定积分的应用体积旋转体的侧面积
定积分的应用面积体积-2022年学习资料
例1.求由抛物线y2=2x及直线2x+y-2=0所围图形的面积。-→X-y+d---2,-2
y-=2x-2x+y-2=0-X-12-2,-2-求平面因形面积的基本步骤：-1作曲线图形、确定积分变量积分区间；-2求面积微元；-3计算定积分。
当曲边梯形的曲边由参数方程-北=pt-y=feG1ss2）,-给出时，曲边梯形的面积为-A-fudioif g&aw-其中t1,t2分别是曲边的起点与终点对应的参数值。
2.设fx、gx是[a,b]上的连续函数，且fx2gx,-求由直线x=a,r=b,和曲线y=fx、y=gx 围-成的平面图形的面积A。-dA=[f x-gxx-1y=8x-A=∫[fcx-gexr-xx+dx
3.py、yy是[c,d]上的连续函数，且py2wy,-求由直线y=C,y=d和曲线x=py、x=yy所围 成的平面图形的面积A。-dA=[py-Ψ y]Wy-x=0y-x=Wy-A-ftoy-Wyldy-X
3.4.5一些物理量的计算-一、质量-例1.设半圆形线材的方程为y=VR2-x2-R<x<R,线-材上点的 x,y处的线密度为P=k-yk为常数，且k>R,-求该线材的质量。-ds-Ox x+dx R-X
二、功-例2.设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，-试问将水全部吸出需作多少功？-10-X-Ax-B
例：求密度均匀（设为p,厚度为H,内外径为-r和R的飞轮绕中心轴转动的转动惯量J以及角速度-为o时的转动动 E.
3.4.6函数的平均值-一、函数的平均值-如何定义连续函数fx在[α ，b]上的平均值呢？-将[a,b]n等 。当n很大时，小区间[；-1，x]的长-度Ax=b-u-i=1,2,Λ ，n很小，由于fxeC[a,b],在小区间[x-1,x]上函数值变化很小，可把fx在-该区间上的取值看作常数∫x,于是∫x在[a,b]上-的
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
定积分的应用体积
定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。
其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。
通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。
2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。
如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。
具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。
通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。
3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。
侧面积公式推导
定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：
弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①
线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②
因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于
Δ∑＝π(y＋y＋Δy)
＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]
＝2πyds＋o(dx)，
显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有
从而旋转体的侧面积为
相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．
由⑤式得侧面积为
例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．
故对哪个半圆周都有
代入公式⑤即得所求表面积为
解采用参数坐标较为方便．令x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π弧长微分
故表面积为
我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e
