恒过定点．1x =(1)1124f =++=(1,4)故答案为：．(1,4)14．设，且，则________．25a bm ==211a b +=m =【答案】20【分析】显然用对数式表示出后代入，运用对数的运算法则化简可得答案.0,m >,a b 211a b +=【详解】依题意有0,m >2525,log ,log ,a b m a m b m ==∴==.25212112log 2log 5log 20,20log log m m m m a b m m =+=+=+=∴=故答案为：2015．已知函数（且）的反函数过点，设，则不()x f x a =0a >1a ≠1()f x -(4,2)1()()()g x f x f x -=+等式的解集是_________．(21)(4)0g x g x ---<【答案】15,23⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据反函数定义得到反函数解析式，根据题中所给点解出a 的取值，得到1()log a f x x-=解析式，根据单调性得到最后解集.()g x ()g x 【详解】根据反函数定义可知，由题可知1()log a f x x-=1(4)log 422a f a -==⇒=故，，即，根据解析式可知在为增函数，12()log f x x -=()2x f x =2()2log x g x x =+()g x ()0,∞+(21)(4)0(21)(4)g x g x g x g x ---<⇒-<-可列不等式210154023421x x x x x ->⎧⎪->⇒<<⎨⎪->-⎩故答案为：15,23⎛⎫ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知函数,若方程有四个不同的解,且()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩ ()f x a =1234,,,x x x x ,则的最小值是______,的最大值是______.1234x x x x <<<a ()41223416x x x x x ⋅++⋅【答案】 1 4【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩ a数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.1234,,,x x x x ()41223416x x x x x ⋅++⋅【详解】画出的图像有：()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,()f x a=1234,,,x x x x ()f x y a =, 故的取值范围是,故的最小值是1.()01f =()12f -=a [)1,2a 又由图可知,,,故,故1212122x x x x =-⇒+=-+0.530.54log log x x=0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=.341x x =故.()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+又当时,.当时, ,故.1a =0.544log 12x x -=⇒=2a =0.544log 24x x -=⇒=[)42,4x ∈又在时为减函数,故当时取最大值.44162y x x +=-[)42,4x ∈42x =44162y x x +=-162242y +=-⨯=故答案为：(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.五、解答题17．已知集合.{}()()27100,{20}A x x xB x x a x a =-+<=---<(1)若，求实数的取值范围；B A ⊆a (2)若，求的值，并从下列所给的三个条件中任选一个，说明22log 5log 40,140215m n g g =-=+,m n 它是的什么条件.（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要B A ⊆条件”回答）①②③.5,;6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭5,;3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)[]2,3(2)，是的既不充分也不必要条件，是的必要不充3,3m n =-=5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B A ⊆5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B A ⊆分条件，是的充分不必要条件.5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B A ⊆【分析】（1）解不等式得到，根据得到不等式组，求出实数的取值范围；,A B B A ⊆a （2）先利用对数计算公式得到，从而判断出，，3,3m n =-=5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是的什么条件.5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B A ⊆【详解】（1），{}{}2710025A x x x x x =-+<=<<，()(){}{}202B x x a x a x a x a =---<=<<+因为，所以，解得：；B A ⊆225a a ≥⎧⎨+≤⎩23a ≤≤实数的取值范围是；a []2,3（2），222log 5log 43108log m ===--，lg 402lg 5lg 40lg 25lg10003n =+=+==选①，由于，求出，55,3,62a m n ⎡⎫⎡⎫∈=-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B A ⊆[]2,3a ∈而，，5,23a ⎡⎫∈-⇒⎪⎢⎣⎭[]2,3a ∈[]2,3a ∈⇒253,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故是的既不充分也不必要条件；5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B A ⊆选②，由于，求出，[]5,3,53a m n ⎡⎤∈=-⎢⎥⎣⎦B A ⊆[]2,3a ∈而，，[]3,5a ∈-⇒[]2,3a ∈[][],52,33a a ∈-∈⇒故是的必要不充分条件；5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B A ⊆选③，由于，求出，,255,36a n m ⎡⎤⎡⎤∈-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B A ⊆[]2,3a ∈而，，[],352,32a a ⎡⎤⇒⎥⎦∈∈⎢⎣[]2,3a ∈⇒5,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故是的充分不必要条件.5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B A ⊆18．已知函数是定义在上的奇函数，且．2()1mx nf x x +=+[]1,1-()11f =（1）求的解析式；()f x （2）已知，，且，若存在，使成立，求实数的取值范围．0a >0b >128a b +=a b ()2b f t a >+t 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．22()1xf x x =+(2⎤⎦【解析】（1）根据题意分析可得，解可得、的值，则可得出函数的解析式；()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ()f x （2）因为，所以，展开利用基本不等式可得，128a b +=112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭122b a +≥则只需使，然后求解不等式即可解得实数的取值范围．1()2f t >t 【详解】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，2()1mx nf x x +=+[]1,1-则，可得，则，(0)0f =0n =2()1mxf x x =+又由得，则，可得，()11f =12m =2m =则．22()1x f x x =+（2）因为，，且，0a >0b >128a b +=所以，当且仅当，即1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝22b aa b =，时，等号成立，14a =12b =若存在，使成立，则，即，a b ()2b f t a >+1()2f t >22112t t >+解得：，22t <<+[]1,1t ∈-所以实数的取值范围是．t (2⎤⎦【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数在处有意义时，则有；()f x 0x =()00f =（2）若存在，使成立，只需使，然后根据，利用基本不a b ()2b f t a >+min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭128a b +=等式求解的最小值．2ba +19．已知函数，且.()2ln ,02mxf x m x -=>+()()011f f +-=(1)证明：在定义域上是奇函数；()f x (2)判断在定义域上的单调性，无需证明；()f x (3)若，求的取值集合.()()ln9f x f x +<-x 【答案】(1)证明过程见解析(2)单调递减，理由见解析(3){}12x x <<【分析】（1）根据求出，，求出定义域，并利用()()011f f +-=1m =()2ln2xf x x -=+证明出结论；()()f x f x -=-（2）设，利用定义法证明出的单调性，从而利用复合函数单调性满足同()22x g x x -=+()22xg x x -=+增异减，判断出的单调性；()f x （3）利用的奇偶性得到，从而得到，求出的取值集合.()f x ()ln30f x +<63012xx -<<+x 【详解】（1），解得：，()()22ln ln 0121211m mf f -++=+--=+21m =因为，所以，，0m >1m =()2ln2xf x x -=+令，解得：，故的定义域为，关于原点对称，202xx ->+22x -<<()f x ()2,2-又，()()22ln ln 22x xf x f x x x +--==-=--+所以在定义域上是奇函数；()f x（2）在定义域上单调递减，理由如下：()f x 任取，()1212,2,2,x x x x ∈-<令，()22x g x x -=+则，()()()()()()()()()()()12212112121212122222422222222x x x x x x x x g x g x x x x x x x -+--+----=-==++++++因为，()1212,2,2,x x x x ∈-<所以，故，122120,20,0x x x x +>+>->()()()()()2112124022x x g x g x x x --=>++所以，故在上单调递减，()()12g x g x >()22xg x x -=+()2,2-根据复合函数单调性满足“同增异减”，所以在上单调递减；()2ln2xf x x -=+()2,2-（3）变形为，()()ln9f x f x +<-()()ln3ln 3f x f x +<--因为在定义域上是奇函数，所以，()f x ()()ln 3ln3f x f x ⎡⎤--=-+⎣⎦即，即，()()ln3ln3f x f x ⎡⎤+<-+⎣⎦()2ln30f x ⎡⎤+<⎣⎦()ln30f x +<因为，所以，()2ln2x f x x -=+263ln ln 3ln 0ln122x xx x --+=<=++故，解得：，63012x x -<<+12x <<故的取值集合为.x {}12x x <<20．已知二次函数，不等式的解集为．()2f x x bx c=++()0f x <()1,2-(1)求函数的解析式；()f x (2)解关于的不等式（其中）．x ()()2124a x ax f x +->+R a ∈【答案】(1)()22f x x x =--(2)答案见解析【分析】（1）根据不等式的解集为，得到的根，由韦达定理求出未知数()0f x <()1,2-()0f x =和，即可求出函数的解析式b c ()f x（2）将（1）求出的函数的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解.()f x 【详解】（1）由题意在中，的解集为()2f x x bx c=++()0f x <()1,2-∴的根为20x bx c ++=1,2-∴，，12b -+=-12c -⨯=解得：，1b =-2c =-∴()22f x x x =--（2）由题意及（1）得，R a ∈在中，()22f x x x =--()()2124a x ax f x +->+∴()221224a x ax x x +->--+即()()120ax x +->当时，不等式化为：，解得：，0a =20x ->2x >当时，，则不等式的解为：或，0a >10a -<()()120ax x +->1x a <-2x >当时，，不等式化为，即，0a <1a ->1()(2)0+->a x x a 1(2)0+-<x x a 若，即，则不等式化为：，其解集为空集．12a -=12a =-()220x -<若，即，则不等式的解集为，12a -<12a <-1()(2)0+-<x x a 1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭若，即，则不等式的解集为，12a ->102a -<<1(2)0+-<x x a 1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎩⎭综上所述：当时，不等式的解集为，0a >1|2x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或当时，不等式的解集为；0a ={}|2x x >当时，不等式的解集为；102a -<<1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为；12a =-∅当时，不等式的解集为．