《欧氏平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型》PPT教学课件
几何的五大模型课件
特性 平行线永不相交。
欧几里得几何的应用
01
02
03
建筑学
欧几里得几何在建筑设计 中广泛应用，如确定建筑 物的位置、方向和尺寸等。
工程学
在机械工程、航空航天和 交通运输等领域，欧几里 得几何用于指导实际物体 的设计和制造。
日常生活
在日常生活中，人们常常 利用欧几里得几何知识解 决实际问题，如测量距离、 计算角度等。
定义
连续性
等价关系
不变性
拓扑几何是研究图形在 连续变形下保持不变的 性质和不变量的几何分支。
拓扑变换是连续的，不 改变图形的基本性质。
同胚的图形被视为等价， 具有相同的拓扑性质。
某些拓扑性质在连续变 形下保持不变。
拓扑几何的应用
网络分析
拓扑几何用于分析网络结构，如 社交网络、互联网等。
数据可视化
通过拓扑结构表示复杂数据，帮 助理解数据内在关系。
欧几里得几何的局限性
现实世界的复杂性
欧几里得几何在描述现实世界的一些 现象时存在局限性，如弯曲的空间、 微观粒子的运动等。
非绝对性
无法解释某些自然现象
在解释一些自然现象，如地壳运动、 电磁波传播等方面，欧几里得几何显 得力不从心。
欧几里得几何基于一些假设和公理， 其绝对性和客观性存在争议。
CHAPTER
对初学者的挑战
解析几何需要较高的数学基础和思 维能力，对于初学者来说可能存在 学习难度。CHAPTER定来自与特性微分几何模型的定 义
微分几何模型是一种使用微积分和线 性代数工具来研究形状、曲线和曲面 几何特性的数学模型。
微分几何模型的特性
微分几何模型强调局部性质，通过研 究曲线和曲面的切线、法线、曲率等 局部几何量来描述物体的形状和运动 规律。
欧氏几何的公理体系与中国平面几何的历史PPT(35张)
在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。
公设适用于几何部分：
由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角
傅先生曾亲自编写了平面几何教科书，于二，三十年代在北京师
大附中讲授，使听他讲课的学生受益匪浅。其中钱学森，段学复， 闵嗣鹤，熊全淹等人在新中国成立后成为数学界，物理学界的栋 梁。
1958年，江泽涵教授的中译本《几何基础》由科学出版社出 版，这是根据第七版的俄译本和1956年第八版的一些补充译成 的。 文革后，征得了江泽涵教授的同意，朱鼎勋教授根据德文 第十二版， 对1958年的中译本进行增补， 修订， 于1987年出 了《几何基础》中译本第二版。 下述引文均出自该版。《几何
第三类是合同公理，（或全等公理）。 1. 设A和B是一直线a 上的两点, A’是这直线或另一直线 a’上的一点， 而且给定了 直线a’上A’的一侧。则在a’ 上点A’的这一侧， 恒有一点 B’, 使得线段AB和线段A’B’合同或相等. 记作AB=A’B’. 2. 若 A’ B’ = AB, 且A’’B’’=AB, 则A’B’=A’’B’’. 3. 关于两条线段的相加。 4. 关于角的合同，（或相等）。 5. 若 两个三角形△ABC 和△A’ B’C’ 有下列合同式：AB=A’B’， AC=A’C’，∠BAC=∠B’A’C’，则也恒有合同式 ∠ABC=∠A’B’C’，且∠ACB=∠A’C’B’. （此处没有提 BC=B'C'，故有别于三角形全等的判定边角边）。
《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头 给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了 465个数学命题，（按照目前通行的希思英译本《Euclid’s Elements》13卷计算, 该书的中译本于1990年出版），其系统之 严谨，推理之严密，令人叹为观止。
4.2 双曲几何的庞加莱单位圆盘模型
过直线外一点，不只一
条直线与该直线不相交． 条直线与该直线不相交．
三角形内角和为180°． 三角形内角和大于180°． 三角形内角和小于180°．
三角形的面积与内角
三角形的面积与内角和
三角形的面积与180°
和无关．
减180°成正比．
减内角和成正比．
当然，这三种几何也有相同的地方： 1. 三角形中两边之和大于第三边； 2. 若两个三角形的三对边对应相等，
数学家用间接的方法，在欧氏几何中建 立了一个非欧几何的模型，在这个模型中， 规定了一些（非欧）基本概念后，全部的推 理都是依照欧氏几何所遵循的逻辑进行的， 因此这个模型是欧氏几何与非欧几何的一个 “桥梁”．
非欧几何的结论通过模型又可解释为欧 氏几何中的一个结论，这样一来，如果非欧 几何是矛盾的，那么，欧氏几何在逻辑上也 是矛盾的，因此，庞加莱模型告诉我们，如 果欧氏几何是无矛盾的，那么非欧几何也是 无矛盾的．
爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的， 物理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何 都不能全面、精确的解释物理的时空概念，但 他们都是物理空间，对物理空间在不同方面有 很好的近似．因此，两者对于我们的世界有重 要的物理意义．
课堂小结
作为本书的最后一讲，这里主 要介绍了非欧几何的一种模型—— 庞加莱模型。最后简单介绍一下欧 氏几何与非欧几何的意义．
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型．
A
l
x
图8-1
A l
x
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部
的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”．
球面几何双曲几何的庞加莱单位圆盘模型(课堂PPT)
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同 的．
1
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模 型．
2
则两个三角形全等．
5.平面（球面）“等腰”三角形的两底角相等，两腰 对应相等．
…………….
7
平面几何
球面几何
平面三角形内角和为180°． 球面三角形内角和大于180°．
不 相 平面三角形的面积与内角和 球面三角形的面积与内角和减∏
同
无关．
成正比．
的 同一平面上存在两个不全等 Nhomakorabea定
理
的相似三角形．
同一球面上不存在两个不全等 的相似三角形．
24
上面模型是庞加莱模型，庞加莱模型是 一个双曲几何的模型．
把“过直线外一点，没有一条直线与该 直线不相交”作为公理推导出的几何称为椭 圆几何．
非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何， 它们与欧氏几何有明显的差异．
25
欧氏几何
过直线外一点，有 且只有一条直线与该直 线不相交．
椭圆几何
双曲几何
过直线外一点，没有一
5
教学重难点
• 球面几何与平面几何的比较． • 非欧几何的概念和意义． • 庞加莱模型．
6
一 平面几何与球面几何的比较
平面几何
球面几何
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．
2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则 相 两个三 角形全等．
同 3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且 的 其夹角对应相等，则两个三角形全等． 定 4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且 理 其夹边对应相等，则两个三角形全等．
人教A版高中数学选修3-3-8.2 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型-教案设计
欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型【教学目标】1．掌握庞加莱模型。
2．熟练运用庞加莱模型解决具体问题。
3．亲历庞加莱模型的探索过程，体验分析归纳得出庞加莱模型在现实中的应用，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：庞加莱模型的理解。
难点：庞加莱模型的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习庞加莱模型，这节课的主要内容有庞加莱模型，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解庞加莱模型内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习平面庞加莱模型，它的具体内容是：它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：证明图中的双曲线l与l1在双曲平面D上不想交。
解析：教师板书根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。
三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了庞加莱模型的理解与应用：（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．在欧氏平面上取一个圆记为C，我们规定圆内的点（不考虑圆外和圆周上点）称为“非欧点”，圆内弦称为“非欧直线”。
这样在圆C内部就建立起一个双曲几何的模型，这个模型我们称为克莱因（Klein）模型。
