中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与位似精练试题
初三数学九年级上册知识点——图形的相似
九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
中考数学 第一编 教材知识梳理篇 第五章 图形的相似与
第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用,河北8年中考真题及模拟)解直角三角形的应用(3次)1．(2015河北9题3分)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( D),A) ,B),C) ,D) 2．(2009河北8题2分)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( B)A.833 m B．4 mC．4 3 m D．8 m(第2题图)(第3题图)3．(2013河北8题3分)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为( D )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里4．(2016石家庄四十三中一模)已知sin 6°＝a ，sin 36°＝b ，则sin 26°＝( A ) A ．a 2 B ．2a C ．b 2 D ．b5．(2016定州模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝125(第5题图)(第6题图) 6．(2016唐山二模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C的值为( B)A.3510B.255C.55D.12(第7题图)(第8题图)7．(2016张家口一模)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( A)A．5 3 m B．10 m C．15 m D．10 3 m8．(2016保定十三中二模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为．9张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2 m，两拉索底端距离AD为20 m，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：设DH＝x m，∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，∴CH＝DH·sin60°＝3x，∴BH＝BC＋CH＝2＋3x，∵∠A＝30°，∴AH＝3BH＝23＋3x，∵AH＝AD＋DH，∴23＋3x＝20＋x，解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(m )． 答：立柱BH 的长约为16.3 m .10．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm . 图(1)是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图(2)的△ABC. 已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求， 理由：如图(2)所示：过点B 作BD⊥AC 于点D ， ∵BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24，cos 53°＝DCBC≈0.6，解得DC ＝18,∴AD ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592<900， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．,中考考点清单)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，则∠A 的正弦 sin A ＝∠A 的对边斜边＝①ac余弦 cos A ＝∠A 的邻边斜边＝②b c正切tan A ＝∠A 的对边∠A的邻边＝③a b角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(2016攀枝花中考)在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A －1|＋⎝⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝________. 【解析】先根据非负性，得tan A ＝1，cos B ＝12，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．∵在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝12，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A－∠B＝75°. 【学生解答】75°【点拨】熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．1．(2016唐山九中一模)在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．(2016温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是( D)A.34B.43C.35D.453．(2016无锡中考)sin30°的值为( A)A.12B.32C.22D.334．(2016孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是( B)A．23－2 B．0C．2 3 D．2解直角三角形的实际应用【例2】(2016钦州中考)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6 m的B处安置高为1.5 m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH＋HD＝CH＋AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【学生解答】解：如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意，可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6.在Rt△ACH中，tan∠CAH＝CHAH，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝23(m )． ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5，在Rt △CDE 中，∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CDCE，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(m )，∴拉线CE 的长约为5.7 m .【方法总结】解此类题的一般方法：(1)作出辅助线，构造直角三角形；(2)利用锐角三角函数将各边之间的关系表示出来；(3)根据已知条件求值．5．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__210__cm .(第5题图)(第6题图)6．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20 n mile到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于n mile.7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为__2.7__cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km.有一艘小船在点P处，从A处测得小船的北偏西60°的方向，从B处测得小船的北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B处测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B这间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)如图，过点P 作PD⊥AB 于点D.设PD ＝x km .在Rt △PBD 中，∠BDP ＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°，∴BD ＝PD ＝x.在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴AD ＝3PD ＝3x.∵BD ＋AD ＝AB ，∴x ＋3x ＝2，x ＝3－1.∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1)km ；(2)如图，过点B 作BF⊥AC 于点 F.根据题意，得∠ABC＝105°，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，∠BAF ＝30°，∴BF ＝12AB ＝1.