12a <-1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭21．已知函数常数.()22(x x f x a -=+⋅R)a ∈(1)若，且，求的值；1a =-()4f x =x (2)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.()f x []1,2x ∈()()210f x mf x -+<m【答案】(1)(2log 2x =(2)的取值范围为.m 13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）解方程即可求解；()224x x f x -=-=（2）由求得的值，再利用奇函数的定义检验可得的解析式，分离参数可得()00f =a ()f x ，根据单调性求出范围，的最小值即可求解.()()1m f x f x >+()f x ()()1f x f x +【详解】（1）当时，，1a =-()22x xf x -=-令可得，()224x x f x -=-=()224210x x-⋅-=所以，可得，()2225x-=22x-=20x >所以22x =+(2log 2x =（2）若函数是奇函数，则，可得，()22x xf x a -=+⋅()0002210f a a -=+⋅=+=1a =-所以，经检验，()22x x f x -=-()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-所以是奇函数，符合题意，()22x xf x -=-1a =-因为在上单调递增，在上单调递减，2xy =[]1,22xy -=[]1,2所以在上单调递增，22x xy -=-[]1,2所以当时，，当时，，2x =()22max 15224f x -=-=1x =()11min 3222f x -=-=所以，()315,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为存在使得不等式成立，[]1,2x ∈()()210f x mf x -+<所以存在使得成立，[]1,2x ∈()()1m f x f x >+所以()()min1m f x f x ⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令，设，，()f x t=()()()11g t f x t f x t=+=+315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 任取，且，则12315,,24t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12t t <，()()()212121212121111t t g t g t t t t t t t t t ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭因为，，所以，，12t t <12315,,24t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦210t t ->2110t t ->所以，故函数在单调递增，()()21g t g t >()g t 315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，取最小值，最小值为，32t =()g t 136即时，取最小值，最小值为1x =()()1f x f x +136所以，136m >所以实数的取值范围为.m 13,6∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭22．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按天计），每件的销售价格 (单位：元)与时间（单位：天）（30()P x x ）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）130,x x N *≤≤∈()10kP x x =+k 0k >()Q x 与时间的部分数据如下表所示：x x 15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为（单位：元），且第天的日销售收入为元.()f x 20603（1）求的值；k（2）给出以下四种函数模型：①；()Q x ax b =+②；()||Q x a x m b =-+③；()xQ x ab =④.()log b Q x a x =请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变()Q x x 化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.()Q x ()f x 【答案】（1）1；（2）；（3）441.()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N 【解析】（1）由可求得；(20)(20)(20)603f P Q ==k （2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得，再利用其他函数值求出；()Q x 20m =,a b （3）根据（2）求得的表达式，然后一段利用基本不等式求得最小值，一段利用函数的单调性()f x 刘最小值，比较可得结论．【详解】解:（1）因为第天的日销售收入为元，20603所以，(20)(20)(20)106060320k f P Q ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭解得.1k =（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.x ()Q x 函数模型①;③④都是单调函数，()Q x ax b =+()xQ x ab =()log b Q x a x=所以选择函数模型②.()||Q x a x m b =-+由，得，(15)(25)Q Q =1525m m-=-所以，20m =由()()15555,2060,Q a b Q b ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩解得1,60a b =-=所以日销售量与时间的变化关系为()Q x x ()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N （3）由（2）知**40,120,,()206080,2030,,x x x Q x x x x x ⎧+∈=--+=⎨-+<∈⎩N N所以**110(40),120,()()()110(80),2030,x x x N x f x P x Q x x x x N x ⎧⎛⎫++∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<∈ ⎪⎪⎝⎭⎩ 即**4010401,120,,()8010799,2030,,x x x xf x x x x x ⎧++∈⎪⎪=⎨⎪-++<∈⎪⎩N N 当时，*120,x x ∈N 由基本不等式得，()4010401401441,f x x x=+++= 当且仅当，即时，等号成立.4010x x =2x =所以.min ()441f x =当时，为减函数，*2030,x x <∈N 80()10799f x x x =-++所以，min 8()(30)4994413f x f ==+>综上所述：当时，的最小值为2x =()f x 441.【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，在已知函数模型时，直接利用所给数据求出模型听参数得函数解析式．然后可根据函数解析式确定函数性质求得最值等．分段函数在求最值时需要分段求解，然后比较才能得出结论．。

山东省淄博市高一上学期期末考试数学试题

数学第Ⅰ卷（共60分）选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意)1.已知集合{}6543210，，，，，，=U ，{}5310，，，=A ，{}421，，=B ，那么()=B C A U （） A ．{}6 B ．{}530，，C ．{}630，，D ．{}65310，，，， 2.已知直线0123=-+y mx 在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3.函数()()1lg 2++-=x x x f 的定义域为（）A ．[]2,1-B ．[)2,1-C ．(]2,1-D ．()2,1-4.若幂函数()()mx m m x f ---=121是偶函数，则实数=m （）A ．-1B ．2C ．3D ．-1或25.已知两点()10，A ，()34，B ，则线段AB 的垂直平分线方程是（） A ．022=+-y x B ．062=-+y xC ．022=-+y xD ．062=+-y x 6.已知三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ，BC AB ⊥，6=AB ，8=BC ，51=AA ,则该几何体的表面积是（）A ．216B ．168C ．144D ．1207.若点()b a ,在函数()x x f n 1=的图像上，则下列点中不在函数()x f 图像上的是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ,1B ．()b e a ++1,C ．⎪⎭⎫⎝⎛-b a e 1, D ．()b a 2,28.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是（） A ．若α⊥l ，m l //，则α⊥m B ．若 m l ⊥，α⊂m ，则α⊥l C ．若α//l ，α⊂m ，则m l // D ．若α//l ，α//m ，则m l //9.若三条直线1l ：062=++y ax ，2l ：04=-+y x ，3l：012=+-y x 相交于同一点，则实数=a （）A ．-12B ．-10C ．10D ．12 10.已知函数()xx f 3log =，若函数()m x f y -=有两个不同的零点a ，b ，则（）A ．1=+b aB ．mb a 3=+ C ．1=ab D ．ma =b 11.下图是正方体的平面展开图.在正方体中，下列结论正确的序号是（） ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成︒60角； ④DM 与BN 垂直.A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④12.甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元，他可以在1t 至4t 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计），那么他持有的资金最多可变为（）A ．120万元B ．160万元C ．220万元D ．240万元第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.计算：()=--2log 2320_________________________.14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________________.15.已知1P，2P 分别为直线1l ：093=-+y x 和013:2=++y x l 上的动点，则21P P 最小值是 .16.狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数()x D 的五个结论：①若x 是无理数，则()()0=x D D ；②函数()x D 的值域是[]1,0；③函数()x D 是偶函数； ④若0≠T 且T 为有理数，则()()x D T x D =+对任意的R x ∈恒成立； ⑤存在不同的三个点()()11,x D x A ，()()22x D x B ，()()33,x D x C ，使得ABC ∆为等边三角形.其中正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=4221x x A ，{}2log 02<<=x x B . （Ⅰ）求B A 和B A ；（Ⅱ）记{}M x x N M ∈=-,且}N x ∉，求B A -与A B -.18.（本题满分10分）求满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）求经过直线1l ：033=-+y x 和2l ：01=+-y x 的交点，且平行于直线032=-+y x 的直线l 方程；（Ⅱ）已知直线1l ：062=-+y x 和点()11-，A ,过点A 作直线l 与1l 相交于点B ，且5=AB ，求直线l 的方程.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，AC AD =，DE AB 21=，F 是CD 的中点.（Ⅰ）求证：//AF 平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面⊥BCE 平面CDE .()⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x xD ,0,120.（本题满分12分）已知指数函数()x g y =的图像经过点()4,2，且定义域为R 的函数()()()x g a x g b x f +-=是奇函数.（Ⅰ）求()x f 的解析式，判断()x f 在定义域R 上的单调性，并给予证明；（Ⅱ）若关于x 的方程()m x f =在)[0,1-上有解，求⎪⎭⎫ ⎝⎛m f 1的取值范围.21.