你能说明在这个模型内，“过直线外一点，有两条直线与该直线不相交”这个结论成立吗？2．利用解析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。
欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型【学习目标】知识与能力：1．感知庞加莱模型在现实中的应用。
2．掌握庞加莱模型。
3．了解庞加莱模型的内涵。
过程与方法：1．通过观察，了解简单多面体的欧拉公式与平面欧拉公式的异同点。
2．进一步了解简单多面体的欧拉公式在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：1．让学生从类比中学习新的知识。
2．认识实际生活中大量存在的现象和规律。
3．培养合作交流意识。
【学习重难点】重点：庞加莱模型的理解。
欧几里得几何学ppt课件
•
上面提到的一切人物都接受了欧几里得的传统。他们
确实都仔细地学习过欧几里得的<几何本来>，并使之成为
他们数学知识的根底。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。
牛顿的<数学原理>一书，就是按照类似于<几何本来>的
“几何学〞的方式写成的。自那以后，许多西方的科学家
都效仿欧几里得，阐明他们的结论是如何从最初的几个假
明过的结论作为论证命题的根据；等等。正由于如此，在 <本来>问世后2000年中，一方面<本来>作为用逻辑来表达 科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学开展起着深远 的影响；另一方面，对于<本来>在逻辑上的欠缺进展修正、 补充和研讨任务从未停顿过，对于<本来>中的定义、公理、
公设的研讨成了历代数学家的重要课题。尤其对于<本来> 中的第五公设，许多数学家对它产生了疑心，最终导致非 欧几何的创建〔见非欧几里得几何学〕。
•
在欧几里得几何体系中，第五公设和“在平面内过知直线外一点，只需一条直线
与知直线平行〞相等价，如今把后一命题称作欧几里得平行公理。它表达了“欧几里
得几何〞与“非欧几里得几何〞的区别。
Thanks
2.1 早期几何知识
• 约公元前300年，古希腊数学家欧几里得 集前人之大成，总结了人们在消费、生活 实际中获得的大量的几何知识，规定了少 数几个原始假定为公理、公设，并定义了 一些名词概念，经过逻辑推理，得到一系 列的几何命题，构成了欧几里得几何学， 简称欧氏几何。
2.2 著名作品
• 欧几里得著有<几何本来>〔以下简称<本来>〕一书， 该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述 比例和算术实际以外，其他各卷都是论述几何问题的。这 部书成为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等 几何学〔即平面几何和立体几何〕的内容根本全包括在此 书内。中国最早的译本是明代万历年间〔1607〕由大学士 徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的<几何本来>前 6卷。<本来>之所以具有价值，不仅由于欧几里得非常详 尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把 那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演 绎的几何学体系。他是历史上第一个发明了一个比较完好 的数学实际的人
《欧氏几何与非欧几何的意义》课件
爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的，物 理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都 不能全面、精确的解释物理的时空概念，但他 们都是物理空间，对物理空间在不同方面有很 好的近似．因此，两者对于我们的世界有重要 的物理意义．
课堂小结
作为本书的最后一讲，这里主要 介绍了非欧几何的一种模型——庞 加莱模型。最后简单介绍一下欧氏 几何与非行公理看起 来是相互矛盾的，在一般情况下，如果 有两个互相矛盾的结论，则必定有一个 是错误的，现在我们如何判断谁对谁错？
首先，判断一种几何是否正确的标 准是什么？
1. 这种几何在理论上是否成立， 这是本质上的逻辑问题；
2.这种几何在实际中是否成立， 能否刻画我们生活的物理世界．
数学家用间接的方法，在欧氏几何中 建立了一个非欧几何的模型，在这个模 型中，规定了一些（非欧）基本概念后， 全部的推理都是依照欧氏几何所遵循的 逻辑进行的，因此这个模型是欧氏几何 与非欧几何的一个“桥梁”．
非欧几何的结论通过模型又可解释为 欧氏几何中的一个结论，这样一来， 如果非欧几何是矛盾的，那么，欧氏 几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞 加莱模型告诉我们，如果欧氏几何是 无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾 的．
