《二次函数与实际问题》
二次函数的应用与实际问题解决
二次函数的应用与实际问题解决二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，它在现实生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念和特点，并以几个实际问题为例，阐述二次函数在实际问题解决中的应用。
一、二次函数的基本概念和特点二次函数是代数学中的一种函数类型，其数学表达式为：\[y = ax^2 + bx + c\]其中，a、b、c为常数，且a≠0。
在二次函数中，x为自变量，y为因变量，它们之间存在一种二次关系。
二次函数的图像是一个抛物线，具有一些特点：1. 对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它将图像分为两个对称的部分。
对称轴的方程为\(x = -\frac{b}{2a}\)。
2. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是满足方程\(ax^2 + bx + c = 0\)的x的值。
如果方程有实根，则函数图像与x轴有两个交点，如果方程无实根，则函数图像与x轴没有交点。
3. 极值点二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近（或最远）的点，其y坐标称为极值。
如果a>0，则函数的图像开口向上，极值点是最低点；如果a<0，则函数的图像开口向下，极值点是最高点。
4. 函数增减性二次函数的增减性取决于a的正负性。
当a>0时，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
以上是二次函数的基本概念和特点，下面我们将介绍几个实际问题，并运用二次函数解决这些问题。
二、实际问题的应用1. 弹体运动问题假设一个弹体从地面上射出，其轨迹可以用二次函数描述。
我们已知弹体离地面的高度与时间的关系为$h = -5t^2 + 20t$，其中h表示高度（米），t表示时间（秒）。
现在要求解这个问题的几个具体情况：（1）弹体达到最大高度时的时间和高度是多少？（2）弹体什么时间落地？（3）弹体射出后的高度变化过程。
对于（1），我们可以通过求解二次函数的极值点来得到。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题(总11页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、 围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为 米），面积为y （平方米），求y 关于x的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大最大面积是多少解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=；又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
3、 围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm由题意得： 17)420()4(22=-+x x解得： 4,1621==x x 当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析
实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析一、实际问题与二次函数的定义和基本性质在九年级数学中，我们学习了二次函数的基本概念、表示方法和性质。
二次函数是指形如y = ax²+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为实数。
二次函数的图像是一个抛物线，具有以下基本性质：1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
2.一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的对称轴位置。
3.常数项c决定抛物线与y轴的交点。
二、实际问题与二次函数的解题方法解决实际问题时，需要灵活运用二次函数的性质和解题方法。
下面列举几种常见的解题方法：1.图像法：通过观察二次函数的图像，直接得出答案。
例如，在解决几何问题时，可以通过画图直接找出答案。
2.公式法：根据二次函数的公式，直接代入已知数进行计算。
例如，在解决代数问题时，可以运用二次方程求根公式等。
3.配方法：将二次函数化为顶点式，然后根据抛物线的性质进行解题。
例如，在解决最大值或最小值问题时，可以采用配方法。
4.因式分解法：将二次函数化为两个一次因式的乘积，然后通过解方程组得出答案。
例如，在解决某些代数问题时，可以采用因式分解法。
三、重难点精析1.重难点知识点介绍(1)二次函数的图像和性质：如何根据图像判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等;如何根据性质求出抛物线的最值、单调区间等。
(2)二次函数的应用题：如何根据实际问题建立二次函数模型;如何求解模型得出实际问题的答案;如何验证答案的正确性。
2.解题思路和技巧(1)对于图像题，可以采用数形结合的方法，将抽象的数学问题转化为形象的图像问题，从而简化解题过程。
(2)对于性质题，需要熟练掌握抛物线的各种性质，例如最值、单调性等，从而可以灵活运用到解题中。
(3)对于应用题，需要认真审题，将实际问题转化为数学问题，然后建立模型求解。
同时需要注意答案的合理性和实际意义的符合性。
3.解题错误分析(1)对于图像题，可能出现的错误是将图像中的信息误解或遗漏，导致答案错误。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。
二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。
2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。
当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。
3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。
（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。
（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。
三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。
2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。
可以使用求根公式或配方法等方式来求解。