（本题满分12分）已知ABC ∆的顶点()15，A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为,052=--y x B ∠的平分线BN 所在直线方程为052=--y x .求：（Ⅰ）顶点B 的坐标；（Ⅱ）直线BC 的方程.22.（本题满分14分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.数学试题参考答案及评分说明选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5:BCCAB 6-10:BBAAC 11、12：CD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2114.12 15.10 16.③④⑤.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（Ⅰ）由已知得，()2,14221-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=x x A ，}(){4,12log 02=<<=x x B ......4分所以()2,1=B A ,()41，-=B A ； .................6分（Ⅱ）{Ax x B A ∈=-，且}(]1,1-=∉B x ， .................8分{Bx x A B ∈=-，且}[)4,2=∉A x . .................10分18.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+-=-+01033y x y x ，得交点坐标为()1,0 ...........2分因为直线l 平行于直线032=-+y x ，所以直线l 的斜率为-2 ...4分所以，直线l 的方程为()021--=-x y ，即012=-+y x . ...........6分（Ⅱ）方法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()11-=+x k y ，即直线l 的方程为()1+-=k kx y ...............................7分因为直线l 与1l 相交于点B ，联立方程组()⎩⎨⎧+-=+-=621y x y k kx ，解得点B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+-++224,27k k k k 又5)1224()127(22=++-+-++=k k k k AB ，解得43-=k 所以，直线l 的方程为0143=++y x ； .................8分当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1=x ，此时直线l 与1l 的交点为()4,1，也满足题意，故直线1=x 符合题设.综上所述，直线l 的方程为0143=++y x 和1=x . ................10分方法二：设点B 的坐标为()n m ,因为点B 在直线1l ：062=-+y x 上，所以062=-+n m ① 又因为5=AB ，且点()1,1-A ，所以5)1()1(22=++-n m ② 联立①②，解得B 的坐标为()4,1和()4,5- .........................8分由此可得直线l 的方程为：0143=++y x 和1=x ...................10分 19.证明：（Ⅰ）取CE 的中点M ，连结MF ，MB ......2分∵F 是CD 的中点，∴DE MF //，且DE MF 21=∵⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ∴DE AB //,AB MF //∵DE AB 21=, ∴AB MF =∴四边形ABMF 是平行四边形 .......4分 ∵BM AF //,⊄AF 平面BCE ,⊆BM 平面BCE ∴//AF 平面BCE . .................6分（Ⅱ）∵AD AC =, ∴CD AF ⊥ .......7分又 ∵⊥DE 平面ACD ,⊆AF 平面ACD , ∴DE AF ⊥ ......................8分又D DE CD = , ∴⊥AF 平面CDE ................10分又∵AF BM //, ∴⊥BM 平面CDE ......................11分∵⊄BM 平面BCE , ∴平面⊥BCE 平面CDE .....................12分20.解：（Ⅰ）设()()1,0≠>=c c c x g x ，由已知()42=g ，解得2=c ，故()xx g 2=........2分又由()()()xxa b x g a x g b x f 22+-=+-=是奇函数，所以()()x f x f -=-，即 x xx x a b a b 2222+--=+---，化简得()()()02212=+-+--xx a b ab此式对于任意的x 都成立，所以⎩⎨⎧=-=-001a b ab ，解得⎩⎨⎧==11a b 或⎩⎨⎧-=-=11b a ...4分因为()x f 的定义域为R ,所以⎩⎨⎧==11a b ，即()x x x f 2121+-=. .............5分注：也可以用特殊值的方法求得，但必须检验()()x f x f -=-.()12122121-+=+-=x x x x f ，所以()x f 是R 上的单调减函数. ...............6分证明：对于任意的R ,21∈x x ，设21x x <则()())21)(21()22(21212121221122121x x x x x x x f x f ++-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=- 显然()()0212121x >++x ，且xy 2=为R 上的单调增函数，所以02212>-x x故()()021>-x f x f 即()()21x f x f >，所以()x f 是R 上的单调减函数. ...8分（Ⅱ）方程()m x f =在[)0,1-上有解，即m =-+1212x 在[)0,1-上有解因为()x f 是R 上的减函数，所以当[)0,1-∈x ，()()31100=-≤<=f m f ，得31≥m ，所以()9731-=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛f m f ............................10分又由0212x >+，得11212->-+x，即9711-≤⎪⎭⎫⎝⎛<-m f ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛m f 1的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛--97,1. .............................12分解：（Ⅰ）设顶点B 的坐标为()n m ,因为顶点B 在直线BN 上，所以052=--n m .........2分由顶点B 的坐标为()n m ,和顶点()1,5A ,得线段AB 的中点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++21,25n m .因为中点M 在直线CM 上，所以0521252=-+-+⨯n m ，即012=--n m .............................................4分联立方程组⎩⎨⎧=--=--012052n m n m ，解得B 的坐标为()3,1--. ..........6分（Ⅱ）设顶点()1,5A 关于直线BN 的对称点为()t s A ,'由于线段'AA 的中点在直线BN 上，得方程0521225=-+⨯-+t s ,即072=--t s ................7分由于直线'AA 与直线BN 垂直，得方程15121-=--⨯s t ，即0112=-+t s ...............8分联立方程组⎩⎨⎧=-+=--0112072t s t s ，解得⎪⎭⎫⎝⎛-53,529'A ...................10分显然顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,529'A 在直线BC 上，又顶点B 的坐标为()3,1--所以，直线BC 的方程为045176=--y x . ..................12分22.解：（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为()x T 1，()x T 2，()x T 3.由题设，有()x x x T 10006300021=⨯=，()kx x T 20002=，()()x k x T +-=120015003，其中x ，kx ，()x k +-1200均为1到200之间的正整数. ..............6分（Ⅱ）完成订单任务的时间为()()()(){}x T x T x T x f 321,,max =，其定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<*,12000N x k x x ，易知，()()x T x T 21,为减函数，()x T 3为增函数，注意到()()x T k x T 122=，于是①当2=k 时，()()x T x T 21=,此时()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x x T x T x f 32001500,1000max ,max 31由函数()()x T x T 31,的单调性知，当x x 320015001000-=时()x f 取得最小值，解得9400=x . ..........................................7分由于45940044<<, 而()()1125044441==T f , ()()1330045453==T f , ()()4544f f <,故当44=x 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为()1125044=f ； .........................................8分②当2>k 时，()()x T x T 21>，由于k 为整数，故3≥k ，此时()()x x x T x T -=-=≥50375420015003，易知()x T 为增函数.由于371140036<<，而()()11250925036361>==T ϕ, ()()11250133753737>==T ϕ, 此时完成订单任务的最短时间大于11250； ...11分③当2<k 时，()()x T x T 21<，由于k 为正整数，故1=k . 此时()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x x T x T x f 100750,2000max ,max 32，由函数()x T 2，()x T 3的单调性知，当x x-=1007502000时()x f 取得最小值，解得11800=x . .................................................12分类似①的讨论.此时完成订单任务的最短时间为9250,大于11250. ......13分综上所述，当2=k 时完成订单任务的时间最短，此时生产A ,B ,C 三种部件的人数分别为44,88,68. ......................................14分。

2022-2023学年山东省淄博市淄川区淄川中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省淄博市淄川区淄川中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =（） A ．{1,0,1,2}- B ．{0,1,2} C ．{1,2} D ．{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合B ，然后由交集定义计算．【详解】{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-，∴{0,1,2}A B ⋂=. 故选：B ．2．已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤- B ．112a -<≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<【答案】D【解析】由p 是q 的必要条件，列不等式组，可得实数a 的取值范围．【详解】由p 是q 的必要条件，可得21221a a -≤⎧⎨>+⎩，解得112a -≤< 故选：D.3．设0.311531log 3,log 5,()5a b c ===，则（）A ．a b c <-=-，所以10a -<<，1333log 5log 5log 31b ==-<-=-，所以1b <-，0.3105c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以b a c <<. 故选：D4．函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定．【详解】()()21ln 11ln 2201f =+-=-<，()()2ln 21ln 31022f =+-=-> 由()21201f x x x'=+>+，则()f x 在()0,∞+上单调递增. 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是()1,2故选：B5．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级γ可定义为0.6lg I γ=.在2021年3月下旬，A 地区发生里氏3.1级地震，B 地区发生里氏7.3级地震，则B 地区地震所散发出来的相对能量是A 地区地震所散发出来的相对能量的（）倍. A ．