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的 一些最基本的性质。例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备。所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型。
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型。
A
l
x
图8-1
A l
x
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （ 图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部 的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”。
欧几里得
庞加莱
旧知回顾
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同的。
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
球面上的大圆可视为“直线”。在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。
非欧几何PPt
2012-6-1
6
高斯的生平
C.F,Gauss 是德国著名数学家、物理 学家、天文学家、大地测量学家。他有 数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟 大的数学家天赋，据载他9岁时，用很 短的时间计算出了小学老师布置的任务： 对自然数从1到100的求和。但是据更 为精细的数学史书记载，高斯所解的并 不止1架到100那么简单，而是 81297+81095+….+100899（公差198， 项数100）的一个等差数列。
3
非欧几何的诞生
欧几里得第五公理是说：过已知直线外 一点，有且只有一条直线与已知直线平 行。 19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在 否定第五公理的同时，假设其反面之一： “过已知直线外一点，可作多于一条的 直线与已知直线平行”，得到了一系列 定理，并且认为他得到了一门新的几何 学。这是过去2000年以来的重大突破。
非欧几何
2012-6-1
1
非欧几里得几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里 得几何是一门大的数学分支，一般来讲， 它有广义、狭义、通常意义这三个方面 的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧 几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何，至于通常意义的 非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何 这两种几何。
2012-6-1
2
非欧几何的诞生
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容 并且可以描述物质空间、像欧式几何一 样正确的新几何学的是高斯。但是高斯 害怕这种理论会遭到当时教会力量的打 击和迫害不敢公开发表了自己的看法， 也是在书信中向自己的看法，也不敢站 出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们 的新理论。
2012-6-1
2012-6-1 7
欧氏几何的公理化方法 PPT
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样
线段内部有点，共线三点是必存在 一点在其余两点之间的都要途径到巴士 公理Ⅱ4 。
顺序公理及重要结论
定理1 对于任意两点A、C ，直线AC 上至少有一点F在 A、C之间。
定理2 在一直线上的三点中，必有且只有 一点在其余两点之间。
定理3 直线a与△ABC共面而不过其顶点， 若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交第 三边。
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
人教版高中选修3-3二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型教学设计
人教版高中选修3-3二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型教学设计一、引言在人教版高中选修3-3中，学生学习了二欧氏平行公理，即通过一个点外一条直线，可以作出一条与这条直线平行的直线。