3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。
例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。
由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。
由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。
二次函数与实际问题
二次函数解决实际问题【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中利润的最大（小）值1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y ，(元)与销售月份x (月)满足关系式13368y x =-+，而其每千克成本2y (元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b ，c 的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x 的取值范围)(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】（1）把(3，25)，(4，24)代入2218y x bx c =++中，得 19325,8116424.8b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解方程组得15,859.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)根据题意，得212311559368882y y y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311559368882x x x =-+-+-21313822x x =-++．所以y 与x 的函数关系式为21313822y x x =-++．(3)由(2)得，21(6)118y x =--+，因为108a =-<，所以当x ＜6时，y 随x 的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．【点评】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．举一反三：【例2】某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）【答案】（1）设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+（k≠0），∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴⎩⎨⎧+=+=b k bk 7030060400 解得⎩⎨⎧=-=100010b k∴100010+-=x y（2）)100010)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70）∵752015002=--=-a b ，10-=a ＜0∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下， 对称轴是直线x=75∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大, ∴当x =70时，6000=最大值P .练习：1.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 【答案】解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+) 21070010000x x =-+-352b x a=-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ························· 3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. (6)分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得： 20(10500)P x =-+ 20010000x =-+ ∵200k =-<0， ∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．类型二、利用二次函数解决抛物线形的建筑问题3. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，你能计算出大学校门的高吗?【答案与解析】以拱门所在平面与地平面的交线为x 轴，以拱门的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图所示)，D 、E 为铁环． 则A(-4，0)，B(4，0)，D(-3，4)，E(3，4)．设抛物线的解析式为2y ax c =+．法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32， ∴30≤x ≤32时，w ≥2000． ∵10500y x =-+，100k =-<，∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小， 成本越小， ∴201803600⨯=（元）.∵ A(-4，0)，D(-3，4)在抛物线上．∴ 160,9 4.a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解得4,764.7a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 246477y x =-+，当0x =时，647y =，∴ 647OC =． 即校门的高为647m ．【点评】因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求大门的高．【练习1】（2012·武汉·中考）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t ﹣19）2+8（0≤t ≤40），且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？类型三、利用二次函数求跳水、投篮、喷水池等实际问题4. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面O的距离为3.05 m ，若该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?