7 B ．610 C ．710 D ．810【答案】C【分析】把两个震级代入0.6lgI γ=后，两式作差即可解决此题．【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为1I ，里氏7.3级地震所散发出来的能量为2I ，则13.10.6lgI =⋅⋅⋅①，27.30.6lgI =⋅⋅⋅②②-①得：214.20.6I lg I =，解得：72110I I =．故选：C ．6．函数()3ln f x x x =⋅的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】应用排除法，结合奇偶性定义判断()f x 奇偶性，由解析式判断1()2f 的符号，即可确定图象.【详解】由()33()ln ln ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-且定义域为{|0}x x ≠，函数为奇函数，排除A 、C ；又1ln 2()028f =-<，排除B. 故选：D.7．已知函数()242,1,,1,x x ax x f x a x ⎧-+<=⎨⎩对于任意两个不相等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围. 【详解】由题可得，函数()f x 为单调递减函数，当1x <时，若()f x 单减，则对称轴21x a =≥，得：12a ≥, 当1x ≥时，若()f x 单减，则01a <<，在分界点处，应满足142a a -+≥，即35a ≤，综上：1325a ≤≤ 故选：B8．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.二、多选题9．下列各选项中，表示同一函数的是（）A ．()()01,f x g x x ==B ．()()21ln ,ln 2f x x g x x ==C ．()()3,f x x g x ==D ．()()22,4x xf xg x ==【答案】CD【分析】根据函数的定义，若两个函数的定义域和对应法则均相同，则两个函数为同一函数【详解】选项A 中，1f x的定义域为R ,()0g x x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一函数；选项B 中，()ln f x x =的定义域为()0,+∞，()21ln 2g x x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一函数；选项C 中，()()3,f x x g x ==的定义域均为R ，且()3x g x ==，所以为同一函数；选项D 中，()224x x f x ==，定义域均为R ，所以为同一函数故选：CD10．下列命题为真命题的是（）A ．若1a b <<，则1111a b>-- B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若a b >，则11a b<D ．lg 0x <是1x <的充分不必要条件【答案】BD【分析】根据不等式性质可知AB 正误；通过反例可知C 错误；由lg 0x <可得01x <<，由推出关系可得D 正确.【详解】对于A ，1a b <<，1a b ∴->->-，110a b ∴->->，11011a b∴<<--，A 错误；对于B ，0a b <<，2a ab ∴>，2ab b >，22a ab b ∴>>，B 正确；对于C ，若1a =，1b，则11a=，11b =-，此时11a b >，C 错误；对于D ，由lg 0x <得：01x <<，lg 01x x ∴<⇒<，1lg 0x x <<，lg 0x ∴<是1x <的充分不必要条件，D 正确.故选：BD.11．下列结论中，正确的是（） A ．函数12x y -=是指数函数B ．函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞C ．若(0,1)m n a a a a >>≠则m n >D ．函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠的图像必过定点(2,2)- 【答案】BD【分析】根据指数函数的性质求解判断．【详解】由指数函数定义得函数12x y -=不是指数函数，A 错；函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭中，222(1)1u x x x =-+=--+，在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，因此函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞，B 正确；01a <<时，由m n a a >得m n <，C 错；函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠中，由20x -=得2x =，(2)2f =-，即函数()f x 图象过点(2,2)-，D正确．故选：BD ．12．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案.【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当0∆>时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-故211212a <-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =-(1,1)∈-，则x 有2解，当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.三、填空题13．若()4xf x =，则()2log 3f =___________.【答案】9【分析】根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由()4x f x =，可得()2222log 3log 32lo o 29g 3l g 2log 34(2)229f =====.故答案为：914．若函数()()log 1a f x x =-过点(),0a ，则()0f x >的解集为___________. 【答案】()2,+∞【分析】由函数()()log 1a f x x =-过点(),0a 可求得参数a 的值，进而解对数不等式即可解决. 【详解】由函数()()log 1a f x x =-过点(),0a 可得，()log 10a a -=，则11a -=，即2a =，此时()()2log 1f x x =- 由()2log 10x ->可得11x ->即2x > 故答案为：()2,+∞15．已知()f x 为R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，1()21x f x x =-+，则不等式(31)(1)f x f x -<-的解集为___________. 【答案】1(,)2-∞【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，【详解】由函数2x y =与11y x =-+均在[0,)+∞上单调递增，故()f x 在[0,)+∞上单调递增，而()f x 为R 上的奇函数，故()f x 在R 上单调递增，(31)(1)f x f x -<-等价于311x x -<-，得12x <，故答案为：1(,)2-∞16．若函数()22()log 3f x x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]4,4-【分析】根据()2,+∞是函数()22()log 3f x x ax a =-+递增区间的子集求得实数a 的取值范围．【详解】解：∵ ()22()log 3f x x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，()2022f a ⎧≥⎪∴⎨--≤⎪⎩，即404a a +≥⎧⎨≤⎩，解得44a -≤≤．故答案为：[]4,4-．四、解答题 17．计算： (1)51213log 333274258--⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭；(2)2321(lg5)lg2lg5lg4log 4log 32++-⨯.【答案】(1)13-(2)1-【分析】（1）以实数指数幂的运算规则及对数恒等式解之即可；（2）以对数运算规则及对数换底公式解之即可. 【详解】（1）51213log 333274258--⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭()1312323332232--⎡⎤⎛⎫=+⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13413333232--⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13232-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭213=-13=-（2）2321(lg5)lg2lg5lg4log 4log 32++-⨯()122lg2lg3lg5lg5lg2lg4lg3lg2=++-⨯lg5lg22=+-12=-1=- 18．（1）若2)f x =-求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()f x x =-.【答案】（1）解析式为()24f x x =-，定义域为：[2,)-+∞（2）[2,)-+∞【分析】（1）利用换元法令2(2)t t =≥-，解出x ，代入原函数中化简即可（2）换元法将函数转化为二次函数求值域【详解】（1）令2t =0≥222t ≥-⇒≥-，2t +，()22x t =+所以有()()()222424f t t t t =+-+=-即函数()f x 的解析式为()24f x x =-，定义域为[2,)-+∞（2）令1)t t =≥，所以21(1)x t t =-≥ 所以有221y t t =--(1)t ≥由对称轴为：1t =，开口向上，所以函数在1t ≥上单调递增，所以2y ≥-，即函数的值域为[2,)-+∞.19．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减. (1)求f （x ）的解析式；(2)若正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，若不等式32a b+≥n 恒成立，求实数n 的最大值.【答案】(1)1()f x x -= (2)6【分析】（1）利用幂函数的性质即可求解m 的值；（2）利用基本不等式求出32a b+的最小值，即可求解n 的最大值.【详解】（1）幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以244120m m m ⎧-+=⎨-<⎩，解得m ＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a +3b ＝4，，所以32a b +＝14（32a b +）（2a +3b ）＝14（12+49a b b a +）≥6，当且仅当4a b ＝9b a ，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故32a b+的最小值为6，又不等式32a b+≥n 恒成立，所以n ≤6，即实数n 的最大值6.20．已知定义域为 R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数.(1)求 ,a b 的值;(2)用定义证明 ()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;(3)若对于任意 R t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-< 恒成立，求k 的范围.【答案】(1)1a =，1b =. (2)证明见解析. (3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案. （2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将()()22220f t t f t k -+-<恒成立，转化为232k t t <-对任意的R t ∈都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数，02(0)02b f a-∴==+，可得1b = 又 (1)(1)f f -=-,11121222a a ----∴=-++ ,解之得1a =, 经检验当 1a =且1b =时，12()21xxf x -=+ ，满足1221()()2112x x xxf x f x -----===-++是奇函数, 故1a =，1b =.（2）由（1）得122()12121x x x f x -==-+++ ，任取实数 12,x x ，且12x x <，则 ()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++ ， 12x x <，可得1222x x <，且()()1221210xx++>，故()()()211222202121x x x x ->++，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;（3）根据（1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数.∴不等式()()22220f t t f t k -+-< 恒成立，即()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+恒成立，也就是:2222t t t k ->-+对任意的R t ∈都成立，即232k t t <-对任意的R t ∈都成立，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ，当13t =时232t t -取得最小值为13-， 13k ∴<-，即k 的范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 21．