这个公理被广泛地运用在欧几里得几何中，但在非欧几何中则不一定成立。
本设计将介绍如何通过学习庞加莱模型来理解这一问题。
二、庞加莱模型介绍庞加莱模型，也被称为上开口双曲面模型，是一种非欧几何模型。
在此模型中，我们可以看到平行线之间固有的曲率效应，但是所有直线都是平行线，因此不存在不交的平行线。
庞加莱模型在非欧几何中扮演了重要的角色。
三、教学设计（一）目标本设计的目标是使学生掌握非欧几何中平行线的概念，并能够应用庞加莱模型解决相关问题。
（二）教学过程1.庞加莱模型的介绍首先，引导学生了解庞加莱模型的定义，展示庞加莱模型和欧氏几何模型之间的区别。
这可以通过幻灯片或互动模拟器来完成。
2.庞加莱模型中的平行线接下来，介绍庞加莱模型中没有平行线的概念，并通过图像演示说明。
要考虑学生对这种新的几何思想的接受程度，帮助他们逐渐适应这种新的思维方式。
3.庞加莱模型的应用接下来，引导学生运用庞加莱模型解决问题。
一个例子可以是：在非欧几何空间中，证明在任何三角形的内角之和都是小于180度。
可以给学生一些提示，并在小组中让他们进行讨论，然后展示每个小组的解决方案。
（三）教学评估教学评估应该包括以下两方面:1.每日的互动评估•通过对学生的互动评估，帮助教师理解学生的学习进度，以便于教师对教学过程做出调整。
2.期末考试•在期末考试中，通过设计一些问题来考察学生对本单元中知识点与概念的掌握程度。
考试应该覆盖本单元的所有内容，包括平行线的概念、庞加莱模型、非欧几何空间的性质和应用等。
四、结论本设计的重点是教导学生非欧几何模型中平行线的概念以及庞加莱模型的应用。
学生通过这个设计所学到的知识不仅可以用于解决实际的问题，同时也可以帮助他们建立数学思维和解决问题的思路。
人教版高中选修3-3二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型课程设计 (2)
人教版高中选修3-3 二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型课程设计一、课程背景在高中数学课程中，非欧几何模型作为数学新领域的重要概念，是学生认识三维空间和二维平面的重要方法之一。
其中，庞加莱模型是一种非欧几何模型，可以直观地描绘曲率不为零的曲面，具有相对论和流形理论中的广泛应用，对学生未来学习科学领域具有重要意义。
本课程设计围绕着二欧氏平行公理与非欧几何模型展开，以庞加莱模型为主要内容，让学生真正感受到数学的奥妙，拓展他们的数学视野。
二、课程目标本课程旨在：1.使学生掌握欧几里得几何学中的二欧氏平行公理；2.使学生了解非欧几何模型的概念及其与欧几里得几何学的区别；3.使学生掌握庞加莱模型的概念和应用。
三、课程内容3.1 二欧氏平行公理二欧氏平行公理是欧几里得几何学基本假设之一，它指出经过一点的平面外一条直线，与经过该点的直线在同侧的那边除了原来的那条直线外，还唯一存在另一条直线与原来的直线平行。
在本课程中，我们将介绍二欧氏平行公理的内容和证明方法，用以为后面的教学打下基础。
3.2 非欧几何模型与欧几里得几何学不同，非欧几何模型是指在不满足二欧氏平行公理的情况下，通过对空间进行拓扑学、几何学和计算机图形学等多方面分析，得到不同的模型。
本课程中，我们将介绍非欧几何模型的分类、概念及其与欧几里得几何学的区别。
3.3 庞加莱模型庞加莱模型是一种非欧几何模型，能够直观地表现曲率不为零的曲面。
在本节课程中，我们将学习到庞加莱模型的概念、原理和建模方法，并讲解它在数学、科学领域的应用。
四、课程设计4.1 授课方法本课程采用“讲授+练习”的模式进行教学。
讲授环节通过讲解概念、原理及数学公式，加深学生对于知识点的认识，让学生了解相关理论，并加深对于知识点的理解；练习环节主要为学生提供一些课外题目，巩固教学内容，培养学生的自信心和实际操作能力。
4.2 学生评价方法学生的评价方式主要采用“自评+互评”的方式，鼓励学生对于自己的表现进行评价，并互相交流和提出意见。
欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
欧氏平行公义与非欧几何模型──庞加莱模型
【教课目的】
1．掌握庞加莱模型。
2．娴熟运用庞加莱模型解决详细问题。
3．亲历庞加莱模型的研究过程，体验剖析概括得出庞加莱模型在现实中的应用，进一步
发展学生的研究、沟通能力。
【教课重难点】
要点：庞加莱模型的理解。
难点：庞加莱模型的实质应用。
【教课过程】
一、直接引入
师：今日这节课我们主要学习庞加莱模型，这节课的主要内容有庞加莱模型，而且我们要掌握这些知识的详细应用，能娴熟解决有关问题。
二、讲解新课
（1）教师指引学生在预习的基础上认识庞加莱模型内容，形成初步感知。
（2）第一，我们先来学习平脸庞加莱模型，它的详细内容是：
它是怎样在题目中应用的呢？我们经过一道例题来详细说明。
例：证明图中的双曲线l 与 l1在双曲平面 D 上不想交。
分析：教师板书
依据例题的解题方法，让学生自己着手练习。
练习：证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。