【答案与解析】如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C 表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，设C 点的纵坐标为n ，过点C 、B 、A 所在的抛物线的解析式为2()y a x h k =-+，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴ 23.5y ax =+． ∵ 抛物线23.5y ax =+经过点A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a ·1.52+3.5， ∴ 15a =-． ∴ 抛物线解析式为21 3.55y x =-+． ∴ 21( 2.5) 3.55n =-⨯-+，∴ n ＝2.25．∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．5. （2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【答案与解析】练习 1. (2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根 2.25m 的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3m．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）； (2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m ，最内轨道的半径为r m ，其上每0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的 地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r 为多少时池中安装的地漏的个数最多？【答案与解析】类型四、利用二次函数求图形的边长、面积的最大（小）值问题6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD ．(1)当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围)；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)【答案与解析】(1)2S π=半圆(米2)；(2)①∵ AD ＝2r ，AD+CD ＝8，∴ CD ＝8-AD ＝8-2r ， ∴ 2221112(82)416222S r AD CD r r r r r πππ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭．②由①知，CD ＝8-2r ，又∵ 1.2米≤CD≤3米， ∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．由①知，214162S r r π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭228642.4316 2.434 2.43 2.43r r ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≈． ∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴83.32.43r =≈， 又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值．21431632S π⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭最大1 3.14494826.12⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭≈≈(米2)．【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式，②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．举一反三：【练习1.】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积【答案与解析】解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PH BH BF AF =，即3412--=y x， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．【练习2.】(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案与解析】解：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．。
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数引言：二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个实际问题入手，探讨二次函数在解决这些问题中的作用和应用。
第一部分：抛物线与物体运动问题一：一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹。
解决方法：根据物体竖直上抛运动的运动方程，可以得到物体的高度y与时间t的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度。
这个运动方程正好是一个二次函数，它的图像是一个抛物线，描述了物体的运动轨迹。
问题二：一个人从桥上向下抛掷物体，求物体的最大高度和落地点。
解决方法：根据物体竖直抛体运动的运动方程，可以得到物体的高度与时间的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度，v0是初速度。
我们可以通过求解二次函数的顶点，得到物体的最大高度和落地点的位置。
第二部分：二次函数与开口方向问题三：一块矩形花坛，长边是20米，宽边是10米，现在要在花坛四周修建一圈高度为h的围墙，求围墙的最小高度h。
解决方法：假设围墙的高度为h，围墙的长度为L，围墙的宽度为W。
根据题意，可以得到L=2(20+2h)，W=2(10+2h)，围墙的面积为S=LW。
我们可以将围墙的面积S表示为关于h的二次函数，然后求解这个二次函数的最小值，即可得到围墙的最小高度h。
第三部分：二次函数与最值问题问题四：某公司生产某种产品，每生产x单位的产品需要花费C(x)=80x+2000元，售价为p(x)=0.1x^2+2000元，求使得利润最大的生产数量。
解决方法：利润等于售价减去成本，即P(x)=p(x)-C(x)=0.1x^2-80x。
我们可以求解二次函数P(x)的最大值，得到使得利润最大的生产数量。
问题五：某人在银行存款10000元，银行的年利率为r%，每年计息一次，求多少年后存款会翻倍。
