实数典型例题

实数典型问题精析（培优） 例1．（2009年乌鲁木齐市中考题）2的相反数是（ ） A ．2- B ．2 C ．22- D ．22分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A .要谨防将相反数误认为倒数，错选D.例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿.解 因为a ※b ＝a 2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号.4=1+3 9=3+616=6+10 …例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）A.13＝3+10B.25＝9+16C.36＝15+21D.49＝18+31解 因为15和21是相邻的两个“三角形数”，且和又是36，刚好符合“正方形数”，所以36＝15+21符合题意，故应选C .（说明 本题容易错选B ，事实上，25虽然是“正方形数”，而9和16也是“正方形数”，并不是两个相邻“三角形数”）.例5．（20092()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3分析：因为x-1≥0，1-x ≥0，所以x ≥1，x ≤1，即x ＝1.2()x y =+，有1+y ＝0，所以y ＝-1，x －y ＝1-（1）＝2.例6．（2009年宜宾市中考题）已知数据：13，π，－2．其中无理数出现的频率为( )A ．20％B ．40％C ．60％D ．80％分析：，22都是无理数；л是无限不循环小数，也是无理数；而31，-2都是有理数，所以无理数出现的频率为53＝0.6＝60％，选C ． 例7．(2009年鄂州市中考题)为了求2008322221++++Λ的值，可令S ＝2008322221++++Λ，则2S ＝20094322222++++Λ ，因此2S-S ＝122009-，所以2008322221++++Λ＝122009-．仿照以上推理计算出20093255551+++++Λ的值是（ ）A ．152009- B.152010- C.4152009- D.4152010-解析：本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方法，利用例题介绍的方法，有：设S ＝20093255551+++++Λ，则5S ＝201020093255555+++++Λ，因此5S-S ＝20105-1，所以S ＝4152010-，选D.说明：你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗？试一试.例8． （2009年枣庄市中考题）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．解析：首先要理解差倒数．．．的概念，再按照要求写出一列数，从中找出规律，再应用规律来解决问题.根据题意可得到：113a =-，2a ＝433111=--）（，3a ＝4311-＝4，4a ＝31411-=-，…，可见这是一个无限循环的数列，其循环周期为3，而2009＝669×3+2，所以a 2009与a 2相同，即2009a =34． 典型例题的探索（利用概念）例3. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。

分析：由算术平方根及立方根的意义可知><=+-><=-+2342,122b a b a 联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：，所以 故M ＋N 的平方根是±。

练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。

2. 若一个正数a 的两个平方根分别为和，求的值。

（大小比较）例4. 比较的大小。

分析：要比较的大小，必须搞清a 的取值范围，由知，由知，综合得，此时仍无法比较，为此可将a 的取值分别为①；②；③三种情况进行讨论，各个击破。

当时，取，则，显然有当时，，当时，仿①取特殊值可得（利用取值范围）例5. 已知有理数a 满足，求的值。

分析：观察表达式中的隐含条件，被开方数应为非负数即，亦即，故原已知式可化为：()2005200420042005200420052005200422=-∴=-∴=-∴=-+--a a a a a a 练习： 若x 、y 、m 适合关系式y x y x m y x m y x --++-=-++--+2005200532353，试求m 的值。

（思路：x-2005+y 与2005-x-y 互为相反数，且均有算术平方根，故二者分别为0）（规律探索）例6. 借助计算器计算下列各题：（1）（2）（3）（4）仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？分析：利用计算器计算得：（1），（2） （3），（4）观察上述各式的结果，容易猜想其中的规律为：个1与n 个2组成的数的差的算术平方根等于n 个3组成的数。

即实数思想方法小结实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，但是，如果我们运用数学的思想方法来指导本章的学习，却会收到良好的效果．那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的，在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到估算的方法进行解决。

例1估计10＋1的值是（ ） （A ）在2和3之间（B ）在3和4之间 （C ）在4和5之间 （D ）在5和6之间分析：此题主要考查学生的估算能力，首先要确定10的取值范围，在估算10＋1的取值范围。

因为9＜10＜16，所以9＜10＜16，即3＜10＜4，4＜10+1＜5，从而可确定10＋1的取值范围。

解：选C.二、数形结合思想所谓数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来的一种方法。

通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的。

在数轴上表示实数，根据数轴上的数进行有关的计算等都能体现数形结合思想的重要作用。

例2如图1，数轴上点A 表示2，点A 关于原点的对称点为B ，设点B 所表示的数为x ，求()022x x -+的值．分析：此题是与数轴有关的数形结合的问题，要求()022x x -+的值，需要先根据数轴确定x 的值，由数轴易得2x =-． 从而可求出代数式的值。

解：Q 点A 表示的数是2，且点B 与点A 关于原点对称，∴点B 表示的数是2-，即2x =-．00(2)2(22)2(2)121x x -+=--+⨯-=-=-．三、分类思想所谓分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结做出结论的思想方法。

按照不同的标准，实数会有一些不同的分类方法。

例3在所给的数据:,57.0,,31,5,232π-0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个解析：作此类题需要掌握实数的分类.判断一个数是哪类数，可以化简后再判断，但是对于代数式分类判断，则不能化简后再判断，如xx 2是分式，对于数、式分类时，常用策略是：“数看结果，式看形式”.2422==；3355-=-；显然22、31、0.57都是有理数;所以无理数的个数为3.选B.解释理由如下： ()32132132132132132132132132132131211121121233311191101111111011122211110111222111个个个个个个个个个个…………………………n n n n n n n n n n n n n =⨯=-⨯=-⨯=-+⨯=-《平方根》典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.解： 因为负数没有平方根，故m 必为非负数.（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a .（2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.综上所述，m 的值是81.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故21=x . 进而可得2=y .故y x =41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.（穿墙术）例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.一、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例1、若,622=----y x x 求y x的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x=2.从而可求出y=－6.解 ∵⎩⎨⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤22x x x=2; 当x=2时,y=－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a)=0,从而可求出a=－1,问题就解决了.解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a)=0, a=－1.a 的平方的相反数的立方根是.113-=-三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例3、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.（即负的平方根）分析 y=)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小， 而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a=2,b=－1. 解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y=)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a=2,b=－1.所以b a 的非算术平方根是.11-=-四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:如果x2=a （a≥0）那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察,这里的x实际是方程x2=a （a≥0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析把x+1看着是36的平方根即可.解∵（x+1）2=36 ∴x+1看着是36的平方根. x+1=±6.∴x1=5 , x2=－7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数是a的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．（例1与例2区别）例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．解：由2a－1+a－11=0，得a=4，所以2a－1=2×4－1=7．所以这个数为72=49．例2 已知2a－1和a－11是一个数的平方根，求这个数．分析：根据平方根的定义，可知2a－1和a－11相等或互为相反数．当2a－1=a－11时，a=－10，所以2a－1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a－1+a－11=0时,a=4,所以2a－1=7,这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.（区别：类似3是9的平方根，但9的平方根不是3，是+3、-3.）例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．所以选（C）．练一练:1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根..答案:1.49;2. 49或1225; 3.5从被开方数入手二次根式中被开方数的非负性，时常是求解二次根式问题的重要隐含条件。