在△ABC 中，∠C ＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt △BCF 中，∠BFC ＝90°，∠C ＝45°，∴BC ＝2BF ＝2，∴点C 与点B 之间的距离为2 km .,中考备考方略)1．(2016山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )A ．2B .255C .55D .12(第1题图)(第2题图) 2．(2016济宁中考)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 5 m，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B 点与A点有一条彩带相连．若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为( A)A．5 m B．6 mC．8 m D．(3＋5)m3．(2016乐山中考)如图，在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC4．(2016永州中考)下列式子错误的是( D ) A ．cos 40°＝sin 50° B ．tan 15°·tan 75°＝1 C ．sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin 60°＝2sin 30°5．(2016福州中考)如图，以圆O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)6．(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A .11－sin α mB .11＋sin αm C .11－cos α m D .11＋cos αm(第6题图)(第7题图)7．(2016金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4 m ，楼梯宽度1 m ，则地毯的面积至少需要( D )A .4sin θ m 2B .4cos θm 2C .⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4tan θm 2 D ．(4＋4tan θ)m 2 8．(2016重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15 m 的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20 m ，梯坎坡长BC 是12 m ，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( D )A ．30.6 mB ．32.1 mC ．37.9 mD ．39.4 m(第8题图)(第9题图) 9．(2016巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B)A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°mD．AB＝1.2cos10°m10．(2016绍兴中考)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度．(结果精确到1m，备用数据：3≈1.7，2≈1.4)解：延长PQ交直线AB于点 E.(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°；(2)设PE＝x m．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x m；∵∠PBE＝60°，∴∠BPE＝30°；在直角△BPE中，BE＝33PE＝33x m，∵AB＝AE－BE＝6 m，则x－33x＝6，解得x＝9＋3 3.则BE＝(33＋3)m，在直角△BEQ中，QE＝33BE＝33(33＋3)＝(3＋3)m.∴PQ＝PE，QE＝9＋33－(3＋3)＝6＋23≈9(m)．答：电线杆PQ的高度约为9 m.11．(2016长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A) A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m(第11题图)(第12题图)12．(2016廊坊二模)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.927 2，sin46°≈0.719 3，sin22°≈0.374 6，sin44°≈0.694 7)( B)A．22.48海里B．41.68海里C．43.16海里D．55.63海里13．(2016十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位地东北方向，在后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 m．请根据这些数据求出河的宽度为__(30＋103)__m．(结果保留根号)14．(2016潍坊中考)如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得BC ＝6 m ，CD ＝4 m ，∠BCD ＝150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)解：延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF⊥BE 于F ，∵∠BCD ＝150°，∴∠DCF ＝30°，又CD ＝4，∴DF ＝2，CF ＝CD 2－DF 2＝23，由题意得∠E＝30°，∴EF ＝DF tan E＝23， ∴BE ＝BC ＋CF ＋EF ＝6＋43，∴AB ＝BE×tan E ＝(6＋43)×33＝(23＋4)m . 答：电线杆的高度为(23＋4)m .15．(2016广安中考)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高 1.5 m ，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB 及两根与FG 垂直且长为1 m 的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D 、C)，且∠DAB ＝66.5°.(参考数据：cos 66.5°≈0.40，sin 66.5°≈0.92)(1)求点D 与点C 的高度DH ；(2)求所有不锈钢材料的总长度．(即AD ＋AB ＋BC 的长，结果精确到0.1 m )解：(1)DH ＝1.5×45＝1.2 m ；(2)过B作BM⊥AD于M，在矩形BCHM中，MH＝BC＝1 m，AM＝AD＋DH－MH＝1 m＋1.2 m－1 m＝1.2 (m)，在Rt△AMB中，AB＝ADcos66.5°≈3.0 m，所以有不锈钢材料的总长度为1 m＋3.0 m＋1 m＝5.0 (m)．。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似三角形，可以解决一些几何问题，如计算不可测量的长度或距离。
2. 比例与相似：比例是指两个量之间的相对关系。
在相似三角形中，对应边的长度之比等于对应角的边之比。
比例与相似问题常用于解决物体的放大缩小、图形的变换等。
3. 相似多边形：相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
相似多边形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似多边形，可以解决一些面积和体积比较的问题。
4. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分割成两部分，较长部分与整体的比例等于整体与较短部分的比例。
黄金分割在艺术、建筑、设计等领域中广泛应用。
5. 图形的相似性变换：图形的相似性变换是指通过平移、旋转、镜像和缩放等变换操作使两个图形成为相似图形。
相似性变换常用于解决图形的构造、定位和证明问题。
6. 相似三角形的勾股定理：相似三角形的勾股定理是指在两个相似三角形中，两个直角边的平方的比等于两个斜边的平方的比。
7. 外接圆和内切圆：在相似三角形和相似多边形中，外接圆和内切圆分别是能够通过所有顶点（或顶点所在的边）的圆和能够被所有边（或边上的顶点）所切的圆。
外接圆和内切圆之间存在着一定的关系，如半径比例等。
8. 相似三角形的角平分线定理和中线定理：相似三角形的角平分线定理是指两个相似三角形中，两个对应角的角平分线也相似；相似三角形的中线定理是指两个相似三角形中，两个对应中位线也相似。
这些是九年级数学中与相似有关的知识点，希望对你有帮助！。
(遵义专版)2019年中考数学总复习第1节图形的相似与位似(精练)试题