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.(1)根据以上数据，试从x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），b y a x =⋅（0a >，0b >且1b ≠），y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从2019年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据:lg 20.30≈，lg30.48≈）【答案】(1)应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且；315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ (2)2028年底【分析】（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且，由待定系数法即可求得函数关系式；（2）由题意列式求出每年下降得百分比，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得结果.【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且由题意得011502250a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得150032a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以315002x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ （2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，依题意得.()()550000150000110%r -=-，解得1510.9r -=，设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆，则有()15500001500000.9x x y r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设从2019年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1531500500000.92x x ⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得15331000.92xx ⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()lg3lg3lg 222lg315x x +->+-，解得2lg38.0913lg3lg 255x ->≈+-，故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.22．已知函数()()()3log 31R x f x kx k =++∈为偶函数. (1)求实数k 的值；(2)若方程()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)12k =-；(2){3(0,)--⋃+∞.【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得(31)0x a ->，23(1)310x x a a ⋅-+-=有且仅有一个实数根，讨论0a >、a<0，结合指数函数、二次函数的性质求参数范围.【详解】（1）由题设，()()f x f x -=，即33log (31)log (31)x x kx kx --++=++，∴32log 3x kx x -==-，可得21k =-，则12k =-. （2）由题设，()33log (31)log 322x x x x a a -++=+⋅-，则33log (31)log (31)x x x a +=+-， ∴(31)0x a ->，且2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-，整理得23(1)310x x a a ⋅-+-=，令3x t =，则2()(1)1g t at a t =-+-有且仅有一个零点，(0)10g =-<，(1)20g =-<，当0a >时，0x >，此时，(1,)t ∈+∞且()g t 开口向上， ∴()g t 在(1,)+∞上有且仅有一个零点；当a<0时，0x <，此时，(0,1)t ∈且()g t 开口向下且对称轴11(1)2x a=+，∴1012a<+<，即1a <-时，仅当22(1)4610a a a a ∆=++=++=，可得3a =-- 110a+<，即10a -<<时，()g t 在(0,1)上无零点.综上，{3(0,)a ∈--⋃+∞.【点睛】关键点点睛：第二问，注意(31)0x a ->，讨论0a >、a<0对应定义域区间不同，另外结合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。

2023-2024学年山东省淄博市高一上学期期末数学学情检测试题(含答案)

2023-2024学年山东省淄博市高一上册期末数学学情检测试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =-->，{}lg(1)1B x x =+≤，则()R A B ⋂=ð（）A ．{39}x x <≤B ．{}23x x -≤≤C ．{}29x x -≤≤D ．{13}x x -<≤【正确答案】D【分析】求出集合A 、B 、R A ð，再进行交集运算即可.【详解】由题意得:{}{260|2A x x x x x =-->=<-或}3x >，所以{}23R A x x =-≤≤ð，{}{}{}lg(1)1011019B x x x x x x =+≤=<+≤=-<≤，故(){13}R A B x x ⋂=-<≤ð.故选：D本题主要考查了集合的交集和补集运算，涉及解一元二次不等式、对数不等式，属于基础题.2．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（）．A ．b a c <>D ．a c b<<【正确答案】A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>=所以b a c <<故选：A本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.3．已知α为第二象限角，5sin 13α=，则tan 11tan αα-=+（）A ．177B ．717C ．177-D ．717-【正确答案】C【分析】根据α为第二象限角，5sin 13α=，利用同角三角函数的基本关系求出12cos 13α=-，进而得到5tan 12α=-，代入计算即可求解.【详解】因为α为第二象限角，且5sin 13α=，所以12cos 13α=-，则sin 5tan cos 12ααα==-，所以51tan 1171251tan 7112αα---==-+-，故选.C4）A．B．CD【正确答案】A【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案.【详解】由题意，可知0a ≥，()11111116363623a a a a a a =-⋅=-⋅=-=-=-故选：A.5．设函数()237xf x x =+-，()ln 26g x x x =+-，若实数a ，b 满足()0f a =，()0g b =，则（）A ．()()0f b g a <又()0,f a = 12,a ∴<<因为()ln 26g x x x =+-在(0,)+∞是单调递增函数，且(2)ln 2460g =+-<，(3)ln 30g =>，又()0,gb = 23,b ∴<<()ln 26(2)ln 220g a a a g ∴=+-<=-<，2()237(2)232730b f b b f =+->=+⨯-=>，()0().g a f b ∴<<故选：B ．6．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：lg1.20.079≈，lg 20.301≈）A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【正确答案】C【分析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过1.28亿元的年份.【详解】由题意，可设经过n 年后，投入资金为y 万元，则()5000120%ny =+.由题意有()5000120%12800n+>，即1.2 2.56n >，则8lg1.2lg 2.56lg 22n >=- ，所以80.30125.160.079n ⨯->≈，所以6n =，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.故选C.本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.7．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，())2020log f x x =，则关于x 的不等式()()122f x f -<的解集为（）．A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】分析出函数())2020log f x x =+在区间[)0,∞+上为增函数，由()()122f x f -<可得()()122f x f -<，由此可得出122x -<，进而可得出原不等式的解集.【详解】由于函数u x =在[)0,∞+上为增函数，所以，函数())2020log f x x =+在区间[)0,∞+上为增函数，由于函数()y f x =为R 上的偶函数，由()()122f x f -<可得()()122f x f -<，122x ∴-<，可得2212x -<-<，解得1322x -<<.因此，关于x 的不等式()()122f x f -<的解集为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.8．已知函数()2016112,012log,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c++的取值范围是（）A ．()1,2016B ．[]1,2016C ．()2,2017D ．[]2,2017【正确答案】C【分析】根据题意，做出函数()f x 的图像，结合图像即可得到结果.【详解】因为()2016112,012log ,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，即()201612,02122,12log ,1x x f x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当12x =，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2016x =，()20161f =；不妨设a b c <<，做出函数()f x的大致图像，如下图所示，结合图像可得：1,12016a b c +=<<，1a b c c ∴++=+，即212017c <+<，a b c ∴++的取值范围是()2,2017故选:C9．若104a =，1025b =，则（）A ．2a b +=B ．1b a -=C ．2ab =D ．lg 6b a ->【正确答案】A【分析】指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．【详解】由已知lg 4a =，lg 25b =，lg 4lg 25lg1002a b +=+==；25lg 25lg 4lg 14b a -=-=≠；lg 4lg 252ab =≠；25lg 25lg 4lg14b a -=-=<，故选：A ．二、多选题10．下列说法正确的是（）A ．命题p ：∀x ，y ∈(0，1)，x ＋y ＜2，则⌝p ：∃x 0，y 0∈(0，1)，x 0＋y 0≥2B ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件C ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根”的充要条件【正确答案】ABD【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A ，举反例可以判断BC ，根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A ：命题p ：∀x ，y ∈(0，1)，x ＋y ＜2，否定为：∃x 0，y 0∈(0，1)，x 0＋y 0≥2故A 选项正确；选项B ：由1,1a b >>时，1ab >所以充分性成立，当13,2a b ==时，1ab >，但是1,1a b ><，故必要性不成立所以“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件故B 选项正确；选项C ：32->，但是32-<，所以|x |＞|y |不一定推出x ＞y 反之，34<-，但是34<-，所以x ＞y 不一定推出|x |＞|y所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件故C 错误；选项D ：关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根设为12,x x ，则()212Δ241000m m x x m ⎧=--⨯⨯>⎪⇔<⎨⋅=<⎪⎩所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根”的充要条件故选项D 正确；故选：ABD.11．函数()f x 的图象关于直线1x =对称，那么（）A ．