习题
29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．求旋转下列曲线所成曲面的面积
33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．
答案
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
定积分应用旋转体体积公式
定积分应用旋转体体积公式
在微积分中，定积分可以应用于求解旋转体体积问题。
旋转体是指某个曲线绕某个轴线旋转得到的几何体。
定积分可以通过对曲线的旋转来计算旋转体的体积。
旋转体体积公式可以表示为：
V = π∫ a^b (f(x))^2 dx
其中，a和b分别是积分的上下限，f(x)是曲线方程。
这个公式的意思是，将曲线f(x)绕x轴旋转，所得到的旋转体体积V等于π乘以积分（a到b）f(x)的平方dx。
这个公式可以用来计算任意曲线绕x轴旋转所得到的旋转体体积。
例如，当f(x)为常数函数时，旋转体是一个圆柱体，公式可以化简为：
V = πr^2h
其中，r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高度。
这个公式可以用来计算圆柱体的体积。
定积分应用旋转体体积公式是微积分中的一个重要应用，可以帮助我们计算各种形状的旋转体的体积。
- 1 -。
旋转体的侧面积公式证明过程
旋转体的侧面积公式证明过程摘要：一、旋转体的概念及分类二、旋转体侧面积公式的推导三、旋转体侧面积公式的应用举例四、总结正文：一、旋转体的概念及分类旋转体是由一个平面图形围绕一条定直线旋转所形成的几何体。
根据底面的不同，旋转体可以分为圆柱体、圆锥体、椭圆柱体、椭圆锥体等。
其中，圆柱体和圆锥体是常见的旋转体。
二、旋转体侧面积公式的推导为了更好地理解旋转体侧面积公式的推导过程，我们先来了解一下旋转面的概念。
旋转面是由一个平面图形围绕着其中的一条定直线旋转所形成的曲面。
在这个过程中，旋转面的侧面积公式是一个重要的公式。
假设我们有一个长方形，以一边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间形成一个圆柱体。
我们可以将这个圆柱体展开成一个扇形，其弧长等于圆柱体的底面周长，半径等于圆柱体的高。
根据扇形的面积公式，我们可以计算出扇形的面积为：s = 1/2 * l * r，其中l 为弧长，r 为半径。
由于旋转体是由无数个这样的扇形组成的，所以我们需要将扇形的面积公式积分，以得到旋转体的侧面积公式。
设旋转体的高为h，底面半径为r，母线长为L，则有：s 侧= ∫[0, 2π] ∫[0, h] 1/2 * l * r dx dy通过积分计算，我们可以得到旋转体的侧面积公式为：s 侧= πrL。
三、旋转体侧面积公式的应用举例假设我们有一个圆柱体，底面半径为r，高为h，则根据旋转体侧面积公式，我们可以计算出其侧面积为：s 侧= πr * h。
同样地，对于一个圆锥体，底面半径为r，高为h，其侧面积公式为：s 侧= πr * √(r^2 + h^2)。
四、总结通过以上的推导和举例，我们可以看出旋转体的侧面积公式在计算旋转体侧面积时起到了关键作用。
绕y轴旋转体体积公式定积分
绕y轴旋转体体积公式定积分一、绕y轴旋转体体积公式（定积分形式）1. 圆盘法（当函数x = g(y)绕y轴旋转时）- 假设我们有一个函数x = g(y)，y的取值范围是[c,d]。
- 把这个区域绕y轴旋转一周得到一个旋转体。
- 我们在[c,d]内任取一个小区间[y,y + Δ y]。
- 当Δ y很小时，这个小区间对应的小曲边梯形绕y轴旋转得到的近似几何体是一个薄圆盘，圆盘的半径为x = g(y)，厚度为Δ y。
- 根据圆盘的体积公式V=π r^2h（这里r = g(y)，h=Δ y），这个薄圆盘的体积Δ V≈π[g(y)]^2Δ y。
- 那么整个旋转体的体积V=∫_c^dπ[g(y)]^2dy。
2. 圆柱壳法（当函数y = f(x)绕y轴旋转时，x的取值范围是[a,b]）- 对于函数y = f(x)，我们在[a,b]内任取一个小区间[x,x+Δ x]。
- 当Δ x很小时，这个小区间对应的小曲边梯形绕y轴旋转得到的近似几何体是一个薄壁圆柱壳。
- 圆柱壳的半径为x，高度为y = f(x)，厚度为Δ x。
- 圆柱壳的体积Δ V≈ 2π x f(x)Δ x（这里2π x是圆柱壳的侧面积，f(x)是高度，Δ x是厚度）。
- 那么整个旋转体的体积V = ∫_a^b2π x f(x)dx。
二、例题。
1. 圆盘法例题。
- 求由曲线x=√(y)，y = 0，y = 4所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。