第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )A.12B．2 C．3 D．4(第1题图)(第2题图)2．(2019泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )A．18 B.1095C.965D.2533．(2019遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C )A.22B.32C．1 D.625．(2019滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2019随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm.(第7题图)(第8题图)8．(2019包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2019六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__． 10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长． 解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A.158 B.113 C.103 D.165(第12题图)(第13题图)13．(2019杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2019长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2019杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值． 解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC， ∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2019枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求， 由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB， 过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2019连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长． 解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4， 在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BH BD， ∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2019眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式． 解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ， ∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2, ＝12x 2＋2x.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9C．m＜﹣9 D．m≤﹣93．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.5．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点6．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．08．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B ＝135°，则劣弧AC 的长是（ ）A.4πB.2πC.πD.23π9．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（ ）A ．6B ．245C ．65D ．210．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）.A.15°B.20°C.25°D.30°12．下列运算正确的是（ ）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷= 3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式(a －b)(a －9b)＋4ab 的结果是____．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．15．方程3x x -=1xx +的解是_____． 16．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．17．已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a 2﹣b ＝_____． 18．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是_____． 三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a 、b ． （1）求a 、b 之积为偶数的概率；（2）若c ＝5，求长为a 、b 、c 的三条线段能围成三角形的概率．20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上一点，tan ∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA 的值．22．计算：（π0﹣3|+（12）﹣123．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．24．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a aa a a a+-+⋅---+，其中a＝﹣12．25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．(a-3b)214．615．x=﹣3 216．5 17．518．3 10三、解答题19．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM ＝DN ，列出方程求出AB 的长度，根据DF ∥BM ，得到413,43DF DG BM BG ===即可求解. 【详解】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°， ∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°， ∴△BPM 是等腰直角三角形， ∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB＝∠BCD＝90°，∵∠CBD＝45°，∴△BMP是等腰直角三角形，∴BM＝PM＝DN，与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP＝ED，∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，根据勾股定理得：BP BM，即BD+2DE＝BP BM，故答案为：BD+2DE BM；（3）如图3，∵AB∥CD，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， ∵BM ＝DN ， ∴x+2＝2x ，x ＝2， ∴AB ＝AD ＝2，DF ＝43，∴BD = ∵DF ∥BM ，∴413,43DF DG BM BG ===∴142DG =⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．5【解析】 【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值． 【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =.【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣（3+2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）见解析；（2）m的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而增大，则x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝1，m2＝﹣3（舍去）；综上所述，m的值为﹣5或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算； （2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可． 【详解】（1） ）0+（13）﹣1+4cos30°﹣﹣＝＝4； （2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++＝1a， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（ ）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．下列说法正确的是( )A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为22S =甲，21S =乙，说明甲的射击成绩比乙稳定3．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣20194．