解决方法：存款的本利和可以表示为S(t)=10000(1+r/100)^t，其中t为年数。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。
本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。
首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。
求抛物线与三角形ABC 的面积。
解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。
由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。
接下来是抛物线与最值问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。
解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。
当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。
再来一道抛物线与交点问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。
解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题【实用版】目录1.二次函数与实际问题的关系2.典型例题解析3.总结与建议正文二次函数与实际问题的关系二次函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的学习和理解，我们可以更好地解决实际问题，提高自己的数学素养。
典型例题解析例题 1：某商场在推出优惠活动，满 200 元打 8 折，满 300 元打7 折。
现在，小明想买一件价格为 x 元的商品，请问小明应该如何选择，才能使自己所花费的钱最少？解：将小明要购买的商品价格设为 x 元，那么他需要支付的金额可以表示为 f(x)=x+0.2(x-200)+0.3(x-300)，其中 x>300。
通过求导，可以得到 f(x) 的最小值出现在 x=400，此时小明需要支付的金额为f(400)=360 元。
所以，小明应该选择购买价格为 400 元的商品，才能使自己所花费的钱最少。
例题 2：一个农民有一块形状为抛物线的土地，他想在土地上种植庄稼，使得种植的庄稼面积最大。
已知土地的顶点为 (1,2)，抛物线方程为y=a(x-1)^2+2。
请问农民应该如何种植庄稼？解：由于 a<0，所以抛物线开口向下。
根据二次函数的性质，顶点是函数的最大值点。
所以，农民应该在土地的顶点处种植庄稼，即 x=1，此时庄稼的面积最大，为 2。
总结与建议通过对二次函数与实际问题的典型例题进行解析，我们可以发现数学知识在解决实际问题中的重要性。
为了更好地应对类似的问题，我们建议：1.加强对二次函数概念的学习，了解其性质和应用；2.多做练习题，提高自己对二次函数问题的解题能力；3.注重数学知识的实际应用，学会将理论知识运用到实际问题中。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数简介1.二次函数的定义2.二次函数的图像和性质二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型2.二次函数在实际问题中的应用案例三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标2.求解二次函数的图像与x 轴的交点3.求解二次函数的最值问题4.二次函数在实际问题中的综合应用正文：二次函数与实际问题典型例题一、二次函数简介二次函数是数学中一种常见的函数形式，一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的图像通常为抛物线，具有一定的对称性和顶点特征。
根据a 的值，二次函数可以分为开口向上或向下的两种情况，分别具有不同的性质。
二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型在实际问题中，二次函数常常作为问题的数学模型出现。
例如，物体在重力作用下的自由落体运动、抛射物体的运动轨迹、电池的放电过程等都可以用二次函数来描述。
2.二次函数在实际问题中的应用案例（1）物体自由落体运动：假设物体从高度h 自由落下，空气阻力不计，仅受重力作用。
根据牛顿第二定律，物体下落的速度v 与时间t 的关系可以表示为v = gt - 1/2gt^2，其中g为重力加速度。
可以看出，这是一个开口向下的二次函数模型。
（2）抛射物体运动：假设一个物体在水平方向以初速度v0 抛出，仅受重力作用。
根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的运动可以表示为h = v0t - 1/2gt^2，其中h为物体的高度，t为时间。
这也是一个开口向下的二次函数模型。
三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标顶点坐标是二次函数的一个重要特征，可以通过公式法或配方法求解。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的x 坐标为x = -b/2a，y坐标为y = f(x) = c - b^2/4a。
2.求解二次函数的图像与x 轴的交点二次函数与x 轴的交点即为函数值为0 时的自变量解。
《实际问题与二次函数》(商品最大利润问题)
06
研究方法与展望
研究方法的优缺点分析
数学规划方法
数学规划是一种经典的优化方法，能够解决商品最大利润问题。优点是模型简单、易于理 解，缺点是求解速度较慢，且对某些复杂问题可能需要更多的计算资源。
人工智能方法
人工智能方法如神经网络、遗传算法等，能够自适应地求解问题。优点是求解速度较快， 缺点是模型复杂，不易于理解和调试。
构建二次函数模型
根据成本、售价和销量，利用二次函数构建 利润模型。
求最大利润
通过求导数，确定最大利润点，并求出最大 利润。
优化问题的提出与解决
• 优化问题：在商品利润问题中，如何调整售价、成本和销 量等因素，以最大化利润。
优化问题的提出与解决
解决步骤
1. 确定优化目标：明确要优化的目标，如最大化利润、最小化成本等。
混合方法
混合方法是将数学规划方法和人工智能方法结合起来，取长补短，综合利用各种方法的优 点。优点是求解速度快、精度高，缺点是需要更多的计算资源和时间。
研究方法在其他领域的应用前景
生产计划
在生产计划中，如何优化资源配置、提高生产效率是一个核心问题。商品最大利润问题可以转化为生产计划问题，因此研究方法在其他领域的应用前景广阔。
2. 分析影响因素：分析对利润产生影响的因素，如售价、成本、销量等 。
优化问题的提出与解决
3. 构建优化模型
根据影响因素和目标，构建优化模型。
4. 求解最优解
利用数学方法求解最优解，如求导数、使用优化算法等。