- 解：这里g(y)=√(y)，y的取值范围是[0,4]。
- 根据圆盘法的体积公式V=∫_c^dπ[g(y)]^2dy，我们有V=∫_0^4π(√(y))^2dy=∫_0^4π y dy。
- 计算定积分∫_0^4π y dy=πfrac{y^2}{2}big_0^4=π×frac{4^2}{2}-π×frac{0^2}{2}=8π。
2. 圆柱壳法例题。
- 求由曲线y = x^2，y = 0，x = 1，x = 2所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。
高数定积分求旋转体体积公式
高数定积分求旋转体体积公式旋转体是高中数学中的一个重要概念，它可以通过旋转平面图形得到。
在高等数学中，我们可以通过定积分来求解旋转体的体积，这就是高数定积分求旋转体体积公式。
本文将详细介绍这个公式的推导和应用。
一、旋转体的定义和性质旋转体是由一个平面图形绕着某一直线旋转所形成的立体图形。
旋转轴可以是平行于底面的任意一条直线。
下面我们来介绍一下旋转体的性质。
1. 旋转体的底面是一个平面图形，它可以是任意形状的图形。
2. 旋转体的高等于旋转轴与底面平面的距离。
3. 旋转体的侧面是由旋转轴与底面平面间的所有线段绕着旋转轴旋转所形成的。
4. 旋转体的体积可以通过积分求解。
二、旋转体的体积公式旋转体的体积公式是通过定积分求解得到的。
下面我们来介绍一下这个公式的推导过程。
1. 以x轴为例，假设我们要求解函数y=f(x)在区间[a,b]上绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积。
2. 首先我们将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
3. 我们选取一个小区间[xi,xi+1]，并在该区间内任取一点xi*，然后将该小区间绕x轴旋转，形成一个圆柱体，该圆柱体的底面积为π[f(xi*)]^2，高为Δx。
4. 由于小区间的数量是无限的，所以我们可以将所有的圆柱体叠加起来，形成一个旋转体。
该旋转体的体积为：V = limΔx→0 ∑i=1n π[f(xi*)]^2Δx5. 通过极限运算，我们得到了旋转体的体积公式：V = ∫a^b π[f(x)]^2dx6. 如果旋转轴不是x轴，而是y轴，那么我们可以通过类似的方法推导出旋转体的体积公式：V = ∫c^d π[g(y)]^2dy其中，g(y)表示旋转体截面在y轴上的函数。
三、旋转体的应用旋转体的体积公式在物理学、工程学、建筑学等领域有着广泛的应用。
下面我们来介绍一下旋转体的一些应用。
1. 求解物体的密度通过测量物体的体积和质量，我们可以求解物体的密度。
定积分应用旋转体体积公式
定积分应用旋转体体积公式定积分是高等数学中非常重要的一个内容。
定积分可以帮助我们求出一定区间内函数的面积、体积等物理量，因此在物理学、工程学、建筑学等领域都有广泛的应用。
在定积分的各种应用中，旋转体体积公式是一个重要的公式，它可以帮助我们求出某个区域在某个轴周围旋转所形成的立体体积。
本篇文章将介绍定积分应用旋转体体积公式的具体内容。
一、旋转体体积公式的定义旋转体体积公式是指，当一个曲线图形在某个轴线绕一定角度旋转时所得到的立体体积大小。
例如，若有一条平面曲线y=f(x),其在x轴旋转而成的旋转体的体积，则体积V可表示为：V=π∫abf(x)2dx其中a,b是曲线上取一个区间，π表示圆周率。
该公式的原理是：在曲线上任意取一个点，在x轴处的投影为x0，它和轴线和转动后所形成的体积为：V0=π[∫x0b f^2(x)dx-∫x0af^2(x)dx]同理，在曲线上任意取一个点，在某个轴线下的投影为y0，它和轴线和转动后所形成的体积为：V0=π[∫y0/dy∫f⁻¹(y)f(x)dx]通过以上两种方法对曲线进行积分，得到的结果即为该曲线在某个轴线下旋转形成的立体体积大小。
二、求解旋转体体积公式的具体步骤1、确定旋转轴线首先要确定旋转轴线，旋转轴线是指曲线旋转时所围绕的轴心线。
通常我们可以将曲线所围成的区域以绕某个轴线为轴心旋转。
在选择轴线时，需要先选择一个轴线作为基准轴线，通常选择x轴或y轴作为基准轴线，然后再确定旋转轴线。
2、将曲线绕轴线旋转其次，将曲线绕轴线旋转成旋转体，这个过程可以想象成把曲线沿着轴线旋转，使其形成一个立体图形。
我们可以将这个立体图形分成无数个小圆柱，然后对每个小圆柱进行分析。
3、求出小圆柱的体积最后，我们可以通过上述的定积分公式求出每个小圆柱的体积，然后将每个小圆柱的体积加和，得到整个旋转体的体积。
三、旋转体体积公式的实际应用旋转体体积公式具有非常广泛的应用，在几何学、物理学、建筑学等领域都有其应用。