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =5．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．2=x B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x xx y x y=--++D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C．﹣3 D．﹣7．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重合，△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动（保持FG⊥BC），当点E运动到CD边上时△EFG停止运动，设△EFG的运动时间为t秒，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于t的函数大致图象为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．39．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A B．C D10．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A.x 2+52 ＝（x+1）2B.x 2+52 ＝（x ﹣1）2C.x 2+（x+1）2 ＝102D.x 2+（x ﹣1）2＝52 11．下列计算正确的是（ ）A ．3a ﹣a ＝3B ．（a 2）3＝a 6C ．3a+2a ＝2a 2D ．a 2﹣a 2＝a 412．2018年国庆小长假，泰安市旅游再次交出漂亮“成绩单”，全市纳入重点监测的21个旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元，将132000000用科学记数法表示为（ ）A ．1.32×109B ．1.32×108C ．1.32×107D ．1.32×106二、填空题13．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．14．如图，OC 是O 的半径，弦AB OC ⊥于点D ，点E 在O 上，EB 恰好经过圆心O ，连接EC .若B E ∠=∠，32OD =，则劣弧AB 的长为__________.15．分解因式：228ax a -=_______．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －12≤x＜n ＋12，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝1x 1.62+的非负实数x 的值为____. 17．在不透明的袋子中有2个白球，3个红球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率18．截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为_____．三、解答题19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝，AB＝6，求FD的长．20．如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.（1）求x的取值范围；（2）当AB＝2BC时，x的值为_____.21．化简分式：2222334424x x xx x x x⎛⎫---÷⎪-+--⎝⎭，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．22．2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式；(3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，（1）求点A的坐标；（2）点P是从O点出发，沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，交四边形ABCD的边AO或AB于点Q，交OC或BC于点R．设运动时间为t（s），已知t＝3时，直线l恰好经过点 C．求①点P出发时同时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求当0＜t＜3时S与t的函数关系式；并直接写出S的最大值．②是否存在某一时刻t，使得△ORE为直角三角形？若存在，请求出相应t的值；若不存在，请说明理由．24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）A、B两地间的距离为km；（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）求甲、乙第一次相遇的时间；（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．25．如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；分别以点D，E为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点F ；画射线BF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，作FH ⊥BC 于点H求证：BG ＝BH ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7：314．2π15．2(2)(2)a x x +-16．817．3518．5×107三、解答题19．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE ∥OD ，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；（2）连接BD ，由切线的性质及勾股定理可求出BD 的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BFDF ，然后再在Rt △ODF 中，求DF 即可. 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∵AD 平分∠EAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE ∥OD ，∵ED ⊥CA ，∴OD ⊥ED ，∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．∴BD =2，∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴∠4+∠5＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠3＝∠2，∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△FDA ， ∴BF BD DF AD ==∴BF ＝4DF ， 在Rt △ODF 中，∵（3+BF ）2＝32+DF 2，∴（3+4DF ）2＝32+DF 2，∴DF ＝7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定、切线的性质及判定、勾股定理等知识点，综合性比较强，熟练掌握基础知识是解题的关键.20．(1) 223x<<;(2)1【解析】【分析】(1)根据A、B、C三点在数轴上的位置列不等式组即可得出x的取值范围；（2）分别求出AB、BC的距离，根据AB=2BC列方程即可得出x的值.【详解】（1）由题意得：231123xx x-+>-⎧⎨+>-+⎩①②解不等式①得：x＜2；解不等式②得：x＞23．∴不等式组的解集为：23＜x＜2．（2）∵AB=2BC，∴-2x+3-(-1)=2[x+1-(-2x+3)]-2x+4=2x+2+4x-68x=8解得x=1.故答案为：1【点睛】本题考查数轴的性质、解一元一次不等式组及解一元一次方程，不等式解集遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．x+2，3.【解析】【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．【详解】2222334424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭ ＝22(2)33(224x x x x x x ⎡⎤---÷⎢⎥---⎣⎦） ＝233()224x x x x x --÷--- ＝(-2)(2)323x x x x x -⋅--+ ＝x+2，∵x 2﹣4≠0，x ﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x ＝1代入，原式＝3．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．22．(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)见解析；(3)750≤m≤900．