5. 实施优化方案
根据最优解调整售价、成本和销量等因素，以实现最大利润。
04
商品利润问题的实例分析
顶点
二次函数图像的最高点或最低点，其 坐标为(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
《实际问题与二次函数》(几何图形最值)
2023-11-08CATALOGUE目录•引言•二次函数基本概念•几何图形与二次函数•二次函数最值概念•几何图形最值问题求解•实际问题最值应用案例01引言几何图形最值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到图形的形状、大小和位置的最优化。
在实际生活中，几何图形最值问题也有广泛的应用，例如建筑设计、城市规划、物理研究等。
课程背景介绍1课程目标23理解几何图形最值的基本概念和解决方法。
学习如何运用数学方法和计算机技术求解几何图形最值问题。
掌握常见的几何图形最值问题的建模和求解技巧。
课程大纲1. 几何图形最值的基本概念最值的定义和性质几何图形的参数化课程大纲2. 求解方法与技术问题的数学建模微积分方法课程大纲010203线性代数方法数值计算方法计算机模拟技术3. 常见的几何图形最值问题直线段的最短长度圆形的最大面积课程大纲课程大纲椭圆形的最小周长立体图形的最大体积 4. 应用案例分析010302课程大纲02城市规划中的最值问题03物理研究中的最值问题02二次函数基本概念当轴动区间定时，二次函数的最值出现在对称轴上。
具体地，如果对称轴为x=-b/2a，那么当x=-b/2a时，二次函数取得最小值y=c-b^2/4a。
当轴定区间动时，二次函数的最值出现在区间的端点或对称轴上。
具体地，如果对称轴为x=-b/2a，那么当x=-b/2a时，二次函数取得最小值y=c-b^2/4a；当x取区间端点时，二次函数取得最大值。
当轴动区间动时，二次函数的最值出现在区间的端点、对称轴或二者重合处。
具体地，如果对称轴为x=-b/2a，那么当x=-b/2a时，二次函数取得最小值y=c-b^2/4a；当x取区间端点时，二次函数取得最大值。
03几何图形与二次函数矩形与二次函数在几何图形中最值问题中有着密切的联系。
详细描述在矩形中，长和宽可以看作是二次函数图像的两个根，而面积则可看作是二次函数的顶点。
因此，矩形的最值问题可以通过二次函数来求解。
二次函数与实际问题
B
C
3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边 做一个水槽，水槽的横断面为底角120º的 等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它 的侧面AB应该是多长？
D A
B
C
4.如图３，规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受
损，断去一角，量得AF=30cm，CE＝45 cm。现准备从五边形
C
C
C
F
C
G
F
A
(D)
E 图14—1
A x DE B
图14—2
B
A
A
B
备选图一
B 备选图二
1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的 矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使 存放场地的面积最大。
2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于 6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该 如何设计？
并指出自变量t的取值范围； A P B
t为何值时S最小？求出S的最小值。
6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C 的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形 OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
xx
或 2 .窗 72: x当 用 2 x 户 1S 25 x2 b 2 a x 公 1 1 72面 y 2 x x1 2 4 5 .0 11时 2 45x 式 积 2, 7 y 1 最 25 267 5 54 .x 大 4 a 44 x a b 值 c 2 2 x 2 5 2y 2 4 6 .0 .5 2
30m
DG
B
解 : 设 1 A . 由 B勾 b 股 m 定 ,易 理 得 得 bM N 1 25 x0 m 2 ,4 P .H 2 4 m P.┐ 40Am
《实际问题与二次函数》数学教学PPT课件(3篇)
情景思考（拱桥问题）
如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
2m
4m
0
【方法二】如图所示建立直角坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为y=a+b由抛物线过点(2,0)、（0,2）所以这条抛物线表示的二次函数为 +2将y=-1带入二次函数得， ∴水面的宽度增加了（-4）m
(1)设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本______________元，因此周利润合计为:
10x
300-10x(0<x30)
解：建立如下图所示的直角坐标系，矩形代表卡车， 则点B的坐标为：（3，﹣5），则抛物线的表达式为：y＝ ，将点B的坐标代入上式并解得：a＝ ，则抛物线的表达式为：y＝ ，当x＝1.4时，y＝- ，即x＝1.4时，抛物线对应点离x轴的距离为 ，则离地面的距离为6﹣ ＞4，故此车能通过拱门．
情景思考
3．如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥？
以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.则B点坐标为(2,0),N点坐标为(2,3),故解得： 即y= －x2+6.其顶点为(0,6),(6－3)÷0.25=12(小时).答：水过警戒线后12小时淹到拱桥
情景思考
第二十二章 二次函数
二次函数与实际问题(学生版)