(2)()f x f x -=B ．()()11f x f x -=+C ．函数(1)y f x =+是偶函数D ．函数(1)=-y f x 是偶函数【正确答案】ABC根据满足()()f a x f b x +=-的函数的对称性，确定AB 选项的正确性，利用函数图像变换以及偶函数的性质，判断CD 选项的正确性.【详解】若函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则()f x 的图象关于2a bx +=对称.对于A 选项，(2)()f x f x -=，则()f x 的图象关于1x =对称，符合题意；对于B 选项，()()11f x f x -=+，则()f x 的图象关于1x =对称，符合题意；对于C 选项，()1f x +的对称轴为y 轴，()1f x +图象向右平移一个单位得到()f x 图象，所以()f x 的图象关于1x =对称，符合题意；对于D 选项，()1f x -的对称轴为y 轴，()1f x +图象向左平移一个单位得到()f x 图象，所以()f x 的图象关于=1x -对称，不符合题意；故选：ABC本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图像变换，考查函数的奇偶性，属于基础题.12．已知实数x ，y ，z 满足1ln e y x z==，则下列关系式中可能成立的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y>>D ．z y x>>【正确答案】ABC【分析】令1ln e yx zt ===，则,,x y z 表示y t =与ln y x =，e x y =，1y x =交点的横坐标，采用数形结合的方式可得结论.【详解】令1ln e yx zt ===，则,,x y z 表示y t =与ln y x =，e x y =，1y x =交点的横坐标，不妨记x a =，y b =，z c =，在平面直角坐标系中做出ln y x =，e x y =，1y x=图像，当y t =与ln y x =，e x y =，1y x=位置关系如下图所示时，b<c<a ，即x z y >>；当y t =与ln y x =，e x y =，1y x=位置关系如下图所示时，c b a <<，即x y z >>；当y t =与ln y x =，e x y =，1y x=位置关系如下图所示时，b a c <<，即z x y >>；综上所述：关系式可能成立的是x y z >>或x z y >>或z x y >>.故选：ABC.三、填空题13．计算31log 225lg 2lg 230.252-+++=______.【正确答案】5运用对数，指数的运算性质求解运算.【详解】31212log 222551lg 2lg 230.25lg lg 22222--⎡⎤⎛⎫+++=+++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦151lg 42lg10414522-⎛⎫=⨯++=+=+= ⎪⎝⎭故514．若函数()133x mg x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不经过第一象限,则m 的取值范围为____________.【正确答案】1m ≥-【分析】图象不经过第一象限,只需()00g ≤,代入解析式,解出不等式即可.【详解】解:由题知()133x mg x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若函数()g x 单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y 轴交点不在y 轴正半轴上，只需()00g ≤即可,即1303m⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,解得:1m ≥-.故答案为:1m ≥-15．函数1y=2⎛ ⎪⎝⎭________．【正确答案】1[2]2，【分析】欲求函数1(2y =得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数的单调减区间即可．【详解】令220t x x ≥＝－＋＋，得函数定义域为[]12－，，所以22t x x ＝－＋＋在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减．根据“同增异减”的原则，函数1y=2⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．本小题主要考查函数的单调性及单调区间、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．当遇到函数综合应用时，处理的优先考虑“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域．16．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.1(0)3x >【分析】利用方程组法求函数解析式，将x 换成1x，两式联立即可求解.【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将x 换成1x 可得：1()()1g x x =-，将其代入上式可得：()11()1]14()1g x g g x g xx ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，所以1()(0)3g x x =>，故答案为1(0)3x +>四、解答题17．已知集合{}{}23180,3|22|A x x x B x m x m =--≤=-≤≤+.（1）当0m =时，求()R A B ð；（2）若()R B A ⋂=∅ð，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）{}6|2x x <≤；（2）{4|0m m ≤≤或5}m >.【分析】（1）化简集合A ，B ，根据集合的补集和交集运算可得结果；（2）分类讨论集合B ，根据交集运算的结果列式可得解.【详解】（1）{}360|,A x x m =-≤≤=时，{}|32B x x =-≤≤，∴3{|R B x x =<-ð或2}x >；{}26()|R A B x x =<≤ ð.（2）3{|R A x x =<-ð或6}x >，且()R B A ⋂=∅ð，∴①B =∅时，232m m ->+，解得5m >；②B ≠∅时，523326m m m ⎧⎪-≥-⎨⎪+⎩，解得04m ≤≤，综上得，实数m 的取值范围为{4|0m m ≤≤或5}m >.18．已知幂函数()()223mm f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【正确答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223mm f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为.5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.19．（1）已知3cos 5α=-，α为第三象限角，求sin α的值；（2）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.【正确答案】（1）4sin 5α=-；（2）57.【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得sin α的值；（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为α为第三象限角，则4sin 5α==-；（2）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.20．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()43x x a f x =+．(1)求()f x 在[0,4]上的解析式；(2)若[2,1]x ∃∈--使不等式11()23x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()34x xf x =-(2)[)5,+∞【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有(0)0f =，即可求出a 的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；（2）参变分离后构造函数()12223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数()g x 的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.【详解】（1）（1）因为()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，[4,0]x ∈-时，1()43x x a f x =+，所以001(0)043a f =+=，解得1a =-，所以[4,0]x ∈-时，11()43x x f x =-，当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，所以11()4343x x x x f x ---=-=-，又()()f x f x -=-，所以()43-=-x x f x ，()34x x f x =-，即()f x 在[0,4]上的解析式为()34x x f x =-.（2）因为[2,1]x ∈--时，11()43x xf x =-，所以11()23x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-，整理得1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x m ，令()12223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数，所以()g x 也是减函数，()()11min 1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5m ≥，故实数m 的取值范围是[)5,+∞.21．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过10t 的部分为2.20元/t ；超过10t 不超过18t 的部分为2.80元/t ；超过18t 部分为3.20元/t.(1)试求居民月水费y （元）关于用水量x （t ）的函数关系式；(2)若某户居民6月份、7月份共用水36t ，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？【正确答案】(1)[]()(]()()()2.2,0,102.86,10,183.213.2,18,x x y x x x x ∞⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+⎪⎩(2)6月份用水16吨，7月份用水20吨.【分析】（1）根据x 的不同取值范围列出表达式，即可得到结果；（2）两个月共用水36吨，说明一个月比18吨多，一个月比18吨少，但都不会少于10吨，又6月份水费少，因此6月份少于18吨，7月份多于18吨，由此列方程即可.【详解】（1）根据题意可得:当010x ≤≤时，22y x =.；当1018x <≤时，()2.21010 2.8 2.86y x x =⨯+-⨯=-；当18x >时，()()221810 2.818 3.2 3.213.2y x x =+-⨯+-⨯=-综上，[]()(]()()()2.2,0,102.86,10,183.213.2,18,x x y x x x x ∞⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+⎪⎩（2）因为两个月共用水36吨，说明一个月比18吨多，一个月比18吨少，设6月份用水x 吨，因为6月份水费少，则18x ≤，又因为2.818644.4⨯-=，且44.41222->，显然10x >所以()2.8612 3.23613.2x x -+=⨯--，解得16x =，所以6月份用水16吨，7月份用水361620-=吨.22．设a R ∈，函数()(x x e a f x e e a+=-为常数， 2.71828)e =⋯．（1）若1a =，求证：函数()f x 为奇函数；（2）若a<0．①判断并证明函数()f x 的单调性；②若存在[1x ∈，2]，使得22(2)(4)f x ax f a +>-成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析；（2）①()f x 为R 上的单调增函数，证明见解析；②(,3)-∞-.（1）把1a =代入得1()1x x e f x e +=-，且()f x 定义域为{|0}x x ≠，求出()f x -并化简并判断与()f x -的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；（2）①结合单调性的定义，先设12x x <，利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小关系即可判断；②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，函数1()1x x e f x e +=-，因为10x e -≠，则0x ≠，所以()f x 定义域为{|0}x x ≠，对任意0x ≠，1e ()e 1e 11()e xx xx f f x x --+==---+-=，所以1()1x x e f x e +=-是奇函数．（2）①当a<0时，()f x 为R 上的单调增函数，证明如下：证明：a<0时，0x e a ->恒成立，故函数()f x 定义域为R ，任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则12x x e e <，因为21121212222()()()(1)(1)0()()x x x x x x a a a e e f x f x e a e a e a e a --=+-+=<----，所以()f x 为R 上的单调增函数.②设命题p ：存在[1x ∈，2]，使得22(2)(4)f x ax f a +>-成立，下面研究命题p 的否定：:[1p x ⌝∀∈，2]，22(2)(4)f x ax f a +-恒成立，若p ⌝为真命题，由①，()f x 为R 上的单调增函数，故[1x ∀∈，2]，2224x ax a +-恒成立．设22()24g x x ax a =++-，[1x ∈，2]，则0(1)0(2)0a g g <⎧⎪⎨⎪⎩，解得30a -<，因为p 为真，则p ⌝为假命题，所以实数a 的取值范围为(,3)-∞-．本题考查函数奇偶性及单调性定义和判断，以及利用单调性解决不等式恒成立问题从而求参数范围，函数性质的综合应用是求解问题的关键.。