【解析】【分析】:(1)根据题意,直接按照第一个标准,由底薪每单补贴,求解即可(2)按照x ＞m,0＜x≤500和0＜x≤500三种情况,分别求解即可;(3)根据(2)中的关系式,分别代入求解,注意要符合工资要求【详解】(1)由题意可得，1000+500×6+(600﹣500)×8＝1000+3000+800＝4800(元)，答：若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)由题意可得，当0＜x≤500时，y ＝1000+6x ，当500＜x≤m 时，y ＝1000+500×6+(x﹣500)×8＝8x ，当x ＞m 时，y ＝1000+500×6+(m﹣500)×8+(x﹣m)×10＝10x ﹣2m ，由上可得，y ＝10006(05008(500102(x x x x m x m x m +⎧⎪⎨⎪-⎩＜≤）＜≤）＞） ；(3)若800＜m≤900，y ＝8×800＝6400，符合题意，若700≤m≤800，6400≤﹣2m+10×800≤6500，解得，750≤m≤800，综上所述：750≤m≤900．【点睛】此题考查不等式组的应用，解题关键在于列出方程23．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614. 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．【详解】解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，∵OB ＝8，即B （8，0）∴A （4，4），（2）∵A （4，4），B （8，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6，∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，∴PR ＝4，C （3，﹣4），∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-43t ）， ∴QR=t-(-43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：Ⅰ．若∠REO＝90°，如图1，则点P与E点重合，∴8﹣2t＝0，解得t＝4，Ⅱ．若∠ORE＝90°，如图2．△ORP∽△REP，∴OP RPRP PE=，即RP2＝OP•PE，∴24(82) 3tt t⎛⎫=-⎪⎝⎭，解之得：t＝36 17，Ⅲ．当t＞4时，△ORE不可能为直角三角形．故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或36 17，【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．24．（1）30；（2）y＝﹣30x+60；（3）甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）25≤x≤56或76≤x≤2．【解析】【分析】（1）观察图形即可求得A 、B 两地间的距离；（2）乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1=k 1x ，设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2，由待定系数法可求乙与B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的函数关系式；（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ，甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．【详解】解：（1）由题意，得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为：30；（2）设乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1＝k 1x ，由题意，得 30＝k 1，∴y 乙1＝30x ；设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2＝k 2x+b 2，由题意，得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：223060k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝-30x+60．（3）由函数图象，得（30+20）x ＝30，解得x ＝0.6．故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1＝kx+b ，由题意，得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩， 解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩， y 甲1＝﹣20x+30，设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2＝k 3x+b 3，由题意，得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩，解得：332040k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 甲2＝﹣20x+40，当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩…时， ∴25≤x≤56； 306015102x x -+-⎧⎨⎩……， 解得：76≤x≤2． ∴25≤x≤56或76≤x≤2．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．25．详见解析【解析】【分析】由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，再证明△GBF ≌△HBF 即可得到结论.【详解】证明：由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABF ＝∠CBF ，∵FG ⊥AB ，FH ⊥BC ．∴∠FGB ＝∠FHB ，在△GBF 和△HBF 中，FGB FHB GBF HBF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF ≌△HBF （AAS ），∴BG ＝BH ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．。
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
初三数学相似知识点
《初三数学相似知识点全解析》在初中数学的学习中，相似是一个重要的知识点，它不仅在中考中占据着重要的地位，而且对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力也有着重要的作用。
本文将对初三数学相似知识点进行全面解析。
一、相似的定义及性质1. 相似的定义如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
2. 相似的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等的两个三角形相似。
2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3. 三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的应用1. 测量高度利用相似三角形的性质，可以测量一些难以直接测量的物体的高度。
例如，测量旗杆的高度，可以在阳光下，利用人与旗杆的影子构成相似三角形，通过测量人的身高、影子长度以及旗杆的影子长度，来计算旗杆的高度。
2. 测量距离同样，相似三角形也可以用于测量距离。
比如，测量河的宽度，可以在河的对岸选取一个点，然后在这边的岸上选取两个点，使得这三个点构成相似三角形，通过测量已知边的长度，来计算河的宽度。
四、相似与其他知识点的联系1. 相似与全等全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形。
相似三角形包含了全等三角形，全等三角形是相似三角形的一种特殊情况。
2. 相似与函数在函数的图像中，也会涉及到相似的问题。
例如，二次函数的图像经过平移、旋转、轴对称等变换后，得到的新图像与原图像是相似的。
3. 相似与几何图形的性质相似三角形的性质可以帮助我们更好地理解和证明几何图形的其他性质。
例如，在证明平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的性质时，常常会用到相似三角形的知识。
数学图形相似九年级知识点
数学图形相似九年级知识点数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
图形相似在几何学中有重要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。
本文将介绍九年级数学中关于图形相似的知识点。
1. 判断图形相似的条件在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个条件：（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。
（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。
（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。