8.5 旋转体的侧面积
b
a
dA 2 a
b
2π f ( x ) 1 f 2 ( x )dx . f ( x )ds a
b
旋转体的侧面积
§8.5 定积分的应用
设平面光滑曲线 C 的方程为
x ( y ) , y [c, d ] ( ( y ) 0),
将曲线绕 y 轴旋转一周得到旋转体. 则侧面积：
y x r 2 x2
r
x
x
r x r
r2 1 y 2 1 ( )2 2 2 2 r x2 r x
r
A 2 y 1 y2 dx 2 - r r 2 x 2
r
r2 dx 4 r 2 . r 2 x2
高州师范学院
旋转体的侧面积
2 d f f
2
因为这时可看作参数方程：
x f ( )cos
y f ( )sin
高州师范学院
旋转体的侧面积
§8.5 定积分的应用
一、( x ), a x b
2、参数方程
x (t ), y (t ), t
§8.5 定积分的应用
x2 y2 例2、求椭圆 2 2 1(0 b a )绕y轴旋转所成旋转体的表面积. a b y 解：右半椭圆的方程为：
y2 a 2 x a 1 2 b y2 . b b
b y b
x
x
ay b b2 y 2
ay
b 2 (b 2 y 2 ) a 2 y 2 1 x 2 1 ( )2 2 2 b 2 (b 2 y 2 ) b b y
A | f ( x ) | dx
数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：1.简单图形：型和型平面图形 .2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例1求由曲线围成的平面图形的面积.例2求由抛物线与直线所围平面图形的面积.（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .例3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . )例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变,图形关于轴对称 ; 以代, 方程不变,图形关于轴对称 . 参阅P242 图10-6因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
定积分侧面积绕x轴和y轴公式
一、概述在数学领域中，积分是一种非常重要的概念，它广泛应用于物理学、工程学和经济学等多个领域。
而定积分侧面积绕x轴和y轴的公式则是定积分的一个重要应用，它在求解旋转体的体积和表面积等问题中发挥着重要作用。
本文将围绕定积分侧面积绕x轴和y轴公式展开详细的阐述，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、定积分侧面积绕x轴的公式1.1 定积分侧面积的定义在介绍定积分侧面积绕x轴的公式之前，首先需要明确定积分侧面积的概念。
当我们需要计算曲线围成的封闭图形绕x轴旋转一周所形成的立体的侧面积时，就需要用到定积分侧面积的概念。
这个侧面积可以通过定积分的方法来求解，得到的结果就是旋转体的侧面积。
1.2 定积分侧面积绕x轴的公式设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负（f(x)≥0），曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体侧面积S可表示为：S = ∫[a,b] 2πy√(1+(f'(x))^2) dx其中f'(x)表示f(x)的导函数。
三、定积分侧面积绕y轴的公式除了绕x轴旋转的情况之外，我们还会遇到绕y轴旋转的情况。
与绕x 轴类似，当曲线y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负（f(x)≥0）时，曲线y=f(x)与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体侧面积也可以通过定积分的方法来求解。
2.2 定积分侧面积绕y轴的公式曲线y=f(x)与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体侧面积S可表示为：S = ∫[a,b] 2πx√(1+(f'(y))^2) dy其中f'(y)表示f(y)的导函数。
四、定积分侧面积绕轴的实例分析3.1 求解绕x轴旋转的示例现以具体函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周为例，来计算其旋转体的侧面积。