一元二次函数与实际问题二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的性质：顶点式，对称轴和顶点坐标公式:利润=售价-进价总利润=每件利润×销售数量①何时橙子总产量最大：例1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?②T 恤衫何时获得最大利润：例2.某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？③日用品何时获得最大利润：例3某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?.a b ac a b x a y 44222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a b x 2-=直线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22④旅行社何时营业额最大：例4某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？⑤商贩何时获得最大利润：例5.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?⑥纯牛奶何时利润最大：例6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?⑦水产品何时利润最大：例7.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?⑧化工材料何时利润最大：例8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.①只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题引言二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是实际问题中常常遇到的数学模型。
二次函数的图像呈现出一种开口向上或者开口向下的曲线形状，能够很好地描述实际问题中的曲线关系。
本文将深入探讨二次函数及其在实际问题中的应用。
二次函数的定义与性质二次函数的定义：设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），其中a、b、c是常数，a称为二次函数的二次系数。
二次函数的图像当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数的顶点二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h = -b/(2a)，k = f(h)。
二次函数的对称轴二次函数的对称轴方程为x = h（即x = -b/(2a)）。
二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
二次函数在实际问题中的应用自由落体运动自由落体运动是一个常见的物理现象，也可以用二次函数来进行模拟和描述。
假设一个物体从高处自由落下，忽略空气阻力，它的下落距离与时间的关系可以用二次函数来表示。
抛物线轨迹抛物线轨迹是指一个物体在一个力的作用下进行受控抛射运动时所遵循的路径。
如投射运动中的抛体、水流喷泉等都可以用二次函数进行建模和描述。
开口向上的池塘有一片长方形的池塘，周围修建了一圈围墙。
围墙的材料价格是每米10元。
假设池塘的长为x米，宽为y米。
已知池塘的面积为100平方米。
要使得围墙的总价值最小，需要求解池塘的长和宽。
能量与时间的关系生活中很多实际问题涉及到能量的转化和传递，而能量与时间的关系常常可以用二次函数进行建模。
例如，弹簧振子的机械能与振动时间的关系、充电电池的电量衰减与使用时间的关系等等。
结论二次函数作为一种重要的数学模型，在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的定义与性质的学习，我们可以更好地理解和解决实际问题，同时也提高了我们的数学建模能力。
通过本文对二次函数与实际问题的探讨，我们更深入地认识了二次函数的应用价值和意义。
22.3实际问题与二次函数PPT课件
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x)
怎样确定x 的取值范围
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小值，是 1 。
题型1：最大高度问题
题型2：最大面积问题
解：设
场地的面积
l
答：
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
题型4：二次函数建模问题 解：y ax2
由抛物线经过点（2，-2），可得
y
探究3：
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
C
D
y 1 x2
x 当水面下降1m时，水2面的纵坐标为
A
(2,-2)
0
●B
l
y 3 当 y 3时，x 6
如图是抛物线形拱桥，当拱 所以，水面下降1m，水面的宽
y1(x2)2 2
当水面下降1m2时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
拱顶离水面2m，水面宽度4m，
y 1
水面下降1m，水面宽度为多少？当 y 1 时， x 62
水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的
二次函数与实际问题
22.2 二次函数与一元二次方程学习目标：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.回顾复习1.一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标是。
2.说一说，你是怎样得到的？探究新知如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？（4）球从飞出到落地要用多少时间？从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.例如，已知二次函数y=-x 2+4x 的值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 . 想一想：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根有什么关系?思考：下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？.1)3(;96)2(;2)1(222+-=+-=-+=x x y x x y x x y在同一直角坐标系内画出上面函数图象：通过观察图象我们可以得到(1)抛物线22-+=x x y 与x 轴有 公共点，它们的横坐标是 .当x 取公共点的横坐标时，函数的值是 .由此得出方程022=-+x x 的根是 . (2)抛物线962+-=x x y 与x 轴有 公共点，这点的横坐标是 .当x=3时，函数的值是 .可得方程 0962=+-x x有两个相等的实数根 .(3)抛物线12+-=x x y 与x 轴 公共点， 由此得出方程012=+-x x 实数根.知识归纳：Oyx随堂练习1.不与x 轴相交的抛物线是( )A.y=2x 2 – 3B.y= - 2 x 2 + 3C.y= - x 2 – 3xD.y=-2(x+1)2 - 32.若抛物线y=ax 2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( )A 无交点B 只有一个交点C 有两个交点D 不能确定3.如果关于x 的一元二次方程 x 2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿,此时抛物线 y=x 2-2x+m 与x 轴有＿＿个交点.4.已知抛物线 y=x 2–8x +c 的顶点在 x 轴上, 则c= .5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .第5题 第6题6．若二次函数y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示，且关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的一个解x 1=3，则另一个解x 2= ；7.已知方程0242=+-m x x 的解是3121==x x ，则抛物线242mx x y +-=与x 轴的交点是 .Xx。