2. 图形相似的性质图形相似具有以下性质：（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角相等，外角相等。
（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。
即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。
3. 相似三角形的定理在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 图形相似应用图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计算高塔的高度。
例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中就用到了相似三角形的概念。
（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。
总结：数学图形相似是九年级数学中的重要知识点，它可以帮助我们分析和解决各种数学问题。
相似图形的判断条件、性质以及应用都需要我们掌握。
通过学习相似图形的知识，我们可以更好地理解几何学中的概念和应用，提升数学解题能力。
初三数学图形的相似知识点
初三数学图形的相似知识点
对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形(Similar figures)。
对应边相等的两个相似图形全等。
如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。
(相似的符号：∽)
对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。
(相似的符号：∽) 判定
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似(两个条件一个也不能缺)。
相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等。
1、对应内角相等;
2、两个图形对应边成比例(如果是正方形，则只要边长成比例就可以，所以所有的正n边形都相似;长方形是长和高对应成比例);
3、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a:b ＝m ：n （或n m b a =)2、比的前项,比的后项：两条线段的比a:b 中.a 叫做比的前项，b 叫做比的后项. 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度.3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项:在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项. 5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c:d)中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d cb a =（或a:b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等,即比例为a bb a =(或a:b ＝b ：c 时,我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.(注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）(2)比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2.反比性质： c da b dc b a =⇒= （把比的前项、后项交换)3。
北师大版九年级上册数学[《图形的相似》全章复习与巩固-- 知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
九年级《图形的相似》知识点归纳
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：512长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）FE D CB A E BD E D(3)B C AE DBC(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第5章
第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似河北五年中考真题及模拟图形相似的判定及性质1．(2016河北中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C),A),B),C) ,D) 2．(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.图①图②乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对图形的位似3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是( D)A．点M B．点N C．点O D．点P4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A) A．87°B．60°C．75°D．120°5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D)①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．A．4 B．2 C．1 D．36．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A)A．5∶8 B．3∶8C．3∶5 D．2∶5(第6题图)(第7题图)7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为( D)A．11 B．10 C．9 D．88．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作( C)A．2条B．3条C．4条D．6条9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF ＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( D)A．4 B．2C．5 D．310．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D)A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.(1)求证：AC＝AD＋CE；(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值．解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB ⊥BE ，∴∠ADB ＋∠ABD＝90°，∠ABD ＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB ＝∠EBC.又AD ＝BC ，∴△ADB ≌△CBE(ASA )， ∴AB ＝CE.∴AC＝BC ＋AB ＝AD ＋CE ； (2)过点Q 作QH⊥BC 于点H.则△ADP∽△HPQ，△BHQ ∽△BCE ， ∴AD HP ＝AP HQ ，BH BC ＝QH EC. 设AP ＝x ，QH ＝y ，则有BH 3＝y5，∴BH ＝3y 5，PH ＝3y5＋5－x ，∴33y 5＋5－x ＝x y ，即(x －5)·(3y－5x)＝0. 又点P 不与A ，B 重合， ∴x ≠5，即x －5≠0. ∴3y －5x ＝0，即3y ＝5x. ∴DP PQ ＝x y ＝35.12．(2016河北中考)如图①，E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．(1)AE 和ED 的数量关系为________； AE 和ED 的位置关系为________；(2)在图①中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，H 是B C 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到图②和图③.①在图②中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点，求证：GH ＝HD ，GH ⊥HD.②在图③中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH⊥HD.(用含k 的代数式表示)解：(1)AE ＝ED ；AE⊥ED；(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB ＝BE ＝EC ＝DC.∵△EGF 与△EAB 的相似比为1∶2，∴∠GFE ＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB ，∴∠GFE ＝∠C. ∵H 是EC 的中点，∴EH ＝HC ＝12EC ，∴GF ＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD ，∴△HGF ≌△DHC.