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2016-2017学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U={0，1，2，3，4，5，6}，A={0，1，3，5}，B={1，2，4}，那么A ∩（∁U B ）=（）A ．{6}B ．{0，3，5}C ．{0，3，6}D ．{0，1，3，5，6}2．已知直线mx +3y ﹣12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．函数f （x ）=+lg （x +1）的定义域为（） A ．[﹣1，2] B ．[﹣1，2） C ．（﹣1，2] D ．（﹣1，2）4．若幂函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x 1﹣m 是偶函数，则实数m=（） A ．﹣1 B ．2 C ．3 D ．﹣1或25．已知两点A （0，1），B （4，3），则线段AB 的垂直平分线方程是（） A ．x ﹣2y +2=0 B ．2x +y ﹣6=0 C ．x +2y ﹣2=0 D ．2x ﹣y +6=06．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，AA 1=5，则该几何体的表面积是（）A ．216B ．168C ．144D ．1207．若点（a ，b ）在函数f （x ）=lnx 的图象上，则下列点中不在函数f （x ）图象上的是（）A ．（，﹣b ）B ．（a +e ，1+b ）C ．（，1﹣b ）D ．（a 2，2b ）8．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α B ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m9．若三条直线l 1：ax +2y +6=0，l 2：x +y ﹣4=0，l 3：2x ﹣y +1=0相交于同一点，则实数a=（）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．1210．已知函数f （x ）=|log 3x |，若函数y=f （x ）﹣m 有两个不同的零点a ，b，则（） A ．a +b=1 B ．a +b=3m C ．ab=1D ．b=a m 11．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）①BM 与ED 平行②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④12．甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计），那么他持有的资金最多可变为（）A ．120万元B ．160万元C ．220万元D ．240万元二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．计算：（﹣2）0﹣log 2= ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．已知P 1，P 2分别为直线l 1：x +3y ﹣9=0和l 2：x +3y +1=0上的动点，则|P 1P 2|的最小值是．16．狄利克雷是德国著名数学家，函数D （x ）=被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D （x ）的五个结论：①若x 是无理数，则D （D （x ））=0；②函数D （x ）的值域是[0，1]；③函数D （x ）偶函数；④若T ≠0且T 为有理数，则D （x +T ）=D （x ）对任意的x ∈R 恒成立； ⑤存在不同的三个点A （x 1，D （x 1）），B （x 2，D （x 2）），C （x 3，D （x 3）），使得△ABC 为等边角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知集合A={x |＜2x ＜4}，B={x |0＜log 2x ＜2}．（1）求A ∩B 和A ∪B ；（2）记M ﹣N={x |x ∈M ，且x ∉N }，求A ﹣B 与B ﹣A ．18．求满足下列条件的直线方程：（1）求经过直线l 1：x +3y ﹣3=0和l 2：x ﹣y +1=0的交点，且平行于直线2x +y ﹣3=0的直线l 的方程；（2）已知直线l 1：2x +y ﹣6=0和点A （1，﹣1），过点A 作直线l 与l 1相交于点B ，且|AB |=5，求直线l 的方程．19．如图，在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AD=AC ，AB=DE ，F 是CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ．20．已知指数函数y=g （x ）的图象经过点（2，4），且定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．（1）求f （x ）的解析式，判断f （x ）在定义域R 上的单调性，并给予证明；（2）若关于x 的方程f （x ）=m 在[﹣1，0）上有解，求f （）的取值范围． 21．已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5=0，∠B 的平分线BN 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5=0．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程．22．某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为K （K 为正整数）．（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．2016-2017学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U={0，1，2，3，4，5，6}，A={0，1，3，5}，B={1，2，4}，那么A ∩（∁U B ）=（）A ．{6}B ．{0，3，5}C ．{0，3，6}D ．{0，1，3，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义写出对应的结果即可．【解答】解：集合U={0，1，2，3，4，5，6}，A={0，1，3，5}，B={1，2，4}，则∁U B={0，3，5，6}，A ∩（∁UB ）={0，3，5}．故选：B ．2．已知直线mx +3y ﹣12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】直线的截距式方程．【分析】令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=，利用直线mx +3y ﹣12=0在两个坐标轴上截距之和为7，建立方程，即可求出实数m 的值．【解答】解：令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=，∵直线mx +3y ﹣12=0在两个坐标轴上截距之和为7，∴4+=7，∴m=4，故选C ．3．函数f （x ）=+lg （x +1）的定义域为（）A ．[﹣1，2]B ．[﹣1，2）C ．（﹣1，2]D ．（﹣1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f （x ）=+lg （x +1），∴，解得﹣1＜x ≤2，∴函数f （x ）的定义域为（﹣1，2]．故选：C ．4．若幂函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x 1﹣m 是偶函数，则实数m=（） A ．﹣1 B ．2 C ．3 D ．﹣1或2【考点】幂函数的性质．【分析】利用幂函数性质直接求解．【解答】解：∵幂函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x 1﹣m 是偶函数，∴，解得m=﹣1．故选：A ．5．已知两点A （0，1），B （4，3），则线段AB 的垂直平分线方程是（） A ．x ﹣2y +2=0 B ．2x +y ﹣6=0 C ．x +2y ﹣2=0 D ．2x ﹣y +6=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式．【解答】解：两点A （0，1），B （4，3），它的中点坐标为：（2，2），直线AB 的斜率为：=，AB 垂线的斜率为：﹣2，线段AB 的垂直平分线方程是：y ﹣2=﹣2（x ﹣2），即：2x +y ﹣6=0．故选B ．6．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，AA 1=5，则该几何体的表面积是（）A ．216B ．168C ．144D ．120【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】该几何体的表面积S=2S △ABC +++，由此能求出结果．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，AA 1=5，∴该几何体的表面积：S=2S △ABC +++ =2×+6×5+8×5+×5 =168．故选：B ．7．若点（a ，b ）在函数f （x ）=lnx 的图象上，则下列点中不在函数f （x ）图象上的是（）A ．（，﹣b ）B ．（a +e ，1+b ）C ．（，1﹣b ）D ．（a 2，2b ）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用点在曲线上，列出方程，利用对数的运算法则化简，判断选项即可．【解答】解：因为（a ，b ）在f （x ）=lnx 图象上，所以b=lna ，所以﹣b=ln ，1﹣b=ln ，2b=2lna=lna 2，故选：B ．8．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α B ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】若l ⊥α，l ∥m ，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，得到m ⊥α．【解答】解：若l ⊥α，l ∥m ，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，所以m ⊥α所以选项A 正确；若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α或l 与α斜交或l 与α平行，所以选项B 不正确；若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m 或l 与m 是异面直线，所以选项C 错误；若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或l 与m 异面或l ∥m 相交，所以选项D 错误；故选A9．若三条直线l 1：ax +2y +6=0，l 2：x +y ﹣4=0，l 3：2x ﹣y +1=0相交于同一点，则实数a=（）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12【考点】两条直线的交点坐标．【分析】由l 2：x +y ﹣4=0，l 3：2x ﹣y +1=0，可得交点坐标为（1，3），代入直线l 1：ax +2y +6=0，可得a 的值．【解答】解：由l2：x+y﹣4=0，l3：2x﹣y+1=0，可得交点坐标为（1，3），代入直线l1：ax+2y+6=0，可得a+6+6=0，∴a=﹣12，故选：A．10．已知函数f（x）=|log3x|，若函数y=f（x）﹣m有两个不同的零点a，b，则（）A．a+b=1 B．a+b=3m C．ab=1 D．b=a m【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知中函数f（x）=|log3x|，函数y=f（x）﹣m有两个不同的零点a，b，可得a≠b且f（a）=f（b），则log3a+log3b=0，进而根据对数的运算性质，即可得到答案【解答】解：∵函数y=f（x）﹣m有两个不同的零点a，b，∴a≠b且f（a）=f （b），∵f（x）=|log3x|，∴log3a+log3b=0即log3a+log3b=log3（ab）=0，∴a•b=1故选：C．11．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）①BM与ED平行②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．A．①②③B．②④C．③④D．②③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN 与BM 成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM ⊥平面BCN ，所以④正确；故选C ．12．甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计），那么他持有的资金最多可变为（）A ．