根据上述给出的公式，可以得到：S = ∫[0,1] 2πx√(1+(2x)^2) dx= π∫[0,1] 2x√(1+4x^2) dx= π∫[0,1] 2x√(4x^2+1) dx3.2 求解绕y轴旋转的示例再以具体函数y=x^2在区间[0,1]上绕y轴旋转一周为例，来计算其旋转体的侧面积。
旋转体侧面积和体积的计算公式
旋转体侧面积和体积的计算公式
旋转体的侧面积和体积的计算公式是物理中非常重要的计算方法。
旋转体是由一个固定圆环和一个旋转圆环组成的结构，因此它的侧面积和体积的计算公式也有一定的不同之处。
首先，我们来看旋转体的侧面积的计算公式，它的计算公式如下：S=2πrh，其中S表示旋转体的侧面积，π是圆周率，r表示旋转体的半径，h表示旋转体的高度。
其次，我们来看旋转体的体积的计算公式。
它的计算公式如下：V=πr (r + h)h，其中V表示旋转体的体积，π是圆周率，r表示旋转体的半径，h表示旋转体的高度。
最后，我们来看一个典型的例子，假设旋转体的半径为2米，高度为4米，则旋转体的侧面积和体积分别为：S=2π×2×4=32π㎡，V=π×2×(2+4)×4=64π㎓。
由此可见，旋转体的侧面积和体积的计算公式是非常简单易懂的，它们既可以用来计算实际问题，也可以用于教学和研究。
定积分求图形的面积和旋转体的课件
分部积分法
∫u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫u'(x) v(x) dx (其中u(x)和v(x)是两个函数，且u'(x)表示 u的导数)。
02
用定积分求图形面积
曲边梯形的面积
01
定义
曲边梯形是由一条水平曲线、一条垂直曲线和两条斜线组成的平面图形
。
02 03
面积计算
首先需要找到曲边梯形的四条边的曲线方程，然后根据定积分的计算方 法，分别对四条边进行定积分计算，最后将四个定积分的结果相加得到 曲边梯形的面积。
定积分求图形的面 积和旋转体的体积
contents
目录
• 定积分基础知识 • 用定积分求图形面积 • 用定积分求旋转体的体积 • 实例分析 • 习题与答案
01
定积分基础知识
定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的总和。 被积函数：在区间[a, b]上定义的任意函数f(x)。
积分区间：一个实数轴上的一个区间[a, b]。 积分结果：函数f(x)在区间[a, b]上的总和。
定积分的计算
积分的基本性质
∫(a,b) (f(x)±g(x)) dx = ∫(a,b) f(x) dx ± ∫(a,b) g(x) dx。
A 积分的基本公式
∫(0,x) k dx = kx + c (其中k是常数 ，c是积分常数)。
BCLeabharlann D换元积分法如果∫f(x) dx = F(x)，那么∫f[g(x)] dx = F[g(x)] (其中g(x)是可微函数，且F(x)是 f(x)的原函数)。
注意事项
在计算过程中，需要考虑到曲线与x轴、y轴的交点以及各条边的长度， 同时还需要对每条边进行区间分割并确定每个小区间的中点坐标，以便 进行积分计算。
第六章 定积分的应用
方便.在区域 D 中取一小区域 d ,其面积记为 d , x, y为区
域 d 中的任意一点，则该小区域绕直线 L旋转一周所得环
形体（可以近似看成为横截面为 d ，长度为 2 r(x, y)的柱
体）的体积的近似值为 dV 2 r(x, y)d
其中r(x, y)为点 x, y到直线 L : ax by c 0 的距离，即
水的压强 P gh ,水的压力F =水的压强 P接触面积 S.
二、常考题型及解题方法
1.几何应用
【例1】设 D是由曲线 xy 1 0与直线 y x 0 及 y 2
围成的有界区域，求 D 的面积.
解：把区域 D看成Y-型区域，则 D的面积
2 1
y2 2 3
S
1
y
y
dy
ln
两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为
S
d
c
[右(
y)
左(
y)]dy
(2)极坐标情形
由曲线()及射线 , 围成的图形称为曲边 扇形. 曲边扇形的面积元素为
dS 1 [( )]2 d.
2
曲边扇形的面积为 S 1 [( )]2 d. 2 2.用定积分计算旋转体的体积
旋转体的体积的一般问题是平面区域 D 绕直线 L : ax by c 0 （该直线不穿过区域 D）旋转所得旋转体的体积，记该体积
【答案: 4 ；8 】
33
【例3】设星形线 (1) 它的周长；
x y
a a
cos3 sin3
t t
,
求：
(2)它绕 x 轴旋转而成旋转体的体积和侧面积.
解：(1)周长：L 4 2 x2 y2 dt 4 2 3a sin t costdt 6a sin2 t 2 6a.