∴GH ＝HD ，∠GHF ＝∠HDC. ∵∠HDC ＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF ＋∠DHC＝90°. ∴∠GHD ＝90°，∴GH ⊥HD ； ②∵GH ＝HD ，GH ⊥HD ， ∴∠FHG ＋∠DHC＝90°.∵∠FHG ＋∠FGH＝90°，∴∠FGH ＝∠DHC. 在△FGH 和△CHD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FGH ＝∠CHD，∠GFH ＝∠HCD，GH ＝HD ，∴△GFH ≌△HCD.∴FG ＝CH. ∵EF ＝FG ，∴EF ＝CH.∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2， ∴BE ＝EC ＝1，∴EF ＝k ，∴CH 的长为k.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝b c，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．3．比例的性质性质 内容性质1a b ＝cd ⇔__ad__＝bc(a ，b ，c ，d ≠0)．性质2如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±dd.性质3 如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n≠0)，则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝__mn(不唯一)__.4.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AB ＝__BCAC__，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：AB BC ＝DEEF ，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__；(2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤：(1)确定__位似中心__；(2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．【解析】比例的性质中常见题型，把a ，b ，c 用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可． 【答案】－61．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋yz －y的值是( A )A ．－5B ．－103C .103D ．5相似三角形的判定与性质【例2】(茂名中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm 的速度向点B 运动，运动时间为t s ⎝⎛⎭⎪⎫0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)如图②，连接AN ，CM ，若AN⊥CM，求t 的值．【解析】(1)△BMN 与△ABC 相似，分两种情况：△BMN∽△BAC 和△BMN∽△BCA ，得对应线段成比例，求得t 的值；(2)过点M 作MD⊥BC 于点D ，把BM ，DM ，BD ，CN 用t 表示后，CD 就可用t 表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t 的方程，求出t 的值．【答案】解：(1)由题意知BA ＝62＋82＝10(cm )，BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ， ∴BN ＝(8－2t)cm .①当△BMN∽△BAC 时，有BM BA ＝BNBC，∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011； ②当△BMN∽△BCA 时，有BM BC ＝BNBA，∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223. ∴当△B MN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223；(2)如图②，过点M 作MD⊥CB 于点D. 由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，DM ＝BM·sin B ＝3t·610＝95t(cm )，BD ＝BM·cos B ＝3t·810＝125t(cm )，∴CD ＝⎝⎛⎭⎪⎫8－125t cm .∵AN ⊥CM ，∠ACB ＝90°，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°，∠MCD ＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN ＝∠MCD.∵MD ⊥CB ，∴∠MDC ＝∠ACB＝90°，∴△CAN ∽△DCM.∴AC CD ＝CNDM，∴68－125t ＝2t 95t，解得t ＝1312.2．如图，不等长的两对角线AC ，BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )A ．甲、丙相似，乙、丁相似B ．甲、丙相似，乙、丁不相似C ．甲、丙不相似，乙、丁相似D ．甲、丙不相似，乙、丁不相似3．(自贡中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，求证：DE 綊12BC.证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点， ∴AD AB ＝12，AE AC ＝12， ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ＝12，∠ADE ＝∠B， ∴BC ＝2DE ，BC ∥DE ，即DE 綊12BC.位似图形【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是( D )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( B)A．(1，2)B．(1，1)C．(2，2)D．(2，1)。
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第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
1．(东营中考)若y x ＝34，则x ＋y
x
的值为( D )
A ．1
B .4
7C .54D .74
2．(2017自贡中考)在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为(A )
A ．1
B ．2
C .13
D ．3
3．(荆州中考)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是( D )
A ．∠ABP ＝∠C
B ．∠APB ＝∠AB
C C .AP AB ＝AB AC
D .AB BP ＝AC CB
(第3题图)
(第4题图)
4．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DE
EF
＝( B )
A .13
B .12
C .2
3
D ．1
5．(河北中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为(B )
A .12
B ．2
C ．3
D ．4
6．(重庆中考)△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( C )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．1∶16
7．(盐城中考)如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线
的情况下，与△AEF 相似的三角形有( C )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
(第7题图)
(第8题图)
8．(安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC，则线段AC 的长为( B )
A ．4
B ．42
C ．6
D ．4 3
9．(2017烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A ，B 都在格点上，则点B′的坐标是__⎝
⎛⎭⎪⎫－2，43__．
(第9题图)
(第10题图)
10．(2017兰州中考)如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，位似中心是点O ，OE OA ＝35，则FG BC ＝__3
5__．
11．(衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为__5∶4__．
12．(咸宁中考)如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S△DOE
S△COB ＝
12；③AD AB ＝OE OB ；④S△ODE S△ADC ＝1
3
. 其中正确的个数有( B )。