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8．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________。
9．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________。
P41.5.（2）在同一直角坐标系内，描点画y＝— (x＋2)2和y＝— (x—1)2的图象，并写出对称轴与顶点坐标。
解：（1）列表：（点不需要太多哦，最多5个就足矣）
x
…
…
y＝— (x＋2)2
…
…
x
…
…
y＝— (x—1)2
…
…
选做题（课外延伸）：
1．填表：
图象（草图）
开口
方向
顶点
对称轴
最值
对称轴
右侧的增减性
（1）求这条抛物线的解析式。
（2）在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少m？(试试把抛物线放在不同的坐标系中解决此问题）
3、作业布置：
1.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）的函数关系式是s=15t-6t²。汽车刹车后到停下了来用了多长时间？前进了多远？
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（4）形如抛物线型的桥或隧道问题，先建立合适的平面直角坐标系，根据条件，写出点的坐标，用待定系数法求解析式；
（5）总利润=总售价-总成本总利润=单件利润×总销售量
（6）刹车距离与时间：当车行驶到最远时，车停止，抛物线的顶点横坐标是刹车用的时间，纵坐标是刹车距离。
二、深入学习：
例1如图所示，设喷水管 高出地面 ，在 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状；喷头 与水流最高点 的连线与水平面成 的角，水流的最高点 离地面距离比喷水头 离地平面距离高出 ，水流的落地点为 ，在建立如图所示的直角坐标系中：
4．抛物线y＝－ (x－1)x2向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为__________。
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式________________________。
6．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口________；顶点坐标为__________；对称轴是_______；当x＞－3时，y随x的增大而___________；当x＝－3时，y有_______值是_________。
y＝ x2
y＝－5 (x＋3)2
y＝3 (x－3)2
2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________。
3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____________。向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________。
22.2.3实际问题与二次函数
学习目标：
1.掌握二次函数的图象及性质与一元二次方程之间的关系；（重点）
4、2.会根据实际问题用，待定系数法求二次函数解析式；（重点）
5、3.会利用二次函数知识解决诸如：增长率（降低率）、几何图形的面积、利润、汽车
6、刹车距离、投球、形状如抛物线型的桥或隧道等应用题。（难点）
10.抛物线y=ax2向右平移3个单位后经过点（-1,4），求平移后的抛物线的解析式。
11.若抛物线y=3（x-1）2的图像上与有三点A（-2，y1），B(1，y2),C(5,y3)则y1、y2、y3的大小关系为
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22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
y＝a (x-h)2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴两侧）
(2)对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．
四、知识梳理:
1.二次函数y＝a（x-h）2有什么性质？
2.二次函数y＝a（x-h）2与y＝ax2的图象有什么关系？
五、布置作业：
必做题：课本41页第5题的（2）题，
2.问题2产量y与增加倍数x的关系式是；
化简整理为，y是x的函数吗？为什么？
3.问题1、2中的函数都是用自变量的次式表示的，都是式。(体会函数特征）
4.形如的函数，叫做二次函数；
、、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）若“a=0”则会怎样？（2）一元二次方程的一般形式是，二者有什么异同点？
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并掌握其平移规律。（重点、难点）
学习过程：
一、复习引入：
提问：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象有什么关ห้องสมุดไป่ตู้？
二次函数y＝ax2＋k有什么性质？（开口方向、对称轴、顶点、最值）
二、自主学习：
认真阅读课本33页——34页内容，完成下列任务：
1.画出二次函数y＝－ (x＋1)2，y=－ (x－1)2的图象（重点是考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性的异同）：
22.1.1二次函数
学习目标：1.能根据函数特征识别二次函数；（重点）
2.会列实际问题中的二次函数关系式（难点）。
学习难点：二次函数概念的辨析及其简单应用.