定积分的应用体积旋转体的侧面积
2
2
V
R
A( x)dx
R
1 (
R2
x2 )tandx
2 R3tan.
R
R2
3
(二)旋转体的体积
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V b [ f (x)]2 dx a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
o ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [( y)]2dy c
r2
)
y
h
x
r1
r2 h
y r2
o
V
hx2dy
0
h
(
0
r1 r2 h
yr2 )2dy
h
r1 r2
h
(
r1
r2
0h
yr2 )2 d (
r1 r2 h
yr2 )
A(r1,h)
B(r2 ,0)
x
h ( r1 r2 3(r1 r2 ) h
yr2 )3
h 0
h 3(r1 r2
)
(r13
r23
)
3h(r12
r1r2
r22
)
当上底半径 r1 0 ，下底半径r2 r 时，
则得圆锥的体积为V 1r 2h 。 3
例 4．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积。
解：解方程组
x2 y x
y
2
2
2
y
y x2
得交点(1, 1) ，(1, 1) 。
。
例 1．设有半径为R 的正圆柱体，被通过其底的直径 而与底面交成 的 平 面所截，求截得的圆柱楔的体积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h r1 r2 ( y r2 )3 3( r1 r2 ) h
h 0
h 3 3 h 2 2 ( r1 r2 ) ( r1 r1r2 r2 ) 3( r1 r2 ) 3
r2 r 时， 当上底半径r1 0 ，下底半径
1 2 则得圆锥的体积为V r h 。 3
2
4
6
1 2 a sin d a cos 2 d 6 2
2 2
4
二、体积
（一）平行截面面积为已知的立体的体积
设有 一 立 体 位于平面 x a , x b (a b) 之间，已知它被 过点 ( x , 0, 0) (a x b) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
例 4．求由 x 2 y 2 2 和 y x 2 所围成的图形分别
绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积。 y x2 y2 2 2 y x 解：解方程组 2 y x
得交点 ( 1, 1) ，(1, 1) 。
1
o
1
x
V x ( 2 x )dx x dx
1
1
2
1
4
x2 y2 2
1 1 44 2 ( 2 ) . 3 5 15
3 5 1 x x 2 (2 x 2 x 4 )dx 2( 2 x ) 0 3 5 0
1
1
V y ydy
0
1
2
1
( 2 y )dy
2
2
y
y x
2
V 。 积 为 A( x ) ，假定 A( x )是 x 的连续函数，求立 体 的 体 积
A( x)
a
x
b
x
A( x)
a
x
b
x
[a,b] 。在 [a,b] 上任取一 取 x 为积分变量，积分区间为
代表小区间 [ x , x dx ] ，对应的立体中一薄片的体 积 V
近似等于底面积 为 A( x ) ，高 为dx 的柱体的体积 A( x )dx ，
例2. 计算心形线
所围图形的面积 .
与圆
1 2 cos cos 2
1 (1 cos 2 ) 解: 利用对称性 , 所求面积 2 1 2 1 2 2 2 A a a (1 cos ) d 2 2 3 1 1 2 2 a a ( 2 cos cos 2 ) d 2 2 2 y 1 2 2 3 a a ( 2) 2 4 a 2a x o
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
h y 0 ( x r2 ) r1 r2 r1 r2 x y r2 h
V
h 2 h r1 r2 x dy ( 0 0 h
y
A(r1 ,h)
B(r2 ,0)
h
o
y r2 )2 dy
x
h h r1 r2 2 r1 r2 ( y r2 ) d ( y r2 ) r1 r2 0 h h
1 2 y 2
1
1 3 2 ( 2 y y ) 0 1 3
1
o
x
x2 y2 2
2 1 [(2 2 2 ) ( 2 )] 2 3 3
4 7 ( 2 ). 3 6
例5. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
1
例3. 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2 d 2
y
4
a x
a 2 4 cos 2 d (2 )
0
a sin 2
2
o
a2
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin 所围公共部分的面积 . 答案: A 2 0
o
R
y
的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，
1 1 2 2 故截面积为 A( x ) y ytan ( R x )tan ， 2 2 R R 1 2 2 3 2 V A( x )dx ( R x )tandx R tan. R R 2 3
x
(二)旋转体的体积
即体积微元
所求体积为
dV A( x )dx ，
V A( x )dx 。
a b
R 的正圆柱体，被通过其底的直径 例 1．设有半径为
而与底面交成的 平 面所截，求截得的圆柱楔的体积。
解：如图建立坐标系，
则底圆的方程为 x y R 。
2
2
2
R
ytan
x
y
x[ R, R] ，用过点 x且 垂 直 于 x轴
所围图形绕 x 轴旋转而
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
o
则
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
7
方法2 利用椭圆参数方程
特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
b a
[ f ( x)]2 dx
y
y f ( x)
当考虑连续曲线段
o
a
x
b
x
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V [ ( y )] d y
c
d
2
d y c o
x ( y)
x
例2计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
则
V 2 y 2 dx 2 ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
8
r1 ，下底半 径 为 r2 ， 例 3．已知圆台的上底半 径 为
高 为h ，求它的体积。
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a 0
0
y dx
a (1 cos t ) a(1 cos t ) d t
2 2
2
y
o
3 a sin 6 0
2
a
2 a x
利用对称性
2
3 a (1 cos t )3 d t 0
16
3
32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3