120万元B ．160万元C ．220万元D ．240万元【考点】函数的图象．【分析】根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．【解答】解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t 2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，乙在4元时，买入，可以买÷4=40（万）份，在t 4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，共获利40+80=120万，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．计算：（﹣2）0﹣log 2=．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可【解答】解：原式=1﹣=，故答案为：14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为三棱锥S ﹣ABC ，其中底面△ABC 中，O 是BC 中点，AO=BO=CO=3，SO ⊥底面ABC ，SO=4，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：如图所示，由三视图知几何体为三棱锥S ﹣ABC ，其中底面△ABC 中，O 是BC 中点，AO=BO=CO=3，SO ⊥底面ABC ，SO=4，∴该几何体的体积为：V====12．故答案为：12．15．已知P 1，P 2分别为直线l 1：x +3y ﹣9=0和l 2：x +3y +1=0上的动点，则|P 1P 2|的最小值是．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】|P 1P 2|的最小值是两条平行线间的距离，即可得出结论．【解答】解：|P 1P 2|的最小值是两条平行线间的距离，即d==，故答案为．16．狄利克雷是德国著名数学家，函数D （x ）=被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D （x ）的五个结论：①若x 是无理数，则D （D （x ））=0；②函数D （x ）的值域是[0，1]；③函数D （x ）偶函数；④若T ≠0且T 为有理数，则D （x +T ）=D （x ）对任意的x ∈R 恒成立； ⑤存在不同的三个点A （x 1，D （x 1）），B （x 2，D （x 2）），C （x 3，D （x 3）），使得△ABC 为等边角形．其中正确结论的序号是 ②③④ ．【考点】分段函数的应用．【分析】①，根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，从而可判断①；②，根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数，可判断②；③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f （x +T ）=f （x ），可判断③；④，取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④．【解答】解：①∵当x 为有理数时，D （x ）=1；当x 为无理数时，D （x ）=0， ∴当x 为有理数时，D （D （x ））=D （1）=1；当x 为无理数时，D （D （x ））=D （0）=1，即不管x 是有理数还是无理数，均有D （D （x ））=1，故①不正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有D （﹣x ）=D （x ），故②正确；③若x 是有理数，则x +T 也是有理数；若x 是无理数，则x +T 也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，D （x +T ）=D （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得D （x 1）=0，D （x 2）=1，D （x 3）=0， ∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．即真命题是②③④，故答案为：②③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知集合A={x |＜2x ＜4}，B={x |0＜log 2x ＜2}．（1）求A ∩B 和A ∪B ；（2）记M ﹣N={x |x ∈M ，且x ∉N }，求A ﹣B 与B ﹣A ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）化简集合A 、B ，根据交集与并集的定义写出A ∩B 和A ∪B ；（2）根据M ﹣N 的定义，写出A ﹣B 与B ﹣A 即可．【解答】解：集合A={x |＜2x ＜4}={x |﹣1＜x ＜2}，B={x |0＜log 2x ＜2}={x |0＜x ＜4}；（1）A ∩B={x |0＜x ＜2}，A ∪B={x |﹣1＜x ＜4}；（2）记M ﹣N={x |x ∈M ，且x ∉N }，则A ﹣B={x |﹣1＜x ≤0}，B ﹣A={x |2≤x ＜4}．18．求满足下列条件的直线方程：（1）求经过直线l 1：x +3y ﹣3=0和l 2：x ﹣y +1=0的交点，且平行于直线2x +y ﹣3=0的直线l 的方程；（2）已知直线l 1：2x +y ﹣6=0和点A （1，﹣1），过点A 作直线l 与l 1相交于点B ，且|AB |=5，求直线l 的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）联立直线l 1：x +3y ﹣3=0和l 2：x ﹣y +1=0的方程即可得到交点P 的坐标．设经过点P 且平行于直线2x +y ﹣3=0的直线方程为2x +y +m=0，把点P 代入求出m 即可；（2）当直线斜率不存在时，符合题意；当直线有斜率时，设直线方程为y +1=k （x ﹣1），联立方程组解交点，由距离公式可得k 的方程，解方程可得．【解答】解：（1）联立直线l 1：x +3y ﹣3=0和l 2：x ﹣y +1=0，解得x=1，y=2，得到交点P （1，2）．设经过点P 且平行于直线2x +y ﹣3=0的直线方程为2x +y +m=0，把点P 代入可得2×1+2+m=0，解得m=﹣4．∴要求的直线方程为：2x +y ﹣4=0．（2）当直线斜率不存在时，方程为x=1，与直线l ：2x +y ﹣6=0相交于B （1，4），由距离公式可得|AB |=5，符合题意；当直线有斜率时，设直线方程为y +1=k （x ﹣1），联立方程组可得，解得B （，），由距离公式可得（﹣1）2+（+1）2=25，解得k=﹣，∴所求直线的方程为y=﹣x ﹣，即3x +4y +1=0综上可得所求直线方程为：x=1或3x +4y +1=0．19．如图，在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AD=AC ，AB=DE ，F 是CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取CE 的中点M ，连结MF ，MB ，证明四边形ABMF 是平行四边形得到AF ∥BM ，利用直线与平面平行的判定定理证明AF ∥平面BCE ．（2）证明AF ⊥平面CDE ，推出BM ⊥平面CDE，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE ⊥平面CDE ．【解答】解：（1）证明：取CE 的中点M ，连结MF ，MB ，∵F 是CD 的中点∴MF ∥DE 且MF=DE∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD∴AB ∥DE ，MF ∥AB∵AB=DE ，∴MF=AB∴四边形ABMF 是平行四边形AF ∥BM ，AF ⊄平面BCE ，BM ⊆平面BCE∴AF ∥平面BCE（2）证明：∵AC=AD∴AF ⊥CD ，又∵DE ⊥平面ACD AF ⊆平面ACD ∴AF ⊥DE ，又CD ∩DE=D∴AF ⊥平面CDE又∵BM ∥AF ，∴BM ⊥平面CDE∵BM ⊄平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE20．已知指数函数y=g （x ）的图象经过点（2，4），且定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．（1）求f （x ）的解析式，判断f （x ）在定义域R 上的单调性，并给予证明；（2）若关于x 的方程f （x ）=m 在[﹣1，0）上有解，求f （）的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）求出指数函数的解析式，利用定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数，求f （x ）的解析式，利用导数的方法判断并证明f （x ）在定义域R 上的单调性；（2）若关于x 的方程f （x ）=m 在[﹣1，0）上有解，求出m 的范围，即可求f （）的取值范围．【解答】解：（1）指数函数y=g （x ）的图象经过点（2，4），则g （x ）=2x ， f （x ）=是奇函数，f （0）=0，可得b=1，由f （﹣1）=﹣f （1），可得a=1，∴f （x ）=， ∵f （x ）==﹣1+，∴f′（x ）=＜0，∴f （x ）在定义域R 上单调递减；（2）∵在[﹣1，0）上，f （x ）==﹣1+∈（0，]，∴m ∈（0，]，∴≥3，∴f （）≤﹣．21．已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5=0，∠B 的平分线BN 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5=0．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）设B （x 0，y 0），由AB 中点在2x ﹣y ﹣5=0上，在直线方程为x ﹣2y +5=0，求出B 的坐标；（2）求出A 关于x ﹣2y ﹣5=0的对称点为A′（x′，y′）的坐标，即可求出BC 边所在直线的方程．【解答】解：（1）设B （x 0，y 0），由AB 中点在2x ﹣y ﹣5=0上，可得2•﹣﹣5=0即2x 0﹣y 0﹣1=0，联立x 0﹣2y 0﹣5=0解得B （﹣1，﹣3）…（2）设A 点关于x ﹣2y +5=0的对称点为A′（x′，y′），则有解得A′（，）…∴BC 边所在的直线方程为y +3=（x +1），即18x ﹣31y ﹣75=0…22．某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为K （K 为正整数）．（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间分别为T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f （x ）=max {T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ）}，其定义域为，可得T 1（x ），T 2（x ）为减函数，T 3（x ）为增函数，T 2（x ）=T 1（x ），分类讨论：①当k=2时，T 2（x ）=T 1（x ），f （x ）=max {T 1（x ），T 3（x ）}=max {}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k ≥3时，T 2（x ）＜T 1（x ），记，为增函数，φ（x ）=max {T 1（x ），T （x ）}f （x ）=max {T 1（x ），T 3（x ）}≥max {T 1（x ），T （x ）}=max {}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k ＜2时，k=1，f （x ）=max {T 2（x ），T 3（x ）}=max {}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．【解答】解：（1）设写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间分别为T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ）∴，，其中x ，kx ，200﹣（1+k ）x 均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f （x ）=max {T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ）}，其定义域为∴T 1（x ），T 2（x ）为减函数，T 3（x ）为增函数，T 2（x ）=T 1（x ）①当k=2时，T 2（x ）=T 1（x ），f （x ）=max {T 1（x ），T 3（x ）}=max {} ∵T 1（x ），T 3（x ）为增函数，∴当时，f （x ）取得最小值，此时x=∵，，，f （44）＜f （45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k ≥3时，T 2（x ）＜T 1（x ），记，为增函数，φ（x ）=max {T 1（x ），T （x ）}高考帮——帮你实现大学梦想！21 / 21f （x ）=max {T 1（x ），T 3（x ）}≥max {T 1（x ），T （x ）}=max {} ∵T 1（x ）为减函数，T （x ）为增函数，∴当时，φ（x ）取得最小值，此时x=∵，， ∴完成订单任务的时间大于③当k ＜2时，k=1，f （x ）=max {T 2（x ），T 3（x ）}=max {} ∵T 2（x ）为减函数，T 3（x ）为增函数，∴当时，φ（x ）取得最小值，此时x= 类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．。