一、创景引入：
1.在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有
的值与其对应，那么我们说y是x的函数；是自变量。
2.（1）形如的函数，叫做正比例函数，图象是。
（1）写S与x之间的关系式，并求x的取值范围
（2）当x=10米时，求S的值；
（3）当x为何值时，S=128
五、布置作业：
1.必做题：课本41页的“第1、2两题”；
2.选做题：课本41页的“第8题”；
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22.1.3二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质
学习目标：
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；（重点）
（2）形如的函数，叫做一次函数，图象是。
3.若一个正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x的关系式是；
思考：y是x的一次函数或正比例函数吗？y是x的什么函数呢？
二、自主学习：
认真阅读课本28页~29页内容，完成下列任务：（时间6分钟）
1.问题1比赛场次数m与参赛队数n的关系式是；
化简整理为，m是n的函数吗？为什么？
⑴求抛物线的函数解析式；
⑵求水流的落地点 到 点的距离是多少米？
例2在体育测试时，初三（2）班的高个子张成同学推铅球，已知铅球所经过的路线是抛物线一部分（如图所示），且知铅球出手处A点的坐标为（0，2）（单位：m，后同），铅球路线中最高处B点的坐标为（6,5）
（1）求该抛物线的解析式；（2）张成同学把铅球推出多远？（精确到0.01m）
三、梳理知识：
（1）填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝a (x－h)2＋k
（与同桌说一说）
（2）抛物线y＝ (x＋1)2+2与y＝ x2形状___________，位置________________．
1.抛物线y＝ (x＋1)2+2的开口，对称轴是直线，顶点为，是最点，所以y有最值是；x>-1时y随x的增大而，x<-1时y随x的增大而。
一、需要了解的知识：
（1）y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c =0的两根，y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）,对称轴y= ；
（2）抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，x=h时，y取到最值k；
(3)开始值为a，增长率为x，两期后的值是y，则y=a（1+x）2；若x是降低率则为y=a（1-x）2；
例3如图，一位运动员身高1.8米，在距离球篮下4米处跳起投篮，球在头顶上方0.25米处出手，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5米时，达到最大高度3.5米，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米，该运动员想命中篮圈中心，他跳离地面的高度必须是多少米？
例4有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m。现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中。
3.某工厂的大门是一抛物线水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高出各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则长门的高度为（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1m）（）
A、6.9m B、7.0m C、7.1m D、6.8m
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学习目标：
1．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的图像和性质；（重点）
2．理解二次函数y＝a (x－h)2＋k的图像与二次函数y＝ax2的图像的位置关系。（重点、难点）
学习过程：
一、复习引入：
提问：二次函数y＝a (x－h)2、y＝ax2＋k的图像与y＝ax2的图象有什么关系？（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性）
（1)y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数
3.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,y= 4,当x=2时y= -5,求这个二次函数的解析式.
4.（09哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．