三、讲堂总结
（1）这节课我们主要讲了庞加莱模型的理解与应用：
（2）它们在解题中详细怎么应用？
四、习题检测
1．在欧氏平面上取一个圆记为 C ，我们规定圆内的点（不考虑圆外和圆周上点）称为“非欧点”，圆内弦称为“非欧直线”。
这样在圆 C 内部就成立起一个双曲几何的模型，这个模型我们称为克莱因（ Klein ）模型。
你能说明在这个模型内，“过直线外一点，有两条直线与该
直线不订交”这个结论成立吗？
2．利用分析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。
两维的模型叫做欧氏平面共69页PPT
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
两维的模型叫做欧氏平面
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020/12/10
4
在球面上，如果我们把大圆作为 “直线”，那么这个结论就不正 确．这是一种怀疑方式，即“过直线 外一点，没有一条直线与该直线不相 交”．
2020/12/10
5
我们还可以用另一种方式来怀疑它， 即“过直线外一点，不只一条直线与 该直线不相交”．我们把这样改变后 的结论称为非欧（双曲）平行公 理．有双曲平行公理成立的情况下， 推导出来的所有定理所组成的几何体 系称为双曲几何．
结合图8-1，我们具体说明如下：
2020/12/10
10
设 l 为 内垂直于x的射线，或者圆心在x
上的半圆，点A为 l 外的一点，则过点A必可
作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心 在x上，且与 l 相切（显然，切点在x上，而x
上的点都不在 内），那么经过点A就有两条
“非欧直线”与 l 都不相交，所以在内非欧
2020/12/10
6
那么是否在某个特殊的“平面”上， 可以把某种曲线叫作“直线”，此时， 非欧平行公理是成立的，这个“平面” 可作为非欧几何模型．
2020/12/10
7
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型．
A
l
x 图8-1
A l
x
2020/12/10
8
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部
在球面上，大圆具有直线在平面 上的一些最基本的性质。例如，过两 点有且只有一条直线；两点之间的连 线中直线最短，等等，这些性质球面 上的大圆都具备．所以大圆可以作为 直线所具有的基本性质的一种说明或 解释，这种解释可以视为一种模型．
2020/12/10
3
现在我们来分析一下欧氏平行公理： “过直线外一点，有且只有一条直线 与该直线不相交．”在平面上欧氏平 行公理是不证自明的．因为这个结论 没有加以证明，所以我们当然可以怀 疑它是否正确．
的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”．
2020/12/10
9
那么，在 内、圆心在x上的一段圆弧，或垂直于x的射线上的一条线段
是“非欧线段”，两条“非欧直线”的夹角是“非欧角”．
这样，在 内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过
直线外一点，不只一条直线与该直线不相交．
欧氏平行公理与非欧几何模型 ——庞加莱模上欧氏平行公理不成立的
原因，是我们把大圆当作“直线”， 因此任意两条“直线”都相交．但是 大圆是弯曲的，并非像直线一样是笔 直的；大圆的长度是有限的，而直线 的长度是可以无限增大的．
2020/12/10
2
那么，为什么把大圆作为“直线”呢？
三角形的面积与内角
三角形的面积与内角和
三角形的面积与180°
和无关．
减180°成正比．
减内角和成正比．
2020/12/10
14
2020/12/10
15
平行公理是成立的．
2020/12/10
11
当然，在中我们还需要 说明两段“非欧线段”相等 （或说合同）的概念、两个 “非欧角”相等的概念等，这 就要涉及其他的数学知这就要 涉及其他的数学知识．这里就 不再介绍了．
2020/12/10
12
上面模型是庞加莱模型，庞加莱模型是一个双曲 几何的模型．
把“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相 交”作为公理推导出的几何称为椭圆几何．
非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何，它们与 欧氏几何有明显的差异．
2020/12/10
13
欧氏几何
过直线外一点，有 且只有一条直线与该直 线不相交．
椭圆几何
双曲几何
过直线外一点，没有一
过直线外一点，不只一
条直线与该直线不相交． 条直线与该直线不相交．
三角形内角和为180°． 三角形内角和大于180°． 三角形内角和小于180°．