上海市各区2021届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题

上海市各区2021届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题

宝山区、嘉定区

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值；

（2）如果抛物线c bx x y ++=2

经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；

（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠，求点Q 的坐标.

24.解：（1） ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A

∴04=+-m ……………………1分

∴4=m ………………………………1分

∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ……………………1分

∴1-=n …………………………………………1分

（2）由可知点B 的坐标为)3,1(-

∵抛物线c bx x y ++=2

经过点A 、B ∴⎩⎨

⎧=+-=+-310

416c b c b

∴6=b ， 8=c

∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862

++=x x y …………………1分

∴抛物线862

++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分

∴23=AB ,2=

AP ,52=PB

∴2

2

2

PB BP AB =+

∴︒=∠90PAB ……………………………………1分

图7

∴PB AP ABP =∠sin ∴10

10

sin =∠ABP …………………………………………1分

（3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠

∴△OBD ∽△QBO ∴OB

DB

QB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD

又10=OB ，2=DB

∴25=QB ，24=DQ ……………1分

∵23=AB

∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQ

AD

QH OD = ∴

2

82

44=

QH ∴8=QH ……………………………………1分 即点Q 的纵坐标是8

又点Q 在直线4+=x y 上

点Q 的坐标为)8,4(……………1分

长宁区

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）

如图在直角坐标平面内，抛物线32

-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；

（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32

-+=bx ax y 上

∴⎩⎨

⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==2

1

b a （ 2分）

∴抛物线的表达式为322

--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=

AD

∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）

∴.32232

1

21=⨯⨯=⋅⋅=

∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AO

AC

BO AD ，

∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠

∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC

∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）

若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限

由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<

①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO

AO OH PH =，

备用图

第24题图

∴

326=-t t ，解得56=t ， ∴)5

18

,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OH

PH ，

∴

126=-t

t

，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)5

18

,56(1

-P 或)2,2(2-P 崇明区

24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）

已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；

（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G

在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．

24．（本题满分12分，每小题4分）

解：（1）设所求二次函数的解析式为2

(0)y ax bx c a =++≠，………………………1分

将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得 1641,

930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪

++=⎨⎪=⎩